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(SMA) et Sciences Mathématiques et Informatique (SMI)

Calcul Intégral et Formes Différentielles. M22. ALGEBRE 5: Dualité .... M5 : Physique 2 : Thermodynamique 1 (cours:18, TD:18; TP: 10). Outils mathématiques ...... Liens entre l'intégrale de Riemann et l'intégrale de Lebesgue . Tribu produit et ...




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RESEAU DES DOYENS DES FACULTES DES SCIENCES





Filière Licence d’Etudes Fondamentales
Sciences Mathématiques et Applications
SMA 2014

Adoptée par le réseau des doyens des Facultés des Sciences
à Marrakech, le 16 novembre 2013



Décembre 2013
ARCHITECTURE ET CONTENU DES MODULES DE LA FILIERE SMA
De S1 à S6

S1
SMIAM1

Analyse 1 :
Suites Numériques et FonctionsM2

ALGEBRE 1:
Généralités et Arithmétique dans ZM3

ALGEBRE 2:
Structures, Polynômes et Fractions RationnellesM4

Physique 1 :
Mécanique 1M5

Physique 2 :
ThermodynamiqueM6

Informatique 1 : Introduction à l’informatiqueM7

LT IS2 SMIAM8

Analyse 2: IntégrationM9

Analyse 3 :
Formule de Taylor, Développement Limité et ApplicationsM10

ALGEBRE 3:
Espaces Vectoriels, Matrices et Déterminants M11

Physique 3 : Electrostatique et ElectrocinétiqueM12

Physique 4 : Optique 1
M13

Informatique 2 : Algorithmique IM14

LT II
S3
SMAM15

Analyse 4:
Séries Numériques, Suites et Séries de FonctionsM16

Analyse 5:
Fonctions de Plusieurs VariablesM17

ALGEBRE 4:
Réduction des Endomorphismes et ApplicationsM18
Probabilités-StatistiquesM19

Physique 5 : Electricité 2M20

Informatique 3 : Algorithmique et ProgrammationS4 SMAM21

Analyse 6 :
Calcul Intégral et Formes DifférentiellesM22

ALGEBRE 5:
Dualité, Espaces Euclidiens, Espaces HermitiensM23

ALGEBRE 6:
Structures AlgébriquesM24

Analyse Numérique 1M25

Physique 6 : Mécanique du solide
M26

Informatique 4 : Algorithmique et structures de données

S5 SMAM27
TopologieM28
IntégrationM29
Calcul différentielM30
Programmation MathématiqueM31
Analyse numérique 2M32
Informatique 5 :
Programmation orientée objet S6 SMAM27
Module MajeurM28
Module MajeurM29
Module optionnelM30
Module optionnelM31
PT 1M32
PT 2 


PROGRAMMES DES MODULES :
MODULES DE S1
M1 : Analyse 1 : Suites Numériques et Fonctions
Ch. I. Nombres réels (2 Séances)
Majorant, Minorant, Borne supérieure et borne inférieure, caractérisation de IR par la propriété de la borne supérieure, Propriété d’Archimède, partie entière, densité dans un intervalle de IR, densité de Q dans IR, approximation décimale d’un nombre réel.
Ch. II. Suites numériques (4 Séances)
Suites, convergence, opérations sur les limites suites, limites usuelles, limites séquentielles, Suites monotones, Suites adjacentes (erreur d’approximation de la limite), Critères de convergence, Suites extraites, Valeurs d’adhérence et Théorème de Bolzano Weierstrass ; suites de cauchy ; Suites récurrentes.
Ch. III. Fonctions réelles d’une variable réelle (4 Séances)
Limite d’une fonction, caractérisation séquentielle des limites, Opérations algébriques sur les limites, Continuité, Théorème des valeurs intermédiaires, image d’un intervalle et d’un segment par une application continue; fonction monotone, Théorème de la limite monotone, Théorème de la bijection. Fonctions réciproques des fonctions circulaires et hyperboliques. Continuité uniforme, fonctions lipschitzienne, Théorème de Heine.
Ch. IV. Fonctions dérivables (3 Séances)
Définition de la dérivée (à gauche et à droite). Interprétation géométrique de la dérivée, Opérations sur les dérivée, dérivation de la fonction réciproque. Théorèmes de Rolle et des accroissements finis.
M2 : ALGEBRE 1: Généralités et Arithmétique dans Z

Ch. I. Notions de logique et langage de base de la théorie des ensembles (3 Séances)
Propositions. Connecteurs. Quantificateurs. Raisonnements logiques. Ensembles. Parties d’un ensemble. Opérations sur les ensembles. Recouvrement. Partition.
Ch. II. Relations binaires et Applications (4 séances)
Relations binaires, Relations d’équivalences. Relations d’ordre. Bornes supérieurs. Bornes inférieurs. Fonctions. Applications. Composée. Images directes. Images réciproques. Injections. Surjection. Bijection. L’ensemble N.
Ch. III. Arithmétique dans Z (6 séances)
Divisibilité dans Z. Division euclidienne. pgcd, ppcm. Numérotation. Algorithme d’Euclide. Théorème de Bézout, théorème de Gauss. Nombres premiers, décompositions en nombres premiers. Congruences. Anneau Z/nZ. Le corps Z/pZ . Indicateur d’Euler

