Td corrigé Commission genevoise de l'Enseignement des ... - GE.CH pdf

Commission genevoise de l'Enseignement des ... - GE.CH

Fonctions. 12. Pourcentage et estimation. 7-8-9 CO. Nombres et Opérations ..... Corrigé détaillé (Activité 03) ..... il y a des "machines" qui sont proportionnelles (Si je propose 6, j'obtiens le ...... Exercices tirés du site Mathenpoche ...... valeur de la constante a du polonium, sachant que la période du polonium est de 138 jours.




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n, opérations02Nombres à la chaîne1-2-3-4 EPOutils de calcul, addition, soustraction03Problèmes additifs, multiplicatifs1-2-3-4 EPProblèmes additifs, multiplicatifs04Mettre à zéro3-4-5-6 EPSystème de numération05Boîtes noires5-6 EPOpérations, applications06Estimation5-6 EP 7 COEstimation, division07Problèmes divisifs5-6 EP 7 CODivision euclidienne08Racine carrée et valeurs approchées7-8-9 COCalcul littéral09Recherche de preuve par l’algèbre7-8-9 CONombres et Opérations10Recherche de stratégies7-8-9 COGrandeurs et Mesures11Aire et Périmètre7-8-9 COFonctions12Pourcentage et estimation7-8-9 CONombres et Opérations13Algorithme7-8-9 CONombres et Opérations14Connaissance de base de la machine10-11 POCalcul numérique15Limites-machine ?10-11 POCalcul algébrique16Dernier chiffre10-11 POCalcul numérique17Grands nombres10-11 POCalcul numérique18Quelle période !10-11 POCalcul numérique19A la recherche deEMBED Equation.310-11 POCalcul numérique20De simples racines10-11 POCalcul algébrique21Premier de cordée10-11 POCalcul algébrique22Où sont les lapins ?10-11 POCalcul algébrique23Appliquonslatrigo !10-11 POTrigonométrie24Vacherie10-11 POTrigonométrie25Ouahlatrigo10-11 POTrigonométrie26Radiobiolopopulo10-11 POLogarithme / Exponentielle « Découverte de la calculatrice »
 Fiche de présentation 
Titre de l’activitéDécouverte de la calculatriceSous-titreDegrés concernés 1-2 EP (voir Commentaires pour le maître, Prolongements)Durée estimée45 minutesRésuméPartir à la découverte de la calculatrice.Contexte d’usage de la calculatriceRechercherContenus mathématiques viséschiffre / nombre
aspect cardinal du nombre
addition et soustractionPrérequisAucunLien(s) avec les plans d'études et moyens d’enseignementOA : Lire, écrire, décomposer des nombres entiers Utiliser des écritures additives et soustractives PE : NEN : Passer du mot-nombre à son écriture chiffrée et inversement Passer du code oral ou écrit à sa décomposition en unités, dizaines, centaines, …et inversement
OFL : Accepter ou refuser l'affichage d'un résultatMots-cléSourceSecteur des Mathématiques de l'Enseignement Primaire
 Consigne (Activité 01) 


L'enseignant :
"Je vous ai distribué un objet.
Je vous laisse un moment pour partir à sa découverte.
Lorsque vous découvrez quelque chose, vous le notez à votre manière sur une feuille pour ne pas l'oublier.
Tout à l'heure, vous me direz tout ce que vous avez découvert et je le noterai au tableau."



 Commentaires pour le maître (Activité 01) 
Cette activité peut facilement être proposée avec n'importe quelle calculatrice "quatre opérations". Certains constats seront évidemment différents.

Analyse à priori de l'activité (enjeux de l’activité, démarches possibles, difficultés, relances, mise en commun)Intentions
- Faire connaissance avec un nouvel outil et son maniement, - Repérer les symboles connus, - Distinguer les touches nombres des touches opératoires, - Distinguer chiffre et nombre
Démarches possibles
- Appuyer sur les touches pour faire apparaître des nombres, - Composer un numéro et utiliser la calculatrice comme un téléphone portable, - Écrire puis effacer des nombres, - Écrire la suite des nombres naturels, - Écrire le plus grand nombre possible, - Choisir un nombre et essayer de l'afficher à l'écran, - Essayer de lire un nombre affiché - Chercher le plus grand nombre possible que l'on peut afficher - Faire des opérations et vérifier le résultat, - …
Difficultés potentielles
- Ouvrir et mettre en marche la machine, - Effacer ce qui est affiché, - Comprendre la signification des différents symboles, - Comprendre ce que signifie le E affiché en bas à gauche de l'écran, - …Analyse à priori de l'activité (enjeux de l’activité, démarches possibles, difficultés, relances, mise en commun)Mise en commun
Lors de la mise en commun, les élèves font part des leurs découvertes, observations, remarques ou constats que l'enseignant note sur une affiche, sans émettre de jugement. Les observations contradictoires, les avis divergents sont des occasions de débats et l'enseignant s'efforce de ne pas trancher dans un premier temps. Par contre, lorsqu'il reformule ce que dit un élève, il utilisera les termes qui conviennent. La liste des observations et des constats peut être complétée par la suite. Les élèves continueront d'explorer leur machine et feront de nouvelles découvertes qui seront consignées lors des mises en commun suivantes.
Exemples de constats
(voir aussi éléments à institutionnaliser ci-dessous)
- Les touches ne sont pas toutes de la même couleur. - Les touches sont de différentes tailles. - Il y a des symboles connus et d'autres qu'on ne connaît pas. - Quand on tape un nombre en commençant par 0, le 0 disparaît. - On ne peut pas écrire plus de 8 symboles. - …Proposition(s) de déroulementNombre d'élèves
Toute la classe, travail individuel ou par groupes de 2.

Matériel
- 1 calculatrice par élève (ou pour deux élèves) - Feuilles de papier brouillon - Feuilles grand format (affiches)

L'enseignant distribue une calculatrice fermée et une feuille de papier à chaque élève (ou pour 2 élèves).
Il énonce la consigne puis laisse 20 à 30 minutes aux élèves pour expérimenter et noter leurs découvertes.
Lors de la mise en commun, les découvertes sont notées par l'enseignant sur l'affiche. Ensuite, un deuxième temps est laissé aux élèves pour explorer les découvertes faites par leurs camarades.

Lors d'une seconde mise en commun, la liste des découvertes est complétée et confirmée. C'est l'occasion pour l'enseignant à institutionnaliser quelques points de l'utilisation de la calculatrice.Prolongements possibles- Écrire le plus grand nombre possible avec la calculatrice. - Chercher différentes manières pour écrire 0. - Chercher les chiffres que l'on peut aussi lire en retournant la calculatrice. - Chercher les nombres qui peuvent être lus en retournant la calculatrice. - Rechercher des opérations qui ne changent pas le nombre de départ. - Trouver une (toutes les) addition(s) dont la somme est … (… + … = 6). - Trouver toutes les manières de trouver 10. - A partir d'un nombre, rechercher les opérations qui ne changent pas le nombre de départ.Éventuels commentaires après les avoir testées (du maître, des élèves, …)Productions d'élèves
 Éléments pour la synthèse

- Ouverture et fermeture du boîtier, - Mise en marche et arrêt de la machine, - Remise à 0 de la calculatrice, - Les touches "chiffres" et leur disposition, - Les touches  et  en lien avec les connaissances des élèves, - Les touches REF SHAPE \* MERGEFORMAT  et REF SHAPE \* MERGEFORMAT  , et ce à quoi elle servent. 
Les autres touches que celle citées ci-dessus peuvent être nommées mais ne sont pas utilisées pour l'instant.
« Nombres à la chaîne »
 Fiche de présentation 
Titre de l’activitéNombres à la chaîneSous-titreDegré(s) concerné(s) 1-2-3-4 EPDurée estiméeUne première période de 45 minutes puis plusieurs moments d'une quinzaine de minutesRésuméPasser d'un nombre à un autre en faisant un minimum d'opérations.Contexte d’usage de la calculatriceVERIFIERContenus et compétences mathématiques visésCalcul réfléchi, Répertoires mémorisés additif et soustractif EstimationPrérequisConnaissance des quatre opérationsExtrait(s) du plan d'étudesCalcul réfléchi, PE : Utiliser des propriétés des opérations et du système de numération pour effectuer des calculs de façon efficace Répertoires mémorisés : de 0+0 à 9+9, de 0 - 0 à 19 -9Mots-clésAddition, soustraction, répertoires mémorisés, calcul réfléchi, estimationSourceSecteur des Mathématiques de l'Enseignement Primaire  Énoncé élève (Activité 02) 


Nombres à la chaîne
Mélange les cartes.
Prends-en 5 au hasard.
Aligne ces 5 cartes, faces visibles, les unes à la suite des autres.

Écris le premier nombre sur ta calculatrice.
À partir de ce nombre, effectue sur ta calculatrice un minimum d'opérations de manière à obtenir le deuxième nombre.
Chaque opération est effectuée à partir du dernier résultat que tu as obtenu.
Note tout ce que tu fais.

Lorsque tu es parvenu au nombre de la deuxième carte, continue de la même manière pour les nombres des cartes suivantes.


0123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899  Commentaires pour le maître (Activité 02) 
Analyse à priori de l'activité (enjeux de l’activité, démarches possibles, difficultés, relances, mise en commun)Intentions
Développer, en fonction des nombres en jeu, les procédures de calcul des élèves : les répertoires mémorisés additifs et soustractifs, le calcul réfléchi et l'estimation.

Démarches possibles
- faire des essais au hasard - compter sur les doigts - faire un dessin - faire des pas de 1 en 1 (5 + 1 + 1 + 1 = 8) - faire des pas de 10 et de 1 (5 + 10 + 1 + 1 = 17) - utiliser la calculatrice pour déterminer une différence - essayer d'autres opérations que l'addition et la soustraction - passer systématiquement par 0 (15 - 15 + 26 = 26) - appuyer sur la touche ON/C - utiliser la droite numérique - consulter la table d'addition ou de soustraction - utiliser des procédures de calcul réfléchi - …

Difficultés potentielles
- comprendre de la consigne dans son ensemble, - respecter tous les éléments de l'énoncé, - choisir la bonne opération, l'addition ou la soustraction, - noter les opérations effectuées, - …

Relances
- relire ou faire relire tout ou partie de l'énoncé, - inciter les élèves à adopter des démarches rapides - proposer de s'aider de la droite numérique - inciter les élèves de se passer des tables ou de la bande numérique - …

Mise en commun : voir déroulement.Proposition(s) de déroulementNombre d'élèves
Toute la classe, par groupes de 2 ou 3.

Matériel
- 1 calculatrice par élève - 1 jeu de cartes nombres de 0 à 10 (1P) par groupe - 1 jeu de cartes nombres de 0 à 20 (2P) par groupe - 1 jeu de cartes nombres complet (3P - 4P) par groupe (annexe à photocopier sur carton léger en agrandissant éventuellement puis couper)

En 1P - 2P, l'enseignant lit la consigne à haute voix et la répète. En 3P - 4P, il distribue l'énoncé et les élèves en prennent connaissance. La première tâche des élèves consiste à s'approprier cette consigne. Dans un premier temps, l'enseignant observe ses élèves et les laisse se débrouiller seuls. Il favorise cependant les interactions au sein des groupes et relit une partie de la consigne ou met le doigt sur une partie de l'énoncé qui n'est pas prise en compte. La compréhension de la consigne se fait petit à petit et peut faire l'objet d'une première mise en commun. Dans un second temps, les élèves cherchent des stratégies pour obtenir le plus rapidement possible le nombre de la carte suivante. Les constats, les manières de noter ses résultats, le choix des opérations, les démarches utilisées pour s'approcher le plus possible devraient faire l'objet d'une deuxième mise en commun. Il est alors indispensable que l'enseignant mette en évidence les procédures de calcul réfléchi utilisées par l'un ou l'autre de manière à ce qu'elles puissent être essayées par les autres élèves lorsque l'activité est reprise. En effet, pour être utile et développer les compétences calculatoires des élèves, cette activité doit être proposée à plusieurs reprises. Elle peut d'ailleurs être faite individuellement et être mise à disposition dans le coin mathématique.

Variables didactiques 
En fonction du niveau des élèves, il est possible d'augmenter ou de diminuer l'ordre de grandeur des nombres en jeu. Il est aussi possible de proposer des chaînes de nombres plus ou moins longues.Prolongements possiblesLorsqu'elle est bien comprise, cette activité peut également être proposée sous forme de jeu
pour 2 ou 3 élèves : le premier élève qui réussit à atteindre le nombre suivant reçoit la carte, le vainqueur étant celui qui a le plus de cartes à la fin du jeu.
par équipes de 3 élèves : une série de nombres étant affichée au tableau noir, l'équipe qui arrive à faire toute la chaîne des opérations correctes (et que ces opérations sont correctes) en un minimum de temps a gagné.

L'émulation provoquée par le jeu devrait inciter les élèves à adopter des démarches de plus en plus rapides et ainsi leur permettre de renforcer leurs répertoires mémorisés et les procédures de calcul réfléchi.Éventuels commentaires après les avoir testées (du maître, des élèves, …)Productions d'élèves
Éléments pour la synthèse  
Répertoires mémorisés
Les répertoires mémorisés sont les résultats des opérations (ici sommes, différences voire produits ou quotients) que l'élève doit connaître par cœur.
Ces répertoires s'élaborent au fil des activités, d'abord sous forme d'inventaires plus ou moins organisés (toutes les sommes égales à 0, 1, …, 10, 12, tous les produits égaux à 2, 3, …, 20, … 36, …, 100) puis sont présentés sous forme de tables (table d'addition, de multiplication, …).

L'enseignant a un rôle extrêmement important à jouer dans l'organisation de ces résultats et dans la mise en évidence de nombreux constats et relations numériques qui favoriseront l'apprentissage des répertoires.

Exemples de constats ou de relations entre les nombres :
- La somme de 2 nombres impairs est un nombre pair.
- Tous les multiples de 5 se terminent par 5 ou 0.
- 17 - 12 = 7 - 2
- Multiplier par 4, c'est prendre le double du double


Calcul réfléchi
Le calcul réfléchi s'appuie sur les propriétés du système de numération (décomposition d'un nombre en facteurs de puissances de 10 ou en facteurs de 1,10, 100 etc.) et sur les propriétés des opérations (associativité, commutativité élément neutre, distributivité de la multiplication sur l'addition/la soustraction, …).
Les procédures de calcul réfléchi sont personnelles et évolutives. Il est dès lors important que l'enseignant permette à ses aux élèves de montrer à la classe les procédures de calcul réfléchi qu'ils ont utilisées. Ensuite il doit donner aux élèves l'occasion d'expérimenter ces différentes procédures dans de nouveaux calculs de manière à ce que chaque élève puisse choisir celle qui lui est la plus efficace.

Exemples de démarches pour calculer 25 - 19 : 25 - 10 - 9 20 - 19 + 5 25 - 20 + 1 25 + 1 - 20 …



On lira avec intérêt les textes des moyens d'enseignement concernant les répertoires mémorisés et le calcul réfléchi :

LM 1P : p. 226 à 229 LM 2P : p. 258 à 262 LM 3P : p. 115 à 117 LM 4P : p. 117 à 119
Commentaires didactiques sur les moyens d'enseignement pour les degrés 1 à 4 de l'école primaire p. 119 à 128

« Problèmes additifs, multiplicatifs »
 Fiche de présentation 
Titre de l’activitéProblèmes additifs, multiplicatifsSous-titreDegré(s) concerné(s)1-2-3-4 EPDurée estiméeUne trentaine de minutes par problèmeRésuméRésoudre des problèmes additifs, soustractifs, multiplicatifs, divisifs Contexte d’usage de la calculatriceExécuter Vérifier ConceptualiserContenus et compétences mathématiques visésReconnaissance de problèmes additifs ou soustractifs, multiplicatifs ou divisifsPrérequisExtrait(s) du plan d'étudesRésoudre des problèmes additifs et soustractifs Résoudre des problèmes multiplicatifs et divisifs.Mots-clésProblème additif, soustractif, multiplicatif, divisifSourceMoyens d'enseignement romands  Énoncé élève (Activité 03) 



LM 1P p. 180 : Le Cortège (avant-dernier problème)

Arthur a un collier avec 32 bonbons. Il en mange 20 d'un coup. Combien a-t-il encore de bonbons à manger ?
Note comment tu as fait.


