I. Asservissement numérique en position de la bille - Free.fr
D'une bille sur un rail ... Les deux rails métalliques sur lesquels roule la biklle
sont résistifs et ... Sachant que , en passant en Laplace, on obtient .... procède de
la même manière que pour le choix de Td lors du calcul du correcteur à avance
de ..... Afin de corriger la perturbation sur l'angle on va rajouter un intégrateur à S
(z) ...
part of the document
( = 0.026 N.m/A ou V/rd/s
k2 = 28.65 V/rd ki = 1.6 A/V kb = 6.1 m.s-².rad-1
k3 = 0.0159 V/rd/s Te = 0.2s k1 = 7 V/m
I. Asservissement numérique en position de la bille : du temps continu au temps discret
I.1. Objectif
Lobjectif est de numériser un correcteur conçu pour un asservissement en temps continu de la position de la bille sur le rail. Pour y parvenir, il est proposé de raisonner tout dabord comme si le système était en temps continu pour concevoir un correcteur permettant datteindre lobjectif de lasservissement en position de la bille ( temps de réponse de 5s.), puis numériser ces correcteurs.
I.2. Description
Pratiquement, le correcteur est réalisé par un calculateur numérique (PC). La mesure de la position de la bille UX arrive sur un Convertisseur Analogique Numérique délivrant une information toutes les 200ms. Un Convertisseur Numérique Analogique, de type bloqueur dordre 0, est placé au niveau de la consigne dangle UC¸.
I.3. Etude
I.3.1. Asservissement analogique sans correcteur
Etant un asservissement de la position de la bille, on souhaite obtenir une position x, à partir d une tension de consigne de position Ucx.
Dans le transfert directe on insère le schéma fonctionnel correspondant à lasservissement de langle du rail. Avec en entrée Ucteta, et en sortie teta.
Les deux rails métalliques sur lesquels roule la biklle sont résistifs et fournissent une tension Ux = k1.x proportionnelle à la position de la bille.
Sachant que EMBED Equation.3 , en passant en Laplace, on obtient EMBED Equation.3
Schéma :
Scope :
On voit bien que le système est instable. On va donc insérer un correcteur pour asservir la position de la bille.
I.3.2. Asservissement analogique avec correcteur PI
Afin de simplifier les calculs le sous système permettant lasservissement de langle du rail peut être assimilé au gain 1/k2 car on désire un temps de réponse de 5s pour lasservissement de la position de la bille, soit nettement supérieure au temps de réponse de lasservissement de langle qui est de 100ms.
Correcteur PI : EMBED Equation.3
Après calcul de la fonction de transfert, on trouve : EMBED Equation.3
Soit de la forme : EMBED Equation.3
Nayant pas de terme en p² le tableau de Routh est le suivant : EMBED Equation.3 . Ayant un zéro dans la première colonne, le système est forcément instable. On peut dire aussi que le dénominateur possède un pôle instable à partie réelle positive.
Conclusion : avec un correcteur PI, le système est instable. Etudions la stabilité du système avec un correcteur à avance de phase.
I.3.3. Asservissement analogique avec correcteur à avance de phase
Correcteur à avance de phase : EMBED Equation.3
Schéma :
Calculs :
Après calcul, on trouve : EMBED Equation.3
On cherche un dénominateur de la fonction de transfert du système bouclé du type (1+(dp)n.
Ici le dénominateur est du 3éme degré donc on prend n = 3.
On peut donc écrire : EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
On obtient les trois équations suivantes par identification, avec comme inconnus kD, Ta, a :
3(d = a.Ta
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Pour le réglage de (d, il y a deux méthodes :
Méthode 1 : on simule la fonction suivante : EMBED Equation.3 en faisant varier (d afin dobtenir un temps de réponse de 5s.
De cette manière on obtient un temps de réponse de 5s avec (d ( 0.8.