M3 : ALGEBRE 2: Structures, polynômes et fractions rationnelles

Ch. I. Structures usuelles (4 Séances)
Groupes. Exemple de groupes. Groupe symétrique. Groupe produit. Sous groupes. Homomorphismes de groupes. Anneaux, Sous anneaux, Idéaux, Homomorphismes
d’ anneaux, Corps, les corps R et C
Ch. II. Polynômes (5 Séances)
Notions de base sur les polynômes à une indéterminée: Définitions et structure. Degrés. Fonctions polynômiales. Racines d’un polynôme. Polynôme dérivé. Formule de Taylor.
Propriétés arithmétiques des polynômes à coefficients dans R ou C.
Théorème d’Alembert- Gauss
Ch.III. Fractions rationnelles (4 séances)
Fractions rationnelles. Décomposition en éléments simples dans R(X) et dans C(X)

M4 : Physique 1 : Mécanique 1  (cours:18, TD:18; TP: 10)
Rappels mathématiques (Opérations sur les vecteurs, Opérateurs différentiels.)
Systèmes de coordonnées (Cartésiennes, cylindriques et sphériques)
Cinématique du point matériel sans et avec changement de référentiel.
Dynamique du point matériel.
Travail, énergie, théorème de l’énergie cinétique.
Les forces centrales : application à la mécanique céleste.
Système de deux particules, les chocs.
Les oscillateurs harmoniques.
M5 : Physique 2 : Thermodynamique 1 (cours:18, TD:18; TP: 10)
Outils mathématiques pour la thermodynamique.
Définitions et concepts de bases (travail et chaleurs, thermométrie et calorimétrie, changements d'état).
1er principe et applications.
2éme principe et applications.
Introduction aux cycles thermodynamiques et machines thermiques.
Potentiels thermodynamiques. 
M6 : Informatique 1 : Introduction à l informatique
Histoire de l’informatique
Structure des ordinateurs
Langages de programmation
Réseaux et Internet
Le codage 

M7: Langue et Terminologie IContenu en phase d’élaboration par la sous commission langue de la commission MT issue de la CPU
MODULES DE S2
M8 : Analyse 2: Intégration
Ch. I. Intégrale de Riemann (3 séances)
Subdivisions, Fonction en escalier, Intégrale d’une fonction en escalier, Intégrale au sens de Riemann, Formules de la moyenne.
Ch. II. Calcul des primitives (4 séances)
Théorèmes de calcul intégral. Intégration par parties. Changement de variables. Primitives des fonctions usuelles et des fractions rationnelles, trigonométriques, hyperboliques.
Ch. II. Intégrale généralisée (3 séances)
Définitions et exemples. Critères généraux de convergence.
Ch. IV. Equations différentielles (3 séances)
Equations différentielles du premier ordre : Equations linéaires du premier ordre. Exemples d’étude d’équations différentielles non linéaires du premier ordre. Equations différentielles linéaires du second ordre : Equations linéaires du second ordre à coefficients constants. Exemples d’équations à coefficients non constants.
M9 : Analyse 3 : Formules de Taylor, Développement Limité et Applications
Ch. I. Formule de Taylor et applications (4 séances)
Dérivées d’ordre supérieur. Formules de Taylor, Variation des fonctions et dérivation. Extremums relatifs, convexité.
Ch. II. Développement limité et applications (4 séances)
Définitions et opérations sur les Développements limités. Notation de Landau. Comparaison locale des fonctions. Les équivalents. Applications (limites et étude asymptotique). Développements limités généralisés.

Ch. III. Courbes paramétrées et courbes polaires (5 séances)
Fonctions vectorielles à variable réelle. Limite, dérivée d'une fonction vectorielle. Constructions des courbes planes. Courbes définies en coordonnées polaires. Repère mobile Tangente en un point. Concavité et branches infinies, Construction des courbes polaires.
M10 : ALGEBRE 3: Espaces Vectoriels, Matrices et Déterminants
Ch. I. Résolutions des systèmes linéaires par la méthode de Gauss (2 séances)
Système linéaires. Opérations élémentaires. Méthode de Gauss pour la résolution des systèmes linéaires.
Ch. II. Espaces vectoriels (3 séances)
Espaces vectoriels. Sous espaces vectoriels. Famille génératrice. Famille libre. Bases. Somme et somme directe de sous espaces.
Applications linéaires: Définitions et notations. Image directe. Image réciproque. Noyau. Opérations sur les applications linéaires.
Ch. III. Espaces vectoriels de dimension finie (3 séances)
Définition. Sous espace d’un espace vectoriel de dimension finie. Rang d’un système de vecteurs. Rang d’une application linéaire. Théorème du rang.
Ch. IV. Matrices (2 séances)
Opérations sur les matrices. Algèbre des matrices carrées. Matrices inversibles. Matrice d’un système de vecteurs. Rang d’une matrice. Matrice d’une application linéaire. Changement de bases.
Ch. IV. Déterminant et applications (3 séances)
Définition et Propriétés des déterminants. Application du déterminant au calcul du rang, à l'inversion d’une matrice et à la résolution des systèmes linéaires.
M11 : Physique 3 : Electrostatique et Electrocinétique (cours:18, TD:18; TP: 10)
Partie 1 : Electrostatique
Chapitre I: Charges électriques -loi de Coulomb
Chapitre II : Champ électrostatique - potentiel électrostatique
Théorème de Gauss - Conducteurs électriques en équilibre – Phénomène d’influence- Etude des condensateurs - Energie électrostatique- Energie d’un conducteur- Energie de systèmes de conducteurs - Energie des condensateurs
Partie 2: Electrocinétique
Chapitre I: Courant électrique - densité de courant - conductivité, mobilité et résistivité d’un conducteur - loi d’Ohm microscopique - résistance électrique -Loi d’ohm - générateurs et récepteurs
Chapitre II: - Etude des réseaux électriques : loi de Pouillet - Lois de Kirchhoff- théorème de Thévenin - théorème de Norton - théorème de superposition - Transformation étoile triangle.
M12 : Physique 4 : Optique 1 (cours:18, TD:18; TP: 10)
Notions fondamentales de l’optique géométrique (postulats, indice d’un milieu, rayon lumineux, espace objet, espace image, principe de Fermat, lois de Snell-Descartes, stigmatisme, approximation de Gauss).
. Miroirs et Dioptres (plans et sphériques, prisme).
. Fibres optiques.
. Systèmes centrés (éléments cardinaux, lentilles, …).
. Associations des systèmes centrés.
. Etudes de quelques instruments d'optique (lunette astronomique, télescope, loupe, microscope….).

