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Marc Rogalski

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Plan

I. Pourquoi renforcer les liens math-physique (ou biologie…) au lycée scientifique ?

Ce sera la conclusion !

A. Les maths ne se suffisent pas à elles-mêmes pour tous
B. Des notions physiques exigent des concepts mathématiques profonds
C. L'origine et/ou le sens physique de notions mathématiques peuvent aider les élèves à les conceptualiser

II. Mais…la physique n'est ni facile ni simple

Ce sera la partie atelier

* Manuels et enseignants de math
* Manuels et bac de physique
* Des étudiants de première année d'université
* Tests de didactique de la physique

III. Modélisations et liens math-physique

IV. Annexe sur l'intégrale

Bibliographie
II. Mais…la physique n'est ni facile ni simple

1/ Dans un manuel de physique

Exercice 1. "Chute d'une pierre… on admet que la résistance est proportionnelle à la vitesse…"
Solution :
m v' = - k v + mg, v = \f(mg;k) + (v0 - \f(mg;k)) e-(k/m)t,
x = x0 + \f(mg;k) t - \f(m;k) (v0 - \f(mg;k)) e-(k/m)t.
Exercice 2. (2 pages plus loin ) "Mouvement d'un bateau lorsque le moteur s'arrête & on admet que la résistance est proportionnelle au carré de la vitesse& "
Solution :
m v' = - k v2, v(t) = \f(m;k) \f(1;t + m/(kv0)) , d(t) = \f(m;k) ln( \f(k v0;m) t + 1) :
v(t) Æð ð0 et d(t) Æð ð+" quand t Æð ð+".

Qu'en pensez-vous ?
[Aucun commentaire, aucune explication physique, rien sur des hypothèses de modélisation et leurs domaines de validité (comportement de v2 pour v petite, pour v grande& ), sur leur confrontation à la réalité& un bateau continue-t-il indéfiniment ?

