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Exercices TS

Exercices complexes spécialité. ... Préciser les nombres complexes a, b, c, d, e, f , g , affixes respectives des points A, B, C, D, E, F et G. c. Montrer qu'il existe ...




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Terminale C

Exercices spécialité géométrie

 TOC \o "1-5" \h \z  HYPERLINK \l "_Toc302308436" 1.  Démonstrations  PAGEREF _Toc302308436 \h 1
 HYPERLINK \l "_Toc302308437" 1-a :  Toute similitude de rapport k (>0) est la composée d’une homothétie de rapport k et d’une isométrie  PAGEREF _Toc302308437 \h 1
 HYPERLINK \l "_Toc302308438" 1-b :  Les isométries du plan sont les transformations  EMBED Equation.DSMT4  ou  EMBED Equation.DSMT4   PAGEREF _Toc302308438 \h 2
 HYPERLINK \l "_Toc302308439" 1-c :  Caractérisation complexe d’une similitude  PAGEREF _Toc302308439 \h 2
 HYPERLINK \l "_Toc302308440" 1-d :  Propriétés des similitudes  PAGEREF _Toc302308440 \h 2
 HYPERLINK \l "_Toc302308441" 1-e :  Une similitude ayant deux points fixes distincts est soit l’identité, soit une symétrie axiale  PAGEREF _Toc302308441 \h 3
 HYPERLINK \l "_Toc302308442" 1-f :  Forme réduite d’une similitude directe  PAGEREF _Toc302308442 \h 3
 HYPERLINK \l "_Toc302308443" 1-g :  Propriété : « étant donnés quatre points A, B, A’, B’ tels que A EMBED Equation.DSMT4 B et A’ EMBED Equation.DSMT4 B’, il existe une unique similitude directe transformant A en A’ et B en B’ ».  PAGEREF _Toc302308443 \h 3
 HYPERLINK \l "_Toc302308444" 1. 1.  Exercice  PAGEREF _Toc302308444 \h 3
 HYPERLINK \l "_Toc302308445" 1. 2.  Exercice  PAGEREF _Toc302308445 \h 4
 HYPERLINK \l "_Toc302308446" 2.  Exercices  PAGEREF _Toc302308446 \h 6
 HYPERLINK \l "_Toc302308447" 2. 3.  Similitude + ROC, La Réunion 2010  PAGEREF _Toc302308447 \h 6
 HYPERLINK \l "_Toc302308448" 2. 4.  Translation et rotation, France 2010  PAGEREF _Toc302308448 \h 6
 HYPERLINK \l "_Toc302308449" 2. 5.  Similitudes, Centres étrangers 2010  PAGEREF _Toc302308449 \h 7
 HYPERLINK \l "_Toc302308450" 2. 6.  Similitude, Asie 2010  PAGEREF _Toc302308450 \h 7
 HYPERLINK \l "_Toc302308451" 2. 7.  Similitude + ROC, Antilles 2010  PAGEREF _Toc302308451 \h 8
 HYPERLINK \l "_Toc302308452" 2. 8.  Similitude, Amérique du Sud 2009  PAGEREF _Toc302308452 \h 8
 HYPERLINK \l "_Toc302308453" 2. 9.  Similitude+Suite, Pondicherry 2009  PAGEREF _Toc302308453 \h 9
 HYPERLINK \l "_Toc302308454" 2. 10.  ROC + Similitude, Polynésie 2009  PAGEREF _Toc302308454 \h 9
 HYPERLINK \l "_Toc302308455" 2. 11.  Similitudes, N. Calédonie nov 2008  PAGEREF _Toc302308455 \h 10
 HYPERLINK \l "_Toc302308456" 2. 12.  Spirale+arith, Antilles sept 2008  PAGEREF _Toc302308456 \h 11
 HYPERLINK \l "_Toc302308457" 2. 13.  Spirale+arith, France et La Réunion sept 2008  PAGEREF _Toc302308457 \h 11
 HYPERLINK \l "_Toc302308458" 2. 14.  Similitude indirecte, La Réunion, juin 2008  PAGEREF _Toc302308458 \h 12
 HYPERLINK \l "_Toc302308459" 2. 15.  Similitude & suite, France, juin 2008 (c)  PAGEREF _Toc302308459 \h 12
 HYPERLINK \l "_Toc302308460" 2. 16.  Similitude, Centres étrangers, juin 2008  PAGEREF _Toc302308460 \h 13
 HYPERLINK \l "_Toc302308461" 2. 17.  Similitude+ROC, Pondicherry, avril 2008 (c)  PAGEREF _Toc302308461 \h 14
 HYPERLINK \l "_Toc302308462" 2. 18.  Similitude, Polynésie, sept 2007  PAGEREF _Toc302308462 \h 16
 HYPERLINK \l "_Toc302308463" 2. 19.  Similitude, Antilles, sept 2007  PAGEREF _Toc302308463 \h 17
 HYPERLINK \l "_Toc302308464" 2. 20.  Similitude, Am. du Sud, sept 2007  PAGEREF _Toc302308464 \h 18
 HYPERLINK \l "_Toc302308465" 2. 21.  Similitude directe et indirecte, France, juin 2007  PAGEREF _Toc302308465 \h 18
 HYPERLINK \l "_Toc302308466" 2. 22.  Similitudes directe et indirecte, La Réunion, juin 2007  PAGEREF _Toc302308466 \h 19
 HYPERLINK \l "_Toc302308467" 2. 23.  Similitudes directe et indirecte, C. étrangers, juin 2007  PAGEREF _Toc302308467 \h 20
 HYPERLINK \l "_Toc302308468" 2. 24.  Similitudes, Asie, juin 2007  PAGEREF _Toc302308468 \h 21
 HYPERLINK \l "_Toc302308469" 2. 25.  Similitudes, Antilles, juin 2007  PAGEREF _Toc302308469 \h 21
 HYPERLINK \l "_Toc302308470" 2. 26.  Similitude+Bézout, Am. du Nord, juin 2007 (c)  PAGEREF _Toc302308470 \h 22
 HYPERLINK \l "_Toc302308471" 2. 27.  Similitude indirecte, Pondicherry, avril 2007  PAGEREF _Toc302308471 \h 23
 HYPERLINK \l "_Toc302308472" 2. 28.  Nouvelle Calédonie, nov 2006  PAGEREF _Toc302308472 \h 23
 HYPERLINK \l "_Toc302308473" 2. 29.  Amérique du Nord, juin 2006 (c)  PAGEREF _Toc302308473 \h 24
 HYPERLINK \l "_Toc302308474" 2. 30.  Antilles, juin 2006  PAGEREF _Toc302308474 \h 25
 HYPERLINK \l "_Toc302308475" 2. 31.  La Réunion, juin 2006  PAGEREF _Toc302308475 \h 26
 HYPERLINK \l "_Toc302308476" 2. 32.  Sim. indirecte+lieu, Liban, juin 2006 (c)  PAGEREF _Toc302308476 \h 26
