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Sans utilisation des TICE

Nombres complexes. NIVEAU : Terminale scientifique. CE DOSSIER COMPREND : 6 pages d'exercices. TRAVAIL DEMANDÉ : 1. À partir de la liste d' exercices ...




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Sans utilisation des TICE

TYPE D’ACTIVITÉ PÉDAGOGIQUE :

Exercices d’entraînement.

THÈME :

Nombres complexes.
NIVEAU :

Terminale scientifique.

CE DOSSIER COMPREND :

6 pages d'exercices.

TRAVAIL DEMANDÉ :

1. À partir de la liste d’exercices proposés, dégager les notions, les résultats et les méthodes utilisées.
2. Retenir 4 exercices (pris, ou non, dans la liste proposée) et justifier leur choix. Proposer une correction détaillée et commentée de l’un de ces 4 exercices.

SUR LA FICHE D’EXPOSÉ, ON INDIQUERA :

1. Donner les énoncés des 4 exercices retenus et la rédaction commentée de la résolution de l’un d’entre eux.



Q1.
A. Les exercices 42 à 62 sont centrés sur les notions de module et d’argument d’un nombre complexe.
Les principaux résultats nécessaires à la résolution de ces exercices sont :
Les définitions du module et de l’argument d’un complexe (non nul) ;
La définition de la « forme trigonométrique » d’un complexe ;
La définition de la « forme exponentielle » d’un complexe ;
 EMBED Equation.DSMT4  ;  EMBED Equation.DSMT4  ;  EMBED Equation.DSMT4  ;  EMBED Equation.DSMT4 .
La principale méthode utilisée est celle qui consiste à passer d’une forme d’écriture à une autre, en utilisant les règles usuelles de calcul dans  EMBED Equation.DSMT4 .
Une méthode auxiliaire – mise en œuvre dans l’exercice 51 – consiste à utiliser les fonctions inverses des fonctions cosinus et sinus, à partir d’une calculatrice. Cela, afin de donner des valeurs approchées des arguments de certains nombres complexes.
Dans l’exercice 53, ce sont les valeurs exactes des cosinus et sinus de l’argument de z qui sont cherchées à partir de celles de EMBED Equation.DSMT4 .

Trois exercices sont en marge de la classification précédente. Ce sont les exercices 48, 62 et 54. Les deux premiers visent à démontrer ou redémontrer des propriétés qui sont à connaître. Dans l’exercice 48, on démontre l’inégalité triangulaire relative à la somme de deux complexes à partir de l’inégalité triangulaire relative à la distance entre points du plan euclidien.
Dans l’exercice 62, il s’agit de retrouver les formules trigonométriques d’addition à partir des propriétés de l’exponentielle, étendues aux complexes de la forme  EMBED Equation.DSMT4  où  EMBED Equation.DSMT4 .
L’exercice 54 est plus original, il crée une interrelation – nouvelle pour des élèves – entre le produit de deux complexes et certaines transformations du plan (les similitudes directes de centre EMBED Equation.DSMT4 ).

B. Les exercices suivants (63 à 95) sont centrés sur les notions d’interprétation-traduction géométrique puis d’utilisation des nombres complexes en géométrie euclidienne plane.

Les principaux résultats nécessaires à la résolution de ces exercices sont :
L’interprétation géométrique du module d’un complexe ;
L’interprétation géométrique de l’argument/des arguments d’un complexe non nul ;
La traduction complexe de l’alignement de 3 points ; de l’orthogonalité de deux vecteurs ;
Les caractérisations d’un cercle :  EMBED Equation.DSMT4  ; d’une droite  EMBED Equation.DSMT4  ; de la médiatrice du segment  EMBED Equation.DSMT4  :  EMBED Equation.DSMT4 
Les définitions analytiques complexes des transformations usuelles (i.e. figurant dans les P.O.) du plan ;

Les exercices 92 - … - 95 sont consacrés à la fonctionnalisation des outils complexes à l’étude de configurations du plan. Dans ces exercices, les détails des calculs permettant d’établir la propriété géométrique visée, ne sont pas toujours pris en charge par l’énoncé et parfois laissés à l’initiative des élèves (ex. 92).

