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Exercices TS

Dans tout l'exercice, le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct . 1. .... Pour tous nombres complexes z et z' non nuls, on a : ...... La figure jointe au sujet sera complétée au fur et à mesure des besoins et rendue avec la copie.




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Terminale C - D

Nombres Complexes Exercices

 TOC \o "1-5" \h \z  HYPERLINK \l "_Toc302308831" 1. 1.  Divers,QCM, France 2003 - 5 points  PAGEREF _Toc302308831 \h 3
 HYPERLINK \l "_Toc302308832" 1. 2.  QCM, Asie 2009, 4 points  PAGEREF _Toc302308832 \h 3
 HYPERLINK \l "_Toc302308833" 1. 3.  QCM, Antilles 2009, 5 points  PAGEREF _Toc302308833 \h 4
 HYPERLINK \l "_Toc302308834" 1. 4.  QCM, Polynésie rempl. 2005 - 3 points  PAGEREF _Toc302308834 \h 4
 HYPERLINK \l "_Toc302308835" 1. 5.  QCM, N. Calédonie nov 2007 - 4 points  PAGEREF _Toc302308835 \h 5
 HYPERLINK \l "_Toc302308836" 1. 6.  QCM d’après des sujets de concours GEIPI  PAGEREF _Toc302308836 \h 6
 HYPERLINK \l "_Toc302308837" 1. 7.  QCM, La Réunion 2009, 4 points  PAGEREF _Toc302308837 \h 6
 HYPERLINK \l "_Toc302308838" 1. 8.  Vrai-Faux, Centres étrangers 2009, 4 points  PAGEREF _Toc302308838 \h 7
 HYPERLINK \l "_Toc302308839" 1. 9.  Basique, Antilles 2007 - 5 points  PAGEREF _Toc302308839 \h 7
 HYPERLINK \l "_Toc302308840" 1. 10.  Basique, Antilles 2006 - 5 points  PAGEREF _Toc302308840 \h 8
 HYPERLINK \l "_Toc302308841" 1. 11.  Basique, N. Calédonie 2009  PAGEREF _Toc302308841 \h 8
 HYPERLINK \l "_Toc302308842" 1. 12.  Basique, La Réunion 2008  PAGEREF _Toc302308842 \h 8
 HYPERLINK \l "_Toc302308843" 1. 13.  2nd degré et barycentre, Antilles 2001  PAGEREF _Toc302308843 \h 9
 HYPERLINK \l "_Toc302308844" 1. 14.  2nd degré, Polynésie 1996  PAGEREF _Toc302308844 \h 9
 HYPERLINK \l "_Toc302308845" 1. 15.  2nd degré, Inde, 1996  PAGEREF _Toc302308845 \h 10
 HYPERLINK \l "_Toc302308846" 1. 16.  Petits exos de base  PAGEREF _Toc302308846 \h 11
 HYPERLINK \l "_Toc302308847" 1. 17.  Cours, C. étrangers 2006 - 4 points  PAGEREF _Toc302308847 \h 12
 HYPERLINK \l "_Toc302308848" 1. 18.  Basique, STL France, Juin 2006 - 5 points  PAGEREF _Toc302308848 \h 13
 HYPERLINK \l "_Toc302308849" 1. 19.  Basique, Am. du Sud 11/2008  PAGEREF _Toc302308849 \h 13
 HYPERLINK \l "_Toc302308850" 1. 20.  Equation, STL, France, Juin 2006 - 6 points  PAGEREF _Toc302308850 \h 14
 HYPERLINK \l "_Toc302308851" 1. 21.  Equation, STL, France, juin 2005 - 5 points  PAGEREF _Toc302308851 \h 14
 HYPERLINK \l "_Toc302308852" 1. 22.  pi/12, STL, France, juin 2005 - 5 points  PAGEREF _Toc302308852 \h 14
 HYPERLINK \l "_Toc302308853" 1. 23.  Equation, STL, France, sept. 2004 - 5 points  PAGEREF _Toc302308853 \h 15
 HYPERLINK \l "_Toc302308854" 1. 24.  Rotations, STL, France, sept. 2004 - 5 points  PAGEREF _Toc302308854 \h 15
 HYPERLINK \l "_Toc302308855" 1. 25.  Classique, La Réunion 2006 - 5 points  PAGEREF _Toc302308855 \h 15
 HYPERLINK \l "_Toc302308856" 1. 26.  Système, STL, France, juin 2004 - 5 points  PAGEREF _Toc302308856 \h 16
 HYPERLINK \l "_Toc302308857" 1. 27.  Similitude, STL, France, juin 2004 - 5 points  PAGEREF _Toc302308857 \h 16
 HYPERLINK \l "_Toc302308858" 1. 28.  Transformation ?  PAGEREF _Toc302308858 \h 16
 HYPERLINK \l "_Toc302308859" 1. 29.  Equation  PAGEREF _Toc302308859 \h 17
 HYPERLINK \l "_Toc302308860" 1. 30.  Cercles  PAGEREF _Toc302308860 \h 17
 HYPERLINK \l "_Toc302308861" 1. 31.  Rotation  PAGEREF _Toc302308861 \h 17
 HYPERLINK \l "_Toc302308862" 1. 32.  Carrés, rotations et alignement  PAGEREF _Toc302308862 \h 18
 HYPERLINK \l "_Toc302308863" 1. 33.  ROC+Equation+Rotation, Polynésie 2010, 5 pts  PAGEREF _Toc302308863 \h 18
 HYPERLINK \l "_Toc302308864" 1. 34.  Système+parallélog. Antilles 09/2007, 5 pts  PAGEREF _Toc302308864 \h 19
 HYPERLINK \l "_Toc302308865" 1. 35.  Barycentre, ligne de niveau  PAGEREF _Toc302308865 \h 19
 HYPERLINK \l "_Toc302308866" 1. 36.  Barycentre + ligne de niveau, Polynésie 2004  PAGEREF _Toc302308866 \h 20
 HYPERLINK \l "_Toc302308867" 1. 37.  Ligne de niveau, Centres étrangers 2008  PAGEREF _Toc302308867 \h 20
 HYPERLINK \l "_Toc302308868" 1. 38.  Ligne niveau+rotation, Polynésie 2008  PAGEREF _Toc302308868 \h 21
 HYPERLINK \l "_Toc302308869" 1. 39.  3ème degré, barycentre, ligne de niveau  PAGEREF _Toc302308869 \h 21
 HYPERLINK \l "_Toc302308870" 1. 40.  3ème degré, rotation, Pondicherry 2003  PAGEREF _Toc302308870 \h 21
 HYPERLINK \l "_Toc302308871" 1. 41.  3ème degré+rotation, France 2007 - 5 points  PAGEREF _Toc302308871 \h 22
 HYPERLINK \l "_Toc302308872" 1. 42.  Orthocentre, C. étrangers 2007 - 5 points  PAGEREF _Toc302308872 \h 22
 HYPERLINK \l "_Toc302308873" 1. 43.  Produit scalaire  PAGEREF _Toc302308873 \h 23
 HYPERLINK \l "_Toc302308874" 1. 44.  Forme algébrique & trigo de pi/12 -1  PAGEREF _Toc302308874 \h 23
 HYPERLINK \l "_Toc302308875" 1. 45.  Forme algébrique & trigo de pi/12 -2  PAGEREF _Toc302308875 \h 24
 HYPERLINK \l "_Toc302308876" 1. 46.  Forme algébrique & trigo de pi/12 -3  PAGEREF _Toc302308876 \h 24
 HYPERLINK \l "_Toc302308877" 1. 47.  pi/12 –4, France remplt 2007 - 5 points  PAGEREF _Toc302308877 \h 24
 HYPERLINK \l "_Toc302308878" 1. 48.  Trigo, France 2010, 5 pts  PAGEREF _Toc302308878 \h 24
 HYPERLINK \l "_Toc302308879" 1. 49.  Equation du second degré - 1  PAGEREF _Toc302308879 \h 26
 HYPERLINK \l "_Toc302308880" 1. 50.  Equation du second degré - 2  PAGEREF _Toc302308880 \h 26
 HYPERLINK \l "_Toc302308881" 1. 51.  Médiatrice - 1  PAGEREF _Toc302308881 \h 26
 HYPERLINK \l "_Toc302308882" 1. 52.  Médiatrice - 2  PAGEREF _Toc302308882 \h 26
 HYPERLINK \l "_Toc302308883" 1. 53.  Suite géométrique  PAGEREF _Toc302308883 \h 27
 HYPERLINK \l "_Toc302308884" 1. 54.  Suite arithmético-géométrique, Asie 2007 - 5 pts  PAGEREF _Toc302308884 \h 27
 HYPERLINK \l "_Toc302308885" 1. 55.  Suite de carrés, Asie 2000 - 5 points  PAGEREF _Toc302308885 \h 28
 HYPERLINK \l "_Toc302308886" 1. 56.  Inversion 1  PAGEREF _Toc302308886 \h 28
 HYPERLINK \l "_Toc302308887" 1. 57.  Inversion 2, Antilles 2005 - 5 points  PAGEREF _Toc302308887 \h 29
 HYPERLINK \l "_Toc302308888" 1. 58.  Inversion 3, Am. du Sud 2005  PAGEREF _Toc302308888 \h 29
 HYPERLINK \l "_Toc302308889" 1. 59.  Inversion 4, Asie 06/2008  PAGEREF _Toc302308889 \h 29
 HYPERLINK \l "_Toc302308890" 1. 60.  Homographie, Am. du Nord 2010 5 points  PAGEREF _Toc302308890 \h 30
 HYPERLINK \l "_Toc302308891" 1. 61.  Homographie, France 2009, 5 points  PAGEREF _Toc302308891 \h 30
 HYPERLINK \l "_Toc302308892" 1. 62.  Homographie, Polynésie sept 2006 - 4 points  PAGEREF _Toc302308892 \h 31
 HYPERLINK \l "_Toc302308893" 1. 63.  Homographie+ROC, Asie 2006 - 4 points  PAGEREF _Toc302308893 \h 31
 HYPERLINK \l "_Toc302308894" 1. 64.  Homographie 1  PAGEREF _Toc302308894 \h 32
 HYPERLINK \l "_Toc302308895" 1. 65.  Homographie 2  PAGEREF _Toc302308895 \h 32
 HYPERLINK \l "_Toc302308896" 1. 66.  Homographie 3, N. Calédonie 1996  PAGEREF _Toc302308896 \h 33
 HYPERLINK \l "_Toc302308897" 1. 67.  Homographie 4, Amérique du Sud 2002  PAGEREF _Toc302308897 \h 33
 HYPERLINK \l "_Toc302308898" 1. 68.  Homographie 5, Centres étrangers 2010  PAGEREF _Toc302308898 \h 33
 HYPERLINK \l "_Toc302308899" 1. 69.  Homog.+construction, France et La Réunion 09/2008  PAGEREF _Toc302308899 \h 34
 HYPERLINK \l "_Toc302308900" 1. 70.  Homographie+cercles, France 2002 - 5 points  PAGEREF _Toc302308900 \h 34
 HYPERLINK \l "_Toc302308901" 1. 71.  Homographie, La Réunion 2004 - 5 points  PAGEREF _Toc302308901 \h 35
 HYPERLINK \l "_Toc302308902" 1. 72.  Carré  PAGEREF _Toc302308902 \h 35
 HYPERLINK \l "_Toc302308903" 1. 73.  ROC+triangles, Antilles-Guyane 5 points  PAGEREF _Toc302308903 \h 36
 HYPERLINK \l "_Toc302308904" 1. 74.  Rotation et suite, La Réunion sept. 2010, 5 pts  PAGEREF _Toc302308904 \h 36
 HYPERLINK \l "_Toc302308905" 1. 75.  Rotation, France, sept. 2010, 5 pts  PAGEREF _Toc302308905 \h 36
 HYPERLINK \l "_Toc302308906" 1. 76.  Rotation, Asie 2009  PAGEREF _Toc302308906 \h 37
 HYPERLINK \l "_Toc302308907" 1. 77.  Rotations, Am du Nord 2009  PAGEREF _Toc302308907 \h 37
 HYPERLINK \l "_Toc302308908" 1. 78.  Rotation+Cercle, Pondicherry 2009  PAGEREF _Toc302308908 \h 38
 HYPERLINK \l "_Toc302308909" 1. 79.  ROC + Similitude, Polynésie 2009, 5 points  PAGEREF _Toc302308909 \h 39
 HYPERLINK \l "_Toc302308910" 1. 80.  Homothétie+rotation, Polynésie, nov 2010, 5 pts  PAGEREF _Toc302308910 \h 39
 HYPERLINK \l "_Toc302308911" 1. 81.  Rotation et homothétie  PAGEREF _Toc302308911 \h 40
 HYPERLINK \l "_Toc302308912" 1. 82.  Homothéties  PAGEREF _Toc302308912 \h 40
 HYPERLINK \l "_Toc302308913" 1. 83.  Rotation-translation  PAGEREF _Toc302308913 \h 41
 HYPERLINK \l "_Toc302308914" 1. 84.  Rotations, Paris 1996  PAGEREF _Toc302308914 \h 41
 HYPERLINK \l "_Toc302308915" 1. 85.  Varignon, N. Calédonie 2004 - 4 points  PAGEREF _Toc302308915 \h 41
 HYPERLINK \l "_Toc302308916" 1. 86.  3ème degré+Hyperbole, Am Nord 2004 - 5 pts  PAGEREF _Toc302308916 \h 42
 HYPERLINK \l "_Toc302308917" 1. 87.  Conjugué, Centres étrangers 2004 - 4 pts  PAGEREF _Toc302308917 \h 42
 HYPERLINK \l "_Toc302308918" 1. 88.  ROC+homographie, La Réunion 2010, 5 pts  PAGEREF _Toc302308918 \h 43
 HYPERLINK \l "_Toc302308919" 1. 89.  Transf. + ROC, Pondicherry 2007, 5 pts  PAGEREF _Toc302308919 \h 43
 HYPERLINK \l "_Toc302308920" 1. 90.  Transf.+médiatrice, C. étrangers 2005 - 5 pts  PAGEREF _Toc302308920 \h 44
 HYPERLINK \l "_Toc302308921" 1. 91.  Fonction complexe, France 2009, 5 points  PAGEREF _Toc302308921 \h 44
 HYPERLINK \l "_Toc302308922" 1. 92.  Transf. non linéaire, Liban 2007 - 5 pts  PAGEREF _Toc302308922 \h 45
 HYPERLINK \l "_Toc302308923" 1. 93.  Transformation, Antilles 2008  PAGEREF _Toc302308923 \h 46
 HYPERLINK \l "_Toc302308924" 1. 94.  Fonction carré, Liban 2009, 5 points  PAGEREF _Toc302308924 \h 47