 HYPERLINK \l "_Toc302308477" 2. 33.  Spirale, Pondicherry, avril 2006  PAGEREF _Toc302308477 \h 28
 HYPERLINK \l "_Toc302308478" 2. 34.  Sim. indirecte, Nouvelle Calédonie, nov 2005 (c)  PAGEREF _Toc302308478 \h 28
 HYPERLINK \l "_Toc302308479" 2. 35.  Similitude+suite, Am. Sud, nov 2005  PAGEREF _Toc302308479 \h 29
 HYPERLINK \l "_Toc302308480" 2. 36.  QCM arith+géom, National, sept 2005  PAGEREF _Toc302308480 \h 30
 HYPERLINK \l "_Toc302308481" 2. 37.  Réflexion+Bézout, Pondicherry, avril 2005 (c)  PAGEREF _Toc302308481 \h 31
 HYPERLINK \l "_Toc302308482" 2. 38.  Divine proportion, Amérique du Nord, juin 2005 (c)  PAGEREF _Toc302308482 \h 32
 HYPERLINK \l "_Toc302308483" 2. 39.  Image d’une figure, Asie, juin 2005  PAGEREF _Toc302308483 \h 33
 HYPERLINK \l "_Toc302308484" 2. 40.  Tr. rectangles isocèles, National, juin 2005  PAGEREF _Toc302308484 \h 34
 HYPERLINK \l "_Toc302308485" 2. 41.  S. indirecte+bézout, Polynésie, nov 2004 (c)  PAGEREF _Toc302308485 \h 35
 HYPERLINK \l "_Toc302308486" 2. 42.  Tr. équilatéral+lieu de points, National, sept 2004 (c)  PAGEREF _Toc302308486 \h 37
 HYPERLINK \l "_Toc302308487" 2. 43.  QCM géo+arith, Antilles, sept 2004  PAGEREF _Toc302308487 \h 39
 HYPERLINK \l "_Toc302308488" 2. 44.  Spirale, Am. du Sud, nov 2004 (c)  PAGEREF _Toc302308488 \h 40
 HYPERLINK \l "_Toc302308489" 2. 45.  Similitude indirecte, Am. du Nord, mai 2004  PAGEREF _Toc302308489 \h 41
 HYPERLINK \l "_Toc302308490" 2. 46.  Rotation, Antilles 2004  PAGEREF _Toc302308490 \h 41
 HYPERLINK \l "_Toc302308491" 2. 47.  Rotation+carré, Liban, mai 2004 (c)  PAGEREF _Toc302308491 \h 42
 HYPERLINK \l "_Toc302308492" 2. 48.  Suite géométrique, Polynésie, juin 2004  PAGEREF _Toc302308492 \h 43
 HYPERLINK \l "_Toc302308493" 2. 49.  Rotations, homothéties, Am. du Sud, nov 2003 (c)  PAGEREF _Toc302308493 \h 44
 HYPERLINK \l "_Toc302308494" 2. 50.  Similitudes, Pondichéry, mai 2003 (c)  PAGEREF _Toc302308494 \h 45
 HYPERLINK \l "_Toc302308495" 2. 51.  Longueur de spirale, Am. du Nord, mai 2003  PAGEREF _Toc302308495 \h 47
 HYPERLINK \l "_Toc302308496" 2. 52.  Similitude, suites, Pondicherry 2009  PAGEREF _Toc302308496 \h 47
 HYPERLINK \l "_Toc302308497" 2. 53.  Similitude, suites, Bézout, La Réunion, juin 2003 (c)  PAGEREF _Toc302308497 \h 48
 HYPERLINK \l "_Toc302308498" 2. 54.  Similitude, Polynésie, juin 2003  PAGEREF _Toc302308498 \h 49
 HYPERLINK \l "_Toc302308499" 2. 55.  Carré et rotation, Antilles sept 2002  PAGEREF _Toc302308499 \h 50
 HYPERLINK \l "_Toc302308500" 2. 56.  Similitude, La Réunion, juin 2002  PAGEREF _Toc302308500 \h 50
 HYPERLINK \l "_Toc302308501" 2. 57.  Similitude & barycentre, Polynésie, sept 2001  PAGEREF _Toc302308501 \h 51
 HYPERLINK \l "_Toc302308502" 2. 58.  Symétries axiales, Liban, juin 2001  PAGEREF _Toc302308502 \h 51
 HYPERLINK \l "_Toc302308503" 2. 59.  Rotations, symétries, translations, Asie juin 2001  PAGEREF _Toc302308503 \h 52
 HYPERLINK \l "_Toc302308504" 2. 60.  Homothéties, Polynésie, sept 2000  PAGEREF _Toc302308504 \h 52
 HYPERLINK \l "_Toc302308505" 2. 61.  Rotation et similitude  PAGEREF _Toc302308505 \h 53
 HYPERLINK \l "_Toc302308506" 2. 62.  Rotation  PAGEREF _Toc302308506 \h 53
 HYPERLINK \l "_Toc302308507" 2. 63.  Théorème de Ptolémée  PAGEREF _Toc302308507 \h 54
 HYPERLINK \l "_Toc302308508" 2. 64.  Le théorème de Napoléon 3  PAGEREF _Toc302308508 \h 55
 HYPERLINK \l "_Toc302308509" 2. 65.  Triangles équilatéraux  PAGEREF _Toc302308509 \h 55
 HYPERLINK \l "_Toc302308510" 2. 66.  Similitude  PAGEREF _Toc302308510 \h 56
 HYPERLINK \l "_Toc302308511" 2. 67.  Similitude  PAGEREF _Toc302308511 \h 56
 HYPERLINK \l "_Toc302308512" 2. 68.  Similitude et barycentre  PAGEREF _Toc302308512 \h 56
 HYPERLINK \l "_Toc302308513" 2. 69.  Réflexion - Rotation  PAGEREF _Toc302308513 \h 57
 HYPERLINK \l "_Toc302308514" 2. 70.  Barycentres+similitude  PAGEREF _Toc302308514 \h 57
 HYPERLINK \l "_Toc302308515" 2. 71.  Ligne de niveau+similitude  PAGEREF _Toc302308515 \h 58
 HYPERLINK \l "_Toc302308516" 2. 72.  Similitude et Bézout  PAGEREF _Toc302308516 \h 58
 HYPERLINK \l "_Toc302308517" 2. 73.  Spirale  PAGEREF _Toc302308517 \h 58
 HYPERLINK \l "_Toc302308518" 2. 74.  Rotation et similitude  PAGEREF _Toc302308518 \h 59
 HYPERLINK \l "_Toc302308519" 2. 75.  Cercle et similitude  PAGEREF _Toc302308519 \h 59
 HYPERLINK \l "_Toc302308520" 2. 76.  Similitude indirecte (c)  PAGEREF _Toc302308520 \h 60


Démonstrations
 Toute similitude de rapport k (>0) est la composée d’une homothétie de rapport k et d’une isométrie
Soit s une similitude de rapport k positif et h une homothétie de rapport  EMBED Equation.DSMT4 . La composée  EMBED Equation.DSMT4  est alors une similitude de rapport  EMBED Equation.DSMT4 , c’est donc une isométrie f.