Plusieurs méthodes (ensemble de techniques ayant une certaine généralité) sont mises en œuvre. En particulier, la méthode de recherche de lieux géométriques associés aux deux lieux classiques précédemment évoqués.
La méthode « du passage en cordonnées cartésiennes » est aussi mobilisée pour identifier certains lieux.

Pour la question 2, voici deux réponses possibles.

Q2. Choix de quatre exercices :
53-57-71-92 (choix personnel) ou bien : VRAI-FAUX + 48+78+93

Justifications du choix personnel :
L’exercice 52 est déconcertant (pour un élève) car l’expression algébrique de  EMBED Equation.DSMT4  conduit à une forme trigonométrique « inexploitable », les valeurs des cosinus et sinus n’étant pas des valeurs remarquables.

On trouve  EMBED Equation.DSMT4  et l’argument  EMBED Equation.DSMT4  vérifie :
 EMBED Equation.DSMT4 .
On peut remarquer que l’utilisation d’une calculatrice donne une va de  EMBED Equation.DSMT4  égale à 0,261799… rd ; valeur quasiment impossible à « interpréter » par un élève. Une « inspiration » consisterait à conjecturer une fraction de  EMBED Equation.DSMT4  et à diviser le résultat par  EMBED Equation.DSMT4  … pour trouver 0,0833333333333…
Résolution rapide :
En suivant l’énoncé :  EMBED Equation.DSMT4  =  EMBED Equation.DSMT4  =  EMBED Equation.DSMT4 . On en déduit que  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 . Puis que  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 . Mais,  EMBED Equation.DSMT4  est positif et  EMBED Equation.DSMT4 .
On en déduit que  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .

(Question « jury : l’angle  EMBED Equation.DSMT4  est-il constructible à la règle et au compas ? Le savait-on déjà ?).

L’exercice 57, plus élémentaire que le précédent, offre néanmoins l’intérêt de comparer plusieurs techniques de résolution.

Technique 1 : on développe et on cherche la forme trigonométrique ensuite.
Technique 2 : on cherche la forme trigonométrique avant de calculer la puissance et on utilise la propriété : arg( EMBED Equation.DSMT4 ) =  EMBED Equation.DSMT4 .

Comparons les deux techniques :
 EMBED Equation.DSMT4  =  EMBED Equation.DSMT4 =  EMBED Equation.DSMT4 .
 EMBED Equation.DSMT4  =  EMBED Equation.DSMT4  =  EMBED Equation.DSMT4 .
 EMBED Equation.DSMT4 .
 EMBED Equation.DSMT4 .
Remarque : si  EMBED Equation.DSMT4 , la difficulté objective du développement renforce l’intérêt de la technique 1.

Exercice 71 :
Ici, la nature de l’expression de  EMBED Equation.DSMT4  en fonction de, ne permet pas de retrouver l’une des transformations classiques du plan. (En fait,  EMBED Equation.DSMT4  est ce qu’on appelle une transformation homographique de  EMBED Equation.DSMT4  dont l’étude n’est pas au programme des classes de lycée.)

Le module de  EMBED Equation.DSMT4 , est égal à  EMBED Equation.DSMT4 . Sous cette forme, on reconnaît le quotient des distances  EMBED Equation.DSMT4 . Le lieu cherché est donc la médiatrice du segment  EMBED Equation.DSMT4 .
Pour avoir l’équation cartésienne de cette médiatrice, il est commode de conduire les calculs dans  EMBED Equation.DSMT4  :  EMBED Equation.DSMT4 . Soit encore,
 EMBED Equation.DSMT4 .
Et c’est seulement à ce stade qu’il convient de remplacer :  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 . L’équation s’écrit :  EMBED Equation.DSMT4 .

