Correction du TD de Probabilité de la première année d'IUT Chimie ...
Correction du TD de Probabilité de la première année d'IUT Chimie de Castres.
... de Heaviside[2], et une intégrale plus raffinée, l'intégrale de Lebesgue[3].
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Correction du TD de Probabilité de la première année dIUT Chimie de Castres.
Feuille TD sur v.a. continues (feuille 2).
Exercice 3 :
1. Pour que EMBED Equation.DSMT4 soit une fonction de densité de probabilité il faut que EMBED Equation.DSMT4 soit une fonction de répartition.
Rappelons les propriétés de la fonction de densité :
1. EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4
2. EMBED Equation.DSMT4 est intégrable, EMBED Equation.DSMT4 .
La première propriété est vérifiable en lecture directe. Pour la deuxième voici :
EMBED Equation.DSMT4
Remarque : il est possible décrire ce calcul de façon formel, mais il faut utiliser la fonction de Heaviside, et une intégrale plus raffinée, lintégrale de Lebesgue. La fonction de Heaviside nest pas très compliquée à appréhender, vous pouvez lessayer, mais lintégrale de Lebesgue cest une autre paire de manches !
2.
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 .
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 .
EMBED Equation.DSMT4 .
Exercice 4 :
Pour une fois je ne donne pas la correction, demandez-moi la si vous la voulez réellement.
Exercice 5 :
Calculons la fonction de répartition, nous savons que sa limite à linfini vaut 1 :
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4
Donc EMBED Equation.DSMT4 .
2) On peut saider de plusieurs propriétés pour le calcul de lespérance comme les deux suivantes :
- lespérance dune v.a. translaté de a, augmente de a.
- lespérance dune v.a. paire vaut 0.
Ici EMBED Equation.DSMT4 est la translaté de EMBED Equation.DSMT4 de EMBED Equation.DSMT4 , et cette dernière est paire : EMBED Equation.DSMT4
donc EMBED Equation.DSMT4 .
On aurait aussi pu calculer directement
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 .
Pour rappel : EMBED Equation.DSMT4 , or EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 , doù la conclusion : EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 , mais comme vous laurez remarqué cest inutile dans ce calcul
De même on sait que la variance dune variable translaté ne change pas ; il suffit donc de calculer la variance de
EMBED Equation.DSMT4 Or EMBED Equation.DSMT4 (puisque notre fonction de référence est EMBED Equation.DSMT4 ).
Donc EMBED Equation.DSMT4 .
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4
Car EMBED Equation.DSMT4 .
Donc EMBED Equation.DSMT4 .
Essayez de démontrer les propriétés utilisées
Quand on parle dune fonction on doit écrire « f », car « f(x) » nest pas une fonction mais limage dun antécédent
Oliver Heaviside (18 mai, 1850 - 3 février, 1925) était un physicien britannique autodidacte.
Henri-Léon Lebesgue (28 juin 1875 à Beauvais - 26 juillet 1941 à Paris) est un mathématicien français.