On a donc  EMBED Equation.DSMT4  où l’homothétie  EMBED Equation.DSMT4  a pour rapport k.
 Les isométries du plan sont les transformations  EMBED Equation.DSMT4  ou  EMBED Equation.DSMT4 
Il est immédiat de montrer que ces deux types de transformations sont des isométries ; par exemple pour  EMBED Equation.DSMT4  :
 EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 , soit  EMBED Equation.DSMT4 .
Il est plus délicat de montrer que toute isométrie est de cette forme : soit f une isométrie du plan muni d’un repère orthonormal (O, I, J) ; on note (O’, I’, J’) le repère image par f : ce repère est également orthonormal d’après les propriétés des isométries (conservation des longueurs et des angles, les isométries positives conservant le sens des angles, les iso. négatives les renversant).
Prenons M(x ; y), on a  EMBED Equation.DSMT4 , M’(x’ ; y’) son image par f :  EMBED Equation.DSMT4 .
Calculons les produits scalaires :
 EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 , de même  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 .
Mais comme les distances et les angles sont conservés, on a
 EMBED Equation.DSMT4 
ainsi que  EMBED Equation.DSMT4  d’où  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
Passons maintenant en complexes : prenons dans le repère (O, I, J) les affixes :  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
*  EMBED Equation.DSMT4  est normé donc  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4  réel quelconque.
*  EMBED Equation.DSMT4  est normé et orthogonal à  EMBED Equation.DSMT4  donc  EMBED Equation.DSMT4  ou  EMBED Equation.DSMT4 .
*  EMBED Equation.DSMT4  d’où les deux possibilités :
 EMBED Equation.DSMT4 .
Caractérisation complexe d’une similitude
Les deux résultats précédents donnent immédiatement que si s est une similitude de rapport k > 0, elle est de la forme  EMBED Equation.DSMT4 
ou de la forme  EMBED Equation.DSMT4 .
En fait  EMBED Equation.DSMT4  est un complexe a quelconque de même que c, ce qui donne  EMBED Equation.DSMT4  ou  EMBED Equation.DSMT4 .
Propriétés des similitudes
* Les similitudes de la forme  EMBED Equation.DSMT4  sont associées aux isométries positives, elles conservent le sens des angles : prenons trois points M, N, P et leurs images M’, N’, P’ ;
on a alors  EMBED Equation.DSMT4 .
* Les similitudes de la forme  EMBED Equation.DSMT4  sont associées aux isométries négatives, elles renversent le sens des angles : prenons trois points M, N, P et leurs images M’, N’, P’ ;
 EMBED Equation.DSMT4 .
* Conservation du barycentre : soit G le barycentre de  EMBED Equation.DSMT4 , M’ et N’ les images de M et N, alors  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4  ; montrons que G’ est le barycentre de  EMBED Equation.DSMT4  :
 EMBED Equation.DSMT4 .
En fait cette propriété est suffisante puisque l’associativité du barycentre fait que ceci sera valable pour un nombre quelconque de points.
Par ailleurs ceci permet de montrer d’autres propriétés simples comme la conservation du parallélisme.
Une similitude ayant deux points fixes distincts est soit l’identité, soit une symétrie axiale
Si notre similitude s’écrit  EMBED Equation.DSMT4 , elle a soit un seul point fixe  EMBED Equation.DSMT4 , soit une infinité lorsque a = 1 et b = 0 ; c’est donc l’identité si elle en a plus que un.
Si elle s’écrit  EMBED Equation.DSMT4  et qu’elle a comme points fixes u et v, on a :
 EMBED Equation.DSMT4 .
Cette dernière écriture est celle d’une réflexion d’axe (uv), ce que le lecteur vérifiera aisément…
Forme réduite d’une similitude directe
Une similitude directe s (avec a différent de 1, qui n’est donc pas une translation) a un point fixe :  EMBED Equation.DSMT4 , seul point tel que  EMBED Equation.DSMT4 .
On a alors  EMBED Equation.DSMT4 .
s est donc la composée d’une homothétie de rapport k et d’une rotation d’angle  EMBED Equation.DSMT4 , les deux de centre  EMBED Equation.DSMT4 .
Remarquez que si vous tombez dans vos calculs sur un rapport négatif, il suffit de rajouter  EMBED Equation.DSMT4  à  EMBED Equation.DSMT4  pour revenir à un rapport positif :  EMBED Equation.DSMT4 .
Propriété : « étant donnés quatre points A, B, A’, B’ tels que A EMBED Equation.DSMT4 B et A’ EMBED Equation.DSMT4 B’, il existe une unique similitude directe transformant A en A’ et B en B’ ».
Avec tous les résultats précédents c’est un jeu d’enfant :
on a les affixes a, a’, b et b’. Si on a une similitude directe, celle-ci s’écrit  EMBED Equation.DSMT4  ; il suffit donc de trouver  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 en fonction de a, a’, b et b’.
 EMBED Equation.DSMT4  ;
c’est tout.
Exercice
On considère un triangle OA0B0 rectangle isocèle en O et tel que la distance A0B0 soit égale à  EMBED Equation.DSMT4 . On précise de plus que l’angle  EMBED Equation.DSMT4  est un angle droit direct.
On définit alors pour tout entier naturel n les points An+1 et Bn+1 de la façon suivante :
– An+1 est le milieu du segment [AnBn] ;
– Bn+1 est le symétrique du point An+1 par rapport à la droite (OBn).