 HYPERLINK \l "_Toc302308925" 1. 95.  f(z)=z²+1, N. Calédonie 2003 - 5 pts  PAGEREF _Toc302308925 \h 48
 HYPERLINK \l "_Toc302308926" 1. 96.  f(z)=z², Polynésie 2004 - 5 pts  PAGEREF _Toc302308926 \h 48
 HYPERLINK \l "_Toc302308927" 1. 97.  Napoléon, Antilles 2004 - 5 pts  PAGEREF _Toc302308927 \h 49
 HYPERLINK \l "_Toc302308928" 1. 98.  f(z)=z²"4z+6, Polynésie 2004  PAGEREF _Toc302308928 \h 49
 HYPERLINK \l "_Toc302308929" 1. 99.  Projection orthogonale, Am. du Sud 2003  PAGEREF _Toc302308929 \h 50
 HYPERLINK \l "_Toc302308930" 1. 100.  f(M)=MA.MB, Antilles 2002  PAGEREF _Toc302308930 \h 50
 HYPERLINK \l "_Toc302308931" 1. 101.  Hyperbole+rotation, Polynésie 09/2005 - 7 pts  PAGEREF _Toc302308931 \h 51
 HYPERLINK \l "_Toc302308932" 1. 102.  Conique  PAGEREF _Toc302308932 \h 51
 HYPERLINK \l "_Toc302308933" 1. 103.  Spirale  PAGEREF _Toc302308933 \h 51
 HYPERLINK \l "_Toc302308934" 1. 104.  Courbe paramétrée+conique (prog. 1985)  PAGEREF _Toc302308934 \h 52
 HYPERLINK \l "_Toc302308935" 1. 105.  Hyperbole et complexes  PAGEREF _Toc302308935 \h 53
 HYPERLINK \l "_Toc302308936" 1. 106.  Bissectrice (recherche)  PAGEREF _Toc302308936 \h 53
 HYPERLINK \l "_Toc302308937" 1. 107.  Birapport  PAGEREF _Toc302308937 \h 53
 HYPERLINK \l "_Toc302308938" 1. 108.  Triangles équilatéraux, Am. du Sud 1992  PAGEREF _Toc302308938 \h 54
 HYPERLINK \l "_Toc302308939" 1. 109.  Somme de distances, Asie 2010, 5 points  PAGEREF _Toc302308939 \h 55
 HYPERLINK \l "_Toc302308940" 1. 110.  Produit de distances, C. étrangers 1991  PAGEREF _Toc302308940 \h 55
 HYPERLINK \l "_Toc302308941" 1. 111.  Logarithme complexe, EFREI 2001  PAGEREF _Toc302308941 \h 55


Divers,QCM, France 2003 - 5 points
Le plan complexe est rapporte à un repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4 . On considère les points A et  EMBED Equation.DSMT4  d’affixes respectives :  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
On appelle r la rotation de centre  EMBED Equation.DSMT4  et d’angle  EMBED Equation.DSMT4  et h l’homothétie de centre  EMBED Equation.DSMT4  et de rapport  EMBED Equation.DSMT4 .
1. Placer sur une figure les points A et  EMBED Equation.DSMT4 , l’image B du point A par r, l’image C du point B par r et l’image D du point A par h.
2. On note b, c et d les affixes respectives des points B, C et D.
Le tableau ci-dessous contient une suite de 18 affirmations, dont chacune débute dans la première colonne et s’achève sur la même ligne colonne 2, colonne 3 ou colonne 4.
Le candidat doit se prononcer sur chacune de ces affirmations. Pour cela il doit remplir le tableau de la feuille annexe, en faisant figurer dans chacune des cases la mention VRAI ou FAUX (en toutes lettres).
1 EMBED Equation.DSMT4 24 EMBED Equation.DSMT4 2 EMBED Equation.DSMT4  EMBED Equation.DSMT4  EMBED Equation.DSMT4  EMBED Equation.DSMT4 3 EMBED Equation.DSMT4  EMBED Equation.DSMT4  EMBED Equation.DSMT4  EMBED Equation.DSMT4 4 EMBED Equation.DSMT4  EMBED Equation.DSMT4  EMBED Equation.DSMT4  EMBED Equation.DSMT4 5 EMBED Equation.DSMT4  EMBED Equation.DSMT4  EMBED Equation.DSMT4  EMBED Equation.DSMT4 6Le point D est :l’image de  EMBED Equation.DSMT4  par la translation de vecteur  EMBED Equation.DSMT4 .l’image de  EMBED Equation.DSMT4  par l’homothétie de centre A et de rapport  EMBED Equation.DSMT4  .l’image de  EMBED Equation.DSMT4  par la rotation de centre B et d’angle  EMBED Equation.DSMT4 .
Annexe
1Réponses2Réponses3Réponses4Réponses5Réponses6Réponses
QCM, Asie 2009, 4 points
L’exercice comporte quatre questions indépendantes. Pour chacune d’entre elles, trois réponses sont proposées dont une seule est exacte. Il s’agit de déterminer la bonne réponse et de justifier le choix ainsi effectué.
Un choix non justifié ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Question 1
La solution f de l équation différentielle y  + 2y = 6 qui vérifie la condition initiale f(0) = 1 est définie sur l ensemble Rð des nombres réels par :
Réponse (1) :  EMBED Equation.DSMT4 .Réponse (2) :  EMBED Equation.DSMT4 .Réponse (3) :  EMBED Equation.DSMT4 .Question 2
On considère un triangle ABC et on note I le point tel que  EMBED Equation.DSMT4 . Les points G, I et A sont alignés lorsque G est le barycentre du système :
Réponse (1) : {(A, 1), (C, 2)}Réponse (2) : {(A, 1), (B, 2), (C, 2)}Réponse (3) : {(A, 1), (B, 2), (C, 1)}Question 3
Dans l’espace muni d’un repère orthonormal  EMBED Equation.DSMT4 , on considère le plan P d’équation cartésienne :
 EMBED Equation.DSMT4  et le point A(2 ; 3 ; –1). Le projeté orthogonal du point A sur le plan P est le point :
Réponse (1) : H1(3 ; –1 ; 4)Réponse (2) : H2(4 ; –3 ; –4)Réponse (3) : H3(3 ; 0 ; 1)Question 4
La valeur moyenne de la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 1] par  EMBED Equation.DSMT4  est égale à :
Réponse (1) :  EMBED Equation.DSMT4 Réponse (2) :  EMBED Equation.DSMT4 Réponse (3) :  EMBED Equation.DSMT4 .QCM, Antilles 2009, 5 points
Dans chacun des cas suivants, indiquer si l’affirmation proposée est vraie ou fausse et justifier la réponse.
1. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal  EMBED Equation.DSMT4 .
Soit le point A d’affixe 3, le point B d’affixe –4i et l’ensemble E des points M d’affixe z tels que  EMBED Equation.DSMT4 .
Affirmation : E est la médiatrice du segment [AB].
2. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal  EMBED Equation.DSMT4 .
On considère trois points A, B et C deux à deux distincts, d’affixes respectives a, b et c, tels que  EMBED Equation.DSMT4 .
Affirmation : A appartient au cercle de diamètre [BC].
3. On considère le nombre  EMBED Equation.DSMT4 .
Affirmation : z2009 est un nombre réel positif.
4. On considère trois points A, B et C non alignés de l’espace. Le point G est le centre de gravité du triangle ABC. On note F l’ensemble des points M vérifiant  EMBED Equation.DSMT4 .
Affirmation :F est la sphère de centre de G et de rayon 2.
5. L’espace est muni d’un repère orthonormal  EMBED Equation.DSMT4 . S est la sphère  EMBED Equation.DSMT4 . P est le plan d’équation x + y – 5 = 0.
Affirmation : Le plan P coupe la sphère S suivant un cercle.
QCM, Polynésie rempl. 2005 - 3 points
Pour chacune des 3 questions, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 0,5 point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.
Dans tout l exercice, le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4 .
1. Le point M est situé sur le cercle de centre A("2 ; 5) et de rayon  EMBED Equation.DSMT4 . Son affixe z vérifie :
a.  EMBED Equation.DSMT4  ; b.  EMBED Equation.DSMT4  ; c.  EMBED Equation.DSMT4 .
2. On considère trois points A, B et C d’affixes respectives a, b et c, deux à deux distincts et tels que le triangle ABC n’est pas équilatéral. Le point M est un point dont l’affixe z est telle que les nombres complexes  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  sont imaginaires purs.
a. M est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC ;
b. M appartient aux cercles de diamètres respectifs [AC] et [AD] ;
c. M est l’orthocentre du triangle ABC.
3. Soit A et B les points d’affixes respectives 1 + i et 5 + 4i, et C un point du cercle de diamètre [AB]. On appelle G l’isobarycentre des points A, B et C et on note  EMBED Equation.DSMT4  son affixe.
a.  EMBED Equation.DSMT4  ; b.  EMBED Equation.DSMT4  ; c.  EMBED Equation.DSMT4 .
QCM, N. Calédonie nov 2007 - 4 points
Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse exacte rapporte 0,5 point ; une réponse inexacte enlève 0,25 point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct d’origine O.
1. Une solution de l’équation  EMBED Equation.DSMT4  est :
a. 3b. ic. 3 + i
2. Soit z un nombre complexe ;  EMBED Equation.DSMT4  est égal à :
a.  EMBED Equation.DSMT4 b.  EMBED Equation.DSMT4 c.  EMBED Equation.DSMT4 3. Soit z un nombre complexe non nul d’argument  EMBED Equation.DSMT4 . Un argument de  EMBED Equation.DSMT4  est :
a.  EMBED Equation.DSMT4 b.  EMBED Equation.DSMT4 c.  EMBED Equation.DSMT4 4. Soit n un entier naturel. Le complexe  EMBED Equation.DSMT4  est un imaginaire pur si et seulement si :
a. n = 3b. n = 6k + 3, avec k relatifc. n = 6k avec k relatif5. Soient A et B deux points d’affixe respective i et "1. l ensemble des points M d affixe z vérifiant  EMBED Equation.DSMT4  est :
a. la droite (AB) b. le cercle de diamètre [AB]c. la droite perpendiculaire à (AB) passant par O6. Soit le point d affixe  EMBED Equation.DSMT4 .
L ensemble des points M d’affixe  EMBED Equation.DSMT4  vérifiant  EMBED Equation.DSMT4  a pour équation :
a.  EMBED Equation.DSMT4 b.  EMBED Equation.DSMT4 c.  EMBED Equation.DSMT4  avec  EMBED Equation.DSMT4  réel7. Soient A et B les points d’affixes respectives 4 et 3i. L’affixe du point C tel que le triangle ABC soit isocèle avec  EMBED Equation.DSMT4  est :
a.  EMBED Equation.DSMT4 b.  EMBED Equation.DSMT4 c.  EMBED Equation.DSMT4 8. L’ensemble des solutions dans  EMBED Equation.DSMT4  de l’équation  EMBED Equation.DSMT4  est :
a.  EMBED Equation.DSMT4 b. L’ensemble videc.  EMBED Equation.DSMT4 
QCM d’après des sujets de concours GEIPI
Dans chaque question sont proposées plusieurs réponses, chacune de ces réponses pouvant être vraie ou fausse. Il n’y a pas forcément une seule bonne réponse pour chaque question. Donner pour chaque question les réponses vraies et les réponses fausses. Chaque résultat exact rapportera des points, chaque résultat inexact entraînera une pénalité. Une absence de réponse ne sera pas considérée comme un résultat inexact. Si le total des points, pour une question est négatif, ce total sera ramené à 0.
1. Pour tous nombres complexes z et z’ non nuls, on a :
a.  EMBED Equation.DSMT4 . b. Si  EMBED Equation.DSMT4  alors  EMBED Equation.DSMT4 .
c. Si  EMBED Equation.DSMT4  alors z = z’ ou z = –z’. d.  EMBED Equation.DSMT4 .