LM 2P p. 198 : Fête foraine (problème 14)

Sur le bateau, il y a 126 pirates. 84 pirates débarquent à l'Ile Bleue pour y rester. Combien de pirates continuent le voyage ?


Épreuve cantonale 2P 2006 : Le match de basket

Les kangourous et les girafes jouent au basket.
Pendant la première mi-temps, l'équipe des kangourous marque 38 points et l'équipe des girafes marque 27 points. Pendant la deuxième mi-temps, les kangourous marquent 25 points et les girafes 32 points.
Combien de points en tout a marqué l'équipe qui gagne le match ?

Montre comment tu fais pour trouver la réponse.


LE 3P p. 12 : Au manoir (problème 3)

Elsa s'est entraînée pendant trois jours ; elle a tiré 128 flèches le premier jour, 131 flèches le deuxième jour et 67 flèches le troisième jour. Combien Elsa a-t-elle tiré de flèches en tout ?

LM 3P p. 175 : Placage
Trouve combien il faut de plaques rectangulaires comme celle-ci : 
pour recouvrir une surface formée de 216 carreaux comme celui-ci : 


LM 4P p. 127 : Haute fidélité , LE 4P p. 41


LE 4P p. 21 : Carrousel (problème 8)
L'Hôtel Palace comprend 20 chambres carrées de 4 m de côté et 12 chambres carrées de 5 m de côté.
Un tapissier doit coller une frise sur le haut des murs de toutes les chambres. La frise est fournie en rouleaux de 50 m.
Combien de rouleaux faudra-t-il ?


Attentes fin de 4P p. 22 : Boîtes d'œufs Voici un énoncé :
REF SHAPE \* MERGEFORMAT 

Mélanie a trouvé 21 avec sa calculatrice en faisant une seule opération.

Écris l’opération qu’elle a faite sur sa calculatrice.



 Corrigé détaillé (Activité 03) 

LM 1P p. 180 : Le Cortège (avant-dernier problème)

20 + … = 32
ou 32 - 20 =
Réponse : 12 bonbons

Plusieurs démarches de calcul peuvent être utilisées par les élèves : dessin et dénombrement, utilisation d'un boulier ou de la bande numérique ou, bien sûr, la calculatrice.


LM 2P p. 198 : Fête foraine (problème 14)

84 + … = 126
ou 126 - 84 =
Réponse : 42 pirates

En 2P, les élèves ne connaissent pas encore l'algorithme qui leur permettrait de calculer cette différence et les nombres en jeu ne permettent pas des procédures de dessin et dénombrement. La calculatrice est alors nécessaire.


Épreuve cantonale 2P 2006 : Le match de basket
Plusieurs démarches sont possibles :
- Effectuer les deux opérations (38+25 et 27+32) et comparer les résultats.
- Observer que les chiffres des dizaines sont les mêmes pour les deux équipes, comparer la somme des chiffres unités (8+5 et 7+2) et ne calculer la somme des points que pour l'équipe gagnante.
- …
Les calculs peuvent être fait soit avec le support d'un dessin, soit par calcul réfléchi, soit, pour certains élèves, par algorithme.
Réponse : 63 points


LE 3P p. 12 : Au manoir (problème 3)
128 + 131 + 67 =
Réponse : 326 flèches

Plusieurs élèves de 3P sont déjà capables d'effectuer cette addition à l'aide d'un algorithme. Dans ce cas, la calculatrice peut être utilisée comme outil de vérification. Mais pour la plupart des élèves, s'agissant d'une somme de 3 termes, la calculatrice est encore bien utile.


LM 3P p. 175 : Placage
8 ( … = 216
ou 216 : 8 =
Réponse : 27 plaques

La multiplication lacunaire demande plusieurs essais avant de parvenir à la solution, contrairement à la division qui permet d'obtenir le résultat en faisant une seule opération.
L'énoncé ne donne aucune indication sur la forme de la surface à recouvrir. Pour que le problème soit soluble, on doit supposer, soit que la forme de la surface est telle qu'on peut la recouvrir avec des plaques entières sans trous ni chevauchements, soit que l'on peut couper les plaques.


LM 4P p. 127 : Haute fidélité

Démarches possibles de l'élève
Concernant l'invention de problèmes
Poser des questions uniquement sur le prix des articles :"Combien coûtent … et …?"
Poser des questions sur la différence entre prix des articles et montant à disposition : "Combien restera-t-il après avoir acheté …", "Combien manque-t-il pour acheter …", Combien de cassettes pourrait-on acheter ?"
…
Concernant les procédures de résolution
Utiliser un outil de calcul : calcul réfléchi, algorithme, droite numérique, calculatrice, estimation
Utiliser diverses opérations : additions et soustractions, multiplications et divisions
…

LE 4P p. 21 : Carrousel (problème 8)

Exemple de démarche :
Longueur de la frise pour 1 chambre de 4 m de côté (périmètre d'un carré de 4 m de côté) : 4 ( 4
Longueur de la frise pour 20 chambres de 4 m de côté : 4 ( 4 ( 20
Longueur de la frise pour 1 chambre de 5 m de côté : 4 ( 5
Longueur de la frise pour 12 chambres de 4 m de côté : 4 ( 5 ( 12
Longueur de la frise pour toutes les chambres de l'hôtel : 4 ( 4 ( 20 + 4 ( 5 ( 12
Nombre de rouleaux nécessaires : (4 ( 4 ( 20 + 4 ( 5 ( 12) : 50
Réponse : 12 rouleaux

Outre la représentation du problème et les nombreuses étapes de sa résolution, la dernière difficulté réside dans le fait que le quotient (560 : 50) n'est pas entier (ou qu'il n'y a pas de nombre entier qui, multiplié par 50, donne 560 (50 ( … = 560)).
Une interprétation de cette dernière opération est encore nécessaire.

Attentes fin de 4P p. 22 : Boîtes d'œufs
L'opération correcte est : 252 : 12.

La calculatrice est là pour contraindre l’élève à utiliser la division. En effet la calculatrice ne permet de résoudre en un seul essai l’opération lacunaire 12 ( ….. = 252 à moins d'avoir beaucoup de chance.
Si l’élève propose 21 ( 12 comme opération, on le mettra en garde sur le fait que la réponse à trouver est 21 et non 252.

Commentaires pour le maître (Activité 03) 
Analyse à priori de l'activité (enjeux de l’activité, démarches possibles, difficultés, relances, mise en commun)Intentions
Pour chaque problème posé, l'aspect conceptuel des opérations devrait primer sur l'aspect calculatoire. Le but est avant tout que l'élève comprenne le problème et pose correctement l'opération ou les opérations. Dans certains cas, l'élève n'est pas capable de trouver la réponse par calcul car l'ordre de grandeur des nombres et la méconnaissance des algorithmes mettent en échec les stratégies qu'il sait utiliser (compter sur ses doigts, faire un dessin, utiliser la droite numérique, les tables, …). Dans ce cas là, la calculatrice ne fait qu'exécuter les calculs. Dans d'autres cas, l'élève pose une addition ou une multiplication lacunaire. La calculatrice peut alors lui permettre de prendre conscience de l'utilité des opérations inverses et de leur donner du sens. Dans d'autres cas enfin, l'élève est capable d'effectuer les calculs posés (algorithme ou utilisation experte du calcul réfléchi). Dans ce cas-là, la calculatrice sert à vérifier les résultats obtenus.
Difficultés et relances potentielles
L'appropriation du problème est la principale difficulté que rencontrent les élèves. L'enseignant peut demander s'il y a des mots qui n'ont pas été compris, demander à l'élève ce qu'il a compris, demander de reformuler la consigne. Souvent le fait de relire et de reformuler l'énoncé permet à l'élève de comprendre du moins partiellement ce qui lui est demandé. L'enseignant peut aussi encourager les élèves à faire un dessin, un schéma, …
Mise en commun
La mise en commun devrait permettre de mettre en évidence :
- la manière de se représenter un problème - le choix des opérations et la façon de les noter - les calculs proprement dits. Il ne s'agit pas de faire une correction de chaque problème mais d'abord de comparer les différentes procédures des élèves. 

Proposition(s) de déroulementIl est important que l'enseignant confronte ses élèves à des problèmes de différents types (composition d'états (EEE), comparaison d'états (ECE), transformations d'états (ETE), composition de transformations (TTT), …) et faisant appel à différentes opérations.
Pour chaque problème, travail individuel dans un premier temps. Dans un deuxième temps, les élèves peuvent comparer par 2 les résultats obtenus et les manières d'y arriver.
La mise en commun porte avant tout sur la compréhension de l'énoncé, les opérations choisies et la manière de les noter.Prolongements possiblesTout autre problème additif, soustractif, multiplicatif ou divisif. Il ne s'agit pas de proposer des problèmes spécifiques à faire avec la calculatrice mais de saisir toutes les occasions où la calculatrice peut s'avérer utile, soit parce que les nombres en jeu sont trop grands, soit pour conceptualiser une opération, soit pour vérifier les calculs.Éventuels commentaires après les avoir testées (du maître, des élèves, …)Productions d'élèves  Éléments pour la synthèse (Activité 03) 
- La nécessité de se représenter un problème, de dessiner, de faire un schéma, …
- Le lien de réciprocité entre les opérations : l'addition et la soustraction, la multiplication et la division
- Les opérations inverses, la soustraction et la division, ne sont pas commutatives, contrairement à l'addition et la multiplication.
- L'écriture conventionnelle des opérations avec l'utilisation des symboles spécifiques.
- Quelques termes : somme, différence, produit, quotient, termes, facteurs, dividende, diviseur, reste.
- Sensibiliser les élèves aux erreurs d'écritures (par exemple, 4 ( 5 = 20 + 3 = 23 est erroné, car 4 ( 5 ( 20 + 3)
- L'ordre dans lequel la calculatrice effectue les opérations (par exemple, pour 3 + 4 ( 5, la calculatrice donne comme réponse 60 alors que le résultat correct est 23)


On lira bien sûr avec intérêt les introductions des modules des moyens d'enseignement :

LM 1P p. 169
LM 2P p. 181 LM 3P p. 112 et 156
LM 3P p. 114 et 152
« Mettre à zéro »
 Fiche de présentation 
Titre de l’activitéMettre à zéroSous-titreDegré(s) concerné(s) 3-4 EP 5-6 EP (cf. Variables dans l'analyse a priori des Commentaires pour le maître)Durée estimée1 périodeRésuméA partir d'un nombre donné, soustraire des milliers, des unités, des centaines, des dizaines, … jusqu'à obtenir 0.Contexte d’usage de la calculatriceApprofondirContenus et compétences mathématiques viséesSystème de numération Base 10PrérequisAvoir quelques notions de notre système de numérationLien(s) avec les plans d'études et moyens d’enseignementOA : Lire, écrire, décomposer des nombres entiers PE : NEN Produire un nombre plus grand ou plus petit qu'un nombre donné d'une unité, d'une centaine, d'une dizaine. ME : Module 2, champ CMots-cléNumération, unité, dizaine, centaine, …Source
 Énoncé élève (Activité 04) 


Sur ta calculatrice, écris un nombre de 4 chiffres dont tous les chiffres sont différents.

Effectue une seule opération de telle sorte que le plus grand chiffre soit remplacé par 0 (ou par un vide) mais que tous les autres chiffres restent les mêmes.

A nouveau, effectue une seule opération de sorte que le plus grand chiffre suivant soit remplacé par 0 (ou par un vide) mais que tous les autres chiffres restent les mêmes.

Continue de la même manière jusqu'à ce que tu obtiennes 0.


Note le nombre de départ, et à chaque fois l'opération effectuée et le résultat obtenu.
 Commentaires pour le maître (Activité 04) 
Analyse à priori de l'activité (enjeux de l’activité, démarches possibles, difficultés, relances, mise en commun)Intentions
Par cette activité, c'est le système de numération que l'on cherche à consolider et en particulier la décomposition de tout nombre en somme de puissances de 10.
Démarches possibles
- essayer d'autres opérations que la soustraction - faire des essais en notant les résultats obtenus - passer directement à 0 en soustrayant le nombre de départ - écrire un nombre commençant par 0 - ne pas tenir compte de l'ordre décroissant des chiffres - ne proposer que des nombres dont les chiffres sont consécutifs
- …
Relances
- inciter l'élève à noter ce qu'il fait - proposer de commencer par des nombres ayant moins de chiffres - imposer un nombre de départ - …
Mise en commun
Lors de la mise en commun, les élèves expriment et comparent leurs démarches, rapportent les observations et constats qu'ils ont faits. C'est aussi l'occasion de discuter de : - la différence entre chiffre et nombre - faire le lien entre le nombre soustrait et la position du chiffre A la fin de la mise en commun, certains termes peuvent être institutionnalisés : unités, dizaines, centaines , … , chiffre, nombre, …

Variables didactiques
En fonction du niveau des élèves, il est possible de modifier l'ordre de grandeur des nombres (3 chiffres, 7 chiffres, …) Pour les élèves de 5P - 6P, cette activité peut être reprise avec des nombres décimaux.
Proposition(s) de déroulementLes élèves prennent connaissance individuellement de la consigne. Ils engagent le travail en fonction de ce qu'ils ont compris. Une mise en commun intermédiaire portant sur la compréhension de la consigne peut être proposée par l'enseignant. Les élèves poursuivent leur travail en notant leurs résultats mais en notant également les constats et découvertes. La mise en commun finale porte sur les observations faites par les élèves et l'institutionnalisation de certains termes.Prolongements possiblesEffectuer une seule opération de telle sorte qu'à chaque fois le plus petit chiffre soit remplacé par 9 mais que tous les autres chiffres restent les mêmes, jusqu'à n'obtenir que des 9.
Effectuer une seule opération de telle sorte … - qu'un des chiffres augmente/diminue de 1, - que les chiffres inférieurs à 5 soient doublés, - que les chiffres pairs soient diminués de moitié, - …
D'autres questions peuvent être posées : - Quelle opération permet d'augmenter de 1 chaque chiffre (9 devient alors 0) ? - Quelle opération permet de déplacer la virgule d'un cran vers la droite ou vers la gauche ? - Quelle opération permet d'intervertir deux chiffres consécutifs du nombre ? - Quelle opération permet d'intervertir deux chiffres non consécutifs du nombre ?
Activités du module 2, champ CÉventuels commentaires après les avoir testées (du maître, des élèves, …)Productions d'élèves  Éléments pour la synthèse (Activité 04) 
Dans notre système décimal de numération, tout nombre peut être exprimé comme somme de puissances de 10. Par exemple, 12504 est un nombre qui s’obtient par la séquence d'opérations : EMBED Equation.DSMT4
ou encore EMBED Equation.DSMT4.

L'activité proposée met bien en évidence cette valeur positionnelle des chiffres. Un 1 placé tout à droite n'a pas la même valeur qu'un 1 placé en 4e position depuis la droite. Dans le premier cas, il représente une unité et vaut 1; dans le second cas, il représente un millier et vaut donc 1000.

