Exercice II Pluton & Charon (5pts)
Généralités. 1.1. Un mouvement est circulaire et uniforme si la trajectoire est un
cercle et la valeur de la vitesse est constante. 1.2. Pour observer un mouvement
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Afrique 2008 EXERCICE II. PLUTON ET CHARON (5 points)
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1. Généralités
Un mouvement est circulaire et uniforme si la trajectoire est un cercle et la valeur de la vitesse est constante.
Pour observer un mouvement circulaire uniforme, le vecteur accélération EMBED Equation.DSMT4 du mobile doit être radial (porté par le rayon du cercle), centripète (orientée vers le centre du cercle) et de norme constante.
1.3.
Force d'interaction gravitationnelle EMBED Equation.DSMT4 exercée par le corps A sur le corps B :
EMBED Equation.DSMT4
2. Étude du système Pluton - Charon
2.1. Période de révolution
La période de révolution de Pluton est la durée nécessaire pour que Pluton fasse un tour complet autour du Soleil, soit 248 années sidérales.
2.2. Étude du mouvement de Charon
2.2.1. Appliquons la deuxième loi de Newton au centre dinertie G de Charon de masse MC dans le référentiel plutonocentrique galiléen :
EMBED Equation.DSMT4
Or EMBED Equation.DSMT4 donc EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4
En simplifiant par MC il vient : EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4
Caractéristiques du accélération EMBED Equation.DSMT4 :
- direction : droite Pluton-Charon (direction radiale)
- sens : de Charon vers Pluton : vecteur centripète car dirigé selon - EMBED Equation.DSMT4 .
- norme : EMBED Equation.DSMT4 : la norme est constante car G, MP1 et R sont constants.
2.2.2. Le vecteur accélération est radial, centripète et de norme constante. Daprès la question 1.2. ces deux conditions satisfont à un mouvement circulaire et uniforme.
Dautre part, dans le cas dun mouvement circulaire et uniforme, le vecteur accélération sécrit aussi : EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 avec EMBED Equation.DSMT4 vecteur unitaire tel que EMBED Equation.DSMT4
Et EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4
En identifiant les deux expressions de EMBED Equation.DSMT4 , il vient : EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4
v² = EMBED Equation.DSMT4 finalement : v = EMBED Equation.DSMT4 (en ne gardant que la solution positive).
2.2.3. La période de révolution T de Charon autour de Pluton, est la durée pour que Charon fasse un tour complet autour de Pluton (parcourant ainsi la distance 2(R) à la vitesse v.
Ainsi v = EMBED Equation.DSMT4 ( T = EMBED Equation.DSMT4
2.2.4. Reportons lexpression de v dans celle de T :
T = EMBED Equation.DSMT4
En élevant au carré : T² = 4(². EMBED Equation.DSMT4 Finalement : EMBED Equation.DSMT4
2.3. Détermination de la masse de Pluton
2.3.1. La détermination de la masse de Pluton, à partir de 1978, a été faite à partir de la période de révolution T de Charon autour de Pluton et de la distance moyenne R entre Pluton et Charon.
2.3.2. On a : EMBED Equation.DSMT4 avec R en m et T en s !!
MP1 EMBED Equation.DSMT4 = 1,42.1022 kg.
Remarque : on vérifie bien que MP1 > MC
avec environ un facteur 10 seulement.
2.3.3. Avec la relation : EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 il vient : EMBED Equation.DSMT4
soit finalement : EMBED Equation.DSMT4 = MP1 MC
MP2 EMBED Equation.DSMT4 = 1,26.1022 kg
2.3.4. La valeur admise pour la masse de Pluton est 1,31.1022 kg. Cette valeur est plus proche de 1,26.1022 kg (écart relatif de EMBED Equation.DSMT4 = 4%) que de 1,42.1022 kg (écart relatif de EMBED Equation.DSMT4 = 8%).
On ne peut donc pas négliger la masse de Charon devant celle de Pluton. Lhypothèse formulée au 2.3.3. est sans doute vraie.
EMBED Equation.DSMT4
P
C
R
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
Image de Pluton et Charon, prise par le télescope spatial Hubble, le 21 Février 1994