2. On considère les complexes  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 
a.  EMBED Equation.DSMT4 . b. Il existe un entier n non nul tel que an est un réel.
c. Il existe un entier n non nul tel que an et bn sont tous deux des entiers.
d. Le point A d’affixe a est l’image du point B d’affixe b par une rotation de centre O.
3. Pour tout réel qð de [0 ; 2pð[ on pose  EMBED Equation.DSMT4 . Alors :
a.  EMBED Equation.DSMT4 . b. Pour tout qð de [0 ; 2pð[ ,  EMBED Equation.DSMT4 .
c. Pour tout qð de [0 ; 2pð[ ,  EMBED Equation.DSMT4  est réel.
d. L ensemble des points  EMBED Equation.DSMT4  d’affixe  EMBED Equation.DSMT4  est un cercle de rayon 1.
4. Soit a un réel de  EMBED Equation.DSMT4  et (E) l’équation d’inconnue z :  EMBED Equation.DSMT4 . On appelle M et N les points dont les affixes sont les solutoins de (E). Alors :
a. Les points M et N sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses.
b. Les points M et N sont situés sur le cercle de centre O et de rayon 1.
c. Il n’existe aucune valeur de a telle que M et N sont symétriques par rapport à O.
d. Si A est le point d’affixe –1, on a AM < 2.
QCM, La Réunion 2009, 4 points
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question une seule des propositions est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, la lettre correspondant à la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n’est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4 .
1. Soit (E) l’ensemble des points M d’affixe z vérifiant :  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4  étant un nombre réel.
a. (E) est une droite passant par le point d’affixe 2 – 2i. b. (E) est le cercle de centre d’affixe –1 + 2i et de rayon 1.
c. (E) est le cercle de centre d’affixe 1 – 2i et de rayon 1. d. (E) est le cercle de centre d’affixe 1 – 2i et de rayon  EMBED Equation.DSMT4 .
2. Soit f l’application du plan qui, à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ tel que  EMBED Equation.DSMT4 .
a. f est une homothétie. b. Le point d’affixe –1 – 2i est un antécédent du point d’affixe i.
c. f est la rotation de centre le point d’affixe 1 + i et d’angle  EMBED Equation.DSMT4 .
d. f est la rotation de centre le point d’affixe –1 – i et d’angle  EMBED Equation.DSMT4 .
3. Soit (F) l’ensemble des points M d’affixe z vérifiant  EMBED Equation.DSMT4 .
Soient les points A, B et C d’ affixes respectives 1 – i, –1 + 2i et –1 – 2i.
a. C est un point de (F). b. (F) est la médiatrice du segment [AB].
c. (F) est la médiatrice du segment [AC]. d. (F) est le cercle de diamètre [AB].
4. On considère dans l’ensemble des nombres complexes l’équation  EMBED Equation.DSMT4 . Cette équation admet :
a. Deux solutions distinctes qui ont pour partie imaginaire 1. b. Une solution réelle.
c. Deux solutions dont une seule a pour partie imaginaire 1. d. Une solution qui a pour partie imaginaire 2.
Vrai-Faux, Centres étrangers 2009, 4 points
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Dans le cas d'une proposition fausse, on pourra donner un contre-exemple.
1. Pour tout complexe z,  EMBED Equation.DSMT4 .
2. Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal  EMBED Equation.DSMT4 . Pour tout nombre complexe z non nul, les points M d'afîïxe z, N d'affixe  EMBED Equation.DSMT4  et P d'affixe  EMBED Equation.DSMT4  appartiennent à un même cercle de centre O.
3. Pour tout nombre complexe z, si  EMBED Equation.DSMT4  alors la partie imaginaire de z est nulle.
4. Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal  EMBED Equation.DSMT4 . Quels que soient les nombres complexes z et z’ non nuls, d'images respectives M et M' dans le plan complexe, si z et z’ vérifient l'égalité  EMBED Equation.DSMT4 , alors les droites (OM) et (OM’) sont perpendiculaires.
Basique, Antilles 2007 - 5 points
 EMBED Equation.DSMT4  est un repère orthonormal direct du plan complexe. Soit A le point d’affixe 1 + i.
Au point M d’affixe z, on associe le point M’ d’affixe z’ telle que  EMBED Equation.DSMT4 .
1. On pose  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  avec x, y, x’ et y’ réels.
a. Démontrer les égalités suivantes :  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 . En déduire que le point M’ appartient à la droite (OA).
b. Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que M =M’.
c. Démontrer que pour tout point M du plan les vecteurs  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  sont orthogonaux.
2. Soit r la rotation de centre O et d’angle  EMBED Equation.DSMT4 . M1 est le point d’affixe z1 image de M par r, M2 le point d’affixe  EMBED Equation.DSMT4 , M3 le point d’affixe z3 tel que le quadrilatère OM1M3M2 soit un parallélogramme.
a. Dans cette question uniquement M a pour affixe 4 + i, placer les points M, M1, M2, M3.
b. Exprimer z1 en fonction de z, puis z3 en fonction de z.
c. OM1M3M2 est-il un losange ? Justifier.
d. Vérifier que  EMBED Equation.DSMT4 . En déduire que  EMBED Equation.DSMT4 .
3. Démontrer que les points M, M1, M2 et M3 appartiennent à un même cercle de centre O si et seulement si  EMBED Equation.DSMT4 .
Donner alors la mesure en radians de l’angle géométrique  EMBED Equation.DSMT4 .
Basique, Antilles 2006 - 5 points
1. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4 , on considère les points
– A d’affixe a, a  EMBED Equation.DSMT4  EMBED Equation.DSMT4  ;
– B d’affixe b +i, b  EMBED Equation.DSMT4  EMBED Equation.DSMT4  ;
– C image de B dans la rotation de centre A et d’angle  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Déterminer une relation entre a et b pour que le point C appartienne à l’axe  EMBED Equation.DSMT4 .
b. Exprimer alors l’affixe du point C en fonction de a.
2. Dans cette question, on pose  EMBED Equation.DSMT4  et b = 0. On considère les points C d’affixe c = "i et D d affixe  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Quelle est la nature du triangle ABC ?
b. Calculer le quotient  EMBED Equation.DSMT4  ; que peut-on en déduire pour le triangle ACD ?
c. Déterminer l affixe du point E image de D dans la rotation de centre A et d’angle  EMBED Equation.DSMT4 .
d. Déterminer l’affixe du point F image de D dans la translation de vecteur  EMBED Equation.DSMT4 .
e. Déterminer la nature du triangle BEF.
Basique, N. Calédonie 2009
4 points
Le plan est rapporté à un repère orthonormal  EMBED Equation.DSMT4  direct d’unité graphique 1 cm. On considère les points A et B d’affixes respectives zA = 1 et zB = 3 + 4i. Soit C et D les points d’affixes respectives  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
L’ objet de l’exercice est de proposer une construction géométrique des points D et C.
1. a. Montrer que l’image du point B par la rotation de centre A et d’angle  EMBED Equation.DSMT4  est le point D.
b. En déduire que les points B et D sont sur un cercle (C) de centre A dont on déterminera le rayon.
2. Soit F, l’image du point A par l’homothétie de centre B et de rapport  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Montrer que l’affixe zF du point F est "2i.
b. Montrer que le point F est le milieu du segment [CD].
c. Montrer que  EMBED Equation.DSMT4 . En déduire la forme exponentielle de  EMBED Equation.DSMT4 . Déduire des questions précédentes que la droite (AF) est la médiatrice du segment [CD].
3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation.
Proposer un programme de construction pour les points D et C à partir des points A, B et F et réaliser la figure.
Basique, La Réunion 2008
5 points
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4 . Soit (C) le cercle de centre O et de rayon 1.
On considère le point A de (C) d'affixe  EMBED Equation.DSMT4 .
1. Déterminer l'affixe  EMBED Equation.DSMT4  du point B image de A par la rotation de centre O et d'angle  EMBED Equation.DSMT4 . Déterminer l'affixe  EMBED Equation.DSMT4  du point C image de B par la rotation de centre O et d'angle  EMBED Equation.DSMT4 .
2. a. Justifier que (C) est le cercle circonscrit au triangle ABC. Construire les points A, B et C sur la feuille de papier millimétré.
b. Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier.
3. Soit h l'homothétie de centre O et de rapport "2.
a. Compléter la figure en plaçant les points P, Q et R images respectives des points A, B et C par h.
b. Quelle est la nature du triangle PQR ? Justifier.
4. Dans cette question le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n'aboutit pas.
a. Donner l’écriture complexe de h.
b. Calculer  EMBED Equation.DSMT4 . En déduire que A est le milieu du segment [QR].
c. Que peut-on dire de la droite (QR) par rapport au cercle (C) ?
2nd degré et barycentre, Antilles 2001
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4 .
1. Résoudre dans l’ensemble  EMBED Equation.DSMT4  des nombres complexes l’équation d’inconnue z :  EMBED Equation.DSMT4 .
2. On considère les points A et B qui ont pour affixes respectives les nombres complexes  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
Calculer les distances OA, OB et AB. En déduire la nature du triangle OAB.
3. On désigne par C le point d’affixe  EMBED Equation.DSMT4  et par D son image par la rotation de centre O et d’angle  EMBED Equation.DSMT4 . Déterminer l’affixe d du point D.
4. On appelle G le barycentre des points pondérés (O ; "1), (D ; 1) et (B ; 1).
a. Montrer que le point G a pour affixe  EMBED Equation.DSMT4 .
b. Placer les points A, B, C, D et G sur une figure (unité graphique : 1 cm).
c. Démontrer que le quadrilatère OBGD est un parallélogramme.
5. a. Justifier l égalité  EMBED Equation.DSMT4 .
b. En déduire une mesure en radians de l’angle  EMBED Equation.DSMT4 , ainsi que la valeur du rapport  EMBED Equation.DSMT4 .
Que peut-on en déduire concernant la nature du triangle AGC ?
2nd degré, Polynésie 1996
Partie A
Soit P le polynôme défini sur  EMBED Equation.DSMT4  par:  EMBED Equation.DSMT4 .
1. Résoudre dans  EMBED Equation.DSMT4  l'équation P(z) = 0.
2. Écrire les solutions sous forme trigonométrique.
Partie B
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (unité 4 cm). Soient A, B et C les points d'affixes respectives a = 2i,  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
1. Placer les points A, B et C sur une figure.
2. Soit  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Interpréter géométriquement le module et un argument de Z.
b. Écrire Z sous forme algébrique et sous forme trigonométrique.
c. En déduire la nature du triangle ABC ainsi qu'une mesure, en radians, de l'angle  EMBED Equation.DSMT4 .
3. Calculer l'aire du triangle ABC en centimètres carrés.
2nd degré, Inde, 1996
1. a. Démonstration de cours : étudier la résolution dans Cð de l équation  EMBED Equation.DSMT4 , a, b, c étant trois réels avec a non nul.
b. Résoudre l équation  EMBED Equation.DSMT4 . On appellera  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  les solutions,  EMBED Equation.DSMT4  ayant sa partie imaginaire positive.
c. Donner la forme exponentielle de  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  puis celle de  EMBED Equation.DSMT4 .
2. Dans le plan complexe muni d’un repère othonormal  EMBED Equation.DSMT4  d’unité 1 cm, on considère les points  EMBED Equation.DSMT4  d’affixe  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4  d’affixe  EMBED Equation.DSMT4  et A d’affixe  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Déterminer l’affixe  EMBED Equation.DSMT4  du point  EMBED Equation.DSMT4  image de  EMBED Equation.DSMT4  par l’homothétie h de centre A et de rapport –3.
b. Déterminer l’affixe  EMBED Equation.DSMT4  du point  EMBED Equation.DSMT4  image de  EMBED Equation.DSMT4  par la rotation r de centre O et d’angle  EMBED Equation.DSMT4 .
c. Représenter les points O, A,  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 
d. Calculer  EMBED Equation.DSMT4 . Que peut-on en conclure ?
Petits exos de base
 EMBED Chamois.Document 
1. Sur la figure ci-dessus placer les points suivants :
 EMBED Equation.DSMT4 .
2. Lire sur la figure le module et l’argument de chacun des complexes correspondants.
3. Faire le calcul pour  EMBED Equation.DSMT4 .
4. Déterminer la forme algébrique et la forme exponentielle des conjugués de  EMBED Equation.DSMT4 .
5. Calculer  EMBED Equation.DSMT4 .
6. Calculer les complexes  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  ; déterminer leurs modules. Calculer  EMBED Equation.DSMT4 , déterminer son module et son argument, en déduire l’angle des vecteurs  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
7. On fait une rotation de centre O et d’angle  EMBED Equation.DSMT4  sur les points E, A et B. Si E’, A’ et B’ sont leurs images, quelles sont les affixes de ces trois points. Que vaut alors  EMBED Equation.DSMT4  ?
8. On veut construire un triangle rectangle isocèle ABM dont l’hypothénuse est [AB]. Lire sur la figure les affixes possibles des points M. Donner une méthode pour trouver les points M, l’appliquer.
9. Soient z1 = 2, z2 = 3i et z3 = 1 – 2i, calculer  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 , | z1|, | z2|, | z3|, a =  EMBED Equation.DSMT4  et b = (z3)3.
10. Soit f la transformation du plan qui à M d’affixe z associe M’ d’affixe z’ tel que : z’ = 4z + 6 – 3i.
Déterminer l’unique point invariant de f et en déduire la nature et les éléments caractéristique de f.
11. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 .