Pour en savoir plus :
Gagnebin A., Guignard N., Jaquet F. (1998) Apprentissage et enseignement des mathématiques, Commentaires didactiques sur les moyens d'enseignement pour les degrés 1 à 4 de l'école primaire. COROME, chapitre 6.
« Boîtes noires »
 Fiche de présentation 
Titre de l’activitéBoîtes noiresSous-titreDécouverte de la notion d’applicationDegré(s) concerné(s) 5-6 EPDurée estimée1 ou 2 périodesRésuméIntroduire des nombres et les comparer aux résultats donnés par la machine pour découvrir l'opération ou les opérations programmée(s).Contexte d’usage de la calculatriceRechercher
Cette activité peut être proposée avec toute calculatrice permettant la mémorisation d'opérations.Contenus et compétences mathématiques viséssuites de nombres applications applications linéaires PrérequisConnaissance des opérations de baseLien(s) avec les plans d'études et moyens d’enseignementOA : Reconnaître, établir quelques suites de nombres PE : NEN : Reconnaître, établir des suites numériques et exprimer leur loi de formation OFL : Reconnaître et résoudre des situations de linéarité.
Dans une suite de nombres, repérer une régularité… ME : 5P thème 9 6P thème 7Mots-cléOpérations, ApplicationsSourceD'après l'activité Boîtes noires du thème 9 des moyens d'enseignement 5P et l'exercice 16 du thème 7 des moyens d'enseignement 6P.
 Énoncé élève (Activité 05) 



a) Écris un nombre sur ta calculatrice puis appuie sur la touche ( ; la calculatrice affiche un résultat.

Lorsque tu utilises la touche ( , la calculatrice effectue toujours la ou les mêmes opérations sur les nombres donnés.

Quelle est cette opération ou quelles sont ces opérations ?


b) Même question pour la touche ( .
 Commentaires pour le maître (Activité 05) 
Analyse à priori de l'activité (enjeux de l’activité, démarches possibles, difficultés, relances, mise en commun)Cette activité est une variante d'activités proposées dans les moyens d'enseignement de 5P (Boîtes noires, thème 9. Applications, fiches 3 et 4) et de 6P (thème 7. Applications, exercice 16)
Les commentaires proposés dans les livres du maître (5P, LM p. 177 et 178, 6P, LM p. 183) restent pertinents et leur lecture est vivement conseillée.

Par rapport à la version papier, la variante avec calculatrice permet à l'élève de :
choisir librement les nombres de départ
faire autant d'essais qu'il le désire
faire des hypothèses et les vérifier directement

De plus, comme l'application est définie par une fonction "programmée" et non par une suite restreinte d'exemples, il n'y a plus l'équivoque relevée dans la remarque importante qui figure dans le livre du maître 5P p.177.

Le maître a un rôle important à jouer dans le choix des applications qu'il propose à ses élèves. Il peut proposer les mêmes applications à tous de manière à permettre une mise en commun portant sur les mêmes objets. Il peut également différencier les applications à rechercher en fonction des compétences des élèves ; la mise en commun portera alors plutôt sur les notations utilisées et sur le choix des nombres introduits. Si une application n'a pas été découverte par un élève ou un groupe d'élèves, elle peut être proposée à l'ensemble de la classe et donner lieu à une recherche collective.

Les applications ne sont pas toutes du même niveau de difficulté. Voici quelques constats que l'enseignement devrait avoir en tête lorsqu'il propose des applications :
il est plus facile de découvrir une fonction dans laquelle n'intervient qu'une seule opération qu'une fonction composée de deux opérations ;
il est plus facile de découvrir les fonctions lorsque les opérateurs sont des nombres entiers que lorsque ce sont des nombres non entiers ;
il est plus facile de découvrir les fonctions mettant en jeu une addition qu'une soustraction, une multiplication qu'une division ;
il est difficile de découvrir les fonctions qui élèvent les données au carré ou au cube.L'écriture des opérations peut revêtir différentes formes :
- multiplier un nombre par 1,5 équivaut : soit à multiplier ce nombre par 3 puis le diviser le produit par 2 soit à diviser ce nombre par 2 puis multiplier le quotient par 3
- multiplier un nombre par 5 puis soustraire 15 au produit équivaut à soustraire 3 à ce nombre puis multiplier la différence par 5.

Mise en commun
L'enseignant anime une mise en commun qui peut porter sur - la notation des résultats - la distinction entre nombre de départ - nombre d'arrivée - l'organisation des essais - les nombres intéressants - la possibilité de représenter graphiquement les applications - ...Proposition(s) de déroulementNombre d'élèves
Toute la classe, travail individuel ou par groupes de deux

Matériel
Une calculatrice par élève ou pour deux élèves Cahier de maths ou feuilles quadrillées

Avant de proposer cette activité, l'enseignant doit emprunter les calculatrices de ses élèves pour les "programmer" (cf. préparation des calculatrices ci-dessous). Il est conseillé de proposer des applications différentes de manière à ce que les élèves puissent s'échanger les machines et éviter que l'enseignant doive les reprogrammer en cours d'activité. Il peut être pratique également de numéroter les machines (petit autocollant) de manière à les distinguer et les repérer aisément. L'enseignant distribue les machines programmées et l'énoncé de l'activité. Il demande instamment à ses élèves de ne pas utiliser simultanément les touches ( et ( (la réinitialisation de la machine efface les opérations en mémoire). Les élèves prennent connaissance individuellement de la consigne. La compréhension de la consigne et l'organisation de la recherche doivent rester à la charge des élèves. L'enseignant observe le travail de ses élèves, se garde de toute validation et propose des relances à ceux qui rencontrent de grosses difficultés ou qui se découragent tout en se gardant de valider les réponses.Prolongements possiblesProposer des applications mettant en jeu la division euclidienne, par exemple : ( ( ( ( ( ( 3 ( 1 ( ( ou ( ( ( ( ( ( 2 ( 5 ( (
Attention, les applications avec division euclidienne, comme ci-dessus, donnent parfois un message d'erreur. En effet, la division euclidienne n'est possible qu'avec des nombres naturels, c'est-à-dire des nombres entiers positifs. De plus, la calculatrice ne retient que le quotient entier pour la suite des calculs. Cela a pour conséquence que deux nombres différents peuvent avoir la même image.

Proposer aux élèves de programmer eux-mêmes leur calculatrice et demander à leurs camarades de découvrir les applications.

Activités du thème 9 en 5P Activités du thème 7 en 6PÉventuels commentaires après les avoir testées (du maître, des élèves, …)Productions d'élèves


Préparation des machines (ici la TI-34 II)

Avant de proposer cette activité, l'enseignant doit préparer les calculatrices de ses élèves, c'est-à-dire introduire les opérations qu'il veut faire découvrir par ses élèves.
Exemples d'opérations possibles :

a) EMBED Equation.DSMT4
( ( ( ( ( 2.5 ( (

Remarques :
1 Le premier ( n'est utile que si une opération est déjà en mémoire.
2 Lorsque la touche (ou ( est utilisée, la calculatrice rappelle et affiche l'opération sur la ligne et, sur la ligne du résultat, à droite le résultat et à gauche le compteur. Pour éviter que l'opération ne s'affiche sur la ligne d'entrée, il faut appuyer sur ( de manière à ce que le signe = soit en surbrillance (().


b) EMBED Equation.DSMT4
( ( ( ( ( 3 ( 2 ( (


c) EMBED Equation.DSMT4
( ( ( ( ( ( 1 ( (


d) EMBED Equation.DSMT4
( ( ( ( ( 3 ( 2 ( (


De la même manière, il est possible de "programmer" sur les machines :
des applications linéaires (EMBED Equation.DSMT4, a ( IR ou a ( IQ )
des applications affines (EMBED Equation.DSMT4, a et b ( IR ou IQ)
des applications de la forme EMBED Equation.DSMT4 (a et b ( IR ou IQ, n ( IN)

Propositions d'applications à faire découvrir
Applications linéairesApplications affinesAutres applicationsCoefficients dans IN2 x 3 x 4 x 5 x 20 x 100 x …x + 1 2 x + 3 10 x + 2 x – 4 2 x – 1 3 x – 2 …x2 x3 2 x2 10 x2 x2 + 2 x2 – 1 …Coefficients dans IQ0,5 x (1/2 x ou x : 2) 0,2 x (1/5 x ou x : 5) 1,2 x (6/5 x ou 6x : 5) 2,5 x (5/2 x ou 5x : 2) 0,01 x (1/100 x ou x : 100) …2 x + 4,3 10 x + 0,5 3 x – 0,7 … 0,5 x + 4 0,1 x + 3 …0,5 x2 (1/2 x2) 0,1 x2 (1/10 x2) 1,5 x2 (3/2 x2) …
 Éléments pour la synthèse (Activité 05) 
Une application numérique, comme celles qui sont proposées ci-dessus, est une relation entre deux ensembles de nombres telle que tout élément de l'ensemble de départ a une image unique dans l'ensemble d'arrivée. Il s'agit donc en premier lieu de distinguer clairement ces deux ensembles. Il n'est évidemment pas question de formaliser l'écriture des fonctions, ni même d'introduire l'utilisation du x ou l'initiale f pour désigner une application mais bien de découvrir la "machine" qui "transforme" un nombre en un autre.

Il est important de relever et d'expliciter les constats faits par les élèves. Par exemple, pour les applications proposées ci-dessus,
- il y a des "machines" qui ne transforment pas le 0 (f(0) = 0), d'autres qui le transforment (f(0) ( 0). Dans le deuxième cas, il y a addition ou soustraction, dans le premier cas non.
- il y a des machines qui donnent toujours un nombre plus grand ou plus petit. Dans ce cas, il n'y a qu'une addition ou une soustraction.
- il y a des "machines" qui sont proportionnelles (Si je propose 6, j'obtiens le double de ce que j'obtiens si je propose 3). Ce sont les applications qui se contentent de multiplier le nombre de départ par un facteur.
- même si on n'introduit que des nombres naturels, on obtient parfois des nombres négatifs, parfois des nombres non entiers, …


L'introduction du thème 9 des moyens d'enseignement 5P (p. 161 à 166) et l'introduction du thème 7 des moyens d'enseignement 5P (p. 173 à 182) contiennent des éléments mathématiques et didactiques pour l'enseignement des applications. Leur lecture est donc vivement conseillée.
« Estimation »
 Fiche de présentation 
Titre de l’activitéEstimationSous-titreDegrés concernés 5-6 EP - 7CODurée estiméeUne première période de 45 minutes, puis plusieurs moments d'une quinzaine de minutes.RésuméEstimer le diviseur en fonction du dividende et du quotientContexte d’usage de la calculatriceVÉRIFIERContenus mathématiques viséesDivision EstimationPrérequisConnaître le concept de divisionLien(s) avec les plans d'études et moyens d’enseignementOA : Utiliser des propriétés des opérations et du système de numération pour effectuer des calculs de façon efficace PE : OFL Utiliser des propriétés des opérations et du système de numération pour effectuer des calculs de façon efficace. ME 5P : Thème 6 ME 6P : Thème 2Mots-cléDivision, diviseur, dividende, quotient, estimation, SourceSecteur des Mathématiques de l'Enseignement Primaire  Énoncé élève (Activité 06) 

Règle du jeu pour deux joueurs

Matériel : une calculatrice papier crayons

Le premier joueur choisit :
un nombre entre 200 et 400 qu'il tape sur la calculatrice suivi de la touche division (.
une des cibles suivantes : - entre 10 et 15 - entre 11 et 16 - entre 12 et 17 - entre 13 et 18 - entre 14 et 19 - entre 15 et 20
Le second joueur doit introduire un nombre tel que le résultat de le quotient soit dans la cible. Il a droit à plusieurs essais mais tous les résultats obtenus sont écrits.
Ensuite, les joueurs changent de rôle.

Le but est d'atteindre la cible avec le moins possibles d'essais.

Exemple :
327 ( …….. = ……… Cible  : entre 13 et 18
327 ( …….. = ………
327 ( …….. = ………
…

 Corrigé détaillé (Activité 06) 
Soit N un nombre donné, c1 la valeur inférieure de la cible et c2 la valeur supérieure de la cible.
L'ensemble des solutions est compris entre les valeurs N / c2 et N / c1
Si l'on se limite aux nombres entiers, les solutions sont comprises entre la valeur arrondie par excès de N / c2 et la valeur arrondie par défaut de N / c1.
Par exemple, si le nombre de départ est 327 et la cible comprise entre 13 et 18, (N = 327, c1 = 13 et c2 = 18), les solutions seront comprises entre 327/18 et 327/13, c'est-à-dire, en valeurs entières, supérieures ou égales à 19 et inférieures ou égales à 25.

 Commentaires pour le maître (Activité 06) 
Analyse à priori de l'activité (enjeux de l’activité, démarches possibles, difficultés, relances, mise en commun)Intentions
Cette activité permet - de travailler l'estimation de multiplications ou de divisions - de revoir le concept de division - de jouer avec l'ordre de grandeur des nombres
Démarches possibles
- essayer des nombres au hasard - essayer des nombres en tenant compte des résultats précédents
- chercher un nombre qui, multiplié par un nombre compris dans la cible donne le nombre de départ
- diviser le nombre de départ par un nombre compris dans la cible,
- faire des opérations approchées
- utiliser des procédures de calcul réfléchi
- utiliser les algorithmes pour effectuer des multiplications ou des divisions
- …
Mise en commun
La mise en commun est l'occasion pour les élèves
- de faire part de leur démarches,
- d'établir le rapport de réciprocité entre multiplication et division
- de faire le lien entre dividende, diviseur et quotient,
- de mettre à plat les démarches personnelles de calcul réfléchi, d'en discuter et de les comparer
- …Proposition(s) de déroulementNombre d'élèves
Toute la classe, par groupes de 2

