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Exercice II: Un toboggan de plage (5,5 points)

L'origine de l'énergie potentielle de pesanteur est prise au point O : EPPO = 0 J pour y0 = 0 m. ... Energie mécanique au point O : EMO = ECO + EPPO = ½.




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Antilles Guyane 2009 EXERCICE II. UN TOBOGGAN DE PLAGE ( 5,5 points)
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1. Mouvement de l’enfant entre D et O

1.1. L’origine de l’énergie potentielle de pesanteur est prise au point O : EPPO = 0 J pour y0 = 0 m.
Au point D de hauteur yD = h par rapport au point O, l’énergie potentielle de pesanteur est alors : EPPD = m.g.h

1.2. Energie mécanique au point D :
EMD = ECD + EPPD = ½.m.v²D + m.g.h
Or l’enfant part en D sans vitesse initiale (énoncé) donc vD = 0 m.s-1 et ECD = 0 J d’où :
EMD = m.g.h

1.3. Energie mécanique au point O : EMO = ECO + EPPO = ½.m.v02 + m.g.y0
Comme y0 = 0 m il vient : EMO = ½.m.v02

1.4. Au cours du mouvement les frottements et les actions de l’air sont négligés (énoncé) donc l’énergie mécanique se conserve, ainsi : EMD = EMO ( m.g.h = ½.m.v02 ( v02 = 2.g.h
en ne conservant que la solution positive :
v0 =  EMBED Equation.DSMT4 
1.5. v0 =  EMBED Equation.DSMT4 = 10 m.s-1.

1.6. En réalité les frottements de l’enfant avec le toboggan et l’air ne sont pas négligeables au cours du mouvement. L’énergie mécanique n’est pas conservée : elle diminue au cours du mouvement car une partie de l’énergie mécanique est transformée en chaleur. Cela explique la nette différence de vitesse (5,0 m.s-1 au lieu de 10 m.s-1) avec le modèle sans frottement.

2. Étude de la chute de l’enfant dans l’eau

2.1. Dans un référentiel galiléen, la somme des forces extérieures  EMBED Equation.DSMT4 appliquée à un système de masse m est égale à la masse du système multipliée par le vecteur accélération  EMBED Equation.DSMT4  de son centre d’inertie :
 EMBED Equation.DSMT4 = m. EMBED Equation.DSMT4 

2.2. L’enfant de masse m est modélisé par un point matériel G, dans le référentiel terrestre supposé galiléen. L’enfant n’est soumis qu’à son poids : ainsi la deuxième loi de Newton appliquée à l’enfant une fois qu’il a quitté le point O donne :  EMBED Equation.DSMT4 = m. EMBED Equation.DSMT4 
( m. EMBED Equation.DSMT4  = m. EMBED Equation.DSMT4 
(  EMBED Equation.DSMT4 = EMBED Equation.DSMT4 
2.3. Dans le repère (Oxy) choisi :  EMBED Equation.DSMT4 (t) EMBED Equation.DSMT4 
2.4. Sachant que :  EMBED Equation.DSMT4  on a :  EMBED Equation.DSMT4 (t) EMBED Equation.DSMT4 
par intégration  EMBED Equation.DSMT4 (t) EMBED Equation.DSMT4  or  EMBED Equation.DSMT4  EMBED Equation.DSMT4 
donc  EMBED Equation.DSMT4 (t) EMBED Equation.DSMT4 
2.5. Sachant que :  EMBED Equation.DSMT4  on a :  EMBED Equation.DSMT4 (t) EMBED Equation.DSMT4 

par intégration :  EMBED Equation.DSMT4 (t) EMBED Equation.DSMT4  or  EMBED Equation.DSMT4 (0) EMBED Equation.DSMT4 
donc  EMBED Equation.DSMT4 (t) EMBED Equation.DSMT4 

2.6. On isole le temps t dans x(t) = v0.cos(.t et on reporte t dans y(t) pour avoir l’équation de la trajectoire y(x) :
t =  EMBED Equation.DSMT4  ( y(x) = EMBED Equation.DSMT4 
y(x)= EMBED Equation.DSMT4 

2.7. Il faut résoudre l’équation : y(xP) = – H car pour x = xP, y = – H :
donc :  EMBED Equation.DSMT4 = – H
Calculons les termes devant xP² et xP :
 EMBED Equation.DSMT4 = – 0,27 m-1
tan( = tan(30) = 0,58
Il faut résoudre l’équation, avec H = 0,50 m : – 0,27.x²P + 0,58.xP = – 0,50
Soit l’équation du second degré : – 0,27.x²P + 0,58.xP + 0,50 = 0

( = (0,58)² – 4 ( (–0,27) ( 0,50 = 0,88 et  EMBED Equation.DSMT4 = 0,94
les solutions pour xP sont :
 EMBED Equation.DSMT4 = –0,54 m et  EMBED Equation.DSMT4  = 2,8 m
Or xP est positif , xP = 2,8 m
Calculs effectués avec les valeurs non arrondies de tan(30) et de  EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 

 EMBED Equation.DSMT4 

(