Dans chacun des cas suivants, déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que :
a.  EMBED Equation.DSMT4  b.  EMBED Equation.DSMT4 
12.  Soit le complexe  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Ecrire Z sous forme exponentielle.
b. Reprendre la forme initiale de Z pour déterminer sa forme algébrique.
c. Déduire des questions précédentes les valeurs exactes de  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
13.  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  sont des réels fixés. Mettre chacun des complexes suivants sous forme trigonométrique :
 EMBED Equation.DSMT4  ;  EMBED Equation.DSMT4 .
14. Mettre le complexe suivant sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique :  EMBED Equation.DSMT4 .
15. Utiliser une formule d’Euler pour exprimer  EMBED Equation.DSMT4  en fonction de  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
16. Dire, sans justifier si chacune des affirmations a), b), c) est vraie ou fausse .
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 . On considère les points A, B et C d’affixes respectives :  EMBED Equation.DSMT4  ,  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
a. On a  EMBED Equation.DSMT4 .
b. L’écriture algébrique de  EMBED Equation.DSMT4  est  EMBED Equation.DSMT4 .
c. L’écriture trigonométrique de  EMBED Equation.DSMT4  est  EMBED Equation.DSMT4 .
17. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 .
On considère les points  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Préciser les affixes des milieux des segments  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 . Que peut-on en déduire pour le quadrilatère  EMBED Equation.DSMT4  ?
b. Interpréter géométriquement le module et un argument de  EMBED Equation.DSMT4 . Calculer  EMBED Equation.DSMT4 .
c. Déduire du b. les propriétés vérifiées par les diagonales de  EMBED Equation.DSMT4 . Quelle est la nature de  EMBED Equation.DSMT4  ?
Cours, C. étrangers 2006 - 4 points
Partie A : restitution organisée de connaissances
Prérequis : On rappelle les deux résultats suivants :
(i) Si z est un nombre complexe non nul, on a l’équivalence suivante :
 EMBED Equation.DSMT4 
(ii) Pour tous nombres réels a et b :  EMBED Equation.DSMT4 .
Soient z1 et z2 deux nombres complexes non nuls. Démontrer les relations :
 EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  à  EMBED Equation.DSMT4  près.
Partie B
Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d’une proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre-exemple. Une réponse sans démonstration ne rapporte pas de point.
On rappelle que si z est un nombre complexe, z désigne le conjugué de z et  EMBED Equation.DSMT4  désigne le module de z.
1. Si  EMBED Equation.DSMT4 , alors z4 est un nombre réel.
2. Si  EMBED Equation.DSMT4 , alors z = 0.
3. Si  EMBED Equation.DSMT4 , alors z = i ou z = "i.
4. Si  EMBED Equation.DSMT4  et si  EMBED Equation.DSMT4 , alors z = 0.
Basique, STL France, Juin 2006 - 5 points
Partie A
Pour tout nombre complexe z, on note  EMBED Equation.DSMT4 .
1. Calculer P(2). Vérifier que, pour tout nombre complexe z, P(z) peut s’écrire sous la forme
 EMBED Equation.DSMT4 .
2. Résoudre, dans l’ensemble  EMBED Equation.DSMT4  des nombres complexes, l’équation  EMBED Equation.DSMT4 . En déduire les solutions, dans l’ensemble  EMBED Equation.DSMT4  des nombres complexes, de l’équation P(z) = 0.
Partie B
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal  EMBED Equation.DSMT4  (unité graphique : 2 cm).
On considère les points A, B et C d’affixes respectives : a = 2,  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4  .
1. a. Placer les points A, B et C dans le plan complexe.
b. Démontrer que les points A, B et C sont sur un même cercle  EMBED Equation.DSMT4  de centre O.
c. Construire le cercle  EMBED Equation.DSMT4 .
2. Déterminer un argument du nombre complexe b. En déduire une mesure de l’angle  EMBED Equation.DSMT4 . Quelle est la nature du triangle OAB ?
Basique, Am. du Sud 11/2008
5 points
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal  EMBED Equation.DSMT4 , on considère les points A, B, C d’affixes respectives a = –1+2i, b = 1+3i, c = 4i.
1. Montrer que le triangle ABC est isocèle en A.
2. Soit I le milieu de [BC] et zI son affixe.
a. Quel est l’ensemble des points M du plan distincts de A dont l’affixe z est telle que  EMBED Equation.DSMT4  soit un réel ?
b. Déterminer l’unique réel x tel que  EMBED Equation.DSMT4  soit un réel.
c. Soit  EMBED Equation.DSMT4  l’affixe du vecteur  EMBED Equation.DSMT4  ; donner une forme trigonométrique de  EMBED Equation.DSMT4 .
3. a. Soit G le point d’affixe –3. Montrer qu’il existe deux rotations de centre G, dont on déterminera les angles, telles que les images de A et I par ces rotations soient toutes deux sur l’axe des réels.
b. Soit r1 la rotation de centre G et d’angle de mesure  EMBED Equation.DSMT4 . Déterminer l’écriture complexe de r1.
4. Soit A’, B’ et C’ les images respectives de A, B, et C par la rotation r1 ; soient a’, b’ et c’ leurs affixes.
Quelle est l’image par r1 de l’axe de symétrie du triangle ABC ? En déduire que  EMBED Equation.DSMT4 .
Equation, STL, France, Juin 2006 - 6 points
Le plan P est rapporté à un repère orthonormal  EMBED Equation.DSMT4  (unité graphique 1 cm).
On considère un polynôme P défini par  EMBED Equation.DSMT4  où z est une variable complexe.
1. a. Déterminer les nombres réels a, b et c tels que  EMBED Equation.DSMT4 .
b. Résoudre dans  EMBED Equation.DSMT4  l’équation P(z) = 0.
On considère les points A et B d’affixes respectives : zA = 2 " 2i et zB = 2 + 2i.
a. Écrire sous forme trigonométrique puis sous forme exponentielle les nombres zA et zB.
b. Placer dans le plan P les points A et B.
c. Quelle est la nature du triangle OAB ?
2. On considère la transformation T du plan P dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ tel que  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Caractériser géométriquement la transformation T.
b. Déterminer sous forme trigonométrique et sous forme algébrique l’affixe du point A’ image de A par la transformation T.
c. En déduire les valeurs exactes de  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
Equation, STL, France, juin 2005 - 5 points
On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d’argument  EMBED Equation.DSMT4 . Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal  EMBED Equation.DSMT4  d’unité graphique 1 cm.
1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation suivante, en donnant les solutions sous forme algébrique : z2 + 3z + 3 = 0.
2. On considère les nombres complexes :  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Écrire z1 sous forme trigonométrique.
b. Construire avec précision dans le repère  EMBED Equation.DSMT4  les points A et B d’affixes respectives z1 et z2. On laissera apparents les traits de construction.
3. On appelle D le point d’affixe  EMBED Equation.DSMT4  et K le point d’affixe z4 = 1.
a. Montrer que les points A, B et D appartiennent à un cercle C de centre K.
b. Montrer que le point K est le milieu du segment [AD].
c. Dans le repère  EMBED Equation.DSMT4  placer les points K et D et tracer le cercle C. Déterminer la nature du triangle ABD.
pi/12, STL, France, juin 2005 - 5 points
Le plan P est rapporté à un repère orthonormal  EMBED Equation.DSMT4  d’unité graphique 4cm.
1. a. Résoudre dans l’ensemble  EMBED Equation.DSMT4  des nombres complexes l’équation  EMBED Equation.DSMT4 . Donner les solutions sous forme algébrique et sous forme trigonométrique.
b. Représenter dans le plan P les points A d’affixe  EMBED Equation.DSMT4  et B d’affixe  EMBED Equation.DSMT4 .
c. Démontrer que le triangle OAB est équilatéral.
2. On considère l’application R de P dans P qui à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ telle que  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Caractériser géométriquement l’application R.
b. Placer le point A’ image du point A par R.
c. Calculer sous forme trigonométrique puis sous forme algébrique l’affixe du point A’.
d. En déduire les valeurs exactes de  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
Equation, STL, France, sept. 2004 - 5 points
1. Résoudre dans  EMBED Equation.DSMT4  l’équation  EMBED Equation.DSMT4 .
2. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct  EMBED Equation.DSMT4  d’unité graphique 1 cm.
Soit les points A, B et C du plan complexe d’affixes respectives  EMBED Equation.DSMT4  ;  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Calculer le module et un argument de zA et zB.
b. Construire les points A, B et C.
c. Calculer  EMBED Equation.DSMT4 .
d. Quelle est la nature du triangle OAB ? (justifier la réponse).
3. a. Écrire zC sous forme algébrique.
b. Montrer que C est le milieu du segment [OA].
4. Quelle est la nature du triangle ABC ? (justifier la réponse).
Rotations, STL, France, sept. 2004 - 5 points
Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal  EMBED Equation.DSMT4  d’unité graphique 1 cm.
On note i le nombre complexe de module 1 et d’argument  EMBED Equation.DSMT4 . Dans P, les points A et B ont pour affixes respectives 8 et 8i.
1. On appelle D l’image de A par la rotation R1 de centre O et d’angle  EMBED Equation.DSMT4  et C l’image de B par la rotation R2 de centre O et d’angle  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Quelles sont les fonctions f1 et f2 de  EMBED Equation.DSMT4  dans  EMBED Equation.DSMT4  associées respectivement aux rotations R1 et R2.
b. Calculer les affixes des points C et D.
2. a. Montrer que les points A, B, C et D appartiennent à un même cercle C dont on précisera le centre et le rayon. Tracer le cercle C dans le plan P et représenter les points A, B, C et D.
b. Quelle est la nature du triangle OCD ?
3. On note a l’affixe du vecteur  EMBED Equation.DSMT4  et b celle du vecteur  EMBED Equation.DSMT4 . Montrer que  EMBED Equation.DSMT4 . En déduire que le quadrilatère ABCD est un trapèze.
Classique, La Réunion 2006 - 5 points
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4 , l’unité graphique est 2 cm. On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d’argument  EMBED Equation.DSMT4 . On réalisera une figure que l’on complétera au fur et à mesure des questions.
1. Résoudre dans l’ensemble  EMBED Equation.DSMT4  des nombres complexes l’équation  EMBED Equation.DSMT4 . Écrire la solution sous forme algébrique.
2. Résoudre dans  EMBED Equation.DSMT4  l’équation  EMBED Equation.DSMT4 . Écrire les solutions sous forme exponentielle.
3. Soient A, B, A’ et D les points du plan complexe d’affixes respectives : a = 2, b = 4, a’ = 2i et d = 2 + 2i.
Quelle est la nature du triangle ODB ?
4. Soient E et F les points d’affixes respectives  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 . Quelle est la nature du quadrilatère OEAF ?
5. Soit C le cercle de centre A et de rayon 2. Soit C’ le cercle de centre A’ et de rayon 2. Soit r la rotation de centre O et d’angle  EMBED Equation.DSMT4 .
a. On désigne par E’ l’image par la rotation r du point E. Calculer l’affixe e’ du point E’.
b. Démontrer que le point E’ est un point du cercle C’.
c. Vérifier que :  EMBED Equation.DSMT4 . En déduire que les points E, E’ et D sont alignés.
6. Soit D’ l’image du point D par la rotation r. Démontrer que le triangle EE’D’ est rectangle.
Système, STL, France, juin 2004 - 5 points
1. Résoudre le système suivant d’inconnues complexes z et z’ :  EMBED Equation.DSMT4 .
On donnera les solutions sous forme algébrique.
2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal  EMBED Equation.DSMT4  d’unité graphique 3 cm.
a. Placer dans le plan les points A, B et C d’affixes respectives zA = "1, zB = 2i et zC ="2 + i.
b. Calculer les modules des nombres complexes :  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 . Donner une interprétation géométrique de ces résultats.
c. On note I le milieu du segment [AC]. Préciser l affixe du point I puis calculer la distance BI.
d. Déterminer l’aire en cm2 du triangle ABC.
Similitude, STL, France, juin 2004 - 5 points
Le plan est rapporté à un repère orthonormal  EMBED Equation.DSMT4 , unite graphique 1 cm. i désigne le nombre complexe de module 1 et dont un argument est  EMBED Equation.DSMT4 . À tout point M d’affixe z du plan complexe, on fait correspondre le point M’ d’affixe z’ tel que  EMBED Equation.DSMT4 .
1. Determiner le nombre complexe z tel que z’ = z.
2. On considère les points A et B d affixes respectives zA = 2 et zB= "1 + 3i.
a. Déterminer les affixes des points A et B . Que peut-on dire du point A ?
b. Placer les points A, B et B dans le repère EMBED Equation.DSMT4 .
c. Démontrer que le triangle ABB est un triangle rectangle et isocèle.
3. a. Vérifier l’égalité :  EMBED Equation.DSMT4 .
b. Soit C le point d’affixe zC = 1 + i. Interpréter géométriquement  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
c. Déduire des questions précédentes l’ensemble (D) des points M d’affixe z vérifiant  EMBED Equation.DSMT4  et tracer (D) dans le repère précédent.
Transformation ?
A tout nombre complexe z on associe le nombre complexe égal à  EMBED Equation.DSMT4 
1. Calculer f(3), f(i) et f(1 – 4i).
2. Exprimer  EMBED Equation.DSMT4  à l’aide de z et de  EMBED Equation.DSMT4 .
3. En déduire que z’ est réel pour tout z complexe.
Equation
Soit (E) l’équation complexe :  EMBED Equation.DSMT4 .