Matériel
Calculatrice personnelle

Cette activité peut faire l'objet d'un atelier, être à disposition dans le coin mathématique ou faire l'objet d'un concours.
Dans un premier temps cependant, il est nécessaire de proposer l'activité de manière collective de manière à ce que chaque élève puisse s'approprier les règles du jeu et que les démarches des élèves puissent être mises en commun.
Comme beaucoup de jeux dans lesquels des compétences calculatoires sont visées, ce jeu doit être répété à de nombreuses reprises.
Cette activité peut être différenciée en jouant sur l'ordre de grandeur des nombres.
Il est évident que cette activité est plus intéressante si les élèves sont appelés à utiliser des procédures de calcul réfléchi. La calculatrice ne devrait donc être utilisées que pour vérifier les opérations proposées. Elle peut cependant permettre à certains élèves de mieux concevoir la tâche et les inciter à faire des divisions plutôt que des multiplications.Prolongements possiblesCf. tableau des changements de variables ci-dessousÉventuels commentaires après les avoir testées (du maître, des élèves, …)Productions d'élèves
Changements de variables.
Cette activité peut être proposée avec d'autres valeurs numériques.
Nombre de départCibles possiblesentre 400 et 700entre 15 et 20 entre 16 et 21entre 17 et 22 entre 18 et 23entre 19 et 24 entre 20 et 25entre 600 et 1000entre 20 et 25 entre 21 et 26entre 22 et 27 entre 23 et 28entre 24 et 29 entre 25 et 30entre 850 et 1500entre 25 et 30 entre 26 et 31entre 27 et 32 entre 28 et 33entre 29 et 34 entre 30 et 35entre 1200 et 2000entre 30 et 35 entre 31 et 36entre 32 et 37 entre 33 et 38entre 34 et 39 entre 35 et 40entre 1500 et 2500entre 35 et 40 entre 36 et 41entre 37 et 42 entre 38 et 43entre 39 et 44 entre 40 et 45entre 1800 et 3000entre 40 et 45 entre 41 et 46entre 42 et 47 entre 43 et 48entre 44 et 49 entre 45 et 50entre 2500 et 4000entre 45 et 50 entre 46 et 51entre 47 et 52 entre 48 et 53entre 49 et 54 entre 50 et 55
 Éléments pour la synthèse (Activité 06) 
Dans cette activité, la tâche consiste à déterminer approximativement un diviseur tel que le quotient soit dans la cible. Pour ce faire, la démarche la plus efficace consiste à diviser le nombre de départ par un des nombres compris dans la cible.
Pour éviter des calculs algorithmiques fastidieux, inutiles d'ailleurs puisque des calculs exacts ne sont pas nécessaires vu la largeur de la cible, les élèves doivent déterminer une opération voisine, à la fois plus simple de manière à être calculée par calcul réfléchi, mais aussi suffisamment proche pour atteindre la cible.
Par exemple, si le nombre de départ est 327 et la cible entre 13 et 18.
On pourrait calculer exactement 327 : 15,5, ou 327: 16, 16 étant encore relativement au milieu de la cible. Mais des opérations proches, comme 320 : 16 ou 330 : 15, voire même 300 : 15 que l'on peut aisément calculer, suffisent pour déterminer un diviseur qui atteint la cible.
Si un nombre ne permet pas d'atteindre la cible, la question à se poser est de savoir s'il faut proposer ensuite un autre plus petit ou plus grand.
Par exemple, si le nombre de départ est 2704 et la cible entre 40 et 45, on peut proposer 60 (2700 : 45 = 60 semble être une bonne approximation). Mais 2704 : 60 > 45. Faut-il alors essayer 61 ou 59 ? Il est souhaitable qu'un débat puisse avoir lieu entre les élèves.
Il devrait en ressortir que plus le diviseur est grand, plus le quotient est petit et inversement.
« Problèmes divisifs »
 Fiche de présentation 
Titre de l’activitéBouteilles de limonade à transporter et autres petits problèmesSous-titreProblèmes divisifs impliquant une division euclidienneDegrés concernés 5-6 EP - 7CODurée estimée10 – 90 minutes en fonction du nombre de problèmes proposés et de l'insertion ou non d'autres problèmes dont la résolution ne passe pas par une division.RésuméRésoudre des problèmes divisifsContexte d’usage de la calculatriceEXECUTER APPROFFONDIR CONCEPTUALISERContenus mathématiques viséesMultiplication, divisionPrérequisLien(s) avec les plans d'études et moyens d’enseignementOA : Traduire les données d'un problème en opérations arithmétiques PE : OFL Résoudre des problèmes multiplicatifs et divisifs. Interpréter un résultat. Traduire des calculs en écriture divisive. ME 5P : Thème 6 ME 6P : Thème 2Mots-cléDivision, division euclidienne, interprétation d'un resteSources- Moyens d'enseignement : Mathématiques sixième année, Michel Chastellain, Corome - 2002, Livre de l'élève p. 24 - Épreuves cantonales de maths 6e primaire - Secteur des Mathématiques de l'Enseignement Primaire  Énoncé élève (Activité 07) 

Bouteilles à transporter
Patrick et Christiane ont 1000 bouteilles de limonade à transporter. Combien leur faudra-t-il de voyages s'ils mettent 36 bouteilles dans leur caisse ?
Patrick prétend qu'il faudrait moins de voyages en mettant une bouteille de plus par caisse.
Est-ce vrai ?

Multiples de 8
Entre 1 et 2004, combien y a-t-il de multiples de 8 ?

100e jour
Cette année-là, le premier jour fut un jeudi, le deuxième jour fut donc un vendredi et le troisième jour un samedi.
Quel jour de la semaine fut le 100e jour ?

Carrelage
Un carreleur doit recouvrir le sol d'une pièce rectangulaire de 3,25 m sur 4,10 m avec des catelles carrées de 12 cm de côté, vendues par paquets de 24.
Combien de paquets de catelles ce carreleur doit-il acheter ?

Anniversaire
Séraphine vient de fêter ses 10'000 jours.
Mais quel âge Séraphine aura-t-elle lors de son prochain anniversaire ?

119e décimale
Lorsque l'on divise 126 par 37, quel est le chiffre de la 119e décimale ?
 Corrigé détaillé (Activité 07) 
Bouteilles à transporter 1000 : 36 = 27 reste 28 Patrick et Christiane devront donc faire 28 voyages en transportant par exemple 36 bouteilles lors des 27 premiers voyages et les 28 bouteilles restantes pour le dernier voyage. Patrick a tort. S'ils suivaient son idée, Patrick et Christiane feraient 27 voyages avec 37 bouteilles (27 ( 37 = 999) et un 28e voyage pour transporter la dernière bouteille. En effet la division donne 1000 : 37 = 27 reste 1.
Multiples de 8 2004 : 8 = 250,5 ou 2004 : 8 = 250 reste 4. Le problème réside dans l'interprétation de la partie décimale du quotient ou dans l'interprétation du reste. La réponse ne pouvant être qu'un nombre entier, est-ce 250 ou 251 ? Pour un nombre multiple de 8, par exemple 40, le nombre de multiples de 8 entre 1 et 40 est le résultat de la division de 40 par 8, donc 5 multiples (8, 16, 24, 32, 40). Pour les nombres suivants 41, 42, 43, 44, … 47, le nombre de multiples reste inchangé puisqu'il n'y a pas de nouveau multiple de 8. Entre 1 et 2004, il y donc le même nombre de multiples de 8 (ce sont d'ailleurs les mêmes) qu'entre 1 et 2000 (2000 est le plus grand multiple de 8 inférieur à 2004), c'est-à-dire 250.
100e jour
JeudiVendrediSamediDimancheLundiMardiMercredi123456789101112131415161718192021222324…En observant ce tableau, on constate que dans la colonne mercredi il n'y a que des multiples de 7, que tous les multiples de 7 plus 1 sont des jeudis, que tous les multiples de 7 plus 2 sont des vendredis, … 100 est un multiple de 7 plus combien ? Répondre à cette question permet de déterminer la colonne dans laquelle se trouve 100. Pour cela l'outil le plus approprié est la division euclidienne : 100 : 7 = 14 reste 2. 100 est un multiple de 7 plus 2, ce sera donc un vendredi.
Anniversaire L'outil de résolution le plus approprié pour résoudre ce problème est à nouveau la division euclidienne : 10000 : 365 = 27 reste 145 et 10000 : 366 = 27 reste 118. Que l'on compte avec des années de 365 ou de 366 jours, Séraphine aura 28 ans lors de son prochain anniversaire. On peut aussi considérer qu'une année moyenne comporte 365,25 jours. 10000 : 365,25 = 27,3785… et une bonne interprétation de la partie décimale permet de donner le résultat.
Carrelage Ce problème est un problème à tiroirs : pour déterminer le nombres de paquets, il s'agit d'abord de trouver le nombres de catelles. Mais pour cela, il faut comparer les dimensions de la pièce avec celles d'une catelle, ce qui implique un changement d'unités. Ce problème comporte de plus deux implicites : les catelles sont posées parallèlement aux côtés de la pièce et elles sont posées bord à bord (il n'y a pas de joint entre elles). Exprimées en centimètres, la largeur et la longueur de la pièce sont respectivement de 325 cm et de 410 cm. Combien de catelles peut-on placer en largeur, combien en longueur ? La division ou la division euclidienne permet de répondre à cette question. 325 : 12 = 27 reste 1 ou 325 : 12 = 27,08333…, 410 : 12 = 34 reste 2 ou 410 : 12 = 34,1666… En supposant que pour chaque fraction de catelle, le carreleur doit prendre une nouvelle catelle, il placera 28 catelles en largeur et 35 en longueur et aura donc besoin de 980 catelles. En supposant que le carreleur parvienne à partager sans casse les catelles en 6 morceaux rectangulaires de 2 cm de large ou en 12 morceaux de 1 cm de large, il lui faudra exactement 926 catelles (918 catelles entières, 34 morceaux de 1(12 cm découpés dans 3 catelles et 27 morceaux de 2(12 cm et un morceau de 2(1 cm découpés dans 5 catelles). Pour 980 catelles, le carreleur doit acheter au moins 41 paquets de 24 (980 : 24 = 40 reste 20). Pour 926 catelles, le carreleur doit acheter au moins 39 paquets de 24 (926 : 24 = 38 reste 14).
119e décimale 126 : 37 = 3,405405405… . Effectuer cette division à l'aide de l'algorithme par les échanges permet de comprendre la périodicité de la partie décimale.
12637-1113,405405…150-148200-185150-148200-18515…On constate d’abord que les chiffres des décimales se répètent avec une périodicité de 3. On observe que le chiffre des 1re, 4e, 7e, 10e, 13e … décimales est toujours 4, que le chiffre des 2e, 5e, 8e 11e 14e … décimales est toujours 0 et que le chiffre des 3e, 6e, 9e, 12e, 15e … décimales est toujours 5. Autrement dit, 5 est le chiffre de toutes les décimales dont la position est un multiple de 3, 4 est le chiffre de toutes les décimales dont la position est un multiple de 3 plus 1 et 0 est le chiffre de toutes les décimales dont la position est un multiple de 3 plus 2. Comme 119 est un multiple de 3 plus 2 (119 : 3 = 39 reste 2 ou 3 ( 39 ( 2 = 119), le chiffre de la 119e décimale du quotient de 126 par 37 est un 0.
 Commentaires pour le maître (Activité 07) 
Analyse à priori de l'activité (enjeux de l’activité, démarches possibles, difficultés, relances, mise en commun)Intentions
Cette activité permet aux élèves : - de consolider les concepts de multiplication et de division et d'expliciter les liens entre les deux opérations, - prendre conscience de la relation entre dividende, diviseur, quotient et reste dans une division euclidienne - d'effectuer des divisions à l'aide de différents outils de calcul.
Démarches possibles
NB : on donne ici des indications pour le premier problème, à transposer pour les autres.
- répéter l'addition de 36 pour atteindre 1000 puis compter le nombre de fois que 36 a été additionné : 36 + 36 + 36 + 36 + 36 + 36 … pour atteindre 1000. 1 2 3 4 5 6 … - soustraire un certain nombre de fois 36 à 1000 pour atteindre 0 puis compter le nombre de soustractions 1000 – 36 – 36 – 36 – 36 … 1 2 3 4 … ou bien 1000 – 360 – 360 – 36 – 36 … 10 20 21 22 … puis de la même manière avec 37. - faire plusieurs essais pour résoudre la multiplication lacunaire 36 ( ? = 1000 36 ( 20 = 720 36 ( 30 = 1080 36 ( 27 = 972 36 ( 28 = 1008 donc 27 voyages puis de la même manière avec 37. - résoudre la division par algorithme, avec quotient et reste : 1000 : 36 = 27 reste 28 - résoudre la division par algorithme, avec partie décimale 1000 : 36 = 27.777777… - résoudre la division avec la calculatrice, sans utilisation de la division euclidienne - résoudre la division avec la calculatrice, en utilisant la touche "division euclidienne" - interpréter correctement ou non le reste.

Difficultés potentielles
- ne pas comprendre ce qui est demandé, ce que l'on doit chercher,
- effectuer des opérations avec les données numériques du problème mais sans leur donner de sens.
- ne pas parvenir interpréter le résultat d'un calcul
- oublier le sens d'une opération après en avoir fait le calcul
- réaliser que le résultat ne peut pas être non entier sans savoir qu'en faire,
- …Proposition(s) de déroulementProposer ces problèmes divisifs avec des problèmes multiplicatifs ou additifs pour mettre en évidence les différentes opérations.
L'emploi de la calculatrice doit être proposée aux élèves qui résolvent ces problèmes sans passer par la division avec comme relance : - Est-il possible de résoudre ce problème en faisant moins d'opérations ? ou - Comment trouver le résultat en ne faisant qu'une seule opération sur la calculatrice ?
Inciter les élèves qui utilisent la calculatrice pour faire une division à se poser des questions sur le résultat, notamment sur la partie décimale. Monter également comment effectuer une division euclidienne sur la calculatrice et faire le lien avec l'algorithme.Prolongements possiblesTout autre problème divisif.Éventuels commentaires après les avoir testées (du maître, des élèves, …)Productions d'élèves


Éléments pour la synthèse (Activité 07) 

Parmi les diverses démarches pour résoudre ces problèmes, la division euclidienne est la plus efficace.
L'emploi de la calculatrice permet de découvrir et/ou donner du sens à une opération (la division) qui peut remplacer une suite d'opérations plus ou moins longues (additions ou soustractions répétées) ou aléatoires (multiplication lacunaire).
Ces problèmes sont aussi l'occasion montrer comment réaliser une division euclidienne sur la calculatrice TI-34II que les élèves ont à disposition (touches ( ().

Division euclidienne
Si l'on prend deux entiers naturels non nuls a et b, il existe deux uniques entiers naturels q et r tels que a = b(q + r avec 0 ( r < b.
On dit alors qu'on a réalisé la division euclidienne de a par b ; q est le quotient, et r le reste de cette opération.
Par exemple, dans la division euclidienne de 23 par 4 : le quotient est 5 et le reste est 3. En effet, 23 = 4 × 5 + 3.

« Valeur exacte et approchée »
 Fiche de présentation 
Titre de l’activitéValeur exacte et approchéeSous-titreRacine carréeDegrés concernés 9CODurée estimée30 minutesRésuméComparer une valeur exacte (racine) et une fractionContexte d’usage de la calculatriceAPPROFONDIR  Le quotient est égal à la valeur affichée par la calculatrice pour la racine carrée : il faut expliquer cette erreur !.Contenus et compétences mathématiques visésExistence de nombres irrationnels.PrérequisDéfinition de la racine carréeExtrait(s) du plan d'étudesNO 9 : « Sensibiliser les élèves au fait qu’il existe d’autres nombres que les rationnels »
NO 9 :« Outils de vérification : retour au sens de la puissance comme multiplication répétée ».
NO 9 : « Obstacles et erreurs : accepter qu’une écriture sous forme d’opérations non effectuées représente un nombre. »Lien(s) avec les moyens d’enseignementMERM « Nombres et opérations » n° 214 : DépitMots-clérationnel, irrationnel, racine, valeur exacte, valeur approchéeSourceIUFM Créteil  Énoncé élève (activité 08) 
A l’aide de la calculatrice, comparer les deux nombres suivants:

Ces deux nombres sont-ils égaux ? Pourquoi ?
 Corrigé détaillé (activité 08) 
Avec la calculatrice on obtient les valeurs approchées :
EMBED Unknown
Ces deux nombres semblent égaux.
La racine carrée de 2 est un nombre irrationnel (il ne pourra jamais s’écrire comme le rapport de nombres entiers). Les deux nombres ne sont donc pas égaux, mais leur différence est très petite. Comment expliquer cela ?
Revenons à la définition de la racine et calculons, avec la calculatrice le carré de la fraction
EMBED Unknown
On a aussi :
EMBED Unknown mais :
EMBED Unknown
Conclusion : La fraction est une valeur approchée de la racine carrée ; les onze premières décimales sont identiques et la douzième est différente. L’affichage de neuf décimales ne permet pas de les distinguer à l’affichage sur la calculatrice. Mais les calculs ne sont pas effectués seulement avec les décimales affichées ; la calculatrice utilise des valeurs approchées plus précises, ce qui permet de montrer, avec la calculatrice que ces deux nombres ne sont pas égaux.
Preuve  : EMBED Unknownest le quotient d’un nombre impair par un nombre pair et ne peut donc pas être un nombre entier.
 Commentaires pour le maître (activité 08) 
Analyse à priori de l'activité (enjeux de l’activité, démarches possibles, difficultés, relances, mise en commun)Voir « Une activité en Or » à l’adresse ci-dessous  HYPERLINK http://www.ac-grenoble.fr/irem/new2006/Debat_scientifique http://www.ac-grenoble.fr/irem/new2006/Debat_scientifique pour une analyse à priori, un compte-rendu de devoir à la maison, et une proposition de gestion de la classe. Cette activité devrait se dérouler après l’introduction aux nombres irrationnels et devrait avoir pour objectif l’étude du fonctionnement de la calculatrice en lien avec la différence entre une valeur exacte et une valeur approchée.
Relancer les élèves qui ne voient pas l’erreur, en leur demandant de chercher pourquoi le carré de la fraction n’est pas un nombre entier.
La correction collective permettra de faire émerger les décimales « de réserve ».Proposition(s) de déroulementBrève recherche individuelle. Vote.
Débat avec correction collective et prolongement.Prolongements possiblesFaire afficher 1/ 3, et calculer le triple du nombre affiché. Puis calculer 1 / 3 * 3 pour montrer qu’ici aussi la calculatrice ne calcule pas seulement avec les chiffres affichés à l’écran.
Calculer 777 777 777 777 – 777 777 777 776 puis 77 777 777 777 777 – 77 777 777 777 776. Le premier résultat sera 1, mais le deuxième 0. Calculer 123456789123456-123456789000000Éventuels commentaires après les avoir testées (du maître, des élèves, …)Productions d'élèves  Éléments pour la synthèse (activité 08) 
La représentation des nombres, dans une calculatrice, est basée sur le principe de codage appelé DCB (Décimal Codé Binaire) et ce n’est pas le même que celui effectué dans les logiciels de mathématiques professionnels.
Le principe en est le suivant : tout nombre est mis sous forme scientifique :
signe / mantisse appartenant à [1,10[ / exposant de 10
Les chiffres de la mantisse sont codés en binaire (mais un nombre limité de bits étant réservé au codage de la mantisse, tous les chiffres ne peuvent pas nécessairement être pris en compte dans ce codage et donc dans les calculs, voir ci-après). Les exposants vont de -99 à 99 et sont aussi codés en binaire, tout comme le signe.
Il faut bien sûr distinguer le nombre saisi au clavier, la représentation du nombre en mémoire et l’affichage du nombre sur l’écran de la calculatrice.
Les calculatrices affichent aujourd’hui un maximum de 10 à 12 chiffres significatifs mais calculent avec 12, 13 et le plus souvent 14 chiffres, ce qui permet de limiter les effets des erreurs d’arrondi dans les successions de calculs.
 Exercices de consolidation (activité 08) 
« Retour case départ »
 Fiche de présentation 
Titre de l’activitéRetour case départSous-titreProuver à l’aide du calcul littéralDegrés concernés 9CODurée estimée45 minutes RésuméL’élève utilise une boîte noire (fonctionnelle), doit faire une conjecture et la résoudre.Contexte d’usage de la calculatriceEXÉCUTERContenus et compétences mathématiques visésUtiliser un algorithme de calcul pour assimiler le passage du langage parlé aux conventions d’écriture.
Prouver en utilisant le calcul littéralPrérequisCalcul algébrique (distributivité, réduction)Extrait(s) du plan d'étudesAlgèbre 9 : « Ce domaine doit permettre d’utiliser l’algèbre dans des démonstrations simples … d’utiliser l’algèbre dans sa fonction génératrice pour produire des formules. »Lien(s) avec les moyens d’enseignementExercice 44 livre «Calcul Littéral » des MERM. (énoncé similaire)Mots-clésalgèbre, formule, réduire, preuveSourceIUFM Créteil  Énoncé élève (activité 09) 
Choisir un entier relatif, lui ajouter son successeur immédiat, multiplier le résultat obtenu par 3 puis retrancher 3, diviser le résultat par 6 a) Comparer votre résultat à celui de vos camarades. Bizarre, non ? b) Pourrait on être certain de la propriété mise en évidence ? Prolongement : Choisir un nombre (non entier), lui ajouter 1, ajouter les deux nombres, multiplier le résultat obtenu par 3 puis retrancher 3, diviser le résultat par 6. Obtient-on toujours la même propriété ?
 Corrigé détaillé (activité 09) 
Présenter les essais à l’aide d’un tableau pour mettre en évidence le passage du langage parlé aux conventions d’écriture, ainsi que la fonction génératrice de l’algèbre :
 prolongementun nombre relatif01-12-23-3n-0,7son suivant1203-14-2n+10,3la somme des deux nombres successifs13-15-37-52n+1-0,4le produit du résultat par 339-315-921-156n+3-1,2la différence de 306-612-1218-186n-4,2Le quotient par 601-12-23-3n-0,7
Pour programmer cette boîte noire avec la touche OP1 de la calculatrice : voir activité n° 05 « Boîtes noires » en utilisant la formule ((ANS+ANS+1)x3-3)/6
Pour utiliser le « programme » :
taper un nombre
puis ENTER
puis OP1
répéter avec d’autres nombres.
 Commentaires pour le maître (activité 09) 
Analyse à priori de l'activité (enjeux de l’activité, démarches possibles, difficultés, relances, mise en commun)En programmant cette boîte noire avec la calculatrice, c’est l’occasion de mettre en évidence la priorité des opérations, et l’utilisation des parenthèses. Ainsi on peut compléter rapidement le tableau et mieux mettre en évidence la propriété cherchée.
Après que les élèves se soient convaincus que cette séquence d’opérations restitue toujours le nombre initial, on peut leur faire écrire la formule avec une variable et leur montrer pourquoi cela se passe toujours ainsi. Proposition(s) de déroulementProlongements possiblesLes élèves travaillent par deux : chacun invente un énoncé et le fait chercher à l’autre.
Exercice 44 livre «Calcul Littéral » des MERM. (énoncé similaire)Éventuels commentaires après les avoir testées (du maître, des élèves, …)Productions d'élèves  Éléments pour la synthèse (activité 09) 

 Exercices de consolidation (activité 09) 
Exercice 141 du livre “Calcul Littéral” MERM pour exercer la traduction
Exercice 11 “Droit au but” du livre “Calcul Littéral” MERM pour des démonstrations à l’aide de l’algèbre. (Énoncé ci-dessous)

« Afficher 10 »
 Fiche de présentation 
Titre de l’activitéAfficher 10Sous-titreDegrés concernés 7CODurée estimée15 minutes + recherche à la maison + 45 minutes RésuméLe défi est de faire (au plus) 4 opérations (avec des nombres entiers à 1 chiffre) pour obtenir 10 à partir d’un nombre quelconque inférieur à 1000. À jouer à 2, en changeant les rôles.Contexte d’usage de la calculatriceRECHERCHERContenus et compétences mathématiques visésDécouvrir – Justifier une stratégie
Comprendre et comparer les effets des quatre opérations avec des entiersPrérequisExtrait(s) du plan d'étudesInitiation à la recherche 7, 8, 9 : « les cadres de prédilection des problèmes de recherche sont, au niveau du CO, la numération, la géométrie et les jeux de stratégie. »Lien(s) avec les moyens d’enseignementMERM « Logique et Raisonnement » n° 125 : Le maximumMots-cléschiffre, jeux, stratégie, opérationsSourceMoyen d’enseignement canadien « Carrousel » 1ère année tome 1 p 95)  Énoncé élève (activité 10) 
A partir d’un nombre entier compris entre 100 et 1000, faire afficher 10 sur la calculatrice comme résultat de 4 opérations au maximum en n’opérant qu’avec des nombre sentiers compris entre 1 et 9..
Exemple : 456 + 3 = 459 459 : 9 = 51 51 + 9 = 60 60 : 6 = 10
Joue une partie de « Afficher 10 » avec un(e) camarade. A tour de rôle, chacun donne un nombre à l’autre.
Découvrez une stratégie efficace pour gagner.
Peut-on gagner avec n’importe quel nombre ?
 Corrigé détaillé (activité 10) 
Méthode experte : le problème peut être pris à l’envers et l’énoncé devient : « En partant de 10, quels nombres peut-on obtenir en un maximum de 4 opérations, en n’utilisant que des nombres compris entre 1 et 9? »
Voici la construction d’une solution pour tous les nombres entiers (de 10 à 1000).
10 … 99 2 opérations suffisent : multiplier par le chiffre des dizaines puis ajouter le chiffre des unités. Exemple 74 = 10(7+4. Pour afficher 10, on va donc soustraire le chiffre des unités, puis diviser par le chiffre des dizaines.
90…899 Commencer par obtenir les nombres de 10 à 99 en deux opérations (item précédent), puis (troisième opération) multiplier par 9 pour obtenir les multiples de 9 suivants : 90, 99, 108, … 882, 891. Ajouter (quatrième opération) 1,2, … ou 8 pour obtenir n’importe quel nombre entier compris entre ces multiples de 9. Lors du jeu, la tactique consiste à soustraire pour obtenir un multiple de neuf, puis diviser par 9 puis reprendre la tactique pour les nombres entre 10 et 99.
899 …1000 sauf 955 à 962 et 982 à 998
L’idée suivante consiste à obtenir les multiples de 9 compris entre 899 et mille ; pour cela on cherche à obtenir des nombres entre 100 et 111 en deux opérations, d’abord par une addition puis avec une multiplication.
On obtient : (10+7) ( 6 = 102 (10+3) ( 8=104 (10+5) ( 7 =105 (10+2) ( 9=108 (10+ 4) ( 8 = 112 La multiplication par 9 de ces cinq nombres donne 918, 936, 945, 972, 1008. La quatrième opération sera l’addition ou la soustraction des chiffres 1 à 9 :
On atteindra …909…927927…945936…954963…981999 et 1000.depuis …9189369459721008
901 à 908 ; 955 à 962 ; 982 à 998
Il reste à atteindre 901 à 908 ; 955 à 962 et 982 à 998 pour terminer. On peut obtenir un multiple de 10 compris dans les zones encore non atteintes en trois opérations.
901…908 10(2(5(9 = 900. La quatrième opération (ajouter 1, 2, … ou 9) donne les nombres manquants.
955…962 10(3(4(8 = 960. Terminer en ajoutant ou soustrayant les nombres de 1 à 9.
981…989 10(2(7(7 = 980. Terminer par l’addition.
991…9 10(4(5(5 = 1000. Soustraire.
990 10+1 puis 11(2(5(9 = 990.
Il y a en général plusieurs façons d’obtenir un nombre.
 Commentaires pour le maître (activité 10) 
Analyse à priori de l'activité (enjeux de l’activité, démarches possibles, difficultés, relances, mise en commun)Le travail à rebours ne doit pas être suggéré trop vite.
Pour des élèves ayant des difficultés, et pour favoriser la théorisation, on peut proposer d’atteindre des nombres autour de 100 en deux, puis trois étapes.Proposition(s) de déroulementCommencer l’exercice en fin de séance (15 minutes) afin de s’assurer que chaque élève ait compris la consigne et le but du jeu.
Le jeu continue le lendemain, après une recherche à la maison de la stratégie.Prolongements possiblesÉventuels commentaires après les avoir testées (du maître, des élèves, …)Productions d'élèves
 Éléments pour la synthèse (activité 10) 
Une des stratégies pour résoudre un problème est de travailler à rebours : ici il s’agit de partir de 10 et non du nombre qui a été choisi.
Cette activité est à mettre en lien avec la décomposition d’un nombre en produit de facteurs et avec la division euclidienne.
 Exercices de consolidation (activité 10) 
Voici différents exemples où on travaille à rebours:
MERM « Logique et Raisonnement » n° 125 : Le maximum

Activité 11 « Une aire et beaucoup de périmètres »
 Fiche de présentation 
Titre de l’activitéUne aire et beaucoup de périmètresSous-titreInterdépendance de l’aire et du périmètreDegrés concernés 7CODurée estimée30 minutesRésuméIl s’agit de maximiser le périmètre avec une contrainte sur l’aire d’un rectangle.Contexte d’usage de la calculatriceEXERCER.
Non indispensable au début, la calculatrice permet de faire des essais avec des nombres inférieurs à 1.Contenus et compétences mathématiques visésDistinguer les notions d’aire et de périmètre.
Dans l’ensemble des nombres positifs, on obtient un nombre supérieur quand on divise par un nombre inférieur à 1.PrérequisFormule pour le calcul de l’aire et du périmètre d’un rectangle.Extrait(s) du plan d'étudesGM 7 : « établir la distinction et l’interdépendance des notions de longueur, de périmètre et d’aire : l’aire du rectangle, par exemple, dépend de ses dimensions, mais pas de son périmètre. »
GM 8 : Obstacles et erreurs caractéristiques : « Multiplication et division par un nombre compris entre 0 et 1 »Lien(s) avec les moyens d’enseignementMots-clésrectangle, périmètre, aire, maximumSourceProblème classique.  Énoncé élève (activité 11) 
Parmi tous les rectangles d’aire 24 cm2, lequel a le plus grand périmètre ? Utiliser un tableau pour présenter les résultats.
Question facultative : Trouver deux rectangles d’aire 24 cm2, et de périmètre supérieur à 10 000 cm.
largeur (cm)longueur (cm)périmètre (cm)
Autre formulation : Stéphane affirme qu’il peut dessiner un rectangle d’aire 24 cm2 et de périmètre 10'000 cm. Térence prétend qu’il bluffe. Qu’en pensez-vous ?  Corrigé détaillé (activité 11) 
Choisir une largeur, diviser l’aire par cette largeur pour trouver la longueur du rectangle ; puis additionner la largeur et la longueur pour trouver le demi périmètre et terminer en multipliant par deux.
Utiliser un tableau pour présenter les résultats :
largeur (cm)123460,50,10,01longueur (cm)2412864482402400périmètre (cm)502822202097480,024800.002Il est ainsi possible de remplir le tableau avec des périmètres aussi grands que l’on veut ! Par exemple : choisir 1 / 10 000 pour largeur donne une longueur de 240 000 et un périmètre supérieur à 2 x 240 000 soit 480 000. Il est à noter que dans ce calcul du périmètre, on peut négliger les deux largeurs.
 Commentaires pour le maître (activité 11) 
Analyse à priori de l'activité (enjeux de l’activité, démarches possibles, difficultés, relances, mise en commun)Les élèves cherchent les décompositions de 24 en nombres entiers et trouvent que 1x24 donne le plus grand périmètre. Certains élèves ne pensent à utiliser que des nombres entiers
Lorsqu’un élève utilise un nombre décimal inférieur à 1 (0,5 par exemple) certains élèves ne trouvent pas la longueur correspondante : ici la calculatrice permet d’exécuter les calculs.Proposition(s) de déroulementRecherche individuelle, ou en binôme avec affichage au tableau du plus grand périmètre trouvé.Prolongements possiblesReprésenter dans un repère les points correspondants au tableau donnant le périmètre en fonction de la largeur.
Parmi tous les rectangles d’aire 24 cm2, lequel a le plus petit périmètre ?Éventuels commentaires après les avoir testées (du maître, des élèves, …)Productions d'élèves Éléments pour la synthèse (activité 11) 