Méthode 2 : Pour un système du mième ordre on peut approximer le temps de réponse à :
tr = 2.m.(d
Dans notre cas m = 3, donc
Maintenant que nous connaissons (d, on peut déterminer le correcteur à avance de phase en reprenant les 3 équations :
Regardons la réponse indicielle du système avec ce correcteur de phase.
Scope :
I.3.4. Asservissement numérique avec correcteur à avance de phase
On désire numériser le correcteur à avance de phase par 3 méthodes différentes :
Méthodes des rectangles supérieurs
Méthodes des rectangles inférieurs
Méthodes des trapèzes
Pour cela, on désire passer de la transformée de Laplace en transformée en Z, en mettant le correcteur sous la forme : EMBED Equation.3
Méthodes des rectangles supérieurs :
Soit Te = 0.2s, période déchantillonnage
On prend : EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 ( AN :
(
Méthodes des rectangles inférieurs :
On prend : EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 ( AN :
(
Méthodes des trapèzes :
On prend : EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 ( AN :
(
Schéma de lasservissement numérique :
Le bloqueur (Zero-Order Hold) permet de simuler léchantillonnage
Scope :
Scope :
Conclusion : la méthode des trapèzes est un bon compris des deux autres méthodes.
Maintenant étudions le système avec une perturbation sur langle de la barre.
I.3.4. Asservissement numérique avec correcteur à avance de phase+perturbation
Rajoutons un échelon de perturbation à 0.1 commençant par exemple à 10s.
Schéma fonctionnel :
Scope :
II. Asservissement numérique en position de la bille :correcteurs de type PID
II.1. Objectif
Lobjectif est datteindre un temps de réponse de 5s, afin dasservir la position de la bille au moyen de différents correcteurs numériques de la famille des PID.
II.2.Description
II.2.1. correcteur PD filtré
La structure dun correcteur PD filtré est la suivante :
EMBED Equation.3
II.2.2. correcteur PID filtré
La structure dun correcteur PID filtré est la suivante :
EMBED Equation.3
II.3.Etude
II.3.1. rappel du schéma fonctionnel
Dans un premier temps on calculera un correcteur numérique PD.
Le sous système est toujours assimilable au gain 1/k2, étant donné que son temps de réponse (100ms) est largement inférieure au temps de réponse souhaité (5s).
II.3.2. étude correcteur PD filtré
Calcul de la fonction de transfert en boucle fermée :
Afin de numériser, on passe chaque élément du schéma en transformée en Z.
TL[BOZ] = EMBED Equation.3 avec TZ EMBED Equation.3 = (1-z-1)
Soit TZ EMBED Equation.3 sachant que EMBED Equation.3
On a donc EMBED Equation.3 = H(z)
On souhaite travailler en z-1, donc il faut passer K(z) en z-1, en multipliant le numérateur et le dénominateur par z-1 : EMBED Equation.3
On a FTBF = EMBED Equation.3 avec R = k1 et F= K(z).H(z)
Après une bonne page de calcul, on arrive à une expression assez lourde :
Identification du dénominateur à (1 - az-1)n :
Dans un premier temps on identifiera ce dénominateur à (1 - az-1)n en prenant n = 2 soit (1 - 2az-1+ a²z-2). Si les résultats ne sont pas satisfaisant après simulation sous matlab, alors on augmentera n.
Afin de simplifier lécriture des équations, on pose A = EMBED Equation.3
En procédant par identification, on obtient un système à 3 équations et 3 inconnus r0, r1, ( :
Pour le choix de la valeur de a, on procède de la même manière que pour le choix de Td lors du calcul du correcteur à avance de phase en continu dans le paragraphe I.3.3.