1. Représenter le triangle OA0B0, puis construire les points A1, B1, A2, B2, A3, B3.
2. a. Démonstration de cours. Démontrer qu’il existe une similitude directe et une seule qui transforme A0 en A1 et B0 en B1.
b. Soit s cette similitude : préciser son angle et son rapport, puis vérifier que son centre est O. Démontrer que, pour tout entier naturel n, la similitude s transforme An en An+1 et Bn en Bn+1.
3. a. Démontrer que les points O, An et Ap sont alignés si et seulement si les entiers n et p sont congrus modulo 4.
b. On désigne par  EMBED Equation.DSMT4  le point d’intersection des droites (A0B4) et (B0A4). Démontrer que le triangle A0B0 est isocèle en  EMBED Equation.DSMT4 .
c. Calculer la distance A0B4.
d. Démontrer que  EMBED Equation.DSMT4 .
e. En déduire l’aire du triangle  EMBED Equation.DSMT4 .
Exercice
On considère un triangle OA0B0 rectangle isocèle en O et tel que la distance A0B0 soit égale à  EMBED Equation.DSMT4 . On précise de plus que l’angle  EMBED Equation.DSMT4  est un angle droit direct.
On définit alors pour tout entier naturel n les points An+1 et Bn+1 de la façon suivante :
– An+1 est le milieu du segment [AnBn] ;
– Bn+1 est le symétrique du point An+1 par rapport à la droite (OBn).
1. Représenter le triangle OA0B0, puis construire les points A1, B1, A2, B2, A3, B3.
2. Soit s la similitude directe de centre O qui transforme A0 en A1.
a. Déterminer l’angle et le rapport de la similitude s, puis montrer que la similitude s transforme B0 en B1.
b. Démontrer que pour tout entier n, la similitude s transforme An en An+1 et Bn en Bn+1.
3. a. Démontrer que les points O, An et Ap sont alignés si et seulement si les entiers n et p sont congrus modulo 4.
b. On désigne par  EMBED Equation.DSMT4  le point d’intersection des droites (A0B4) et (B0A4). Déterminer la valeur exacte de l’aire du triangle  EMBED Equation.DSMT4  (tout élément de réponse, par exemple l’exposé d’une méthode ou la détermination d’une valeur approchée, sera pris en compte).
Correction

 EMBED Chamois.Document 
2. a. Evident : angle =  EMBED Equation.DSMT4 , rapport =  EMBED Equation.DSMT4 . Comme  EMBED Equation.DSMT4 , la symétrie par rapport à  EMBED Equation.DSMT4  donne  EMBED Equation.DSMT4  ; comme  EMBED Equation.DSMT4 , le rapport est encore  EMBED Equation.DSMT4 .
b. Comme on répète la même séquence d’opérations à chaque fois, la transformation qui envoie  EMBED Equation.DSMT4  sur A1 enverra An sur An+1, et pareil pour Bn et Bn+1. Si on ne se suffit pas de cet argument, on peut reprendre tout, mais c’est une perte de temps…
3. a. Si on prend le repère  EMBED Equation.DSMT4 , le point A0 a pour affixe 4, A1 a pour affixe  EMBED Equation.DSMT4 , etc. d’où An :  EMBED Equation.DSMT4  ; les points O, An et Ap sont alignés si et seulement si
 EMBED Equation.DSMT4 ,
soit lorsque les entiers n et p sont congrus modulo 4.
b. Le plus simple (lorsqu’on n’a pas d’indication, sinon reprendre la méthode proposée dans l’exercice précédent) semble encore de déterminer les coordonnées de  EMBED Equation.DSMT4  en cherchant l’équation de (A0B4) puis en coupant par (y = x) ;  EMBED Equation.DSMT4  est sur cette droite pour des raisons de symétrie évidentes.
 EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4  a pour ordonnée l’abscisse de A4, soit  EMBED Equation.DSMT4  ; la droite a pour équation  EMBED Equation.DSMT4  d’où  EMBED Equation.DSMT4  a pour coordonnées  EMBED Equation.DSMT4  ; on calcule la distance  EMBED Equation.DSMT4 , l’aire du triangle est donc
 EMBED Equation.DSMT4 .
Exercices
Similitude + ROC, La Réunion 2010
Partie I : Restitution organisée de connaissances
Le plan complexe est rapporté à un repère  EMBED Equation.DSMT4 .
Prérequis : on rappelle que l’écriture complexe d’une similitude directe du plan est de la forme  EMBED Equation.DSMT4  où  EMBED Equation.DSMT4  est un nombre complexe non nul et  EMBED Equation.DSMT4  est un nombre complexe.
Soient A, B, C, D quatre points du plan ; on suppose d’une part que les points A et C sont distincts et d’autre part que les points B et D sont distincts.
Démontrer qu’il existe une unique similitude directe s telle que s(A) = B et s(C) = D.
Partie II
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4 . On considère le point C tel que ABCD est un carré.
Soit E le milieu du segment [AD], on considère le carré EDGF tel que  EMBED Equation.DSMT4 .
1. a. Faire une figure en plaçant les points A, B, C, D, E, F, G. On complètera la figure au cours de l’exercice.
b. Préciser les nombres complexes a, b, c, d, e, f , g , affixes respectives des points A, B, C, D, E, F et G.
c. Montrer qu’il existe une unique similitude directe s du plan telle que s(D) = F et s(B) = D.
2. On se propose de préciser les éléments caractéristiques de la similitude directe s.
a. Déterminer son rapport k et son angle  EMBED Equation.DSMT4 .
b. Donner l’écriture complexe de cette similitude.
c. Déterminer le centre  EMBED Equation.DSMT4  de la similitude directe s.
Translation et rotation, France 2010
Dans tout l’exercice,  EMBED Equation.DSMT4  est un repère orthonormal direct du plan complexe (unité graphique : 4 cm).
On désigne par A le point d’affixe zA = 1.
1. On considère la transformation T du plan qui, à tout point M d’affixe z, associe le point d’affixe  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Déterminer les images respectives par la transformation T du point A et du point  EMBED Equation.DSMT4  d’affixe  EMBED Equation.DSMT4 .
b. En déduire la nature et les éléments caractéristiques de la transformation T.
c. Déterminer l’image par la transformation T du cercle C de centre O et de rayon 1.
2. C’ désigne le cercle de centre O’ d’affixe 2 et de rayon 1.
a. Construire le point A’ appartenant au cercle C’ tel que :  EMBED Equation.DSMT4 .
b. À tout point M du cercle C d’affixe z, on associe le point M’ du cercle C’ d’affixe z’ tel que :  EMBED Equation.DSMT4 .