M13 : Informatique 2 : Algorithmique I
Introduction a l’algorithmique
Instructions élémentaires
Structures de contrôle: conditionnelles, répétitives.
Les tableaux.


M14: Langue et Terminologie IContenu en phase d’élaboration par la sous commission langue de la commission MT issue de la CPU MODULES DE S3
M15 : Analyse 4: Séries Numériques, Suites et Séries de Fonctions
Ch. I. Séries numériques (3 séances)
Définitions et convergence. Séries à termes positifs et comparaison. Règles de d'Alembert, de Cauchy. Séries de Riemann. Séries à terme quelconques. Séries absolument convergentes. Séries alternées, critère d'Abel.
Ch. II. Suites et Séries de fonctions (4 séances)
Suites de fonctions : Convergences simple et uniforme. Théorèmes de continuité, dérivabilité et intégrabilité.
Séries de fonctions : Convergence simple, uniforme et normale. Théorèmes de continuité, dérivabilité, et intégrabilité et convergence.
Ch. III. Séries entières (3 séances)
Rayon de convergence. Continuité et dérivabilité de la somme. Développement en série entière des fonctions classiques.
Ch. IV. Série de Fourier (3 séances)
Séries Trigonométriques. Développement en série de Fourier. Théorèmes de convergences (simple, quadratique, et normale). Théorème de Dirichlet et Egalité de Perceval. Inégalité de Bessel.
M16: Analyse 5: Fonctions de Plusieurs Variables
Ch. I. Espaces vectoriels normés et topologie de vnd.oasis.opendocument.field.UNHANDLED (4 séances)
Normes, Normes équivalentes. Suites. Ouverts, Fermés, Compacts, Connexité par arcs.
Ch. II. Limites et continuité (2 séances)
Définitions et exemples. Continuité des applications linéaires, et normes subordonnées.
Ch. III. Différentiabilité (3 séances)
Définitions et exemples. Dérivées partielles, matrice Jacobienne, inégalité des accroissements finies. Fonctions de classe vnd.oasis.opendocument.field.UNHANDLED et théorème de Schwarz.
Ch. IV. Formule de Taylor et extremums (4 séances)
Formule de Taylor à l'ordre 2. Matrice Hessienne, Extremums, Extrémums liés. Théorème des fonctions implicites (n=2, 3) et Théorème d’inversion locale

M17 : ALGEBRE 4: Réduction des Endomorphismes et Applications

Ch. I. Polynômes d’endomorphismes (2 séances)
Sous espaces stables Polynômes d’endomorphismes, lemme des noyaux, polynôme caractéristique, théorème de Cayley-Hamilton.
Ch. II. Diagonalisation, trigonalisation (3 séances)
Endomorphismes et matrices diagonalisables. Endomorphismes et matrices trigonalisables.
Ch. III. Décomposition de Jordan (4 séances)
Sous espaces caractéristiques. Réduction de Jordan pour les endomorphismes nilpotents. Réduction de Jordan pour les endomorphismes dont le polynôme caractéristique est scindé.
Ch. IV. Applications (4 séances)
Calcul des puissances d’une matrice et son exponentielle. Applications à la résolution des systèmes d’équations différentiels et aux suites récurrentes
M18 : Probabilités-Statistiques
Chap. 1 : Statistique descriptive (3 séances)
Généralités : Population. Echantillon. Variables. Types de variables.
Séries statistiques à une dimension : Tableau des distributions des fréquences. Représentations graphiques. Mesures de position. Mesures de dispersion. Mesures de Forme (Symétrie, asymétrie à droite, asymétrie à gauche).

Chap. 2 : Eléments de Probabilités (3 séances)
Evénements aléatoires. Dénombrement. Calcul des probabilités. Probabilité conditionnelle. Théorème de Bayes. Indépendance

Chap. 3 : Variables aléatoire et loi de Probabilité (4 séance)
Variable aléatoire réelle discrète : Loi de probabilité. Fonction masse de probabilité. Fonction de répartition. Moyenne, variance et écart-type.
Variable aléatoire réelle continue : Loi de probabilité.Fonction densité de probabilité. Fonction de répartition. Moyenne, variance et écart-type.
Couples de variables aléatoires. Loi de probabilité conjointe. Loi de probabilité conditionnelle. Moyenne et variance conditionnelle. Indépendance de variables aléatoires.