1. Démontrer que z = x + iy avec x et y réels est solution de (E) si et seulement si :  EMBED Equation.DSMT4 .
2. En déduire la résolution de l’équation (E) dans Cð.
Cercles
Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4 , unité graphique 4 cm, on considère les points A, B et C d'affixes respectives a, b, et c telles que : a = 1  i, b = 1 + i, c =  1 + i =  a. On note  EMBED Equation.DSMT4  le cercle de diamètre [AB].
1. a. Placer sur une figure les points A, B, C et le cercle  EMBED Equation.DSMT4 .
b. Mettre les nombres complexes a, b et c sous forme trigonométrique.
c. Soit r la rotation de centre O telle que r (A) = B. Déterminer l'angle de r et le point r (B), image de B par r. d. Déterminer l'image  EMBED Equation.DSMT4 ’ du cercle  EMBED Equation.DSMT4  par r ; placer  EMBED Equation.DSMT4 ' sur la figure.
2. On considère un nombre ( dans ]0 ; 2([ distinct de  EMBED Equation.3  ; on note M le point d'affixe  EMBED Equation.DSMT4 . On désigne par M' l'image de M par r, et on appelle z' l'affixe de M'.
a. Montrer que M est un point de  EMBED Equation.DSMT4  distinct de A et de B.
b. Exprimer z' en fonction de z. Calculer en fonction de ( les affixes u et u' des vecteurs  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
c. Etablir la relation  EMBED Equation.DSMT4 .
d. Prouver que les points B, M et M' sont alignés. Placer sur la figure un point M et son transformé M'.
Rotation
Dans le plan complexe P muni d'un repère orthonormal  EMBED Equation.DSMT4 , (unité graphique : 2 cm), on note B et C les points d'affixes respectives – i et  EMBED Equation.DSMT4 
Soit R la transformation du plan P qui, à tout point M d'affixe z, associe le point M’ d'affixe z’ telle que EMBED Equation.DSMT4 .
1. Placer les points B et C dans le plan P et donner l'écriture de leurs affixes respectives sous la forme exponentielle ( EMBED Equation.DSMT4 ).
2. Préciser la nature et les éléments caractéristiques de la transformation R.
3. Déterminer, sous la forme exponentielle, les affixes des images respectives B’ et C’ par la transformation R des points B et C. Placer B’ et C’ dans le plan P.
Que peut-on dire du point B’ ?
Que peut-on dire des points B’ et C’ relativement à l'axe des abscisses ?
4. a. En utilisant les points B et C, déterminer et construire l'ensemble D des points M d'affixe z telle que  EMBED Equation.DSMT4 
b. Déterminer l'image D’ par la transformation R de l'ensemble D.
Carrés, rotations et alignement
Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4 .
1. On considère trois points distincts A, B et C d'affixes respectives a, b et c.
a. Interpréter géométriquement l'argument du quotient  EMBED Equation.DSMT4 .
b. Montrer que A, B et C sont alignés si et seulement si  EMBED Equation.DSMT4  est un nombre réel.
2. Placer sur une figure (unité graphique : 1 cm) les points A1, B1 et C1 d'affixes respectives
 EMBED Equation.DSMT4 
Montrer, à l'aide de la propriété précédente, que les points A1, B1 et C1 sont alignés.
3. On considère les points A2, B2, C2, A3, B3, C3 tels que les quadrilatères OA1A2A3, OB1B2B3, OC1C2C3 soient des carrés directs.
a. Tracer les carrés OA1A2A3, OB1B2B3, OC1C2C3.
b. Donner les affixes a3 et b3 des points A3 et B3 puis les affixes a2 et b2 des points A2 et B2.
c. À l'aide de la rotation de centre O et d'angle  EMBED Equation.DSMT4  , calculer l'affixe c3 de C3 à l'aide de c1.
d. En déduire que les points A3, B3 et C3 sont alignés.
4. a. Déterminer le réel a tel que le barycentre du système {(O, a), (C1, 1), (C3, 1)} soit C2.
(Rappel : le barycentre G du système (A,  EMBED Equation.DSMT4 ), (B,  EMBED Equation.DSMT4 ),… est tel que  EMBED Equation.DSMT4 )
b. Calculer l'affixe c2 de C2.
c. Montrer que les points A2, B2, C2 sont alignés.
ROC+Equation+Rotation, Polynésie 2010, 5 pts
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4 .
Partie A - Restitution organisée de connaissances
Prérequis
Soit z un nombre complexe tel que z = a + ib où a et b sont deux nombre réels.
On note  EMBED Equation.DSMT4  le nombre complexe défini par  EMBED Equation.DSMT4 .
Questions
a. Démontrer que, pour tous nombres complexes z et z’,  EMBED Equation.DSMT4 .
b. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, et tout nombre complexe z,  EMBED Equation.DSMT4 .
Partie B
On considère l‘équation (E) :  EMBED Equation.DSMT4  où z est un nombre complexe.
1. Montrer que si le nombre complexe z est solution de l’équation (E) alors les nombres complexes – z et  EMBED Equation.DSMT4  sont aussi solutions de l’équation (E).
2. On considère le nombre complexe  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Écrire le nombre complexe z0 sous forme exponentielle.
b. Vérifier que z0 est solution de l’équation (E).
3. Déduire des deux questions précédentes trois autres solutions de l‘équation (E).
Partie C
Soient A, B, C et D les points d’affixes respectives :  EMBED Equation.DSMT4  ;  EMBED Equation.DSMT4  ;  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
Soit r la rotation du plan de centre C et d’angle de mesure  EMBED Equation.DSMT4 . On appelle E l’image du point B par r et F celle du point D par r.
1. Déterminer l’écriture complexe de la rotation r.
2. a. Démontrer que l’affixe du point E, notée zE, est égale à  EMBED Equation.DSMT4 .
b. Déterminer l’affixe zF du point F.
c. Démontrer que le quotient  EMBED Equation.DSMT4  est un nombre réel.
d. Que peut-on en déduire pour les points A, E et F ?
Système+parallélog. Antilles 09/2007, 5 pts
Partie A
1. Déterminer le complexe  EMBED Equation.DSMT4  tel que  EMBED Equation.DSMT4 .
2. Pour tout nombre complexe z, on pose  EMBED Equation.DSMT4 . Montrer que  EMBED Equation.DSMT4  s’écrit sous la forme  EMBED Equation.DSMT4 . En déduire les solutions (sous forme algébrique) de l’équation  EMBED Equation.DSMT4 .
Partie B
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé  EMBED Equation.DSMT4 , unité graphique 5 cm.
1. On considère les points A et B d’affixes respectives  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 . Placer A et B dans le repère et compléter la figure au fur et à mesure. Montrer que  EMBED Equation.DSMT4 , en déduire que le triangle  EMBED Equation.DSMT4  est un triangle isocèle rectangle tel que  EMBED Equation.DSMT4 .
2. On considère le point C d’affixe  EMBED Equation.DSMT4 . Déterminer l’affixe du point D tel que le triangle OCD soit un triangle isocèle rectangle tel que  EMBED Equation.DSMT4 .
On pourra conjecturer l’affixe de D à l’aide de la figure pour traiter la question suivante.
3. Soit M le milieu du segment [BC]. On appelle  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  les affixes respectives des vecteurs  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 . Prouver que  EMBED Equation.DSMT4 .
4. Donner une mesure en radians de  EMBED Equation.DSMT4 .
5. Prouver que  EMBED Equation.DSMT4 .
6. On appelle J, K et L les milieux respectifs des segments [CD], [DA] et [AB]. On admet que le quadrilatère JKLM est un parallélogramme ; démontrer que c’est un carré.
Barycentre, ligne de niveau
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4 , unité graphique 2 cm.
1. a. Donner l’écriture algébrique du nombre complexe de module 2 et dont un argument est  EMBED Equation.DSMT4 .
b. Résoudre dans  EMBED Equation.DSMT4  l’équation iz – 2 = 4i –  z. On donnera la solution sous forme algébrique.
2. On désigne par I, A et B les points d’affixe respectives 1, 2i et 3 + i.
a. Faire une figure que l’on complétera au cours de l’exercice.
b. Calculer l’affixe ZC du point C image par A de la symétrie de centre I.
c. Ecrire sous forme algébrique le nombre complexe  EMBED Equation.DSMT4 . En déduire le module et un argument de ce nombre ; ainsi qu’une interprétation géométrique.
d. Soit D le point d’affixe ZD telle que  EMBED Equation.DSMT4 , montrer que ABCD est un carré.
3. Pour tout point M du plan, on considère le vecteur  EMBED Equation.DSMT4 
a. Exprimer le vecteur  EMBED Equation.DSMT4  en fonction du vecteur  EMBED Equation.DSMT4 .
b. Montrer que le point K défini par EMBED Equation.DSMT4  est le milieu du segment [AD].
c. Déterminer l’ensemble  EMBED Equation.DSMT4  des points M du plan tel que :  EMBED Equation.DSMT4 .
Construire  EMBED Equation.DSMT4 .
Barycentre + ligne de niveau, Polynésie 2004
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal  EMBED Equation.DSMT4 , unité graphique : 1 cm.
1. On désigne par A, B et I les points d affixes respectives : zA = 3 + 2i, zB = "3 et zI = 1 "2i.
a. Faire une figure que l on complétera au cours de l’exercice.
b. Écrire sous forme algébrique le nombre complexe  EMBED Equation.DSMT4 . Que peut-on en déduire sur la nature du triangle IAB ?
c. Calculer l’affixe zC du point C image de I par l’homothétie de centre A et de rapport 2.
d. Soit D le barycentre du système {(A, 1) ; (B, "1) ; (C, 1)} ; calculer l affixe zD du point D.
e. Montrer que ABCD est un carré.
2. Déterminer et construire l ensemble  EMBED Equation.DSMT4  des points M tels que  EMBED Equation.DSMT4 .
3. On considère l ensemble  EMBED Equation.DSMT4  des points M du plan tels que :  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Montrer que B appartient à  EMBED Equation.DSMT4 .
b. Déterminer et construire l’ensemble  EMBED Equation.DSMT4 .
Ligne de niveau, Centres étrangers 2008
5 points
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4  ; l'unité graphique est 1 cm.
1. Résoudre, dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation  EMBED Equation.DSMT4 . On donnera les solutions sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique.
2. On note A et B les points du plan d'affixes respectives :  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 . Placer ces points sur un graphique qui sera complété au fil de l'exercice.
a. Déterminer l'affixe c du point C, image du point B par la rotation de centre O et d'angle  EMBED Equation.DSMT4 .
b. On note D l'image de C par la rotation de centre A et d'angle  EMBED Equation.DSMT4  ; démontrer que l’affixe d du point D est  EMBED Equation.DSMT4 .
c. Placer les points C et D sur le graphique. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
3.  EMBED Equation.DSMT4  étant un nombre réel non nul, on désigne par  EMBED Equation.DSMT4  le barycentre du système :  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Exprimer le vecteur  EMBED Equation.DSMT4  en fonction du vecteur  EMBED Equation.DSMT4 .
b. En déduire l'ensemble des points  EMBED Equation.DSMT4  lorsque  EMBED Equation.DSMT4  décrit l'ensemble des réels non nuls. Construire cet ensemble.
c. Pour quelle valeur de  EMBED Equation.DSMT4  a-t-on  EMBED Equation.DSMT4  ?
4. On suppose dans cette question que  EMBED Equation.DSMT4 .
Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Déterminer et construire l'ensemble des points M du plan tels que  EMBED Equation.DSMT4 .
Ligne niveau+rotation, Polynésie 2008
4 points
1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes, l’équation  EMBED Equation.DSMT4 .
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4  d'unité graphique 1 cm. On considère les points A, B, C d'affixes respectives  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 .
2. Faire une figure et placer les points A, B, C.
3. Montrer que OABC est un parallélogramme.
4. Déterminer l'affïxe du point  EMBED Equation.DSMT4 , centre du parallélogramme OABC.
5. Déterminer et tracer l'ensemble des points M du plan tels que  EMBED Equation.DSMT4 .
6. Soit M un point de la droite (AB). On désigne par  EMBED Equation.DSMT4  la partie imaginaire de l'affixe du point M. On note N l'image du point M par la rotation de centre D et d'angle  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Montrer que N a pour affixe  EMBED Equation.DSMT4 .
b. Comment choisir  EMBED Equation.DSMT4  pour que N appartienne à la droite (BC) ?
3ème degré, barycentre, ligne de niveau
1. On considère dans  EMBED Equation.DSMT4  l'équation d'inconnue Z : (E)  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Vérifier que 8 est solution de cette équation.
Déterminer les nombres réels  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4  tels que, pour tout complexe Z,
 EMBED Equation.DSMT4 
b. Résoudre l'équation (E).
2.  EMBED Equation.DSMT4 est un repère orthonormal direct du plan orienté, l'unité graphique est 1 cm.
On considère les points A, B, C d'affixes respectives  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Calculer le module de a (noté  EMBED Equation.DSMT4 ) et son argument  EMBED Equation.DSMT4 . Placer les trois points A, B et C.
b. Calculer le complexe  EMBED Equation.DSMT4  , déterminer son module et son argument  EMBED Equation.DSMT4 . En déduire la nature du triangle ABC.
c. Déterminer le barycentre D des points pondérés (A,  EMBED Equation.DSMT4 ), (B,  EMBED Equation.DSMT4 ), (C,  EMBED Equation.DSMT4 ). Placer D.
d. Déterminer l'ensemble E des points M du plan tels que  EMBED Equation.DSMT4 . Tracer E.