( a = 0.83
A.N. correcteur PD: ( = -0.163 r0 = 5.946 r1 = 0.918
Soit le correcteur PD est de la forme : EMBED Equation.3
Scope :
Tension de la position de la bille :
Courant moteur :
Angle du rail :
Vitesse :
Réponse à une perturbation de Ux :
II.3.3. étude correcteur PID filtré
Calcul de la fonction de transfert en boucle fermée :
On reprend FTBF = EMBED Equation.3 avec R = k1 avec F= K(z).H(z)
H(z) est toujours le même : H(z) = EMBED Equation.3
On souhaite travailler en z-1, donc il faut passer K(z) en z-1, en multipliant le numérateur et le dénominateur par z-1 : EMBED Equation.3
La fonction de transfert est la suivante :
EMBED Equation.3
Identification du dénominateur à (1 - az-1)n :
Dans un premier temps on identifiera ce dénominateur à (1 - az-1)n en prenant n = 2 soit (1 - 2az-1+ a²z-2).
Afin de simplifier lécriture des équations, on pose A = EMBED Equation.3
En procédant par identification, on obtient un système à 4 équations et 4 inconnus r0, r1, r2, ( (le système donnant des solutions complexe pour r1 et r2, on exprimera sous la forme de produit (r1.r2) et somme(r1+r2), sachant que Matlab nacceptent pas de solution complexe :
Pour le choix de la valeur de a, on procède de la même manière que pour le choix de Td lors du calcul du correcteur à avance de phase en continu dans le paragraphe I.3.3.
( a = 0.83
A.N. correcteur PID : ( = -0.581 r0 = 25.46 r1. r2 = 0.766 r1 + r2 = 1.747
Soit le correcteur PID est de la forme : EMBED Equation.3
Scope:
Tension de la position de la bille :
Courant du moteur :
Angle du rail :
Vitesse :
Réponse à une perturbation de Ux :
III.Asservissement numérique en position de la bille :correcteur de type RST
III.1. Objectif
Lobjectif est de mettre en uvre différents correcteurs numériques de type RST pour l asservissement en position de la bille sur le rail respectant la contrainte de temps de réponse (5s) et de régulation.
III.2.Etude
III.2.1. étude correcteur RST sans intégrateur
Schéma fonctionnel :
Calcul de la fonction de transfert en boucle fermée :
On a FTBF = EMBED Equation.3 avec R = k1.R(z) avec F= EMBED Equation.3
H(z) est toujours le même : H(z) = EMBED Equation.3
Afin de simplifier les expressions je pose : EMBED Equation.3
Avec : EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3
Après calcul la fonction de transfert est de la forme suivante
EMBED Equation.3
On identifiera ce dénominateur à (1 - az-1)n en prenant n = 2 soit (1 - 2az-1+ a²z-2).
On peut donc établir un modèle de référence : EMBED Equation.3
Attention : on doit avoir z = 1, Mref(1) = 1, cest bien le cas.
Détermination du correcteur RST :
Afin de calculer R S et T, on identifie terme à terme le numérateur et le dénominateur de la FTBF calculée au numérateur et dénominateur du modèle de référence, soit :
EMBED Equation.3
Pour cela on a besoin de choisir les degré des polynôme R(z), S(z) et T(z) :
Si Degré de S(z)=0, alors on aura S(z) = 1 et le degré de R(z) sera de 0 puisque d°S(d°R. Dans ce cas EMBED Equation.3 . Ce système de correction ne convient pas puisque lon a quun seul paramètre de réglage pour un système du 2éme ordre.
Si Degré de S(z)=1, alors on aura S(z) = s0+s1.z-1 avec s0 normalisé à 1. On prend le degré de R(z) égale à 1, soit R(z) = r0+r1.z-1. Ici, nous avons trois paramètres de réglages, donc on prendra un dénominateur de la fonction de transfert du système au 3ème ordre.
En identifiant les dénominateur on a : EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
On obtient un système de 3 équations et 3 inconnus s1, r0, r1 :
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Pour le choix de la valeur de a, on procède de la même manière que pour le choix de Td lors du calcul du correcteur à avance de phase en continu dans le paragraphe I.3.3.