Chap. 4 : Lois de probabilité classiques (3 séances)
Lois discrètes: Loi Binomiale. Loi multinomiale. Loi géométrique. Loi binomiale négative. Loi hypergéométrique. Loi de Poisson
Lois Continues: Loi Uniforme. Loi exponentielle. Loi normale. Loi de Khi-deux. Loi de Student. Loi de Fisher. Loi Gamma.
M19 : Physique 5 : Electricié 2 (cours:18, TD:18; TP: 10)

Magnétostatique : Champ d’induction, Propriétés de l’induction magnétiques, Loi de Laplace, Théorème d’Ampère, potentiel vecteur, loi de Biot et Savard, application (étude des symétries et calcul de l’induction magnétique, Effet Hall).
Courant alternatif : comportant des composants résistifs, capacitifs et inductifs-énergie des circuits.
Equations de Maxwell dans le vide : Induction magnétique, potentiels scalaire et vectoriel « en jauge de Lorentz ».
Ondes électromagnétiques dans le vide
Equations locales, Intégrales et relations de passage, énergie magnétique
M20 : Informatique3 : Programmation I
Introduction
Types de base, variables, constantes
Opérateurs et expressions
Les entrées sorties en C
Les structures de contrôle
Les tableaux
Les pointeurs
MODULES DE S4

M21 : Analyse 6 : Calcul Intégral et Formes Différentielles

Ch. I. Intégrales dépendants d'un paramètre (2 séances)
Théorème de convergence dominée (suites et séries). Intégrale dépendant d'un paramètre (continuité et dérivabilité)
Ch. II. Intégrales multiples (3 séances)
Intégrale d'une fonction sur un pavé. Théorème de Fubini et applications. Intégrales doubles et triples et changement de variables. Applications aux calculs des surfaces et des volumes
Ch. III. Formes Différentielles (2 séances)
Définitions et généralités des formes différentielles de degré 1, 2 dans R^2 et R^3. Formes exactes et fermées. Théorème de Poincaré.
Ch. IV. Intégrales curvilignes (2 séances)
Longueur d'un arc, intégrale sur un chemin. Formule de Green–Riemann
CH. V. Calcul d'intégrale par la méthode des résidus (4 séances)
Définition d'une fonction holomorphe. Formule de Cauchy. Théorème de résidus.


M22 : ALGEBRE 5: Dualité, Espaces Euclidiens, Espaces Hermitiens
Ch. I. Dualité (2 séances)
Formes linéaires. Hyperplans. Bases duales en dimension finie. Bidual.
Ch. II. Espaces Préhilbertiens réels (4 séances)
Formes bilinéaires symétriques. Formes quadratiques. Orthogonalité. Rang. Noyau. Vecteurs isotropes. Sous-espaces orthogonaux.
Matrice d’une forme quadratique en dimension finie. Matrices congruentes. Méthode de Gauss. Théorème de Sylvester.
Ch. III. Espaces Euclidiens (4 séances)
Produit scalaire. Orthogonalité. Bases orthogonales. Bases orthonormées. Procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt. Endomorphismes orthogonaux. Endomorphismes symétriques. Formes quadratiques dans un espace euclidien.
Ch. IV. Espaces Hermitiens (3 séances)
Formes hermitienne. Produit scalaire hermitien. Orthogonalité. Adjoints. Endomorphisme auto-adjoint. Endomorphismes unitaires. Endomorphismes Normaux. Diagonalisation.

M23 : ALGEBRE 6: Structures Algébriques

Ch. I. Groupes (5 séances)
Groupes, sous groupes, homomorphismes de groupes. Sous groupe engendré par une partie. Relations modulo un sous groupe. Théorème de Lagrange. Groupe cyclique. Sous groupes distingués et groupe quotient. Théorèmes d’isomorphismes pour les groupes. Groupe symétrique. Groupe alterné.
Ch. II. Anneaux et corps (5 séances)
Anneaux. Eléments remarquables d’un anneau. Anneaux intègres. Sous anneaux. Idéaux. Homomorphismes d’anneaux. Anneaux quotients. Théorèmes d’isomorphismes pour les anneaux. Arithmétique des anneaux principaux. Corps. Sous corps. Caractéristique d’un corps (Z, K[Z]).
Ch.III. Polynômes à plusieurs indéterminées (3 séances)
Construction de l’anneau de polynômes à coefficients dans un anneau. Polynômes à plusieurs indéterminées à coefficients dans un corps. Formules d’Euler et Formules de Taylor.

M24 : Analyse Numérique 1
Ch. I. Introduction (2 séances)

Principes du calcul numérique : Représentation approchée des nombres, incertitudes, calcul sur ordinateur.
Ch. II. Résolution numériques  d’un système linéaire (4 séances)
Méthodes directes 
Méthodes de Gauss: Décomposition LU; Méthode de Cholesky

Méthodes itératives 
Méthodes de Gauss-Seidel et de Jacobi ; Relaxation.
Ch. III. : Résolution numérique des équations non linéaires (3 séances)
Approche graphique, méthode de dichotomie, méthode de la sécante, méthode de Newton, méthode de la fausse position,
Convergence et ordre de convergence

Ch. IV. Interpolation polynomiale (2 séances)
Méthode de Lagrange. Méthode de Newton côtes. Etude de l’Erreur.

Ch. V. Dérivation et Intégration numérique. (2 séances)
Extrapolation de Richardson. Méthode des trapèzes. Méthode de Simpson.