3ème degré, rotation, Pondicherry 2003
Première partie
On considère dans l ensemble des nombres complexes, l équation suivante : (E) z3 +2z2 "16 = 0.
1. Montrer que 2 est solution de (E), puis que (E) peut s écrire sous la forme : (z "2)(az2 + bz + c) = 0, où a, b et c sont trois réels que l’on déterminera.
2. En déduire les solutions de l’équation (E) sous forme algébrique, puis sous forme exponentielle.
Deuxième partie
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal  EMBED Equation.DSMT4 .
1. Placer les points A, B et D d’affixes respectives zA = "2"2i, zB = 2 et zD = "2+2i.
2. Calculer l affixe zC du point C tel que ABCD soit un parallélogramme. Placer C.
3. Soit E l image de C par la rotation de centre B et d angle  EMBED Equation.DSMT4  et F l image de C par la rotation de centre D et d angle  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Calculer les affixes des points E et F, notées zE et zF.
b. Placer les points E et F.
4. a. Vérifier que :  EMBED Equation.DSMT4 .
b. En déduire la nature du triangle AEF.
5. Soit I le milieu de [EF]. Déterminer l’image du triangle EBA par la rotation de centre I et d’angle  EMBED Equation.DSMT4 .
3ème degré+rotation, France 2007 - 5 points
Partie A
On considère l’équation : (E)  EMBED Equation.DSMT4  où z est un nombre complexe.
1. Démontrer que le nombre complexe i est solution de cette équation.
2. Déterminer les nombres réels a, b et c tels que, pour tout nombre complexe z on ait :
 EMBED Equation.DSMT4 .
3. En déduire les solutions de l’équation (E).
Partie B
Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4 , on désigne par A, B et C les points d’affixes respectives i, 2 + 3i et 2 " 3i.
1. Soit r la rotation de centre B et d angle  EMBED Equation.DSMT4 . Déterminer l affixe du point A , image du point A par la rotation r.
2. Démontrer que les points A , B et C sont alignés et déterminer l écriture complexe de l homothétie de centre B qui transforme C en A’.
Orthocentre, C. étrangers 2007 - 5 points
I. Restitution organisée de connaissances
1. Démontrer qu’ un nombre complexe z est imaginaire pur si et seulement si  EMBED Equation.DSMT4 .
2. Démontrer qu’un nombre complexe z est réel si et seulement si  EMBED Equation.DSMT4 .
3. Démontrer que pour tout nombre complexe z, on a l’égalité :  EMBED Equation.DSMT4 .
Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormé direct  EMBED Equation.DSMT4  orthonormé direct . On se propose de démontrer, à l’aide des nombres complexes, que tout triangle de sommets A, B, C, deux à deux distincts, d’affixes respective a, b, c, et dont le centre du cercle circonscrit est situé à l’origine O, a pour orthocentre le point H d’affixe a +b +c.
II. Étude d’un cas particulier
On pose : a = 3 + i, b = "1 + 3i,  EMBED Equation.DSMT4 .
1. Vérifier que O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
2. Placer les points A, B, C et le point H d affixe a + b + c, puis vérifier graphiquement que le point H est l orthocentre du triangle ABC.
III. Étude du cas general
ABC est un triangle dont O est le centre du cercle circonscrit, et a, b, c sont les affixes respectives des points A, B, C.
1. Justifier le fait que O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC si et seulement si :  EMBED Equation.DSMT4 .
2. On pose  EMBED Equation.DSMT4 .
a. En utilisant la caractérisation d’un nombre imaginaire pur établie dans le I., démontrer que w est imaginaire pur.
b. Verifier l’égalité :  EMBED Equation.DSMT4  et justifier que :  EMBED Equation.DSMT4 .
c. En déduire que le nombre complexe  EMBED Equation.DSMT4  est imaginaire pur.
3. Soit H le point d’affixe a + b + c.
a. Exprimer en fonction de a, b et c les affixes des vecteurs  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
b. Prouver que  EMBED Equation.DSMT4 . (On admet de même que  EMBED Equation.DSMT4 .
c. Que représente le point H pour le triangle ABC ?
Produit scalaire
Le plan est muni d'un repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4 (unité graphique 2 cm). z et z´ sont deux nombres complexes et on pose :  EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  désignent les conjugués respectifs de z et z´.
1. Calculer :  EMBED Equation.DSMT4 (i, 3) ;  EMBED Equation.DSMT4 (1 + 2i, – 2 + i),  EMBED Equation.DSMT4 (2 + i, – 3 + 2i),  EMBED Equation.DSMT4 .
Montrer que pour tout couple (z, z´) le nombre ( (z, z´) est réel.
2. a. On pose z = x + iy et z´= x´+ iy´ ; x, y, x´, y´ réels. Calculer  EMBED Equation.DSMT4 (z, z´) en fonction de x, x´, y, y´.
b. Déterminer l'ensemble D des points M d'affixe z tels que ( (z, 1 + i) = 2 EMBED Equation.DSMT4 . Dessiner D.
3. a. On pose  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  ; ( et (´ réels, r et r´ réels positifs. Calculer  EMBED Equation.DSMT4 (z, z´) en fonction de r, r´ et cos( EMBED Equation.DSMT4  –  EMBED Equation.DSMT4 ´).
b. Exprimer  EMBED Equation.DSMT4 (z, z') en fonction de r.
c. Déterminer l'ensemble C des points M d'affixe z tels que  EMBED Equation.DSMT4 (z, z') = 2.
d. Dessiner C dans le repère EMBED Equation.DSMT4 . Que peut-on dire de la position relative de C et D ? Justifier la réponse.
Forme algébrique & trigo de pi/12 -1
Dans le plan rapporté au repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4 on considère les points A, B et C d'affixes respectives :  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 .
1. a. Écrire ZC sous forme algébrique.
b. Déterminer le module et un argument de ZA et de ZB.
c. Écrire ZC sous forme trigonométrique ; en déduire les valeurs exactes de  EMBED Equation.DSMT4  et de  EMBED Equation.DSMT4 .
2. Soit I le point d'affixe ZI = 1.
a. Quelle est la nature du triangle OIB ?
b. Déterminer les images de I et B dans la rotation de centre O et d'angle  EMBED Equation.DSMT4 . En déduire la nature du triangle OAC.
Forme algébrique & trigo de pi/12 -2
Soit les nombres complexes :  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  .
a. Mettre sous forme trigonométrique z1, z2 et  EMBED Equation.DSMT4 .
b. En déduire que  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  .
c. On considère l’équation d’inconnue réelle x :  EMBED Equation.DSMT4 .
Résoudre cette équation dans  EMBED Equation.DSMT4  et placer les points images des solutions sur le cercle trigonométrique.
Forme algébrique & trigo de pi/12 -3
Le plan complexe P est rapporté à un repere orthonormal  EMBED Equation.DSMT4 . On considère dans P les points A, B et C d'affixes respectives  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
1. a. Calculer le module et un argument du nombre complexe  EMBED Equation.DSMT4 
b. En déduire la nature du triangle ABC.
2. a. Écrire le nombre complexe  EMBED Equation.DSMT4 sous forme algébrique.
b. Écrire les nombres zA et zB sous forme trigonométrique. En déduire la forme trigonométrique de  EMBED Equation.DSMT4 .
c. À l'aide des deux questions précédentes donner les valeurs exactes de  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
pi/12 –4, France remplt 2007 - 5 points
Soit les nombres complexes :  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
1. Écrire Z sous forme algébrique.
2. Donner les modules et arguments de z1, z2 et Z.
3. En déduire  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
4. Le plan est muni d’un repère orthonormal ; on prendra 2 cm comme unité graphique.
On désigne par A, B et C les points d’affixes respectives z1, z2 et Z. Placer le point B, puis placer les points A et C en utilisant la règle et le compas (on laissera les traits de construction apparents).
5. Écrire sous forme algébrique le nombre complexe  EMBED Equation.DSMT4 .
Trigo, France 2010, 5 pts
Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4 , on considère le point A d’affixe 2 et le cercle C de centre O passant par A.
Dans tout l’exercice on note  EMBED Equation.DSMT4  le nombre complexe  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  le nombre complexe conjugué du nombre complexe  EMBED Equation.DSMT4 .
1. a. Démontrer que  EMBED Equation.DSMT4 .
b. Démontrer que les points B et C d’affixes respectives  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  appartiennent au cercle C.
2. Soit D un point du cercle C d’affixe  EMBED Equation.DSMT4  où  EMBED Equation.DSMT4  est un nombre réel de l’intervalle  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Construire sur la figure donnée ci-dessous le point E image du point D par la rotation r de centre O et d’angle  EMBED Equation.DSMT4 .

b. Justifier que le point E a pour affixe  EMBED Equation.DSMT4 .
3. Soient F et G les milieux respectifs des segments [BD] et [CE].
a. Justifier que le point F a pour affixe  EMBED Equation.DSMT4 .
b. On admet que le point G a pour affixe  EMBED Equation.DSMT4 . Démontrer que  EMBED Equation.DSMT4 . On pourra utiliser la question 1. a. En déduire que le triangle AFG est équilatéral.
4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
À l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, on conjecture qu’il existe une position du point D, défini à la question 2, pour laquelle la longueur du coté AF du triangle AFG est minimale.
On admet que  EMBED Equation.DSMT4 .
On considère la fonction f définie sur l’intervalle  EMBED Equation.DSMT4  par  EMBED Equation.DSMT4 . Le tableau ci-dessous donne les variations de la fonction f sur l’intervalle  EMBED Equation.DSMT4 . Compléter ce tableau de variations. Permet-il de valider la conjecture ? Justifier.
x EMBED Equation.DSMT4  EMBED Equation.DSMT4  EMBED Equation.DSMT4  EMBED Equation.DSMT4 f



Equation du second degré - 1
On désigne par P le plan complexe. Unité graphique : 2 cm.
1. Résoudre l’équation d’inconnue complexe z :  EMBED Equation.DSMT4 . On notera  EMBED Equation.DSMT4  la solution dont la partie imaginaire est positive et  EMBED Equation.DSMT4  l’autre. Donner le module et l’argument de chacun des nombres  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 . Ecrire sous forme algébrique  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
2. On considère dans le plan les points  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Représenter les points A, B, C et D dans le plan P. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
b. Montrer que les points O, A et D d’une part et les points O, B et C d’autre part sont alignés. Quel est le point d’intersection des diagonales de ABCD ?
c. Quelles sont les affixes des vecteurs  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  ?
Montrer que les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires.
Equation du second degré - 2
 EMBED Equation.DSMT4  étant un nombre réel appartenant à l'intervalle [0 ; 2 EMBED Equation.DSMT4 ] et z un nombre complexe, on considère le polynôme P(z), défini par :  EMBED Equation.DSMT4 .
1. a. Calculer P(1).
b. En déduire l'existence de trois réels a, b, c tels que  EMBED Equation.DSMT4 . Déterminer a, b et c.
c. Résoudre, dans  EMBED Equation.DSMT4 , l'équation P(z) = 0.
2. On considère trois nombres complexes : z1 = 1 ; z2 = – sin EMBED Equation.DSMT4  + i cos EMBED Equation.DSMT4  ; z3 = – sin EMBED Equation.DSMT4  " i cos EMBED Equation.DSMT4 .
Déterminer le module et un argument de chacun de ces nombres complexes z1, z2 et z3.
Médiatrice - 1
Le plan complexe (P) est rapporté au repère orthonormal EMBED Equation.DSMT4 . Soit (D) l'ensemble des points M de (P) d'affixe z vérifiant (1) :  EMBED Equation.DSMT4 .
1. En écrivant z = x + i y, montrer par le calcul que (D) est une droite dont on donnera une équation.
2. On se propose dans cette question de vérifier le résultat du 1. Soit A le point d'affixe 3i et B le point d'affixe – 2 + i.
a. Placer A et B dans le repère  EMBED Equation.DSMT4 .
b. En interprétant géométriquement la relation (1) à l'aide des points A et B, re-démontrer que (D) est une droite. Tracer (D).
c. Retrouver alors par le calcul l'équation de (D) obtenue au 1.
Médiatrice - 2
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4 , unité graphique : 3 cm.
1. Placer les points B et D d'affixes respectives  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 . On complètera la figure dans les questions suivantes.
2. Montrer que le triangle ODB est un triangle équilatéral.
3. Soit E le point d'affixe  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Le point A est l'image de E par la rotation r de centre O et d'angle  EMBED Equation.DSMT4 . Déterminer l'affixe zA du point A et vérifier que A est le milieu du segment [OB].
b. Le point C est l'image de E par la translation t de vecteur  EMBED Equation.DSMT4 . Déterminer l'affixe zC du point C.
4. Calculer  EMBED Equation.DSMT4  et déterminer un argument de ce nombre complexe.
5. Déduire des questions précédentes que la droite (CD) est la médiatrice du segment [OB].
Suite géométrique
On désigne par  EMBED Equation.DSMT4  le point du plan complexe d’affixe  EMBED Equation.DSMT4  définie par:
 EMBED Equation.DSMT4 
où n est un nombre entier naturel et où  EMBED Equation.DSMT4  est le point d’affixe  EMBED Equation.DSMT4 .