 Exercices de consolidation (activité 11) 
Exercices tirés du site Mathenpoche
La calculatrice ne sera utilisée que pour vérifier les réponses!
Calcule mentalement les multiplications et les divisions suivantes et note le résultat dans ton cahier :
1 000 × 0,05
10 000 × 0,05
5,3 × 0,1
3,42 × 0,001
34 000 × 0,1
3 000 × 0,00001
3,35 × 0,001
8,4 ÷ 1 000
0,045 ÷ 10
25 000 ÷ 100
5 600 ÷ 10 000
Complète les pointillés par +, ×, – ou ÷ :
56 … 100 = 0,56
0,4 … 0,001= 400
0,045 … 10 = 0,0045
450 … 0,1 = 4 500
25 000 … 100 = 250
5 … 0,01 = 500
1 000 … 10 = 1 010
3 100 … 100 = 3 000
2 500 100 = 2 600
10 … 100 = 1 000
Pour chaque produit, calcule le facteur manquant, en indiquant au préalable l'opération à effectuer pour le trouver :
« ? × 4,5 = 5,4 » 5,4 ...... 4,5 = ......... donc ...... × 4,5 = 5,4
« ? × 1,13 = 0,904 » ........ ..... ........= ......... donc ................ = ........
« 25,2 × ? = 7,56 » ....... ....... ........=............. donc .............................
« 8,7 × ? = 75,69 » ................................... donc .............................
Recopie et effectue les opérations suivantes :
0,1 × 7 × 1 000
5,6 × 0,01 × 0,1
3,5 × 0,01 × 10
1,5 ÷ 0,1 × 0,1
4 × 0,01 ÷ 10
1 000 ÷ 0,01 × 4,56
34 ÷ 0,01
0,64 ÷ 10
9,4 ÷ 0,0001
0,945 ÷ 0,0001
12,7 ÷ 0,1
5,9458 ÷ 0,00001
Complète les pointillés par le nombre qui convient
…. × 5,45 = 5 450
298 × … = 0,0298
3,45 × … = 0,345
10 000 × … = 0,3
2,345 × … = 234,5
10 × … = 0,01423
34 ÷ … = 3,4
…÷ 100 = 0,00034
…÷ 1 000= 56
0,045÷ … = 0,00045
400 ÷ … = 0,04
250 000÷ …= 25
Complète les pointillés par 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; ... :
3,4 × … = 0,034
12 × … = 0,12
345 × … = 0,0345
34 × … = 0,034
…× 0,1 = 0,01
…× 9 800= 0,98

Activité 12 « Tant que ça »
 Fiche de présentation 
Titre de l’activitéTant que çaSous-titreValeur approchée de pourcentageDegrés concernés 8CODurée estimée30 minutesRésuméConnaissant une valeur approchée d’un pourcentage, il s’agit de retrouver le pourcentage.Contexte d’usage de la calculatriceAPPROFONDIR la notion de pourcentageContenus et compétences mathématiques visésEstimation d’un pourcentagePrérequisDéfinition d’un pourcentageExtrait(s) du plan d'étudesNO 8 : « à partir d’un pourcentage et d’une grandeur, calculer l’autre grandeur »
NO 8 : « Dans les problèmes d’estimation, il s’agit d’arrondir des décimaux,... Lien(s) avec les moyens d’enseignementMots-cléspourcentage, arrondir, valeur approchéeSourceLaura Weiss Énoncé élève (activité 12) 
Dans une classe, le pourcentage de filles, arrondi à un chiffre après la virgule est de 65,2%. Peut-on déterminer le nombre de filles et de garçons de la classe ?
Utiliser un tableau pour présenter les différents essais numériques effectués.
 Corrigé détaillé (activité 12) 
Filles\classe1516171819202122232425262728293010,0670,0630,0590,0560,0530,050,0480,0450,0430,0420,040,0380,0370,0360,0340,03320,1330,1250,1180,1110,1050,10,0950,0910,0870,0830,080,0770,0740,0710,0690,06730,20,1880,1760,1670,1580,150,1430,1360,130,1250,120,1150,1110,1070,1030,140,2670,250,2350,2220,2110,20,190,1820,1740,1670,160,1540,1480,1430,1380,13350,3330,3130,2940,2780,2630,250,2380,2270,2170,2080,20,1920,1850,1790,1720,16760,40,3750,3530,3330,3160,30,2860,2730,2610,250,240,2310,2220,2140,2070,270,4670,4380,4120,3890,3680,350,3330,3180,3040,2920,280,2690,2590,250,2410,23380,5330,50,4710,4440,4210,40,3810,3640,3480,3330,320,3080,2960,2860,2760,26790,60,5630,5290,50,4740,450,4290,4090,3910,3750,360,3460,3330,3210,310,3100,6670,6250,5880,5560,5260,50,4760,4550,4350,4170,40,3850,370,3570,3450,333110,7330,6880,6470,6110,5790,550,5240,50,4780,4580,440,4230,4070,3930,3790,367120,80,750,7060,6670,6320,60,5710,5450,5220,50,480,4620,4440,4290,4140,4130,8670,8130,7650,7220,6840,650,6190,5910,5650,5420,520,50,4810,4640,4480,433140,9330,8750,8240,7780,7370,70,6670,6360,6090,5830,560,5380,5190,50,4830,4671510,9380,8820,8330,7890,750,7140,6820,6520,6250,60,5770,5560,5360,5170,5161,06710,9410,8890,8420,80,7620,7270,6960,6670,640,6150,5930,5710,5520,533171,1331,06310,9440,8950,850,810,7730,7390,7080,680,6540,630,6070,5860,567181,21,1251,05910,9470,90,8570,8180,7830,750,720,6920,6670,6430,6210,6191,2671,1881,1181,05610,950,9050,8640,8260,7920,760,7310,7040,6790,6550,633201,3331,251,1761,1111,05310,9520,9090,870,8330,80,7690,7410,7140,690,667211,41,3131,2351,1671,1051,0510,9550,9130,8750,840,8080,7780,750,7240,7221,4671,3751,2941,2221,1581,11,04810,9570,9170,880,8460,8150,7860,7590,733231,5331,4381,3531,2781,2111,151,0951,04510,9580,920,8850,8520,8210,7930,767241,61,51,4121,3331,2631,21,1431,0911,04310,960,9230,8890,8570,8280,8251,6671,5631,4711,3891,3161,251,191,1361,0871,04210,9620,9260,8930,8620,833261,7331,6251,5291,4441,3681,31,2381,1821,131,0831,0410,9630,9290,8970,867271,81,6881,5881,51,4211,351,2861,2271,1741,1251,081,03810,9640,9310,9281,8671,751,6471,5561,4741,41,3331,2731,2171,1671,121,0771,03710,9660,933291,9331,8131,7061,6111,5261,451,3811,3181,2611,2081,161,1151,0741,03610,9673021,8751,7651,6671,5791,51,4291,3641,3041,251,21,1541,1111,0711,0341  Corrigé détaillé de l’activité 12 (suite) 
Si on ne peut pas utiliser un tableur, on peut commencer par écrire 65,2% sous la forme d’une fraction simplifiée :
EMBED Unknown 25 est un nombre raisonnable pour une classe !
Voici un tableau d’essais, pour une recherche organisée, à partir de la fraction 16 / 25 :
nombre de filles16161717171515nombre d’élèves25242526272423pourcentage de filles dans la classe (au 1/1000)0,6400,6670,6800,6540,6300,6250,652Cette réponse est-elle unique ?
En toute généralité NON, mais on doit prendre en compte des conditions réalistes avec le nombre d’élèves d’une classe compris entre 14 et 31. Dans ce cas, la page précédente donne la réponse : pour un nombre d’élèves compris entre 14 et 31, il y a une seule réponse.
Autre voie : on peut aussi partir de la fraction 60 / 100 soit 6 / 10 ou 3 / 5 .
Réponse : en prenant en compte des conditions réalistes pour le nombre d’élèves d’une classe, il n’y a qu’une réponse possible : 15 filles et 8 garçons.
 Commentaires pour le maître (activité 12) 
Analyse à priori de l'activité (enjeux de l’activité, démarches possibles, difficultés, relances, mise en commun)Autre énoncé possible.
« Dans l’Essai philosophique sur les probabilités du grand mathématicien Laplace (1749-1827) apparaît le rapport du nombre de garçons au nombre de filles à la naissance égal à 1,047. Exprimez ce rapport d’une façon plus parlante. »

Il est habituel lors d’une recherche de solution de commencer par une phase d’essais « en tous sens », puis d’affiner sa démarche : ici, la calculatrice permet de faire des essais, même inutiles pour se représenter la situation et voir comment le pourcentage change avec des nombres différents. Puis l’élève parviendra à augmenter ou diminuer soit le nombre de filles, soit le nombre total d’élèves pour approcher la valeur désirée.
Une présentation soignée des essais permet une meilleure interprétation.Proposition(s) de déroulementRecherche en binôme ou individuelle.
Cette activité pourrait être donné comme sujet de narration de recherche à faire à la maison.Prolongements possiblesA partir du tableau (voir correction) remplacer 65,2 par une autre valeur.
Comparer les fractions a / b et (a+1)/(b+1) …Éventuels commentaires après les avoir testées (du maître, des élèves, …)Productions d'élèves
 Éléments pour la synthèse (activité 12) 

 Exercices de consolidation (activité 12) 

Activité 13 « Un produit à 19 chiffres»
 Fiche de présentation 
Titre de l’activitéUn produit à 19 chiffresSous-titreApplication et compréhension de l’algorithme de la multiplicationDegrés concernés 8CODurée estiméeDevoir à la maison – 30 minutes pour corrigerRésuméDans une calculatrice on peut introduire deux nombres ayant beaucoup de chiffres, mais le produit de ces nombres ne sera pas exact, si le nombre de ses chiffres est trop grand. Cet exercice utilise la distributivité pour calculer la valeur exacte ; la calculatrice peut exécuter des produits de nombres jusqu’à 5 chiffres, ici on lui fera exécuter des produits de nombres à 3 chiffres !Contexte d’usage de la calculatriceAPPROFONDIRContenus et compétences mathématiques visésDistributivité Calcul avec des puissances de dix
Algorithme de la multiplication
(Minutie et persévérance lors d’un travail mathématique)PrérequisExtrait(s) du plan d'étudesNO 8 : « Multiplier des nombres en écriture scientifique »
NO 8 : « Appliquer la distributivité pour développer … »
Lien(s) avec les moyens d’enseignementMots-clésdistributivité, multiplication, puissance, algorithme,SourceAPMEP  Énoncé du devoir élève (activité 13) 
Dans le livre Le pays d’esprit de Robert F. Young, auteur américain de science fiction, on peut lire le passage suivant : Mercy se pencha en avant et l'observa avec attention. "Si cela peut vous faciliter les choses, Mr. Carpenter", dit-elle, "je peux faire des calculs simples comme ceux que vous faites en ce moment. Par exemple : 828 464 280 multipliés par 4 692 438 921 donnent 3 887 518 032 130 241 880." L'objet de ce devoir est de vérifier ce calcul, en utilisant vos connaissances de mathématiques et votre calculatrice.
On peut bien sûr poser l'opération, tailler son crayon et se retrousser les manches. Qui est-ce qui se lance ?
Tout d'abord, constatez qu'il est naïf de tenter le calcul directement avec une calculatrice. Pourquoi ?
Il faut donc travailler avec des nombres plus petits pour que l'affichage de la calculatrice soit exact. Nous allons pour cela décomposer les nombres et utiliser la distributivité de la multiplication sur l'addition.
En décomposant le premier facteur en unités, milliers et millions, (sous la forme a (106 + b(103 + c ), on obtient 828 464 280 = (828(106) + (464(103) + (280). Ce nombre, multiplié par 4 692 438 921, donne en développant une somme de 3 termes. Écrivez-la.
Décomposez de même le deuxième facteur (cette fois, il faut aller jusqu'aux milliards (109), et il y a donc 4 termes).
Quand on développe finalement l'expression obtenue au 4, on obtient une somme de douze termes, tous calculables à la calculatrice puisqu'il s'agit de produits d'entiers de 3 chiffres maximum. Pour faciliter le travail, on écrit les calculs dans un tableau où on a placé les chiffres par groupes de 6. A vous de le compléter!
Ensuite, il n'y a plus qu'à faire la somme de tous ces termes, ce qui est assez facile car il y a beaucoup de zéros. C'est ce qu'on fait dans la suite du tableau.
Attention! Chaque colonne ne peut contenir que 6 chiffres maximum. Si on dépasse 6 chiffres, (ce qui peut arriver quand on fait la somme des colonnes A, B, C et D), les chiffres supplémentaires doivent être écrits dans la colonne immédiatement à gauche : c'est ce qu'on appelle une retenue.
Pour conclure, on vous demande de recommencer ce travail avec 2 autres nombres, choisis par vous. Le premier nombre aura 9 chiffres et le deuxième 11 chiffres.
Décomposez chacun des deux nombres en unités, milliers, millions, etc…
Tracez un tableau comme précédemment pour calculer les produits nécessaires.
Complétez le tableau à l'aide de votre calculatrice (il pourra être judicieux de travailler au crayon…)
Calculez (toujours à la calculatrice) la somme de chaque colonne (attention aux retenues!) pour obtenir le résultat final.
Nous vérifierons votre résultat en salle informatique quand vous rendrez le devoir.

ABCDTrillionsBillionsMillions828 · 4 · 1015 000000000000000828 · 692 · 1012000000000000828 · 438 · 109000000000828 · 921 · 106000000464 · 4 · 1012000000000000464 · 692 · 109000000000……somme de Dsomme de Csomme de Bsomme de Asomme totale
 Corrigé détaillé (activité 13) 

ABCDTrillionsBillionsMillions828 · 4 · 1015 3312000000000000000828 · 692 · 1012572976000000000000828 · 438 · 109362664000000000828 · 921 · 106762588000000464 · 4 · 10121856000000000000464 · 692 · 109321088000000000464 · 438· 106203232000000464 · 921 · 103427344000280 · 4 · 1091120000000000280 · 692 · 106193760000000280 · 438 · 103122640000280 · 921257880somme de D1241880somme de C2032129somme de B887516somme de A3somme totale3887518032130241880
 Commentaires (activité 13) 
Analyse à priori de l'activité (enjeux de l’activité, démarches possibles, difficultés, relances, mise en commun)Sous la forme proposée l’exercice est un devoir à la maison ; devant inventer un exemple l’élève devra fournir un travail personnel ! Il pourrait être demandé en classe (les élèves travaillant par groupe).
Poser l’opération ne doit pas être dévalorisé : il serait amusant de savoir si la méthode recommandée par l’énoncé est plus rapide que la pose de l’opération. Les deux demandent ordre et rigueur dans l’exécution.
L’intérêt de la distributivité est sa généralisation sous la forme d’un programme.Proposition(s) de déroulementProlongements possiblesÉventuels commentaires après les avoir testées (du maître, des élèves, …)Productions d'élèves
 Éléments pour la synthèse (activité 13) 

 Exercices de consolidation (activité 13) 

Activité 14 «Connaissance « de base » de la calculatrice»
 Fiche de présentation 
Titre de l’activitéConnaissances « de base » de la calculatriceSous-titreApprendre à utiliser la calculatrice plus en profondeurDegré(s) concerné(s) 10PO/11PO – toutes filièresDurée estimée2 périodes de 45 minutesRésuméDe nombreux élèves ne savent pas bien utiliser leur calculatrice. Cette activité leur permettra de la prendre en main de façon beaucoup plus approfondie afin d’un faire un outil de calcul réellement efficace.Contexte d’usage de la calculatriceDECOUVRIR/ EXERCERContenus et compétences mathématiques visésPrérequisConnaissance de manipulations élémentaires avec la calculatrice.Mots-cléCalculatriceSource

 Énoncé élève (activité 14) 
Avec la calculatrice, tous les calculs demandés doivent être effectuées "d'un seul coup" (en utilisant si besoin est des parenthèses ou les mémoires …).
Pour chaque calcul, il faudra savoir décrire la façon dont la calculatrice a été utilisée.