Déterminer le module et un argument de  EMBED Equation.DSMT4 . En déduire que  EMBED Equation.DSMT4 .
c. Préciser la nature et les éléments caractéristiques de la transformation r qui à tout point M du plan d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ telle que  EMBED Equation.DSMT4 .
3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
À tout point M du plan, on associe le point M1 milieu du segment [MM’]. Quel est le lieu géométrique du point M1 lorsque M décrit le cercle C ?
Similitudes, Centres étrangers 2010
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4  d’unité graphique 1 cm, on considère les points A, B, C, M, N et P d’affixes respectives :  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 .
1. a. Placer les points A, B, C, M, N et P dans le repère.
b. Calculer les longueurs des côtés des triangles ABC et NMP.
c. En déduire que ces deux triangles sont semblables.
Dans la suite de l’exercice, on se propose de mettre en évidence deux similitudes qui transforment le triangle ABC en le triangle MNP.
2. Une similitude directe
Soit s la similitude directe qui transforme le point A en N et le point B en P.
a. Montrer qu’une écriture complexe de la similitude s est :  EMBED Equation.DSMT4 .
b. Déterminer le rapport, la valeur de l’angle arrondie au degré, ainsi que le centre de la similitude s.
c. Vérifier que la similitude s transforme le point C en M.
3. Une similitude indirecte
Soit s la similitude dont l écriture complexe est :  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Vérifier que : s (A) = N, s (B) = M, s (C) = P.
b. Démontrer que s admet un unique point invariant K d affixe k = 1 " i.
c. Soit h l homothétie de centre K et de rapport  EMBED Equation.DSMT4  et J le point d’affixe 2. On pose :  EMBED Equation.DSMT4 .
Déterminer les images des points K et J par la transformation f. En déduire la nature précise de la transformation f.
d. Démontrer que la similitude s’ est la composée d’une homothétie et d’une réflexion.
Similitude, Asie 2010
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4 . L’unité graphique est 1 cm. On note i le nombre complexe de module 1 et d’argument  EMBED Equation.DSMT4 . On considère les points B, C et H d’affixes respectives : b = 5i, c = 10 et h = 2 + 4i.
Construire une figure que l’on complétera au fur et à mesure des questions.
1. Étude de la position du point H
a. Démontrer que le point H appartient à la droite (BC).
b. Calculer  EMBED Equation.DSMT4 , et en déduire que  EMBED Equation.DSMT4 .
2. Étude d’une première similitude
a. Calculer les rapports :  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 .
b. Démontrer qu’il existe une similitude directe S1 qui transforme le triangle CHA en le triangle AHB.
c. Déterminer l’écriture complexe de cette similitude S1 ainsi que ses éléments caractéristiques.
3. Étude d’une seconde similitude
Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
On note S2 la similitude qui à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ telle que :  EMBED Equation.DSMT4 .
Démontrer que S2 est composée d’une symétrie orthogonale d’axe ( EMBED Equation.DSMT4 ), et d’une similitude directe dont le centre  EMBED Equation.DSMT4  appartient à ( EMBED Equation.DSMT4 ). Préciser ( EMBED Equation.DSMT4 ).
4. Étude d’une composée
a. Calculer le rapport de la similitude composée  EMBED Equation.DSMT4 .
b. En déduire le rapport entre les aires des triangles CHA et BAC.
Similitude + ROC, Antilles 2010
Le plan est muni d’un repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4  d’unité 1 cm.
1. Restitution organisée de connaissances
On utilisera sans démonstration les deux propriétés suivantes :
Propriété 1 : Toute similitude indirecte qui transforme un point M d’affixe z en un point M’ d’affixe z’ admet une expression complexe de la forme z’ = az + b où  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
Propriété 2 : Soit C un point d’affixe c. Pour tout point D, distinct de C, d’affixe d et pour tout point E, distinct de C, d’affixe e, on a :  EMBED Equation.DSMT4 .
Question : Montrer qu’une similitude indirecte transforme un angle orienté en son opposé.
2. Soient les points C et D d’affixes respectives c = 3 et  EMBED Equation.DSMT4 , et S1 la similitude qui à tout point M du plan associe le point M1 symétrique de M par rapport à l’axe  EMBED Equation.DSMT4  des réels.
a. Placer les points C et D puis leurs images respectives C1 et D1 par S1. On complètera le figure au fur et à mesure de l’exercice.
b. Donner l’expression complexe de S1.
3. Soit S2 la similitude directe définie par :
– le point C1 et son image C’ d’affixe  EMBED Equation.DSMT4  ;
– le point D1 et son image D’ d’affixe  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Montrer que l’expression complexe de S2 est :  EMBED Equation.DSMT4 .
b. En déduire les éléments caractéristiques de cette similitude.
4. Soit S la similitude définie par  EMBED Equation.DSMT4 . Déterminer l’expression complexe de S.
5. On pourra admettre désormais que S est la similitude indirecte d’expression complexe :  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Quelle est l’image de C par S ? Quelle est l’image de D par S ?
b. Soit H le point d’affixe h tel que :  EMBED Equation.DSMT4 . Montrer que le triangle CDH est équilatéral direct.
c. Soit H’ l’image de H par S. Préciser la nature du triangle C’D’H’ et construire le point H’ (on ne demande pas de calculer l’affixe h’ du point H’).
Similitude, Amérique du Sud 2009
On considère un carré direct ABCD (c’est à dire un carré ABCD tel que  EMBED Equation.DSMT4  de centre I).
Soit J, K et L les milieux respectifs des segments [AB], [CD] et [DA].
 EMBED Equation.DSMT4  désigne le cercle de diamètre [AI] et  EMBED Equation.DSMT4  désigne le cercle de diamètre [BK].
Partie A
1. Déterminer le rapport et l’angle de la similitude directe s telle que s(A) = I et s(B) = K.
2. Montrer que les cercles  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  se coupent en deux points distincts : le point J et le centre  EMBED Equation.DSMT4  de la similitude directe s.
3. a. Déterminer les images par s des droites (AC) et (BC). En déduire l’image du point C par s.
b. Soit E l’image par s du point I. Démontrer que E est le milieu du segment [ID].
4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, sera prise en compte dans l’évaluation.
Démontrer que les points A,  EMBED Equation.DSMT4  et E sont alignés. (On pourra considérer la transformation  EMBED Equation.DSMT4 ).
Partie B
Désormais, on considère que le côté du carré mesure 10 unités et on se place dans le repère orthonormé direct  EMBED Equation.DSMT4 .