M25: : Mécanique du solide (cours:18, TD:18; TP: 10)
Champs de vecteurs et torseurs
Cinématique du solide
Cinétique du solide
Liaison mécanique
Dynamique du solide
Théorèmes généraux
Travaux pratiques

M26 : Informatique 4: Structures des données
Structures de données et types abstraits
Structures linéaires: listes, files et piles
Structures arborescentes: arbres binaires, arbres binaire de recherche, tas, hachage, arbre équilibrée.
Graphes: terminologie, représentation, algorithmes de parcours

Contenu des Modules de S5

M27 : Module de topologie
Chapitre I : Espaces métriques
Définition et exemples d’espaces métriques
Boules, ouvert fermé et voisinage
Suites et fonctions dans les espaces métriques
Espace métrique complet
Prolongement des applications uniformément continues
Définitions de compact et caractérisation par le théorème de Bolzano Weirstrass
Fonction continue sur un compact, théorème de Heine
Chapitre II: Espaces topologiques
Définition et exemples d’espaces topologiques
Topologie induite : ouverts et fermés relatifs
Intérieur, adhérence, frontière, point isolé, point d’accumulation
Suites et fonctions dans les espaces topologiques
Topologie produit
Espaces compacts et localement compacts
Espaces connexes
Chapitre III: Quelques théorèmes d’analyse
Théorème du point fixe de Banach , exemples d’application
Famille équicontinue, théorème d’Ascoli
Théorème de Stone Weirstrass

M28 : Module d’Intégration
Clans, tribus et mesures. Mesure de Lebesgue dans R (comme conséquence d'un théorème de prolongement. Fonctions mesurables. Construction de l'intégrale. Fonctions intégrables.
Théorèmes de convergences et applications (Convergence monotone, convergence dominée, intégrales dépendant d'un paramètre).
Liens entre l'intégrale de Riemann et l'intégrale de Lebesgue. Tribu produit et mesure produit. Théorèmes de Fubini. Théorème de changement de variables. Complétude des espaces Lp.
M29 : Module de calcul differentiel
Partie I : Espaces vectoriels normés et espaces de Banach
Définition et exemples d’espaces vectoriels normés
Espaces vectoriels normés de dimension finie
Applications linéaires continues
Applications multilinéaires continues
Définition et exemples d’espaces de Banach
Séries dans les espaces vectoriels normés et caractérisation de la complétude
Partie II : Calcul différentiel dans les espaces de Banach
Définition et exemples d’applications différentiables
Différentielle de la composée
Différentielle d’une application à valeurs dans un espace produit
Différentielle d’une application définie sur un espace produit, différentielle partielle
Théorème des accroissements finis et ses applications
Théorèmes des fonctions implicites et d’inversion locale
Différentielle d’ordre supérieur
Formules de Taylor
Extremum
M30 : Module de Programmation Mathématique
Chapitre 1 : Notions fondamentales (3 séances=4h30)
Introduction : Problème d’optimisation, Problème d’optimisation linéaire, Problème d’optimisation convexe, Problème d’optimisation non linéaire.
Ensembles convexes dans Rn : Définitions et propriétés, Exemples d’ensembles convexes, Operations sur les ensembles convexes, Projection sur un ensemble convexe fermé et séparation de convexes.
Fonctions convexes : Définitions et propriétés, Exemples de fonctions convexes, Opérations sur les fonctions convexes, Caractérisation des fonctions convexes

Chapitre 2 : Optimisation différentiable sans contraintes
(2 séances=3h)
Conditions d’optimalité : Définitions, Conditions d’optimalité du premier et du second ordre.
Méthodes d’optimisation : Méthodes du premier ordre (Principe des méthodes de descente), Méthode du gradient.
Chapitre 3 : Optimisation différentiable avec contraintes (2 séances=3h)
Conditions d’optimalité du premier ordre : Hypothèse de qualifications, Conditions nécessaires de Karush-Kuhn-Tucker.

Chapitre 4 : Méthodes de résolutions pour les problèmes avec contraintes. (6 séances=9h)
Cas des problèmes linéaires (5 séances =7h30) : Définitions et propriétés, Principe de résolution géométrique, Caractérisation des points extrêmes d’un polyèdre, Théorèmes fondamentaux de la programmation linéaire (dualité comprise), La méthode du simplexe.
Méthode des plans sécants de Kelley (1séance=1h30)

M31 : Module d’ Analyse numérique 2

(cours : 19h30, TD :10h30, TP : 12h)
Chapitre 1 : Résolution numérique d’un système d’équations non linéaires (3 séances) :
Méthode de Newton et variantes, méthode de point fixe. Etude de la convergence.
Chapitre 2 Approximation de valeurs et vecteurs propres (4 séances):
Méthode de la puissance itérée, méthode de la puissance inverse, méthode QR. Etude des cas de matrices symétriques et des matrices tridiagonales.
Chapitre3 Méthode des différences finies en dimension 1 et 2 (4 séances) :
Problème de Cauchy et problèmes aux limites.
Chapitre 4 Introduction à la méthode des éléments finis en dimension 1 ( 2 séances).

M32 : MODULE d’Informatique 5 :
PROGRAMMATION ORIENTEE OBJETS (LANGAGE : JAVA ou C++)
Paradigme de programmation
Introduction à la programmation orientée objets
Notion de type abstrait
Notions de classe et objets
Concepts fondamentaux de l’orienté objets (encapsulation, abstraction de données)
Interaction : Association, agrégation
Réutiliser, étendre : Héritage, généricité
Liaison dynamique : polymorphisme
Application à un langage orienté objets (Java ou C++)
RESEAU DES DOYENS DES FACULTES DES SCIENCES