Calculer à l'aide de la calculatrice la valeur arrondie au millième de :
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
le quart de la réponse précédente
3 · (
2·sin(30°)
0,25 · 0,5
EMBED Equation 
EMBED Equation .
Effectuer les calculs suivants en utilisant l’écriture scientifique :
 EMBED Equation.3 
- EMBED Equation.3 
Simplifier  EMBED Equation.3  à l’aide de la calculatrice.
Calculer  EMBED Equation.3  à l’aide de la calculatrice.
Convertir  EMBED Equation.3  en nombre décimal, puis exprimer le résultat sous forme de fraction irréductible.
Utiliser la machine pour obtenir directement une estimation de 2¼( arrondie au millième.
Trouver le ppcm de 3644 et 4568 et le pgcd de 23456656 et 2234544
Un chocolatier vient de confectionner 28313 pralinés identiques. Il a prévu de placer ces pralinés dans des boites contenant chacune 29 pralinés. Combien de boites parviendra-t-il à remplir au maximum et combien de pralinés non emballés restera-t-il ? On aimerait utiliser la calculatrice de façon optimale pour résoudre ce problème. Comment faire ?
Comment la calculatrice traite-t-elle l’ordre des opérations ? Effectuer des calculs pour vérifier si l’ordre des opérations est le même que celui convenu par les mathématiciens.
Pourquoi y a-t-il deux symboles « - » à disposition ? Dire à quoi correspond chacun d’entre eux.
Comment effectuer cette suite de trois calculs le plus efficacement possible avec la calculatrice ?
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
Peut-on retrouver, réutiliser, modifier un calcul effectué précédemment ?
Comment fait-on pour récupérer le résultat du dernier calcul, par exemple pour le réutiliser dans un nouveau calcul ?
Comment effectuer la répétition successive de la même opération, par exemple calculer les puissances successives de 2 ?
Comment efface-t-on un message d'erreur ou la ligne en cours d'édition ?
Quelle différence y a-t-il entre les touches ( , ( et (?
Mettre 15 dans la première mémoire, puis utiliser cette mémoire pour calculer EMBED Unknown puis  EMBED Equation.3 .
Comment réinitialiser la calculatrice ?
Pour les élèves qui travaillent déjà les fonctions du deuxième degré :
On cherche à calculer des images de la fonction f : EMBED Equation.3 . Programmer les opérateurs constants ( et ( pour permettre de faciliter ces calculs.
Pour les élèves qui travaillent déjà avec la formule de Viète :
Pour ceux qui connaissent la formule de Viète pour résoudre les équations du deuxième degré : programmer les opérateurs constants ( et ( pour obtenir directement les solutions avec la calculatrice.
 Corrigé détaillée (activité 14) 


4 ( 2 ( 3 (
réponse : 20
2 ( 5 (
réponse : 20
5 ( ( 4 (
réponse : 10
1 ( 4 ( ( (
réponse : 2.5
3 ( (
réponse : 9.424
2 ( ( ( 30 (
réponse : 1
.25 ( .5 (
réponse : 0.125
( ( ð325.201569 ( 2.82589 ( ( 42.52 (
réponse : -7.715
4.7 ( 6.76 ( .95 ( ( ( 5.001 (
réponse : 5.505

7.28 ( ( ð5 ( 3 ( 8 ( réponse : 2.184(1014
( ð( ð7.28 ( ( ð5 ( 3 ( 8 ( réponse : -21840
(( ( régler sur : d/e Auto 135 ( 60 ( réponse :  EMBED Equation.3 
(( ( régler sur : d/e Auto 5 ( 6 ( 2 ( 3 ( 5 ( 4 ( réponse :  EMBED Equation.3  ( ( régler sur : d/e Auto 135 ( 60 ( ( réponse : 2.25 135 ( 60 ( ( réponse :  EMBED Equation.3 
( ( (((( ( choisir : 3 2 ( ( réponse : 6.283
autre possibilité :
(((( choisir : round 2 ( ( ( 3 ( ( réponse : 6.283

Remarque : si on a utilisé la fonction (, on peut remettre l’affichage habituel en faisant ( ( ( (c-à-d. choisir F). ( ( ( ( ( ( ( ( ( 3644 ( ( 4568 ( réponse : ppcm(3644, 4568) = 4161448 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 23456656 ( ( 2234544( réponse : pgcd(23456656, 2234544) = 16
28313 ( ( 29 ( réponse : 976 boîtes, 9 restent Remarque : une autre fonction ne donne que le reste de la division euclidienne : ( ( (((((((((( ( (càd choisir REMAINDER) 28313 ( ( 29 ( réponse : 9

Ordre des opérations :
Expressions entre parenthèses
Fonctions qui ont besoin d'une ) et précèdent l'argument telles que les fonctions trigonométriques ou logarithmiques
Fractions
Fonctions qui sont entrées après l'argument telles que x2 et les convertisseurs d'unité d'angle (° 2 3 r g)
Puissances (() et racines (( )
Signe du nombre relatif (-)
Arrangements (nPr) et combinaisons (nCr)
Multiplications, multiplications implicites, divisions
Additions et soustractions
Conversions (Ab/c”!d/e, (F, (D, (%, (DMS)
( termine toutes les opérations et ferme toutes les parenthèses ouvertes. 
Remarque : attention seulement aux pyramides de puissances, dont l interprétation n est pas toujours commune à tous les mathématiciens : EMBED Equation.3 est il égal à  EMBED Equation.3 ou à  EMBED Equation.3  ? Pour la machine, c’est  EMBED Equation.3  !
Le symbole ( représente l’opération soustraction alors que le symbole ( permet de représenter l’opposé d’un nombre.
3 ( 3 ( réponse : 9 ( 9 ( réponse : 81 2 ( ( ( ( ( réponse : 9
Après l'évaluation d'une expression, les touches ( et ( permettent de faire défiler les entrées précédentes qui sont stockées dans la mémoire de la calculatrice (EP).
( (
1 ( ( 2 ( ( ( …
( (

(Efface un message d'erreur Efface la ligne en cours d'édition Déplace le curseur vers la dernière entrée de l'historique quand l'affichage est vide(Supprime le caractère à l'emplacement du curseur. Supprime tous les caractères à droite quand la touche ( est maintenue enfoncée ; supprime ensuite 1 caractère à gauche du curseur chaque fois que la touche ( est enfoncée.( (Insère un caractère à l'emplacement du curseur

( ( (
15 (
(
7 (
( (
( ( (
(
( (
( ( ( ( 4 (

( ( Y ou ( et (

Programmation :
( ( ( (

( ( 4 ( ( ( ( 5 ( ( ( 6 (
 SHAPE \* MERGEFORMAT  SHAPE \* MERGEFORMAT 
Utilisation :
0 ( ( 0.8 ( ( ( 3 ( (
 SHAPE \* MERGEFORMAT  
1 ( ( 0.7 ( ( ( 1 ( (
 
 SHAPE \* MERGEFORMAT 0.5 ( ( 0.75 ( ( ( 2 ( (
  


Programmation :
( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 4 ( (
( ( ( ( ( ( ( ( 2 ( ( ( (

( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 4 ( (
( ( ( ( ( ( ( ( 2 ( ( ( (

Utilisation : 4 ( ( 5 ( ( ( ( 6 ( ( ( (
 SHAPE \* MERGEFORMAT   SHAPE \* MERGEFORMAT   SHAPE \* MERGEFORMAT 
( (
 SHAPE \* MERGEFORMAT  SHAPE \* MERGEFORMAT  

 Commentaires pour le maître (activité 14) 
Analyse à priori de l'activité (enjeux de l’activité, démarches possibles, difficultés, relances, mise en commun)De nombreux élèves ne savent pas bien utiliser leur calculatrice. Cette activité leur permettra de la prendre en main de façon beaucoup plus approfondie afin d’un faire un outil de calcul réellement efficace.Proposition(s) de déroulementTravail individuel, ou en binôme.
Pour le premier exercice, on peut demander à chaque élève de calculer puis noter toutes les solutions au tableau ; il y en aura probablement de nombreuses différentes, ce qui permettra une discussion et clarification intéressantes.
Peut également se travailler par groupes :
Énoncé-élève à travailler en groupes de 3-4, demander aux élèves de réfléchir ensemble au problème posé et de rédiger en commun une acétate.
Tirer au sort un élève par groupe pour présenter l'acétate du groupe à la classe.
Discussion avec la classe
Les énoncés peuvent être identiques ou différents pour chaque groupe. Après que tous les groupes aient présenté leurs résultats, le maître clarifie, hiérarchise, organise, amène les compléments théoriques et propose si nécessaire des exercices de consolidationProlongements possiblesÉventuels commentaires après les avoir testées (du maître, des élèves, …)Productions d'élèves  Éléments pour la synthèse (activité 14) 
Ce que l’élève devrait savoir faire avec sa calculatrice
Opérations de base
Multiplication implicite, économie de touches
Parenthèses
Ordre des opérations
Réponse précédente
Entrées précédentes
Répétition des opérations
Division euclidienne
Réponse précédente (EP)
Effacement Correction
Réinitialisation de la calculatrice
Mémoires
Opérateurs mémorisés
Plus petit multiple commun
ppcm / pgcd
Simplification de fractions
Opérations avec des fractions
Conversion d'une fraction en écriture décimale et réciproquement
Puissances-Racines
Notation scientifique
Nombre de décimales -valeur arrondie
Penser si nécessaire à donner des exercices de consolidation.
Activité 15 « Limites-machine»
 Fiche de présentation 
Titre de l’activitéLimites-machineSous-titreQuelques exemples pour montrer certaines limites du calcul avec la machine.Degré(s) concerné(s) 10PO/11PO – toutes filièresDurée estimée2 périodes de 45 minutesRésuméLes élèves découvrent au travers de quelques exemples que la calculatrice peut fournir des résultats faux. On s’interroge sur la raison de ces problèmes.Contexte d’usage de la calculatriceDECOUVRIRContenus et compétences mathématiques visésManipulations numériques et algébriques de base
Connaissance de la façon dont un nombre est représenté dans une machine
Prendre conscience des limites de calcul de toute machine
Développer le regard critique à porter sur ses résultats (fournis par une machine, mais aussi en général)
Distinguer une valeur exacte d'une valeur approchéePrérequis Manipulation de puissances entières positives et négatives
Connaissances des manipulations algébriques de base (niveau identités remarquables)Mots-cléCalculatrice – nombre machine – représentation d’un nombre – regard critiqueSourceY. Monka - Collège Albert Camus de Soufflenheim www.col-camus-soufflenheim.ac-strasbourg.fr/Page.php?IDD=45 Adaptation : JM Delley  Énoncé élève (activité 15) 
Avec la calculatrice, toutes les opérations demandées doivent être effectuées "d'un seul coup", en utilisant si besoin est des parenthèses.
Pour chaque exercice, il faudra pouvoir décrire ce qui a été tapé sur la calculatrice.

Calculer à l'aide de la calculatrice l’expression : EMBED Equation 
pour x = 104 et y = 10-4 , puis pour x = 106 et y = 10-6
b. Réduire algébriquement le plus possible l'écriture du nombre C (pour x et y quelconques).
Que peut-on conclure des calculs précédents ?

Calculer à l'aide de la calculatrice le nombre : D = 12345678992 – 12345678982. Que pensez-vous du résultat ?
Sans calculatrice, calculer le nombre D à l'aide de l’identité remarquable « différence de deux carrés » a2 – b2.
Que peut-on déduire des calculs précédents ?

Calculer à l'aide de la calculatrice le nombre : E= EMBED Equation 
Poser EMBED Equation  et exprimer E en fonction de EMBED Equation .
Développer et réduire l'expression trouvée en b. Comparer avec le résultat du a. et conclure.

Calculer à l'aide de la calculatrice le nombre : F= EMBED Equation.3 
Développer à l’aide d’une identité remarquable le nombre EMBED Equation .
En utilisant le résultat du b. et sans utiliser la calculatrice, calculer F. Comparer avec le résultat du a. et conclure.
 Corrigé détaillé (activité 15) 

Remarque : Pour tous ces exercices, les problèmes proviennent de la représentation des nombres dans la calculatrice. Le principe en est le suivant : le nombre est mis sous forme scientifique:
signe / mantisse appartenant à [1,10[ / exposant de 10
Les chiffres de la mantisse sont codés en binaire (mais un nombre limité de bits étant réservé au codage de la mantisse, tous les chiffres ne peuvent pas nécessairement être pris en compte dans ce codage et donc dans les calculs, voir ci-après). Les exposants vont de -99 à 99 et sont aussi codés en binaire, tout comme le signe.
Il faut distinguer le nombre saisi au clavier, la représentation du nombre en mémoire et l’affichage du nombre sur l’écran de la calculatrice.
La calculatrice affiche un maximum de 10 chiffres significatifs (en 2006 !) mais calcule avec 12, 13 et le plus souvent 14 chiffres, ce qui permet de limiter les effets des erreurs d’arrondi dans les successions de calculs. Quel que soit le nombre – fini ! – de chiffres avec lequel elle calcule, on pourra donc toujours acculer une calculatrice à ses limites et la prendre en défaut avec ce type de calcul. Il est fondamental que les élèves prennent conscience de ces limites pour qu’ils soient toujours capables d’avoir un esprit suffisamment critique quant aux résultats produits par une machine (et par eux-mêmes également !).
Pour les manipulations des puissances et l’écriture scientifique avec la calculatrice, voir l’activité 14.


Pour x = 104 et y = 10-4 , on trouve C = 1, ce qui est correct. Par contre, pour x = 106 et y = 10-6, on trouve C = 0, erreur due aux limites de précision de la machine.
C = 1 pour tout y non nul

Avec la calculatrice, on trouve : D = 2469000000 Le résultat est forcément faux, puisque 12345678992 se terminera par 1 et 12345678982 par 4, donc la différence se terminera par 7 et non par 0
a2 – b2 = (a+b)(a-b) = (1234567899+1234567898)(1234567899-123456789 = (2469135797)(1) = 2469135797 Peut-on pour autant être certain du résultat ? Il faut savoir quand on est aux limites de la calculatrice et quand on peut avoir confiance, tout en gardant toujours un esprit suffisamment critique.
Cf. la remarque initiale.