1. Donner les affixes des points A, B, C et D.
2. Démontrer que la similitude directe s a pour écriture complexe  EMBED Equation.DSMT4 .
3. Calculer l’affixe  EMBED Equation.DSMT4  du centre  EMBED Equation.DSMT4  de s.
4. Calculer l’affixe zE du point E et retrouver l’alignement des points A,  EMBED Equation.DSMT4  et E.
5. Démontrer que les droites (AE), (CL) et (DJ) sont concourantes au point  EMBED Equation.DSMT4 .
Similitude+Suite, Pondicherry 2009
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4 . On prendra pour unité graphique 2 cm.
Soit A et B les points d’affixes respectives  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
1. Justifier qu’il existe une unique similitude directe S telle que : S(O) = A et S(A) = B.
2. Montrer que l’écriture complexe de S est :  EMBED Equation.DSMT4 .
Préciser les éléments caractéristiques de S (on notera  EMBED Equation.DSMT4  le centre de S).
On considère la suite de points (An) telle que :
• A0 est l’origine du repère et,
• pour tout entier naturel n, An+1 = S(An).
On note zn, l’affixe de An. (On a donc A0 = O, A1 = A et A2 = B).
3. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n,  EMBED Equation.DSMT4 .
b. Déterminer, en fonction de n, les affixes des vecteurs  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 . Comparer les normes de ces vecteurs et calculer une mesure de l’angle  EMBED Equation.DSMT4 .
c. En déduire une construction du point An+1 connaissant le point An. Construire les points A3 et A4.
4. Quels sont les points de la suite (An) appartenant à la droite  EMBED Equation.DSMT4  ?
ROC + Similitude, Polynésie 2009
Partie A : Restitution organisée de connaissances
Le plan complexe est muni d’un repère orthononnal direct. On supposera connu le résultat suivant :
Une application f du plan dans lui-même est une similitude directe si et seulement si f admet une écriture complexe de la forme z’ = az + b où  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
Démontrer que si A, B, A’ et B’ sont quatre points teIs que A est distinct de B et A’ est distinct de B’, alors il existe une unique similitude directe transformant A en A’ et B en B’.
Partie B
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4 , unité graphique 2 cm. On note A, B, C, D et E les points d’affixes respectives  EMBED Equation.DSMT4 , zB = 2, zC = 4 + 6i, zD = –1 + i et zE = –3 + 3i.
1. Placer les points sur une figure qui sera complétée au fur et àmesure des questions.
2. Déterminer la nature du triangle ABC.
3. Soit f la similitude plane directe telle que f(A) = D et f(B) = A.
a. Donner l’écriture complexe de f.
b. Déterminer l’angle, le rapport et le centre  EMBED Equation.DSMT4  de cette similitude.
c. Montrer que le triangle DAE est l’image du triangle ABC par la similitude f.
d. En déduire la nature du triangle DAE.
4. On désigne par (C1) le cercIe de diamètre [AB] et par (C2) le cercle de diamètre [AD].
On note M le second point d’intersection du cercle (C1) et de la droite (BC), et N le second point d’intersection du cercle (C2) et de la droite (AB).
a. Déterminer l’image de M par la similitude f.
b. En déduire la nature du triangle  EMBED Equation.DSMT4 MN.
c. Montrer que  EMBED Equation.DSMT4 .
Similitudes, N. Calédonie nov 2008
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4 . On considère les points A et B d’affixes respectives zA = 2 et  EMBED Equation.DSMT4 .
On considère les points M, N et P tels que les triangles AMB, BNO et OPA soient des triangles rectangles isocèles de sens direct comme le montre la figure ci-dessous.

On note s1 la similitude directe de centre A qui transforme M en B.
On note s2 la similitude directe de centre O qui transforme B en N.
On considère la transformation  EMBED Equation.DSMT4 r.
Le but de l’exercice est de démontrer de deux façons différentes que les droites (OM) et (PN) sont perpendiculaires.
1. À l’aide des transformations.
a. Donner l’angle et le rapport de s1 et de s2.
b. Déterminer l’image du point M puis celle du point I par la transformation r.
c. Justifier que r est une rotation d’angle  EMBED Equation.DSMT4  dont on précisera le centre.
d. Quelle est l’image du point O par r ?
e. En déduire que les droites (OM) et (PN) sont perpendiculaires.
2. En utilisant les nombres complexes.
a. Donner les écritures complexes de s1 et s2. On utilisera les résultats de la question 1. a.
b. En déduire les affixes zM et zN des points M et N.
c. Donner, sans justification, l’affixe zP du point P puis démontrer que les droites (OM) et (PN) sont perpendiculaires.
Spirale+arith, Antilles sept 2008
Partie A
On considère le système de congruences :  EMBED Equation.DSMT4 , où n désigne un entier relatif.
1. Montrer que 11 est solution de (S).
2. Montrer que si n est solution de (S) alors n " 11 est divisible par 3.
3. Montrer que les solutions de (S) sont tous les entiers de la forme 11+15k, où k désigne un entier relatif.
Partie B
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4 .
On considère l application f du plan qui à tout point M d’affixe z associe le point d’affixe z’ et g celle qui à tout point M d’affixe z associe le point d’affixe z’’ définies par :
 EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
1. Préciser la nature et les éléments caractéristiques des applications f et g .
2. On considère les points A0 et B0 d’affixes respectives  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
Soient (An) et (Bn) les suites de points définies par les relations de récurrences :
An+1 = f(An) et Bn+1 = g(Bn).
On note an et bn les affixes respectives de An et Bn.
a. Quelle est la nature de chacun des triangles OAnAn+1 ?
b. En déduire la nature du polygone A0A1A2A3A4A5.
3. a. Montrer que les points Bn sont situés sur un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
b. Indiquer une mesure de l’angle  EMBED Equation.DSMT4 .
c. En déduire la nature du polygone B0B2B4B6B8.
4. a. Exprimer an et bn en fonction de n.
b. Montrer que les entiers n pour lesquels les points An et Bn sont simultanément sur l’axe des réels sont les solutions du système (S) de la PARTIE A.
Spirale+arith, France et La Réunion sept 2008
5 points
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4 . On réalisera une figure en prenant 4 cm comme unité graphique sur chaque axe.
On considère le point A d'affixe  EMBED Equation.DSMT4 .
Partie A
k est un réel strictement positif ; f est la similitude directe de centre O de rapport k et d'angle  EMBED Equation.DSMT4 . On note  EMBED Equation.DSMT4  et pour tout entier naturel n,  EMBED Equation.DSMT4 .