( a = 0.83
A.N. : r0 = 5.947 r1 = -5.46 s1 = 0.163
Soit : S(z) = 1+0.163z-1 et R(z) = 5.947 5.46z-1
On prendra le degré de T(z) égal à 1, soit T(z) = t0+t1z-1
Par identification des numérateurs, on obtient : K.k1. EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
On a un système à 2 équations et 2 inconnus, t1 et t0.
Après résolution du système on déduit :
A.N. : t0 = 0.484 et t1 = 0
Soit : T(z) = 0.484 + 0z-1 en (z-1)
Maintenant que le correcteur RST est calculé, on peut simuler à laide de Matlab et Simulink, et observer le résultat :
Scope :
sans perturbation
Ux :
Im :
Angle teta de la barre :
Conclusion : Ce correcteur , à priori, est très satisfaisant puisquil répond en parti au cahier des charges (malgré un temps de réponse et un courant moteur légèrement supérieure à leurs valeurs tolérées). En tout cas jusquà maintenant cest le correcteur ayant donné les meilleurs résultats.
Regardons ce qui se passe lorsque lon crée une perturbation
avec perturbation
Le problème est toujours le même, le système ne réagit pas correctement, puisque lerreur statique nest pas du tout corrigée (rôle rempli par lintégrateur kb/p² qui est placé en aval de la perturbation ( normal que lerreur statique ne soit pas corrigée).
Afin de corriger la perturbation sur langle on va rajouter un intégrateur à S(z) qui devient maintenant : S(z)=S(z).(1-z-1)
III.2.2. étude correcteur RST avec intégrateur
Afin de corriger la perturbation sur langle on va rajouter un intégrateur à S(z) qui devient maintenant : S(z)=S(z).(1-z-1)
Détermination du correcteur RST :
Afin de calculer R S et T, on identifie terme à terme le numérateur et le dénominateur de la FTBF calculée au numérateur et dénominateur du modèle de référence, soit :
EMBED Equation.3
Pour cela on a besoin de choisir les degré des polynôme R(z), S(z) et T(z) :
Si Degré de S(z)=0, alors on aura S(z) = 1 donc S(z) = 1-z-1 et le degré de R(z) sera de 1 puisque d°S(d°R. Dans ce cas EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 z-1. Ce système de correction ne convient pas puisque lon a que deux paramètres de réglage pour un système du 3éme ordre.
Si Degré de S(z)=1, alors on aura S(z) = s0+s1.z-1 avec s0 normalisé à 1 et
S(z) = 1+(s1-1)z-1s1.z-2 . On prend le degré de R(z) égale à 2, soit R(z) = r0+r1.z-1+r2.z-2. Ici, nous avons quatre paramètres de réglages, donc on prendra un dénominateur de la fonction de transfert du système au 4ème ordre.
En identifiant les dénominateur on a : EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
On obtient un système de 4 équations et 4 inconnus s1, r0, r1, r2 :
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Pour le choix de la valeur de a, on procède de la même manière que pour le choix de Td lors du calcul du correcteur à avance de phase en continu dans le paragraphe I.3.3.
( a = 0.83
A.N. : r0 = 25.46 r1 = -44.48 r2 = 19.504 s1 = 0.581
Soit : S(z) = 1-0.419z-1-0.581 z-2 et R(z) = 25.46 44.48z-1+19.504z-2
On prendra le degré de T(z) égal à 2, soit T(z) = t0+t1z-1+t2z-2
Par identification des numérateurs, on obtient : K.k1. EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
On a un système à 2 équations et 2 inconnus, t1 et t0.
Après résolution du système on déduit :
A.N. : t0 = 0.484 et t1 = t2 = 0
Soit : T(z) = 0.484 + 0z-1+ 0z-2 en (z-1)
On peut vérifier si on a bien une erreur statique nulle par la relation suivante :T(1) = R(1) car EMBED Equation.3 , cest bien le cas.