1. Déterminer les valeurs de n pour lesquelles  EMBED Equation.DSMT4  est réel.
2. Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal. EMBED Equation.DSMT4  (unité = 8 cm).
a. Représenter dans P les points  EMBED Equation.DSMT4 
b. Calculer en fonction de n les longueurs des trois côtés du triangle  EMBED Equation.DSMT4 . Montrer que ce triangle est rectangle.
3. On considère la suite  EMBED Equation.DSMT4  définie par  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Montrer que la suite  EMBED Equation.DSMT4  est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
b. Calculer  EMBED Equation.DSMT4 . Déterminer la limite de  EMBED Equation.DSMT4  quand n tend vers  EMBED Equation.DSMT4 .
4. a. Calculer en fonction de n l’aire  EMBED Equation.DSMT4  du triangle  EMBED Equation.DSMT4 .
b. Calculer  EMBED Equation.DSMT4 . Déterminer la limite de  EMBED Equation.DSMT4  quand n tend vers  EMBED Equation.DSMT4 .
Suite arithmético-géométrique, Asie 2007 - 5 pts
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4 . L’unité graphique est 4 cm.
Soit  EMBED Equation.DSMT4  un nombre complexe non nul et différent de 1. On définit, pour tout entier naturel n, la suite (zn) de nombres complexes par :  EMBED Equation.DSMT4 .
On note Mn le point d’affixe zn.
1. Calcul de zn en fonction de n et de  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Vérifier les égalités :  EMBED Equation.DSMT4  ;  EMBED Equation.DSMT4  ;  EMBED Equation.DSMT4 .
b. Démontrer que, pour tout entier n positif ou nul,  EMBED Equation.DSMT4 .
2. Étude du cas  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Montrer que z4 = 0.
b. Pour tout entier naturel n, exprimer zn+1 en fonction de zn.
c. Montrer que Mn+1 est l’image de Mn par une rotation dont on précisera le centre et l’angle.
d. Représenter les points M0 ,M1, M2, M3 et M4 dans le repère  EMBED Equation.DSMT4 .
3. Caractérisation de certaines suites (zn).
a. On suppose qu’il existe un entier naturel k tel que  EMBED Equation.DSMT4 . Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a l’égalité : zn+k = zn.
b. Réciproquement, monter que s’il existe un entier naturel k tel que, pour tout entier naturel n on ait l’égalité zn+k = zn alors :  EMBED Equation.DSMT4 .
Suite de carrés, Asie 2000 - 5 points
Dans le plan complexe (P) muni d’un repère orthonormé direct  EMBED Equation.DSMT4 , d unité 2 cm, on considère les points A, B, C et D d affixes respectives : zA = "i ; zB = 3 ; zC = 2+3i et zD = "1+2i.
1. Placer sur une figure les points A, B, C et D.
2. a. Interpréter géométriquement le module et l’argument du complexe  EMBED Equation.DSMT4 .
b. Calculer le complexe  EMBED Equation.DSMT4 .
c. Que pouvez-vous conclure concernant les segments [AC] et [BD] ?
3. a. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier.
b. Calculer l’aire s0 du quadrilatère ABCD.
4. a. Placer sur la figure précédente les points A1, B1, C1 et D1 tels que  EMBED Equation.DSMT4 , où les points A1 et B1 appartiennent à [DC], le quadrilatère A1B1C1D1 étant un carré situé àl’extérieur du quadrilatère ABCD.
b. Tracer le carré A1B1C1D1 et déterminer son aire s1.
5. a. On continue par le même procédé : un carré AnBnCnDn étant déterminé, on considère les points An+1, Bn+1, Cn+1 et Dn+1 tels que  EMBED Equation.DSMT4  où les points An+1 et Bn+1 appartiennent à [DnCn], le quadrilatère An+1Bn+1Cn+1Dn+1 étant un carré situé à l’extérieur du carré AnBnCnDn.
Tracer le carré A2B2C2D2.
b. Soit sn l’aire du carré AnBnCnDn. Exprimer sn+1 en fonction de sn, puis de n. En déduire sn, en fonction de n.
c. Déterminer, en fonction de n, l’aire Sn de la figure obtenue par la juxtaposition du quadrilatère ABCD et des carrés A1B1C1D1, A2B2C2D2, . . . et AnBnCnDn.
d. La suite (sn) est-elle convergente ? Préciser sa limite si elle existe.
Inversion 1
Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct EMBED Equation.DSMT4 . L'unité graphique est 4 cm.
À tout point M d'affixe z non nulle, on associe le point M´ d'affixe z´ telle que  EMBED Equation.DSMT4 , où  EMBED Equation.DSMT4 désigne le nombre complexe conjugué de z.
1. a. Déterminer une relation entre les arguments de z et de z´.
b. En déduire que les points O, M et M´ sont alignés.
2. Démontrer que EMBED Equation.DSMT4 .
On nomme A et B les points d'affixes respectives 1 et – 1. On désigne par C le cercle de centre A contenant le point O et par C* le cercle C privé du point O.
3. On suppose dans cette question que le point M appartient à C* .
a. Justifier l'égalité :  EMBED Equation.DSMT4 . Démontrer que  EMBED Equation.DSMT4 . Interpréter géométriquement cette égalité.
b. Déduire de ce qui précède une construction géométrique du point M´ à partir du point M.
4. Le point M étant un point du plan, d'affixe z non réelle, on nomme M1 son symétrique par rapport à l'axe des réels.
a. Calculer  EMBED Equation.DSMT4  en fonction de z. Exprimer alors l'argument de  EMBED Equation.DSMT4  en fonction de l'angle  EMBED Equation.DSMT4 
b. Comparer les angles  EMBED Equation.DSMT4 et  EMBED Equation.DSMT4 
c. Démontrer que M´ appartient au cercle circonscrit au triangle AMB.
Inversion 2, Antilles 2005 - 5 points
 EMBED Equation.DSMT4  est un repère orthonormal du plan P. Soit A le point d affixe 1; soit B le point d affixe "1.
Soit F l application de P privé de O dans P qui à tout point M d’affixe z distinct de O associe le point M’ = F(M) d’affixe  EMBED Equation.DSMT4 .
1. a. Soit E le point d’affixe  EMBED Equation.DSMT4 ; on appelle E’ son image par F. Déterminer l’affixe de E’ sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique.
b. On note C1 le cercle de centre O et de rayon 1. Déterminer l’image de C1 par l’application F.
2. a. Soit K le point d’affixe  EMBED Equation.DSMT4  et K’ l’image de K par F. Calculer l’affixe de K’.
b. Soit C2 le cercle de centre O et de rayon 2. Déterminer l’image de C2 par l’application F.
3. On désigne par R un point d’affixe  EMBED Equation.DSMT4  où  EMBED Equation.DSMT4 . R appartient au cercle C3 de centre A et de rayon 1.
a. Montrer que  EMBED Equation.DSMT4 . En déduire que :  EMBED Equation.DSMT4 .
b. Si on considère maintenant les points d’affixe  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 , montrer que leurs images sont situées sur une droite. On pourra utiliser le résultat du 3. a.
Inversion 3, Am. du Sud 2005
5 points
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4 . Unité graphique 2 cm.
Soit f l’application qui à tout point M du plan d’affixe z non nulle associe le point M’ d’affixe z’ telle que  EMBED Equation.DSMT4 , où  EMBED Equation.DSMT4  désigne le nombre complexe conjugué de z.
1. Déterminer l’ensemble des points invariants par f.
2. Déterminer l’ensemble des points dont l’image par l’application f est le point J d’affixe 1.
3. Soit  EMBED Equation.DSMT4  un nombre complexe non nul. Démontrer que le point A d’affixe  EMBED Equation.DSMT4  admet un antécédent unique par f , dont on précisera l’affixe.
4. a. Donner une mesure de l’angle  EMBED Equation.DSMT4 . Interpréter géométriquement ce résultat.
b. Exprimer  EMBED Equation.DSMT4  en fonction de  EMBED Equation.DSMT4 . Si r désigne un réel strictement positif, en déduire l’image par f du cercle de centre O et de rayon r.
c. Choisir un point P du plan complexe non situé sur les axes de coordonnées et tel que OP = 3, et construire géométriquement son image P’ par f.
5. On considère le cercle C1, de centre J et de rayon 1. Montrer que l’image par f de tout point de C1, distinct de O, appartient à la droite D d’équation x = 2.
Inversion 4, Asie 06/2008
4 points
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4 . On prendra pour le dessin :  EMBED Equation.DSMT4 .
M est un point d’affixe z non nul. On désigne par M’ le point d’affixe z’ telle que  EMBED Equation.DSMT4  où  EMBED Equation.DSMT4  désigne le conjugué du nombre complexe z.
A. Quelques propriétés
1. Soit z un nombre complexe non nul.
Déterminer une relation entre les modules de z et z’ puis une relation entre les arguments de z et z’.
2. Démontrer que les points O, M et M’ sont alignés.
3. Démontrer que pour tout nombre complexe z non nul on a l’égalité :  EMBED Equation.DSMT4 .
B. Construction de l’image d’un point
On désigne par A et B les deux points d’affixes respectives 1 et "1.
On note (C) l ensemble des points M du plan dont l affixe z vérifie :  EMBED Equation.DSMT4 .
1. Quelle est la nature de l ensemble (C) ?
2. Soit M un point de (C) d affixe z, distinct du point O.
a. Démontrer que  EMBED Equation.DSMT4 . Interpréter géométriquement cette égalité.
b. Est-il vrai que si z’ vérifie l’égalité :  EMBED Equation.DSMT4 , alors z vérifie l’égalité :  EMBED Equation.DSMT4  ?
3. Tracer l’ensemble (C) sur une figure. Si M est un point de (C) , décrire et réaliser la construction du point M’.
 Homographie, Am. du Nord 2010 5 points
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4  d'unité graphique 2 cm.
On réalisera une figure que l'on complétera tout au long de l'exercice.
On considère les points A d'affixe i, B d'affixe "2i et D d'affïxe 1.
On appelle E le point tel que le triangle ADE soit équilatéral direct.
Soit f l application qui à tout point M d affixe z ( EMBED Equation.DSMT4 ) associe le point M d'affixe z’ définie par  EMBED Equation.DSMT4 .
1. Démontrer que le point E a pour affixe  EMBED Equation.DSMT4 .
2. Exprimer sous forme algébrique l’affixe du point D’ associé au point D par l'application f.
3. a. Démontrer que, pour tout nombre complexe z différent de i,  EMBED Equation.DSMT4 .
b. En déduire que pour tout point M d'affixe z ( EMBED Equation.DSMT4 ) :  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  où k est un entier relatif.
4. a. Démontrer que les points D et E appartiennent au cercle (C) de centre A et de rayon  EMBED Equation.DSMT4 .
b. En utilisant les résultats de la question 3. b, placer le point E’ associé au point E par l'application f. On laissera apparents les traits de construction.
5. Quelle est la nature du triangle BD’E’ ?
Homographie, France 2009, 5 points
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4 . On désigne par A, B et J les points d’affixes respectives – i, 1 – i et i. On désigne par  EMBED Equation.DSMT4  la médiatrice du segment [AB] et par C le cercle de centre O et de rayon 1.
À tout point M d affixe z distincte de 1   i, on associe le point M d affixe z telle que  EMBED Equation.DSMT4 . M2 est appelé image du point M.
1. Calculer les affixes des points A2 et O2 .
2. Sur une feuille de papier millimétré, faire une figure qui sera complétée tout au long de l exercice (unité graphique 4 cm).
3. Montrer que l équation  EMBED Equation.DSMT4  admet deux solutions que l on précisera. On note E et F les points qui ont pour affixes respectives ces solutions. Justifier que les points E et F appartiennent au cercle C et les placer sur la figure.
4. Soit M un point distinct du point B et M’ son image.
a. Exprimer la distance OM’ en fonction des distances AM et BM.
b. Montrer que si le point M décrit la droite  EMBED Equation.DSMT4 , alors le point M’ décrit un cercle que l’on précisera.
5. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Montrer que si le point M décrit la droite (AB) privée du point B, alors le point M’ appartient à une droite que l’on précisera.
Homographie, Polynésie sept 2006 - 4 points
1. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4 .
On pose a = 3, b = 5"2i et c = 5+2i. On désigne par A, B et C les points d affixes respectives a, b et c. Soit M un point d affixe z du plan, distinct des points A et B.
a. Montrer que ABC est un triangle rectangle isocèle.
b. Donner une interprétation géométrique de l argument du nombre complexe  EMBED Equation.DSMT4 .
c. Déterminer alors l’ensemble des points M d’affixe z tels que  EMBED Equation.DSMT4  soit un nombre réel strictement négatif.
2. Soit  EMBED Equation.DSMT4  le cercle circonscrit au triangle ABC et  EMBED Equation.DSMT4  le point d’affixe 2 "i.
a. Donner l écriture complexe de la rotation r de centre  EMBED Equation.DSMT4  et d angle  EMBED Equation.DSMT4 .
b. Déterminer l image  EMBED Equation.DSMT4  de  EMBED Equation.DSMT4  par la rotation r . Déterminer une équation paramétrique de  EMBED Equation.DSMT4 .
Homographie+ROC, Asie 2006 - 4 points
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4  (unité graphique : 2 cm).