Remarque : si on note  EMBED Equation.DSMT4  l’application de  EMBED Equation.DSMT4  dans  EMBED Equation.DSMT4 qui à  EMBED Equation.DSMT4  associe  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  l’application du plan épointé qui lui est associée, alors  EMBED Equation.DSMT4  transforme une droite en un cercle.

L’exercice 92 est un bon exemple de fonctionnalisation de l’outil complexe. L’absence d’indication de l’énoncé rend cette utilisation problématique (mais formatrice évidemment).
Le placement des 4 points donne :


Il est facile de conjecturer que le quadrilatère est un carré dont le centre est l’isobarycentre des 4 points, soit le point  EMBED Equation.DSMT4  d’affixe  EMBED Equation.DSMT4 .
La rotation de centre  EMBED Equation.DSMT4  et d’angle  EMBED Equation.DSMT4  a pour expression analytique dans  EMBED Equation.DSMT4  :
 EMBED Equation.DSMT4 . Il est alors facile de vérifier que l’image de  EMBED Equation.DSMT4  est  EMBED Equation.DSMT4 , ce qui traduit que l’image du point A est le point B. Ensuite,  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 . Autrement dit, les sommets consécutifs du quadrilatère ABCD se déduisent les uns des autres par la rotation de centre  EMBED Equation.DSMT4  et d’angle  EMBED Equation.DSMT4  . le quadrilatère est donc un carré.

Correction détaillée de l’exercice 78

On désigne par  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 les points d’affixes :
 EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
Pour  EMBED Equation.DSMT4 , on pose  EMBED Equation.DSMT4 .
1°) Interpréter géométriquement le module et l’argument de  EMBED Equation.DSMT4 .
 EMBED Equation.DSMT4 =  EMBED Equation.DSMT4 =  EMBED Equation.DSMT4 .
 EMBED Equation.DSMT4  =  EMBED Equation.DSMT4 .
2°) Déterminer et tracer l’ensemble  EMBED Equation.DSMT4  des points EMBED Equation.DSMT4 tels que  EMBED Equation.DSMT4 .
Cet ensemble est constitué des points du plan tels que  EMBED Equation.DSMT4 =1, c’est-à-dire de la médiatrice du segment  EMBED Equation.DSMT4 .
3°) Déterminer et tracer l’ensemble  EMBED Equation.DSMT4 des points  EMBED Equation.DSMT4 tels que  EMBED Equation.DSMT4 ait pour argument  EMBED Equation.DSMT4 .
 EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4 .


Questions possibles :

1. Comment définir  EMBED Equation.DSMT4  à partir de  EMBED Equation.DSMT4  ?

2.  EMBED Equation.DSMT4  est-il un corps ordonné (i.e. muni d’un ordre total compatible avec les opérations et qui prolonge l’ordre de  EMBED Equation.DSMT4 ) ?

Rép. Non, dans le sens suivant. On peut définir un ordre total sur  EMBED Equation.DSMT4  mais il n’est pas compatible avec la multiplication dans  EMBED Equation.DSMT4 . Supposons le contraire et notons  EMBED Equation.DSMT4 cet ordre.
Si  EMBED Equation.DSMT4 , alors en multipliant par  EMBED Equation.DSMT4  les deux membres de cette inégalité, on obtient une inégalité de même sens :  EMBED Equation.DSMT4 . Ce qui n’est pas cohérent avec l’ordre naturel de  EMBED Equation.DSMT4 .
Si  EMBED Equation.DSMT4 , en multipliant par  EMBED Equation.DSMT4 , on obtient, en inversant cette fois le sens de l’inégalité :  EMBED Equation.DSMT4 .

3. Quelles sont les transformations du plan associées à :  EMBED Equation.DSMT4  ?

4. Équation d’un cercle dans  EMBED Equation.DSMT4  ? D’une droite ?

5. Un nombre complexe a-t-il toujours une racine carrée ? Expliquer. Une racine cubique ? Une racine n-ième ?