Maintenant que le correcteur RST est calculé, on peut simuler à laide de Matlab et Simulink, et observer le résultat :
Scope :
Lintérêt est de simuler avec la perturbation pour voir si lerreur statique est bien nulle. Pour cela on visualise la tension représentative de la position
Schéma fonctionnel :
Ux :
Im :
Angle de la barre :
Conclusion : Nous avons étudié tout au long du bureau détude, plusieurs types de correcteurs afin dasservir le système dune bille sur un rail, avec des contrainte sur le temps de réponse (5s), le courant, langle de la barre et la possibilité de subir une perturbation de 1° sur langle de la barre. Au final, avec tous les correcteurs nous sommes arrivés à obtenir un temps de réponse de 5s, mais seul ceux comprenant un intégrateur supportaient la perturbation et supprimer lerreur statique. Le correcteur répondant le plus à nos attentes est le RST avec intégrateur, malgré des courants légèrement supérieur au courants admissible (16A).
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Ux
Ucx
(1)
(2)
(3)
EMBED Equation.3
(3) (
(d = 0.83s
tr = 5s
(2) (
EMBED Equation.3
(
kD = 0.325
(
Ta = 0.277
a = 9
(
tr = 5s
(1) (
EMBED Equation.3
Conclusion :
Le système est stable avec 1 seul dépassement et un temps de réponse environ de 5s comme prévu en théorie.
EMBED Equation.3
G = 1.83
b = 0.93
c = 0.58
EMBED Equation.3
G = 2.925
b = 0.92
c = 0.28
EMBED Equation.3
G = 2.235
b = 0.923
c = 0.47
Approximation des rectangles supérieurs :
On a un temps de réponse à 5% de 4.5s et un dépassement de 43% de la valeur finale
Le système est assez rapide mais avec un premier dépassement assez élevé
tr = 4.5s
43% de la valeur finale
35% de la valeur finale
tr = 4.7s
Approximation des rectangles supérieurs :
On a un temps de réponse à 5% de 4.7s et un dépassement de 35% de la valeur finale
Le système est assez rapide avec un dépassement correcte.
Approximation des rectangles inférieurs :
On a un temps de réponse à 5% de 5s et un dépassement de 28% de la valeur finale.
Le système est plus lent quavec la méthode des rectangles supérieurs mais avec un premier dépassement bien plus faible.
tr = 5s
28% de la valeur finale
Conclusion :
on remarque que le système nest pas bien régulé puisquil il y a une forte erreur statique le correcteur ne convient pas. Cette erreur statique vient du fait que la perturbation soit en aval du bloc 1/p². Si celui était en aval de la perturbation, le système serait revenu à son état stable voir figure ci dessous).
Avec perturbation en aval du bloc 1/p²
Avec perturbation en amont du bloc 1/p²
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Après résolution du système on obtient (
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Après résolution du système on obtient (
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
La tension de la position Ux représente lallure de la position x puisque :
Ux = k1.x
On peut remarquer que la positon est corrigée puisque le système est stable. On observe un fort dépassement de 20%, avec un temps de réponse de lordre de 5s comme souhaité.
On peut donc croire que le correcteur est convenable pour ce système
tr = 4.8s
Dep = 20%
La tension moteur Um représente lallure du courant Im puisque :
Um = constante.Im
On peut remarquer que le courant établi aux premiers instants est représenté par des pics de
=250A et 280A. Ensuite il se stabilise à zéro. Par conséquent, on peut dire que ce type de correcteur ne peut pas convenir puisque >>16A
On peut observer un angle aux premiers instants de 0.20 rad, nettement supérieur à langle autorisé qui est de 0.05 rad. Ensuite, comme le courant, langle se stabilise assez rapidement à zéro.