Les variantes m v' = - k vað, avec 1 ¬>®>ì>î>N?P?l?n?¸?¼?Â?Î?Ò?@®A¯A°A€B‚BøðøðèÝðèðÕðÕðÇðÇðÇðÇðÇð¿ðÇðÇ𱣒£‚r£`#jhs(#CJ0OJQJU^JaJ0hs(#CJ$EHOJQJ^JaJ$hs(#CJ0EHOJQJ^JaJ0 hs(#5CJ0OJQJ\^JaJ0hs(#CJ0OJQJ^JaJ0hs(#CJ$OJQJ^JaJ$hs(#CJaJhs(#CJ$OJQJ^JaJ$hs(#CJ0aJ0hs(#5CJ$\aJ$hs(#CJaJhs(#CJ$aJ$hs(#CJ(aJ(%*;*CJ$aJ$hs(#hs(#CJ$OJQJ^JaJ$hs(#56CJ$\]aJ$hs(#CJ$EH
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$$1$Ifa$$1$If1$$1$a$n" \f(d2qð;dt2) , le moment total M de ces forces par rapport à D vérifie la relation M = I \f(d2qð;dt2) .
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Une telle définition est en fait une loi-définition décrivant un phénomène à base expérimentale et rationnelle, au moyen de grandeurs déjà définies (forces, moment d'une force, accélération angulaire) : le rapport M /qð" ne dépend que du solide et de son axe, et non du système de forces qu'on applique à ce solide ; c'est ce rapport qu'on appelle moment d'inertie, noté I (voir figure).
Cette définition ne nous dit pas comment caractériser le moment d'inertie de Gð par rapport à D, de façon à pouvoir le calculer a priori, sans faire subir à Gð une "épreuve physique" au cours de laquelle on ferait des mesures (ce qui n'est pas toujours réalisable, surtout quand l'une des grandeurs est définie mathématiquement comme une dérivée seconde).
La caractérisation prend alors nécessairement une forme locale ou ponctuelle, au moyen d'une expérience imaginaire mettant en jeu des concepts idéaux irréalisables dans la pratique, et qui permet de supprimer toutes les conditions concrètes qui rendaient le calcul impossible : étendue de Gð dans l'espace, caractère inhomogène de sa constitution.
On imagine la notion de "point matériel" de masse m, localisé en un point M de l'espace (ce qui est une pure fiction), à une distance r de la droite D, et l'application de la définition globale à cette situation imaginaire donne le moment d'inertie de cette masse ponctuelle par rapport à D : I = mr2 (rappelons que si \o(F;Æð) est une force agissant sur le point M, et si O est un point de D, le moment de \o(F;Æð) par rapport à D est M = (\o(OM;Æð)Ÿð\o(F;Æð)).\o(u;Æð), où \o(u;Æð) est un vecteur unitaireporté par D ; on calcule l'accélération de rotation qð" de la masse ponctuelle, et on exprime le rapport M /qð"). On pourra alors dire que localement I = mr2, au sens où si on découpe un petit morceau de masse "m de Gð dont les points sont à peu près à la distance r de D, le moment d'inertie de ce petit morceau de Gð sera à peu près "I = "mr2. Bien sûr, il faudra préciser le sens des mots "à peu près", cela d'autant plus que si on découpe Gð en petits morceaux, plus ils seront petits (pour que l'erreur par rapport à une "vraie" (!) masse ponctuelle soit petite), plus ils seront nombreux, et plus la somme des petites erreurs risquera d'être grande…
Comment alors passer d'une caractérisation ponctuelle ou locale théorique de l'expression d'une grandeur (en fonction d'autres) à un calcul global, ou même à une définition globale ? Il s'agit essentiellement de la procédure intégrale, qui formalise le découpage de l'objet, pour lequel on veut calculer la mesure de la grandeur en question, en petits morceaux, et la reconstitution de la mesure globale à partir des petits morceaux par sommation, encadrement et passage à la limite. L'outil mathématique adapté à cette procédure (qui la formalise) est l'intégrale, et il s'agit en général de l'intégrale d'une fonction de une, deux ou trois variables.
Pour bien comprendre cette procédure, élargissons la question de la mesure d'une grandeur lorsque les formules usuelles suivantes, valables quand les premiers facteurs sont constants ou ponctuels, n'ont plus de sens parce que ces premiers facteurs ne sont plus constants :

densité constante ¥ð volume = masse ;
hauteur constante ¥ðlongueur de la base = aire ;
hauteur constante ¥ðaire de la base = volume ;
vitesse constante ¥ð temps = distance parcourue ;
force constante ¥ð déplacement (colinéaire) = travail ;
pression constante ¥ð surface = force ;
(distance constante à un axe)2 ¥ð masse ponctuelle = moment d'inertie ;
(inverse de la distance constante)2 ¥ð produit des masses ponctuelles = attraction.

Presque toutes ces formules, en fait, définissent une grandeur physique à partir d'autres lorsque les premiers facteurs sont constants.
Les deuxièmes facteurs sont associés à des "domaines" W sur lesquels sont définis les premiers facteurs, supposés maintenant être des fonctions f non constantes : densité ou pression en un point de W, hauteur au-dessus d'un point de la base W, pression en un point d'une surface W, distance d'un point de W à l'axe, etc … De plus on peut définir la "mesure" d'une partie de W, ou du moins d'une classe de parties de W : aire, volume, masse, distance parcourue, temps entre deux instants, sont supposés définis pour ces parties de W.

On se propose donc de savoir à quelles conditions on peut mesurer, ou même définir une grandeur I(W, f) attachée à un phénomène physique décrit par le domaine W et la fonction f définie sur ce domaine.
Les conditions raisonnables pour parler de la grandeur cherchée sont les 3 principes qui suivent, issus de considérations physiques ; le premier renvoie à la définition du type de grandeur étudiée, les deux autres sont des propriétés de ces grandeurs, dont le sens est immédiat sur les exemples cités :
(1) si f est constante (f = C), I(W, f) = C ¥ð mesure(W) [les formules ci-dessus !] ;
(2) l'additivité par rapport au domaine (une "relation de Chasles") : si W = W1»ðW2, avec W1«ðW2 de mesure nulle (par exemple s'il est vide), alors I(W, f) = I(W1, f) + I(W2, f) ;
(3) la croissance : si f d" g, I(W, f) d" I(W, g).