On rappelle que pour tout vecteur  EMBED Equation.DSMT4  non nul, d’affixe z, on a :  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  à  EMBED Equation.DSMT4  près.
Partie A : restitution organisée de connaissances
Prérequis : On sait que si z et z’ sont deux nombres complexes non nuls, alors :  EMBED Equation.DSMT4 .
Soient z et z deux nombres complexes non nuls. Démontrer que :  EMBED Equation.DSMT4 .
Partie B
On note A et B les points d affixes respectives "i et 3i. On note f l application qui, à tout point M du plan, d affixe z, distinct de A, associe le point M’ d’affixe z’ telle que :  EMBED Equation.DSMT4 .
1. Étude de quelques cas particuliers.
a. Démontrer que f admet deux points invariants J et K appartenant au cercle de diamètre [AB]. Placer ces points sur le dessin.
b. On note C le point d’affixe c ="2 + i. Démontrer que le point C , image de C par f , appartient à l axe des abscisses.
2. Pour tout point M du plan distinct de A et B, démontrer que  EMBED Equation.DSMT4  à  EMBED Equation.DSMT4  près.
3. Étude de deux ensembles de points.
a. Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que z’ soit un nombre complexe imaginaire pur.
b. Soit M d’affixe z un point du cercie de diamètre [AB] privé des points A et B. À quel ensemble appartient le point M’ ?
Homographie 1
Dans le plan complexe P, muni d'un repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4 , on considère les points A, B, C et D d'affixes respectives : zA = – 2i, zB = 4 – 2i, zC = 4 + 2i, zD = 1.
1. a. Placer les points A, B, C et D sur une figure, qui sera peu à peu complétée. On prendra pour unité graphique 2 cm.
b. Préciser la nature du triangle ABC.
2. On désigne par F l'application qui, à tout point M de P, d'affixe z et distinct de A, associe le point M’ d'affixe  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Déterminer les images de B et C par F.
b. Déterminer l'ensemble E des points d'affixe z tels que  EMBED Equation.DSMT4 . Construire E.
3. a. Montrer que, pour tout nombre complexe z distinct de " 2i , on a : (z´ " 1) (z + 2i) = " 4 " 4i.
b. En déduire que si M est sur un cercle de centre A et de rayon r, M est sur un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
c. De même montrer que si M est sur une droite passant par A, alors M’ est sur une droite passant par D.
Variante originelle
3. a. Montrer que, pour tout nombre complexe z distinct de – 2i , on a : (z´ – 1)(z + 2i) = – 4 – 4i.
b. Montrer que, pour tout point M, distinct de A, et dont l'image par F est notée M’, on a :
 EMBED Equation.DSMT4 
Homographie 2
Soit un plan P rapporté à un repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4 . On note A le point d'affixe i et B celui d'affixe "2i. M le point d'affixe z et M' le point d'affixe z'.
Soit f l'application du plan complexe définie par :  EMBED Equation.DSMT4 .
1. Soit z un complexe différent de i.
a. On désigne par r et SYMBOL 113 \f "Symbol" le module et un argument de z   i. Interpréter géométriquement r et  EMBED Equation.DSMT4 .
b. Montrer que (z' + 2i)(z " i) = 1.
c. On désigne par r' et  EMBED Equation.DSMT4  le module et un argument de z' + 2i. Interpréter géométriquement r' et  EMBED Equation.DSMT4 ’ .
2. Soit (C) le cercle de centre A et de rayon 1. Montrer que si M appartient à (C), son image M' par f appartient à un cercle (C') de centre B dont on donnera le rayon.
3. Soit T le point d'affixe  EMBED Equation.DSMT4 
a. Calculer l'affixe de  EMBED Equation.DSMT4 ; en déduire que T appartient au cercle (C).
b. Déterminer une mesure en radians de l'angle  EMBED Equation.DSMT4 . Tracer le cercle (unité 2 cm) et placer T.
c. En utilisant les questions précédentes, construire l'image T' de T par f.
Homographie 3, N. Calédonie 1996
A tout complexe z différent de  EMBED Equation.DSMT4 on associe le complexe  EMBED Equation.DSMT4 .
1. Calculer  EMBED Equation.DSMT4 .
2. Déterminer le complexe z tel que  EMBED Equation.DSMT4 .
3. On appelle x et y la partie réelle et la partie imaginaire de z. Déterminer en fonction de x et y la partie réelle X et la partie imaginaire Y de  EMBED Equation.DSMT4 .
4. Dans le plan complexe, on appelle A le point d’affixe  EMBED Equation.DSMT4 , B le point d’affixe  EMBED Equation.DSMT4  et M le point d’affixe z. Montrer que  EMBED Equation.DSMT4 .
Donner une interprétation de  EMBED Equation.DSMT4  à l’aide de l’angle  EMBED Equation.DSMT4 .
Homographie 4, Amérique du Sud 2002
Dans le plan complexe, rapporté à un repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4  on appelle A et B les points d affixes respectives 2 et "2. À tout point M d affixe z, z différent de 2, on associe le point N d affixe  EMBED Equation.DSMT4  et M d affixe z tel que  EMBED Equation.DSMT4 .
1. Calculer z et  EMBED Equation.DSMT4  lorsque z = 5 puis lorsque z = 1 + i.
2. a. Interpréter géométriquement  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
b. Montrer que, pour tout z distinct de 2,  EMBED Equation.DSMT4 . En déduire une information sur la position de M’.
3. Déterminer l’ensemble E des points M d’affixe z (z  EMBED Equation.DSMT4  2) tels que M’ = B.
4. On note  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  les affixes respectives des vecteurs  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 . Montrer que, pour tout point M distinct de A et n’appartenant pas E , le quotient  EMBED Equation.DSMT4  est un nombre réel. Interpréter géométriquement ce résultat.
5. Un point M distinct de A, n’appartenant pas E , étant donné, proposer une méthode géométrique pour construire le point M’. On illustrera par une figure.
Homographie 5, Centres étrangers 2010
5 points
Dans le plan complexe (P)muni d’un repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4  d’unité graphique 4 cm, on considère le point A d’affixe a = "1 et l application f , du plan (P) dans lui·même, qui au point M d affixe z, distinct de A, associe le point M = f(M) d affixe z tel que :  EMBED Equation.DSMT4 .
1. Déterminer l affixe des points M tels que M = M.
2. Démontrer que pour tout point M distinct de A et de O, on a :
 EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  à  EMBED Equation.DSMT4  près.
3. a. Soit B le point d’affixe  EMBED Equation.DSMT4 . Placer dans le repère le point B et lamédiatrice ( EMBED Equation.DSMT4 ) du segment [OA].
b. Calculer sous forme algébrique l’affixe b’ du point B’ image du point B par f.
Établir que B’ appartient au cercle (C) de centre O et de rayon 1.
Placer le point B’ et tracer le cercle (C) dans le repère.
c. En utilisant la question 2, démontrer que, si un point M appartient à la médiatrice ( EMBED Equation.DSMT4 ), son image M’ par f appartient au cercle (C).
d. Soit C le point tel que le triangle AOC soit équilatéral direct. En s’aidant des résultats de la question 2, construire, à la règle et au compas, l’image du point C par f (on laissera apparents les traits de construction).
4. Dans cette question, on se propose de déterminer, par deux méthodes différentes, l’ensemble ( EMBED Equation.DSMT4 ) des points M distincts de A et de O dont l image M par f appartient à l axe des abscisses.
Les questions a. et b. peuvent être traitées de façon indépendante.
a. On pose  EMBED Equation.DSMT4  avec x et y réels tels que (x, y)  EMBED Equation.DSMT4  ("1, 0) et (x, y)  EMBED Equation.DSMT4  (0, 0).
Démontrer que la partie imaginaire de z’ est égale à :  EMBED Equation.DSMT4 .
En déduire la nature et les éléments caractéristiques de l’ensemble ( EMBED Equation.DSMT4 ) et le tracer dans le repère.
b. À l’aide de la question 2, retrouver géométriquement la nature de l’ensemble ( EMBED Equation.DSMT4 ).
Homog.+construction, France et La Réunion 09/2008
5 points
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4 . On réalisera une figure en prenant 2 cm comme unité graphique sur chaque axe.
On considère les points A, B et I d'affixes respectives  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
On note (C) le cercle de centre O et de rayon 1, ( EMBED Equation.DSMT4 ) la médiatrice de [AB] et (T) la tangente au cercle (C) en A.
À tout point M d'affixe z, différent de A, on associe le point M’ d'affixe z’ telle que :  EMBED Equation.DSMT4 .
Le point M’ est appelé l'image de M.
Partie A
1. Déterminer sous forme algébrique l'affixe du point I’ image de I. Vérifier que I’ appartient à (C).
2. a. Justifier que pour tout point M distinct de A et B, on a :  EMBED Equation.DSMT4 .
b. Justifier que pour tout point M distinct de A et B, on a :  EMBED Equation.DSMT4 .
Partie B
Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.
Dans la suite de l'exercice, M désigne un point quelconque de ( EMBED Equation.DSMT4 ).
On cherche à construire géométriquement son image M’.
1. Démontrer que M’ appartient à (C).
2. On note (d) la droite symétrique de la droite (AM) par rapport à la tangente (T). (d) recoupe (C) en N.
a. Justifier que les triangles AMB et AON sont isocèles.
Après avoir justifié que  EMBED Equation.DSMT4 , démontrer que  EMBED Equation.DSMT4 .
b. En déduire une construction de M’.
Homographie+cercles, France 2002 - 5 points
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4  d’unité graphique 4 cm. On note A et B les points d’affixes respectives 1 et i. À tout point M, distinct de A et d’affixe z, est associé le point M’ d’affixe Z définie par :  EMBED Equation.DSMT4 .
1. a. Calculer l’affixe du point C’ associé au point C d’affixe "i.
b. Placer les points A, B et C.
2. Soit z = x +iy où x et y désignent deux nombres réels.
a. Montrer l égalité :  EMBED Equation.DSMT4 .
b. Déterminer l ensemble E des points M d affixe z telle que Z soit réel.
c. Déterminer l ensemble F des points M d affixe z telle que Re(Z) soit négatif ou nul.
3. a. Écrire le nombre complexe (1 " i) sous forme trigonométrique.
b. Soit M un point d affixe z, distinct de A et de B. Montrer que Z est un réel non nul si et seulement s il existe un entier relatif k tel que  EMBED Equation.DSMT4 .
c. En déduire l’ensemble des points M vérifiant  EMBED Equation.DSMT4 .
d. Déterminer l’ensemble des points M vérifiant  EMBED Equation.DSMT4 .
Homographie, La Réunion 2004 - 5 points
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4  ; i désigne le nombre complexe de module 1 et d’argument  EMBED Equation.DSMT4 . Soient les points A, B et C d’affixes respectives i, 1+i et "1+i.
Soit f l application qui, à tout point M du plan différent de A, d affixe z, associe le point M du plan d affixe z tel que :  EMBED Equation.DSMT4 .
1. a. Déterminer les images de B et de C par l application f.
b. Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de i, on a la relation  EMBED Equation.DSMT4 .
c. Soit D le point d’affixe 1+2i. Placer les points A, B, C et D sur une figure (unité graphique 4 cm). Déduire de la question précédente une construction du point D’ image du point D par l’ application f.
2. Soit R un nombre réel strictement positif. Quelle est l’image par l’application f du cercle de centre A et de rayon R ?
3. a. Montrer que, si l’affixe du point M est un imaginaire pur différent de i, alors l’affixe du point M’ est un imaginaire pur. Que signifie ce résultat pour l’image par l’application f de l’axe imaginaire privé du point A ?
b. Soit  EMBED Equation.DSMT4  la droite passant par le point A et de vecteur directeur  EMBED Equation.DSMT4 . Déterminer l’ image de la droite  EMBED Equation.DSMT4  privée du point A par l’application f.
Carré
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé  EMBED Equation.DSMT4  , on considère le point M d'affixe zM=2+im (où m est un nombre réel) et le carré MNPQ de centre O et tel que N soit l'image de M par la rotation de centre O et d'angle de mesure  EMBED Equation.DSMT4 .
1. a. Déterminer, en fonction de m les affixes  EMBED Equation.DSMT4  des points N, P et Q.
b. Représenter le carré MNPQ dans le cas particulier où le point M a pour affixe 2 + 3i.
2. M étant le point d'affixe zM = 2 + im, on note I le milieu du segment [MN] et J le milieu du segment [NP] d'affixes respectives zI et zJ. Calculer le nombre complexe  EMBED Equation.DSMT4 .
Donner l'interprétation géométrique du module et de l'argument de w et expliquer le résultat obtenu par un raisonnement géométrique.
3. Soit A le point d'affixe 2.
a. Calculer l'affixe Z du vecteur  EMBED Equation.DSMT4  . Calculer le module de Z, puis, en distinguant les cas m 8?8@8A8i8j8k8…8†8‡8‰8Š8‹8Œ888‘8ñ8ò8öñöäØäÏËÏ»äÏñöñ®öñöäØäÏËϞäÏñöñ‘öñöä؉…{…qjhJ EHöÿUhJ >*\]aJhJ jhJ UjékhûDÕUjlkh7(ªhûDÕ0JUjïjhûDÕUjrjh7(ªhûDÕ0JUhûDÕh7(ªhûDÕ0JhûDÕCJOJQJaJjh7(ªhûDÕ0JU hûDÕjhûDÕU*ò89 9
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