Avec la calculatrice, on trouve : E = 0
E = x2 – (x – 2)(x + 2)
E = x2 – (x2 – 4) = 4
Cf. la remarque initiale

Avec la calculatrice, on trouve : H = 0
 EMBED Equation.3  = EMBED Equation.3  =  EMBED Equation.3 
=  EMBED Equation.3 
Cf. la remarque initiale
 Commentaires pour le maître (activité 15) 
Analyse à priori de l'activité (enjeux de l’activité, démarches possibles, difficultés, relances, mise en commun)Il y a de grandes « chances » pour que les élèves obtiennent des résultats différents, à cause d’erreurs d’utilisation de la calculatrice. Cela donnera l’occasion de rappeler comment l’utiliser de façon adéquate (cf. l’activité 14 Connaissances de base)
Comprendre la différence entre nombre saisi au clavier, représentation du nombre en mémoire et affichage du nombre sur l’écran de la calculatrice représente un difficulté certaine. Selon le niveau des élèves, il faudra bien réfléchir à ce qu’on veut exactement leur transmettre. Proposition(s) de déroulementTravail individuel, ou en binôme.
Peut également se travailler par groupes :
Énoncé élèves à travailler en groupes de 3-4, leur demander de réfléchir ensemble au problème posé et de rédiger en commun une acétate.
Tirer au sort un élève par groupe pour présenter l'acétate du groupe à la classe.
Discussion avec la classe
Les énoncés peuvent être identiques ou différents pour chaque groupe. Après que tous les groupes aient présenté leurs résultats, le maître clarifie, hiérarchise, organise, amène les compléments théoriques et propose si nécessaire des exercices de consolidationProlongements possiblesTrouver d’autres exemples dans lesquels la machine est prise en défaut.
Et les ordinateurs ? Même problème ?Éventuels commentaires après les avoir testées (du maître, des élèves, …)Productions d'élèves  Éléments pour la synthèse (activité 15) 
Ce que l’élève devrait avoir retenu
différence entre nombre saisi au clavier, représentation du nombre en mémoire et affichage du nombre sur l’écran de la calculatrice
toute calculatrice (et tout ordinateur) a des limites quant à la précision des calculs qu’elle peut effectuer
Penser si nécessaire à donner des exercices de consolidation.
Activité 16 « Dernier chiffre»
 Fiche de présentation 
Titre de ’activitéDernier chiffreSous-titreTrouver un moyen pour déterminer le dernier chiffre de 712.Degré(s) concerné(s) 10PO – toutes filières (aussi possible plus tôt, dès la 8CO, voir encore plus tôt)Durée estimée1 ou 2 périodes de 45 minutesRésuméTrouver un moyen pour déterminer le dernier chiffre de 712.Contexte d’usage de la calculatriceDECOUVRIRContenus et compétences mathématiques visésDifférence entre chiffre et nombre
Écriture en base 10
Puissances entières positives
Observation et conjecture
Démontrer selon le niveau des élèvesPrérequis Calcul de puissances entières positivesMots-cléchiffreSource

 Énoncé élève (activité 16) 

Déterminer le dernier chiffre de 712.
 Corrigé détaillé (activité 16) 
Méthode 1
711 = 1977326743 est la dernière puissance de 10 pour laquelle on est sûr du résultat donné par la machine.
On écrit ensuite : 712 = 711 ( 7 = 1977326743 ( 7 = (1977326740 + 3) ( 7 = (197732674 ( 10 + 3) ( 7
= 197732674 ( 10( 7 + 3 ( 7 = 197732674 7 ( 10 + 21
197732674 ( 7 ( 10 se termine par 0, donc 197732674 ( 7 ( 10 + 21 par 1
Méthode 2
(plutôt pour les enseignant-e-s si on veut formaliser avec le calcul modulo ; faisable avec les élèves si on reste sur des observations non démontrées)
On peut aussi lister les puissances successives de 7 pour observer la régularité des derniers chiffres :
7 – 49 – 343 – 2401 – 16807 – 117649 – 823543 – 5764801 - …
on conjecture un cycle de longueur 4 pour les derniers chiffres : 7 – 9 – 3 – 1
par exemple :
Conjecture : 74n ( 1 (mod 10)
Démonstration :
74n ( (74) n (mod 10)
( (2401) n (mod 10)
( (1) n (mod 10)
( 1 (mod 10)
et aussi :
Conjecture : 74n+3 ( 3 (mod 10)
Démonstration :
74n+3 ( (74)n 73 (mod 10)
( (2401)n 343 (mod 10)
( (1) n 3 (mod 10)
( 3 (mod 10)
Comme 12 = 4( 3 est de la forme 74n , le dernier chiffre de712 est bien 1

Remarque : on peut aussi démontrer ce genre de conjecture par récurrence.

Méthode 3
712 = 74.74.74 = 24013.
Le produit de nombres qui se terminent par 1 est un nombre qui se termine par 1 (thm qui se démontre) puis exploiter l’algorithme de la multiplication ou la distributivité comme fait ci-dessus : on n’a ainsi pas besoin du calcul modulo !

 Commentaires pour le maître (activité 16) 
Analyse à priori de l'activité (enjeux de l’activité, démarches possibles, difficultés, relances, mise en commun)Comme il y a de nombreuses façons de démontrer le résultat, il faut anticiper le niveau des élèves pour savoir à quoi on veut arriver.
Pour certains élèves, la différence entre un chiffre et un nombre n’est pas très claire
Beaucoup d’élèves risquent de se trouver bloqués après avoir calculé les premières puissances de 7, ne mobilisant pas dans cette situation numérique leurs connaissances sur les règles des puissances
Beaucoup d’élèves n’ont jamais constaté la périodicité du chiffre des unités des puissances d’un nombre et risquent de ne pas le voir dans les calculs qu’ils feront
De même, ce qui est sous-jacent, à savoir l’écriture en base 10, peut également poser des difficultésProposition(s) de déroulementTravail individuel, ou en binôme.
Peut également se travailler par groupes :
Énoncé élève à travailler en groupes de 3-4, demander aux élèves de réfléchir ensemble au problème posé et de rédiger en commun une acétate.
Tirer au sort un élève par groupe pour présenter l'acétate du groupe à la classe.
Discussion avec la classe
Les énoncés peuvent être identiques ou différents pour chaque groupe. Après que tous les groupes aient présenté leurs résultats, le maître clarifie, hiérarchise, organise, amène les compléments théoriques et propose si nécessaire des exercices de consolidationProlongements possibles72006
cas plus simple où la périodicité apparaît mieux : 912 ,
mais aussi tous les nombres se terminant par 9 ou 4 (périodicité 2) Éventuels commentaires après les avoir testées (du maître, des élèves, …)Productions d'élèves
 Éléments pour la synthèse (activité 16) 
Ce que l’élève devrait avoir retenu
Différence entre chiffre et nombre
Écriture en base 10
Puissances entières positives : définition, propriétés
Conjecture
(Démontrer) selon le niveau des élèves
Penser si nécessaire à donner des exercices de consolidation.
Activité 17 « Grands nombres »
 Fiche de présentation 
Titre de l’activitéGrands nombresSous-titreCalculs avec des grands nombres à l’aide de la calculatriceDegré(s) concerné(s) 10PO – toutes filièresDurée estimée1 ou 2 périodes de 45 minutesRésuméManipuler des grands nombres issus de différentes situations réelles à l’aide de la calculatrice.Contexte d’usage de la calculatriceEXECUTERContenus et compétences mathématiques visésPuissances positives de 10 – consolidation et/ou approfondissement
Écriture scientifique
Valeur exacte – valeur approchée
Modélisation
Utilisation correcte de la calculatrice pour minimiser la propagation d’erreurs
Utilisation d’une notation appropriéePrérequis Puissances positives de 10
Utilisation de l’écriture scientifique
Savoir calculer une racine carrée et une racine cubique (seul. pour ex 5b et c)Mots-cléspuissance, approximation, modélisationSourceSource : rapport Kahane, annexe rapport calcul, adapté par Laura Weiss  Énoncé élève (activité 17) 

Le volume de la lune Calculer le volume de la Lune en sachant que son rayon est de 1800 km. Rappel : le volume de la sphère est donné par V = 4/3( ( ( r3
L’étoile la plus proche Calculer la distance du soleil à Proxima du Centaure – l’étoile la plus proche - en sachant qu'un rayon lumineux met environ 4 ans pour nous parvenir de cette étoile et que la vitesse de la lumière vaut approximativement 300'000 km/s.
Ça grouille ! Calculer le nombre de bactéries qu'on aura dans un bouillon de culture à partir d’une seule bactérie après un jour de travail du laboratoire (12 heures), en sachant que les bactéries se reproduisent par mitose toutes les 20 minutes approximativement.
Que de secondes ! Combien s’est-il écoulé de secondes depuis le Big Bang, sachant que celui-ci se serait produit il y a environ 15 milliards d’années ?
L’humanité en boîte
Calculer la superficie totale de la Terre, sachant que son diamètre (moyen) est de 12756 km. Rappel : la surface d’une sphère est donnée par A = 4 ( ( ( r2
Si on voulait placer toute l’humanité dans un gigantesque terrain carré à raison de 1m2 par individu, quelle serait la taille en kilomètres de ce carré ? Indication : on estime la population terrestre à environ 6,5 milliards d’individus.
Si on voulait placer toute l’humanité dans un gigantesque cube en supposant qu’une personne occupe 0,5 m3, quelle devrait être l’arête de ce cube, en kilomètres ?
Si on répartissait également toute l’humanité sur l’espace des terres émergées, soit environ 510 millions de km2, de quel espace disposerait chaque individu ?

On peut préciser l’énoncé ainsi : «Donner un résultat exact* et arrondi au centième. » «Donner un résultat dans telle ou telle unité. »
On peut supprimer l’exercice 5c) si on ne veut pas travailler avec une racine cubique.
On peut modifier l’énoncé en ne donnant aucune constante et en demandant aux élèves de les trouver eux-mêmes, soit dans des livres, soit sur Internet.

*On peut demander aux élèves d’évaluer l’effet des approximations dans les données par exemple vitesse de la lumière ou le rayon de la Lune (« initiation au calcul d’erreur »)
 Corrigé détaillé (activité 17) 

Remarques
on prendra soin de différencier les notations pour les valeurs exactes lorsque cela est possible et les valeurs approchées.
on utilisera la touche ( sur la calculatrice et non 3,14.
on prendra garde de trouver le résultat avec la calculatrice sans étape intermédiaire afin de minimiser la propagation des erreurs.

1) Le volume de la lune
V = 4/3( ( ( (1800)3
( 2,44 (1010 km
2) L’étoile la plus proche d = 300000 ( 60 ( 60 ( 24 ( 365 ( 4
( 3,78 (1013 km

3) Ça grouille !
n = 1 ( 2 ( 2 ( … ( 2 (autant de fois 2 qu’il y a de périodes de 20 minutes dans 12 h)
= 1 ( 2 12 ( 3
( 6,87 (1010 bactéries

4) Que de secondes !
t = 15( 109 ( 365 ( 24 ( 60 ( 60
( 4,73 (1017 secondes

5) L’humanité en boîte
A = 4 ( ( ( 127562
( 2,04 (109 m2

Si on compte 6.5 milliards d’humains (2006) et 1 m2 par personne :
A = 6,5 ( 109 m2
 EMBED Equation.3  ( 8,06 (105 m2
donc un carré d’environ 8,06 (105 mètres de côté, ou encore d’environ 806 km de côté.

V = 6,5 ( 109 ( 0,5
= 3,25 ( 109 m3
 EMBED Equation.3  ( 1,48 (103 m3
donc un cube d’environ 1,48 (103 mètres de côté, ou encore d’environ 1,48 km de côté.
A = 510 ( 106 / 6,5 ( 109
( 0,078 km2
donc chaque individu disposerait d’environ 0,078 km2, soit environ 78000 m2, ce qui met à disposition de chacun un carré de 280 m de côté.
 Commentaires pour le maître (activité 17) 
Analyse à priori de l'activité (enjeux de l’activité, démarches possibles, difficultés, relances, mise en commun)Selon le niveau des élèves de 10PO, il peut s’agit d’une activité de révision, de consolidation ou de (re)découverte
Il s’agit de discuter les différentes écritures possibles avec la calculatrice et de leurs sens respectifs : 10 ^ 9 ou 10 EE 9 (écriture scientifique)
Certains élèves vont utiliser 3,14 pour Pi, d’autres la touche Pi de la calculatrice -> discussion possible sur valeur exacte/valeur approchée
Pour « L’humanité en boîte », il faut savoir calculer une racine carrée, puis cubique (si c’est trop difficile, on peut supprimer cet exercice)
Il y a un travail possible autour des différents arrondis possibles et des notations appropriées pour différencier valeur exacte et approchée
Il y a un travail nécessaire autour des changements d’unités
On peut discuter de la façon d’effectuer les calculs « en cascade », soit en arrondissant à chaque étape (avec une propagation des erreurs), soit en essayant d’obtenir le résultat le plus proche possible de la valeur exacte
Discussions recommandées aussi autour des données choisies, des résultats trouvés et des situations explorées …Proposition(s) de déroulementTravail individuel, ou en binôme.
Peut également se travailler par groupes :
Énoncé élève à travailler en groupes de 3-4, demander aux élèves de réfléchir ensemble au problème posé et de rédiger en commun une acétate.
Tirer au sort un élève par groupe pour présenter l'acétate du groupe à la classe.
Discussion avec la classe
Les énoncés peuvent être identiques ou différents pour chaque groupe. Après que tous les groupes aient présenté leurs résultats, le maître clarifie, hiérarchise, organise, amène les compléments théoriques et propose si nécessaire des exercices de consolidation
On peut donner les constantes ou demander aux élèves de les chercher (tables, libres, Internet, …).Prolongements possiblesAjouter des exercices similaires avec des très petits nombres -> travail sur les puissances négatives ; selon le niveau des élèves, cela pourrait alors devenir une activité de découverte.
Possible également de continuer avec d’autres bases, ou avec des puissances fractionnaires.Éventuels commentaires après les avoir testées (du maître, des élèves, …)Productions d'élèves
 Éléments pour la synthèse (activité 17) 
Ce que l’élève doit avoir retenu
puissances entières positives : définition, manipulations, propriétés
les différentes écritures possibles pour les puissances avec la calculatrice et leur sens : 10 ^ 9 ou 1 EE 9 (écriture scientifique)
différence entre valeur exacte et valeur approchée ; notations appropriées
différents arrondis pour les valeurs approchées
modélisation
changements d’unités : de temps, de longueur, d’aire, de volume, …
la façon d’effectuer les calculs si possible sans étape intermédiaire pour minimiser la propagation d’erreurs
racines carrées et cubiques : définitions, propriétés
Penser si nécessaire à donner des exercices de consolidation.
Activité 18 « Quelle période ! »
 Fiche de présentation 
Titre de l’activitéQuelle période !Sous-titreDéterminer la période – parfois très longue ! - de nombres rationnels simplesDegré(s) concerné(s) 10PO/11PO – toutes filièresDurée estimée1 ou 2 périodes de 45 minutesRésuméIl s’agit de trouver la période de nombres rationnels. Parfois, elle est évidente, d’autres fois, elle est un peu plus compliquée mais la calculatrice la donne sans difficultés. Par contre, dans d’autres cas encore, correspondant à des fractions qui peuvent être simples - par exemple  EMBED Equation.3  - la période est très longue, et même la machine ne permet pas de l’obtenir immédiatement. Comment faire alors ?Contexte d’usage de la calculatriceAPPROFONDIRContenus et compétences mathématiques visésFractions - Nombres rationnels – Lien entre les deux
Période
Division euclidienne avec restePrérequisCalcul de fraction
Algorithme de la division de deux entiersMots-clésfractions - nombre rationnel – période - division euclidienne avec resteSourceJean-Marie Delley  Énoncé élève (activité 18) 
Quelle est la période de  EMBED Equation.3  ?
Que répond la machine lorsqu’on lui demande de calculer  EMBED Equation.3  ? Interpréter le résultat.
Quelle est la période de  EMBED Equation.3  ?
On s’intéresse maintenant à la période de  EMBED Equation.3 
Quelle est la réponse de la machine ?
Comment expliquer que l’on trouve une deuxième fois le chiffre 7 sans que cela signifie la fin de la période ?
Comment trouver la période de EMBED Equation.3  ?

 Corrigé détaillé (activité 18) 

 EMBED Equation.3 = 0,666…=  EMBED Equation.3  ; sa période est donc « 6 » Discussion possible sur le sens du symbole « = » dans ce contexte … (voir annexe)

 EMBED Equation.3 = 0,666666667 La calculatrice affiche les résultats avec dix chiffres et arrondit.


 EMBED Equation.3 = 0,571428571…=  EMBED Equation.3  ; sa période est donc « 571428 »


 EMBED Equation.3 = 0,176470588…= ???

On est ici confronté à une fausse idée classique : dès qu’on a trouvé une répétition d’un chiffre dans le quotient, on peut s’arrêter car la période est forcément trouvée. C’est vrai si le dénominateur de la fraction est un entier