Projet final

Adopté par le réseau des doyens des Facultés des Sciences
à Marrakech, le 16 novembre 2013

de la

Filière Licence Fondamentale
Sciences Mathématiques et Informatique
SMI 2014

Décembre 2013
ARCHITECTURE ET CONTENU DES MODULES DE LA FILIERE SMI
De S1 à S6

S1
SMIAM1

Analyse 1 :
Suites Numériques et FonctionsM2

ALGEBRE 1:
Généralités et Arithmétique dans ZM3

ALGEBRE 2:
Structures, Polynômes et Fractions RationnellesM4

Physique 1 :
Mécanique 1M5

Physique 2 :
ThermodynamiqueM6

Informatique 1 : Introduction à l’informatiqueM7

LT IS2
S2 SMIAM8

Analyse 2: IntégrationM9

Analyse 3 :
Formule de Taylor, Développement Limité et ApplicationsM10

ALGEBRE 3:
Espaces Vectoriels, Matrices et Déterminants M11

Physique 3 : Electrostatique et ElectrocinétiqueM12

Physique 4 : Optique 1
M13

Informatique 2 : Algorithmique IM14

LT II
S3 SMIM15

PROGRAMMATION IM16

ALGORITHMIQUE IIM17

SYSTEME D’EXPLOITATION IM18
PROBABILITES -STATISTIQUESM19
TECHNOLOGIE DU WEBM20

ELECTRONIQUES4 SMIM21
PROGRAMMATION IIM22
STRUCTURES DE DONNEESM23
SYSTEME D’EXPLOITATION IIM24
ANALYSE NUMERIQUEM25
ARCHITECTURE DES ORDINATEURSM26
ELECTROMAGNETISME
S5
SMIM27
BASES DE DONNEESM28
COMPILATIONM29
RESEAUXM30
RECHERCHE OPERATIONNELLE M31
CONCEPTION ORIENTEE OBJETS (UML)M32
PROGRAMMATION ORIENTEE OBJETS (LANGAGE : JAVA ou C++)S6
SMIM33
Module MajeurM34
Module MajeurM35
Module optionnelM36
Module optionnelM37
PT 1M38
PT 2

FILIERE SMI
ACCREDITATION 2014
PROGRAMME NATIONAL DE S1 À S5

MODULES DE S1
M1 : Analyse 1 : Suites Numériques et Fonctions
Ch. I. Nombres réels (2 Séances)
Majorant, Minorant, Borne supérieure et borne inférieure, caractérisation de IR par la propriété de la borne supérieure, Propriété d’Archimède, partie entière, densité dans un intervalle de IR, densité de Q dans IR, approximation décimale d’un nombre réel.
Ch. II. Suites numériques (4 Séances)
Suites, convergence, opérations sur les limites suites, limites usuelles, limites séquentielles, Suites monotones, Suites adjacentes (erreur d’approximation de la limite), Critères de convergence, Suites extraites, Valeurs d’adhérence et Théorème de Bolzano Weierstrass ; suites de cauchy ; Suites récurrentes.
Ch. III. Fonctions réelles d’une variable réelle (4 Séances)
Limite d’une fonction, caractérisation séquentielle des limites, Opérations algébriques sur les limites, Continuité, Théorème des valeurs intermédiaires, image d’un intervalle et d’un segment par une application continue; fonction monotone, Théorème de la limite monotone, Théorème de la bijection. Fonctions réciproques des fonctions circulaires et hyperboliques. Continuité uniforme, fonctions lipschitzienne, Théorème de Heine.
Ch. IV. Fonctions dérivables (3 Séances)
Définition de la dérivée (à gauche et à droite). Interprétation géométrique de la dérivée, Opérations sur les dérivée, dérivation de la fonction réciproque. Théorèmes de Rolle et des accroissements finis.

M2 : ALGEBRE 1: Généralités et Arithmétique dans Z

Ch. I. Notions de logique et langage de base de la théorie des ensembles (3 Séances)
Propositions. Connecteurs. Quantificateurs. Raisonnements logiques. Ensembles. Parties d’un ensemble. Opérations sur les ensembles. Recouvrement. Partition.
Ch. II. Relations binaires et Applications (4 séances)
Relations binaires, Relations d’équivalences. Relations d’ordre. Bornes supérieurs. Bornes inférieurs. Fonctions. Applications. Composée. Images directes. Images réciproques. Injections. Surjection. Bijection. L’ensemble N.
Ch. III. Arithmétique dans Z (6 séances)
Divisibilité dans Z. Division euclidienne. pgcd, ppcm. Numérotation. Algorithme d’Euclide. Théorème de Bézout, théorème de Gauss. Nombres premiers, décompositions en nombres premiers. Congruences. Anneau Z/nZ. Le corps Z/pZ . Indicateur d’Euler

M3 : ALGEBRE 2: Structures, polynômes et fractions rationnelles

Ch. I. Structures usuelles (4 Séances)
Groupes. Exemple de groupes. Groupe symétrique. Groupe produit. Sous groupes. Homomorphismes de groupes. Anneaux, Sous anneaux, Idéaux, Homomorphismes
d’ anneaux, Corps, les corps R et C
Ch. II. Polynômes (5 Séances)
Notions de base sur les polynômes à une indéterminée: Définitions et structure. Degrés. Fonctions polynômiales. Racines d’un polynôme. Polynôme dérivé. Formule de Taylor.
Propriétés arithmétiques des polynômes à coefficients dans R ou C.
Théorème d’Alembert- Gauss
Ch.III. Fractions rationnelles (4 séances)
Fractions rationnelles. Décomposition en éléments simples dans R(X) et dans C(X)

M4 : Physique 1 : Mécanique 1  (cours:18, TD:18; TP: 10)
Rappels mathématiques (Opérations sur les vecteurs, Opérateurs différentiels.)
Systèmes de coordonnées (Cartésiennes, cylindriques et sphériques)
Cinématique du point matériel sans et avec changement de référentiel.
Dynamique du point matériel.
Travail, énergie, théorème de l’énergie cinétique.
Les forces centrales : application à la mécanique céleste.
Système de deux particules, les chocs.
Les oscillateurs harmoniques.

