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Correction du TD de Probabilité de la première année d'IUT Chimie ...

Correction du TD de Probabilité de la première année d'IUT Chimie de Castres. ... de Heaviside[2], et une intégrale plus raffinée, l'intégrale de Lebesgue[3].




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Correction du TD de Probabilité de la première année d’IUT Chimie de Castres.



Feuille TD sur v.a. continues (feuille 2).

Exercice 3 :
1. Pour que  EMBED Equation.DSMT4  soit une fonction de densité de probabilité il faut que  EMBED Equation.DSMT4  soit une fonction de répartition.
Rappelons les propriétés de la fonction de densité :
1.  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 
2.  EMBED Equation.DSMT4  est intégrable,  EMBED Equation.DSMT4 .
La première propriété est vérifiable en lecture directe. Pour la deuxième voici :
 EMBED Equation.DSMT4 
Remarque : il est possible d’écrire ce calcul de façon formel, mais il faut utiliser la fonction de Heaviside, et une intégrale plus raffinée, l’intégrale de Lebesgue. La fonction de Heaviside n’est pas très compliquée à appréhender, vous pouvez l’essayer, mais l’intégrale de Lebesgue c’est une autre paire de manches !
2.
 EMBED Equation.DSMT4  EMBED Equation.DSMT4  EMBED Equation.DSMT4 .
 EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 .
 EMBED Equation.DSMT4 .

Exercice 4 :
Pour une fois je ne donne pas la correction, demandez-moi la si vous la voulez réellement.

Exercice 5 :
Calculons la fonction de répartition, nous savons que sa limite à l’infini vaut 1 :
 EMBED Equation.DSMT4  EMBED Equation.DSMT4 
Donc  EMBED Equation.DSMT4 .
2) On peut s’aider de plusieurs propriétés pour le calcul de l’espérance comme les deux suivantes :
- l’espérance d’une v.a. translaté de a, augmente de a.
- l’espérance d’une v.a. paire vaut 0.
Ici  EMBED Equation.DSMT4  est la translaté de  EMBED Equation.DSMT4  de  EMBED Equation.DSMT4 , et cette dernière est paire :  EMBED Equation.DSMT4 … donc  EMBED Equation.DSMT4 .

On aurait aussi pu calculer directement…
 EMBED Equation.DSMT4  EMBED Equation.DSMT4  EMBED Equation.DSMT4  EMBED Equation.DSMT4 .
Pour rappel : EMBED Equation.DSMT4 , or  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 , d’où la conclusion :  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 , mais comme vous laurez remarqué c’est inutile dans ce calcul…

De même on sait que la variance d’une variable translaté ne change pas ; il suffit donc de calculer la variance de
 EMBED Equation.DSMT4 Or  EMBED Equation.DSMT4  (puisque notre fonction de référence est  EMBED Equation.DSMT4 ).
Donc  EMBED Equation.DSMT4 .

 EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4  EMBED Equation.DSMT4 
Car  EMBED Equation.DSMT4 .
Donc  EMBED Equation.DSMT4 .

Essayez de démontrer les propriétés utilisées…

 Quand on parle d’une fonction on doit écrire « f », car « f(x) » n’est pas une fonction mais l’image d’un antécédent …
 Oliver Heaviside (18 mai, 1850 - 3 février, 1925) était un physicien britannique autodidacte.
 Henri-Léon Lebesgue (28 juin 1875 à Beauvais - 26 juillet 1941 à Paris) est un mathématicien français.