Chaque fois qu'on a à calculer une grandeur de la forme I(W, f) vérifiant les principes (1), (2), (3), on procédera de la façon suivante :
* on découpe l'ensemble W en "petits" morceaux Wi ;
* on encadre la fonction f entre mi et Mi sur Wi (ses bornes inférieures et supérieures sur Wi) ;
* par sommation, on peut encadrer I(W, f) par des "sommes inférieures" et "supérieures" :
\i\su (i = 0;n-1; mi )mesure(Wi) et \i\su(i = 0;n-1; Mi mesure(Wi)) ;
* enfin, on essaie de passer à la limite en prenant des Wi de plus en plus petits.
La procédure intégrale est donc formée de ces 4 étapes :

\x( découpage, encadrement, sommation, passage à la limite ).

Cette procédure amène ainsi à encadrer I(W, f) entre " mi mesure(Wi) et " Mi mesure(Wi), avec des Wi disjoints (ou ne se coupant que selon des ensembles de mesure nulle).
On obtient ainsi ce qu'on appelle l'intégrale de fonctions étagées " li indicatrice(Wi), et on souhaite passer à la limite pour obtenir l'intégrale d'autres fonctions, par exemple de fonctions continues … si cela marche !
Avant de savoir dans quelles conditions cela peut marcher, il faut préciser un peu plus la nature des ensembles Wi et la nature de leur mesure, d'une part, et quel type de limite on souhaite prendre, de l'autre. Nous ne donnerons des indications, ici, que pour le cas des fonctions d'une variable, c'est-à-dire lorsque W = [a, b].
On a alors, pour chacune de ces deux questions, deux choix "raisonnables" (c'est-à-dire simples, ou dictés par ce qu'on a appris à faire antérieurement, ou adaptés au problème qu'on veut résoudre) :

(a1) les Wi sont des intervalles, et leur mesure est leur longueur ;
(a2) les Wi sont les éléments d'une tribu, avec pour mesure la mesure de Lebesgue ;
(b1) l'approximation se fait en approchant uniformément f par des fonctions étagées (on prend une condition de Cauchy pour la norme uniforme, en supposant f bornée) ;
(b2) l'approximation se fait directement au moyen de l'intégrale (la condition de Cauchy dit que l'intégrale d'une certaine fonction étagée doit être petite).

En recoupant ces deux choix, on trouve 4 théories classiques de l'intégration :

(a1b1) : l'intégrale des fonctions réglées ;
(a1b2) : l'intégrale de Darboux des fonctions bornées Darboux-intégrables (c'est aussi l'intégrale de Riemann) ;
(a2b1) : l'intégrale de Lebesgue des fonctions mesurables bornées (c'est la définition initiale de Lebesgue) ;
(a2b2) : l'intégrale de Lebesgue des fonctions Lebesgue-intégrables.

Quelle que soit la théorie de l'intégration adoptée, et la construction choisie (il y en a d'autres, plus ou moins efficaces et plus ou moins naturelles), c'est la procédure intégrale ici décrite, et donc l'une des 4 intégrales ci-dessus, qui apparaît quand on se propose de calculer ou de définir une grandeur géométrique, physique, …
Dans la pratique, on trouve dans les manuels de physique des phrases du type : " le potentiel d'un élément de charge q"x est égale à \f(q"x;x) , donc le potentiel total est \i( a; b; \f(q;x) dx) ". L'espèce de "miracle" par lequel à partir de l'écriture ""x" et de l'invocation "d'éléments" de charge (ou de masse ou& ) on fait surgir le signe intégral n'est rien d'autre q8ý:ýhýlýnýHÿLÿNÿPÿRÿBD¤¶àâç+ØÜ
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