La vitesse est à limage du courant puisque lon observe des pointes très importantes. Ensuite la vitesse se stabilise très rapidement à zéro.
Le correcteur ne corrige pas la perturbation de 1° sur langle du rail qui intervient à 10s. Cest le même problème que nous avons vu avec le correcteur à avance de phase + une perturbation au paragraphe I.3.4.
Le correcteur PD filtrée ne convient pas dans ce cas là.
La tension de la position Ux représente lallure de la position x puisque :
Ux = k1.x
On peut remarquer que la positon est corrigée puisque le système est stable. Par contre on observe un fort dépassement de 80%( ce qui est considérable et donc inacceptable), avec un temps de réponse de 1.8s (acceptable puisquon attendait 5s).
Le dépassement provient des deux zéros du correcteur.
Dep = 80%
tr = 1.8s
La tension moteur Um représente lallure du courant Im puisque :
Um = constante.Im
Comme pour le correcteur PD, on constate que le courant établi aux premiers instants est représenté par des pics très importants de 1000A et -1800A. Ensuite il se stabilise à zéro. Par conséquent, on peut dire que ce type de correcteur ne peut pas convenir puisque cela semble inconcevable et inutilisable (Im>>16A).
Comme avec le correcteur PD, on observe un angle aux premiers instants de 0.60 rad, nettement supérieur à langle autorisé qui est de 0.05 rad. Ensuite, comme le courant, langle se stabilise assez rapidement à zéro.
La vitesse est à limage du courant puisque lon observe des pointes très importantes. Ensuite la vitesse se stabilise très rapidement à zéro.
Le correcteur corrige correctement la perturbation de 1° sur langle du rail qui intervient à 10s, contrairement au correcteur PD étudié précédemment. Cest le même problème que nous avons vu avec le correcteur à avance de phase + une perturbation au paragraphe I.3.4.
Le correcteur PD filtrée ne convient pas dans ce cas là.
Conclusion : Le correcteur PD ne convient pas puisquil ne corrige pas le système lors dune perturbation. De plus les pics de courants et le déplacement de langle de la barre ne peuvent pas être réalisés.
Le correcteur PID, corrige parfaitement le système même en cas de perturbation, mais avec un fort dépassement qui reste inconcevable. De plus, même remarque que pour le PD, les pics de courants et le déplacement de langle de la barre ne sont pas réalisables
1/S(z)
T(z).k1
R(z)
H(z)
Après résolution du système on obtient (
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
tr = 5.1s
On peut remarquer que la position du système est parfaitement corrigé, mais avec un temps de réponse ne répondant pas exactement au cahier des charges puisquil est légèrement supérieur à 5s (on peut considérer la correction acceptable). Le système ne comporte aucun dépassement.
Contrairement aux correcteurs vu précédemment, les pics de courants ne sont pas trop importante même si la pointe aux premiers instants est encore légèrement supérieure au courant max 16 A. On peut voir des petits appels de courants causées par le moteur afin de corriger langle de la barre, pour arriver à la stabilisation. La stabilisation est très rapide.
On peut constater que langle de la barre varie très peut et est stabilisé très rapidement (liée à lappel de courant par le moteur pour corriger langle). Les pointes de langle sont nettement inférieur aux 0.05 rad tolérés. Point de vue angle, le correcteur convient parfaitement.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Après résolution du système on obtient (
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
t1= t2=0
Le système est très bien asservi car lors de la perturbation, le correcteur RST calculé permet de stabilisé la position de la bille, malgré cette perturbation.
Lerreur statique a bien été corrigé par le rajout de lintégrateur sur le polynôme S(z).
En visualisant le courant moteur,on peut voir des oscillation à létablissement de léchelon et de la perturbation, mais qui sont comme on le voit très bien asservies. Par contre les pics sont légèrement supérieurs au 16 A autorisé.
Langle de la barre varie entre des angles qui sont largement inférieurs à langle max autorisé (0.05rad).