M5 : Physique 2 : Thermodynamique 1 (cours:18, TD:18; TP: 10)
Outils mathématiques pour la thermodynamique.
Définitions et concepts de bases (travail et chaleurs, thermométrie et calorimétrie, changements d'état).
1er principe et applications.
2éme principe et applications.
Introduction aux cycles thermodynamiques et machines thermiques.
Potentiels thermodynamiques. 
M6 : Informatique 1 : Introduction à l informatique
Histoire de l’informatique
Structure des ordinateurs
Langages de programmation
Réseaux et Internet
Le codage 

M7: Langue et Terminologie IContenu en phase d’élaboration par la sous commission langue de la commission MT issue de la CPU
MODULES DE S2
M8 : Analyse 2: Intégration
Ch. I. Intégrale de Riemann (3 séances)
Subdivisions, Fonction en escalier, Intégrale d’une fonction en escalier, Intégrale au sens de Riemann, Formules de la moyenne.
Ch. II. Calcul des primitives (4 séances)
Théorèmes de calcul intégral. Intégration par parties. Changement de variables. Primitives des fonctions usuelles et des fractions rationnelles, trigonométriques, hyperboliques.
Ch. II. Intégrale généralisée (3 séances)
Définitions et exemples. Critères généraux de convergence.
Ch. IV. Equations différentielles (3 séances)
Equations différentielles du premier ordre : Equations linéaires du premier ordre. Exemples d’étude d’équations différentielles non linéaires du premier ordre. Equations différentielles linéaires du second ordre : Equations linéaires du second ordre à coefficients constants. Exemples d’équations à coefficients non constants.
M9 : Analyse 3 : Formules de Taylor, Développement Limité et Applications
Ch. I. Formule de Taylor et applications (4 séances)
Dérivées d’ordre supérieur. Formules de Taylor, Variation des fonctions et dérivation. Extremums relatifs, convexité.
Ch. II. Développement limité et applications (4 séances)
Définitions et opérations sur les Développements limités. Notation de Landau. Comparaison locale des fonctions. Les équivalents. Applications (limites et étude asymptotique). Développements limités généralisés.
Ch. III. Courbes paramétrées et courbes polaires (5 séances)
Fonctions vectorielles à variable réelle. Limite, dérivée d'une fonction vectorielle. Constructions des courbes planes. Courbes définies en coordonnées polaires. Repère mobile Tangente en un point. Concavité et branches infinies, Construction des courbes polaires.
M10 : ALGEBRE 3: Espaces Vectoriels, Matrices et Déterminants
Ch. I. Résolutions des systèmes linéaires par la méthode de Gauss (2 séances)
Système linéaires. Opérations élémentaires. Méthode de Gauss pour la résolution des systèmes linéaires.
Ch. II. Espaces vectoriels (3 séances)
Espaces vectoriels. Sous espaces vectoriels. Famille génératrice. Famille libre. Bases. Somme et somme directe de sous espaces.
Applications linéaires: Définitions et notations. Image directe. Image réciproque. Noyau. Opérations sur les applications linéaires.
Ch. III. Espaces vectoriels de dimension finie (3 séances)
Définition. Sous espace d’un espace vectoriel de dimension finie. Rang d’un système de vecteurs. Rang d’une application linéaire. Théorème du rang.
Ch. IV. Matrices (2 séances)
Opérations sur les matrices. Algèbre des matrices carrées. Matrices inversibles. Matrice d’un système de vecteurs. Rang d’une matrice. Matrice d’une application linéaire. Changement de bases.
Ch. IV. Déterminant et applications (3 séances)
Définition et Propriétés des déterminants. Application du déterminant au calcul du rang, à l'inversion d’une matrice et à la résolution des systèmes linéaires.
M11 : Physique 3 : Electrostatique et Electrocinétique (cours:18, TD:18; TP: 10)
Partie 1 : Electrostatique
Chapitre I: Charges électriques -loi de Coulomb
Chapitre II : Champ électrostatique - potentiel électrostatique
Théorème de Gauss - Conducteurs électriques en équilibre – Phénomène d’influence- Etude des condensateurs - Energie électrostatique- Energie d’un conducteur- Energie de systèmes de conducteurs - Energie des condensateurs
Partie 2: Electrocinétique
Chapitre I: Courant électrique - densité de courant - conductivité, mobilité et résistivité d’un conducteur - loi d’Ohm microscopique - résistance électrique -Loi d’ohm - générateurs et récepteurs
Chapitre II: - Etude des réseaux électriques : loi de Pouillet - Lois de Kirchhoff- théorème de Thévenin - théorème de Norton - théorème de superposition - Transformation étoile triangle.
M12 : Physique 4 : Optique 1 (cours:18, TD:18; TP: 10)
Notions fondamentales de l’optique géométrique (postulats, indice d’un milieu, rayon lumineux, espace objet, espace image, principe de Fermat, lois de Snell-Descartes, stigmatisme, approximation de Gauss).
. Miroirs et Dioptres (plans et sphériques, prisme).
. Fibres optiques.
. Systèmes centrés (éléments cardinaux, lentilles, …).
. Associations des systèmes centrés.
. Etudes de quelques instruments d'optique (lunette astronomique, télescope, loupe, microscope….).

M13 : Informatique 2 : Algorithmique I
Introduction à l’algorithmique
Instructions élémentaires
Structures de contrôle: conditionnelles, répétitives.
Les tableaux.

M14: Langue et Terminologie IContenu en phase d’élaboration par la sous commission langue de la commission MT issue de la CPU MODULES DU SEMESTRE S3

M15 : Algoritmique II
Fonctions et procédures
La récursivité
Enregistrements et fichiers
La complexité
Preuves d’algorithmes.