1. a. Étant donné un point M d'affixe z, déterminer en fonction de z l'affïxe z’ du point M’ image de M par f.
b. Construire les points  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  dans le cas particulier où k est égal à  EMBED Equation.DSMT4 .
2. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier n, l'affixe zn du point An est égale à  EMBED Equation.DSMT4 .
b. En déduire les valeurs de n pour lesquelles le point An appartient à la demi droite  EMBED Equation.DSMT4  et, dans ce cas, déterminer en fonction de k et de n l'abscisse de An.
Partie B
Dans cette partie toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.
Désormais, k désigne un entier naturel non nul.
1. Donner la décomposition en facteurs premiers de 2008.
2. Déterminer, en expliquant la méthode choisie, la plus petite valeur de l'entier naturel k pour laquelle k6 est un multiple de 2008.
3. Pour quelles valeurs des entiers n et k le point An appartient-il à la demi droite  EMBED Equation.DSMT4  avec pour abscisse un nombre entier multiple de 2008 ?
Similitude indirecte, La Réunion, juin 2008
5 points
1. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4 . Soient A, B et C les points d'affixes respectives  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 . s1 désigne la symétrie d'axe (AB).
a. Démontrer que  EMBED Equation.DSMT4  transforme tout point M d'affixe z en un point M’ d'afîixe z’ telle que
 EMBED Equation.DSMT4 .
b. En déduire l'affixe de C’, symétrique de C par rapport à (AB).
c. Démontrer que l'ensemble des points M tels que z' est imaginaire pur est la droite (d) d'équation  EMBED Equation.DSMT4 .
d. Vérifier que le point C’ appartient à (d).
2. a. Démontrer que les droites (d) et (AB) sont sécantes en un point  EMBED Equation.DSMT4  dont on précisera l'affixe  EMBED Equation.DSMT4 .
b. On désigne par  EMBED Equation.DSMT4  la symétrie d'axe (d) et par f la transformation définie par  EMBED Equation.DSMT4 . Justifier que f est une similitude directe et préciser son rapport.
c. Déterminer les images des points C et  EMBED Equation.DSMT4  par la transformation f.
d. Justifier que f est une rotation dont on donnera le centre.
3. Dans cette question le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n 'aboutit pas.
a. Déterminer les couples d'entiers relatifs (x, y) solutions de l'équation :  EMBED Equation.DSMT4 .
b. Déterminer les points de (d) à coordonnées entières dont la distance au point O est inférieure à 9.
Similitude & suite, France, juin 2008 (c)
5 points
Le plan est muni d'un repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4  (unité graphique : 1 cm).
Soient A et B les points d’affixes respectives  EMBED Equation.DSMT4 et  EMBED Equation.DSMT4 .
1. On considère la droite (d) d’équation  EMBED Equation.DSMT4 .
Démontrer que l’ensemble des points de (d) dont les coordonnées sont entières est l’ensemble des points  EMBED Equation.DSMT4  lorsque k décrit l’ensemble des entiers relatifs.
2. Déterminer l’angle et le rapport de la similitude directe de centre A qui transforme B en  EMBED Equation.DSMT4 .
3. Soit s la transformation du plan qui à tout point M d’affixe z associe le point M’d’affixe
 EMBED Equation.DSMT4 .
Déterminer l’image de A par s, puis donner la nature et les éléments caractéristiques de s.
4. On note B1 l’image de B par s et pour tout entier naturel n non nul,  EMBED Equation.DSMT4  l’image de  EMBED Equation.DSMT4  par s.
a. Déterminer la longueur  EMBED Equation.DSMT4  en fonction de  EMBED Equation.DSMT4 .
b. À partir de quel entier n le point  EMBED Equation.DSMT4  appartient t-il au disque de centre A et de rayon 10"2 ?
c. Déterminer l ensemble des entiers n pour lesquels A, B1 et Bn sont alignés.
Correction
Soient A et B les points d affixes respectives  EMBED Equation.DSMT4 et  EMBED Equation.DSMT4 .
1. On a la solution particulière évidente  EMBED Equation.DSMT4  d’où
 EMBED Equation.DSMT4 .
2. Un peu de calcul…
 EMBED Equation.DSMT4 
Soit le rapport  EMBED Equation.DSMT4  et l’angle  EMBED Equation.DSMT4 . On pouvait aussi calculer  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 
3. Comme c’est la même chose que ce qu’on a trouvé,  EMBED Equation.DSMT4 , etc…
4. a.  EMBED Equation.DSMT4  de toute évidence…
b. Suite géométrique de premier terme  EMBED Equation.DSMT4 , de raison  EMBED Equation.DSMT4 ,
 EMBED Equation.DSMT4  d’où la première valeur de n est 17.
c.  EMBED Equation.DSMT4 . Comme on fait un quart de tour à chaque fois, tous les n impairs (3, 5, 7…) feront revenir Bn sur la droite AB1.
Similitude, Centres étrangers, juin 2008
5 points
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4  ; l'unité graphique est 2 cm.
On considère les points A, B, C, D et E d’affixes respectives :
 EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
1. Placer ces cinq points sur un graphique qui sera complété au fil de l'exercice.
2. On admet que deux rectangles sont semblables si et seulement si le rapport de la longueur sur la largeur est le même pour les deux rectangles.
Démontrer que OABC et ABDE sont deux rectangles et qu'ils sont semblables.
3. Étude d'une similitude directe transformant OABC en ABDE
a. Déterminer l’écriture complexe de la similitude directe s qui transforme O en A et A en B.
b. Démontrer que la similitude s transforme OABC en ABDE.
c. Quel est l'angle de la similitude s ?
d. Soit  EMBED Equation.DSMT4  le centre de cette similitude. En utilisant la composée  EMBED Equation.DSMT4 , démontrer que le point  EMBED Equation.DSMT4  appartient aux droites (OB) et (AD). En déduire la position du point  EMBED Equation.DSMT4 .
4. Étude d'une similitude indirecte transformant OABC en BAED
a. Montrer que récriture complexe de la similitude indirecte s’ qui transforme O en B et qui laisse A invariant est :  EMBED Equation.DSMT4  où  EMBED Equation.DSMT4  désigne le conjugué du nombre complexe z.
b. Montrer que s’ transforme OABC en BAED.
c. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Démontrer que s’ est la composée de la réflexion d'axe (OA) suivie d'une similitude directe dont on précisera les éléments caractéristiques.