M16 : Programmation I
Introduction
Types de base, variables, constantes
Opérateurs et expressions
Les entrées sorties en C
Les structures de contrôle
Les tableaux
Les pointeurs

M17 : SYSTEME D’EXPLOITATION I
INTRODUCTION AUX SYSTEMES D’EXPLOITATION
LES COMMANDES DE BASE DU SYSTEME UNIX
LA PROGRAMMATION SHELL


M18 : PROBABILITE ET STATISTIQUE
Analyse combinatoire
Variables aléatoires discrètes
Variables aléatoires continues
Estimation ponctuelle
Estimation par intervalle de confiance
Tests d’hypothèses


M19 : TECHNOLOGIE DU WEB
INTRODUCTION AU WEB
PROTOCOLLE HTTP
LANGAGE HTML
FEUILLE DE STYLE CSS
LANGAGE JAVA SCRIPT

M20 : ELECTRONIQUE
Logique de boole
Logique combinatoire
Logique séquentielle
Application: circuits séquentiels, circuits logiques, unités arithmétiques et logiques.

MODULES DU SEMESTRE S4

M21 : PROGRAMMATION II
Pointeurs et allocation dynamique
Les chaines de caractères
Les fonctions
Types composés (structures, unions, synonymes)
Les fichiers
Complément: compilation séparée, directives du processeur

M22 : STRUCTURES DES DONNEES
Structures de données et types abstraits
Structures linéaires: listes, files et piles
Structures arboréscentes:arbres binaires, arbres binaire de racherche, tas, hachage, arbre équilibrée.
Graphes: terminologie, représentation, algorithmes de parcours.

M23 : SYSTEME D’EXPLOITATION II
Processus
Ordonnancement des processus
Gestion de la mémoire
Systèmes de gestion de fichiers
Communication interprocessus
Introduction à la programmation système
M24 : Analyse Numérique
Ch. I. Introduction 
Principes du calcul numérique : Représentation approchée des nombres, incertitudes, calcul sur ordinateur.

Ch. II. Résolution numériques  d’un système linéaire (4 séances)
Méthodes directes 
Méthodes de Gauss: Décomposition LU; Méthode de Cholesky

Méthodes itératives 
Méthodes de Gauss-Seidel et de Jacobi ; Relaxation.

Ch. III. : Résolution numérique des équations non linéaires (3 séances)
Approche graphique, méthode de dichotomie, méthode de la sécante, méthode de Newton, méthode de la fausse position,
Convergence et ordre de convergence

Ch. IV. Interpolation polynomiale (2 séances)
Méthode de Lagrange. Méthode de Newton côtes. Etude de l’Erreur.

Ch. V. Dérivation et Intégration numérique. (2 séances)
Extrapolation de Richardson. Méthode des trapèzes. Méthode de Simpson.

M25 : ARCHITECTURE DES ORDINATEURS
Introduction à l’architecture des ordinateurs
Unités fonctionnelles
Introduction à la programmation en assembleur
Architecture étudiée
Mode d’adressage
Jeu d’instruction
Accès aux entrées sorties

M26 : ELECTROMAGNETISME
Magnétostatique : Champ d’induction, Propriétés de l’induction magnétiques, Loi de Laplace, Théorème d’Ampère, potentiel vecteur, loi de Biot et Savard, application (étude des symétries et calcul de l’induction magnétique, Effet Hall).
Courant alternatif : comportant des composants résistifs, capacitifs et inductifs-énergie des circuits.
Equations de Maxwell dans le vide : Induction magnétique, potentiels scalaire et vectoriel « en jauge de Lorentz ».
Ondes électromagnétiques dans le vide
Equations locales, Intégrales et relations de passage, énergie magnétique
MODULES DU SEMESTRE S5

M27 : BASES DE DONNEES
Introduction aux systèmes d’information et bases des données.
Les Systèmes de Gestion des bases des données.
Le modèle entité association.
Le modèle relationnel.
L’algèbre relationnelle.
SQL.

M28: COMPILATION
Automates finis et expression régulière.
Grammaires hors contexte et automates à pile.
Analyse lexicale.
Analyse syntaxique.
Analyse sémantique.
Génération de code.

M29: RESEAUX
Introduction aux réseaux informatiques (topologie et classification des réseaux).
Le modèle OSI.
Transmission et liaison de données.
Adressage.
Routage, commutation dans les réseaux.

M30: RECHERCHE OPERATIONNELLE
Programmation linéaire : Méthode de simplexe et dualité
Programmation en nombres entiers
Terminologie des graphes
Algorithmes du chemin critique
Problème du flot optimal
La méthode PERT
File d’attente

M31 : CONCEPTION ORIENTEE OBJETS (UML)
Introduction à la conception orientée objets.
Diagramme des cas d’utilisation.
Diagramme de séquences.
Diagramme de classes.
Diagramme d’objets.
Diagramme des composants.
Diagramme des pacquages.
Diagramme d’état transition.
Diagramme d’activités.
Les différents diagrammes sont illustrés à travers une étude de cas.
M32 : PROGRAMMATION ORIENTEE OBJETS (LANGAGE : JAVA ou C++)
Paradigme de programmation
Introduction à la programmation orientée objets
Notion de type abstrait
Notions de classe et objets
Concepts fondamentaux de l’orienté objets (encapsulation, abstraction de données)
Interaction : Association, agrégation
Réutiliser, étendre : Héritage, généricité
Liaison dynamique : polymorphisme
Application à un langage orienté objets (Java ou C++)















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