Similitude+ROC, Pondicherry, avril 2008 (c)
5 points
Partie A
On suppose connu le résultat suivant :
Une application f du plan muni d’un repère orthonormal direct dans lui-même est une similitude directe si et seulement si f admet une écriture complexe de la forme  EMBED Equation.DSMT4 , où  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
Démonstration de cours : on se place dans le plan complexe.
Démontrer que si A,B, A’ et B’ sont quatre points tels que A est distinct de B et A’ est distinct de B’, alors il existe une unique similitude directe transformant A en A’ et B en B’.
Partie B
Dans le plan complexe muni d’un repère orthonomal direct  EMBED Equation.DSMT4  on considère les points A, B, C, D d’affixes respectives  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
1. a. Donner le module et un argument-de chacun des quatre nombres complexes zA, zB , zC et zD.
b. Construire à la règle et au compas les points A, B, C et D (on prendra pour unité graphique 2 cm).
c. Déterminer le milieu du segment [AC], celui du segment [BD]. Calculer le quotient  EMBED Equation.DSMT4 . En déduire la nature du quadrilatère ABCD.
2. On considère la similitude directe g dont l’écriture complexe est  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Déterminer les éléments caractéristiques de g.
b. Construire à la règle et au compas les images respectives E, F et J par g des points A, C et O.
c. Que constate-t-on concernant ces points E, F et J ? Le démontrer.
Correction
Partie A
Démonstration de cours : On a les affixes a, a’, b et b’. Si on a une similitude directe, celle-ci s’écrit  EMBED Equation.DSMT4  ; il suffit donc de trouver  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 en fonction de a, a’, b et b’.
 EMBED Equation.DSMT4  ; valable si  EMBED Equation.DSMT4 , soit A et B distincts.
Partie B
 EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
1. a.  EMBED Equation.DSMT4  ;  EMBED Equation.DSMT4  ;
 EMBED Equation.DSMT4  ;  EMBED Equation.DSMT4 .
b. Les points sont sur le cercle de centre O, de rayon 2 (cercle de diamètre [PQ]) ; B est un sommet de triangle équilatéral, D est diamétralement opposé à B, A’ est sur la bissectrice de  EMBED Equation.DSMT4  et A est tel que l’arc  EMBED Equation.DSMT4  ; C est diamétralement opposé à A (traits pointillés noirs sur la figure).
 EMBED Chamois.Document 
c.  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 , le milieu est O.  EMBED Equation.DSMT4  donc (OA) et (OB) sont orthogonales de même que (AC) et (BD). ABCD est un carré : diagonales se coupant à angle droit en leur milieu et de même longueur.
2. On considère la similitude directe g dont l’écriture complexe est  EMBED Equation.DSMT4 .
a.  EMBED Equation.DSMT4  : g est la rotation de centre B, d’angle  EMBED Equation.DSMT4 .
b. J est déjà construit puisqu’il s’agit de P. Par ailleurs il s’agit de triangles équilatéraux : on construit les deux cercles de rayon AB, de centre A et de centre B ; une des deux intersections est E ; même chose avec les cercles de rayon BC, de centres B et C (en rouge et vert sur la figure).
c. E, J et F sont alignés :  EMBED Equation.DSMT4  ;  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  donc  EMBED Equation.DSMT4  : J est le milieu de [EF].
On aurait pu utiliser le fait que O est le milieu de A et C, soit en faisant la rotation on garde l’alignement et le milieu.
Similitude, Polynésie, sept 2007
5 points
Pour cet exercice, les figures correspondant aux parties A et B sont fournies ci-dessous.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4 . On considère un triangle OAB et une similitude directe  EMBED Equation.DSMT4  de centre O, de rapport  EMBED Equation.DSMT4  et d’angle  EMBED Equation.DSMT4 .
 EMBED Chamois.Document 
Soit :
- les points A’ et B’ images respectives des points A et B par la similitude  EMBED Equation.DSMT4  ;
- les points I, milieu du segment [A’B] et J, milieu du segment [AB’] ;
- le point M milieu du segment [AA’] ;
- le point H, projeté orthogonal du point O sur la droite (AB) et le point H’ image du point H par  EMBED Equation.DSMT4 .
Partie A : Etude d’un exemple
Dans cette partie, le point A a pour affixe  EMBED Equation.DSMT4 , le point B a pour affixe  EMBED Equation.DSMT4 , et le point H a donc pour affixe  EMBED Equation.DSMT4 .
La similitude  EMBED Equation.DSMT4  est la similitude directe de centre O, de rapport  EMBED Equation.DSMT4  et d’angle  EMBED Equation.DSMT4 .
1. Déterminer les affixes des points A’, B’ et H’.
2. Montrer que la droite (IJ) est perpendiculaire à la droite (HH’).
Partie B : Etude du cas général
1. a. Montrer que H’ est le projeté orthogonal du point O sur la droite (A’B’).
b. Montrer que  EMBED Equation.DSMT4 . On admet que  EMBED Equation.DSMT4 .
c. En déduire que  EMBED Equation.DSMT4  et que  EMBED Equation.DSMT4 .
2. On appelle s la similitude directe qui transforme M en O et I en H. On note K l’image du point J par la similitude s.
a. Montrer que  EMBED Equation.DSMT4 , puis que  EMBED Equation.DSMT4 .
b. En déduire que le point H’ est l’image du point J par la similitude s.
3. Montrer que  EMBED Equation.DSMT4 . Montrer que la droite (IJ) est perpendiculaire à la droite (HH’).
 EMBED Chamois.Document 
Similitude, Antilles, sept 2007
5 points
ABC est un triangle équilatéral du plan tel que  EMBED Equation.DSMT4 .
Soit t un nombre réel fixé et soient les points M, N et P, deux à deux distincts, définis par :
 EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 .
Le but de l’exercice est de démontrer l’existence d’une unique similitude directe  EMBED Equation.DSMT4  qui transforme les points A, B et C en respectivement M, N et P, et d’en préciser les éléments caractéristiques.
On munit le plan d’un repère orthonormal  EMBED Equation.DSMT4  direct. On note a, b, c, m, n et p les abscisses respectives des points A, B, C, M, N et P.
1. On rappelle que toute similitude conserve le barycentre.
a. Exprimer m, n et p en fonction de a, b, c et t.
b. En déduire que les deux triangles ABC et MNP ont même centre de gravité. On notera G ce centre de gravité.
c. On suppose que  EMBED Equation.DSMT4  existe. Déterminer l’image de G par  EMBED Equation.DSMT4 .
2. On considère la rotation r de centre G et d’angle  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Vérifier que M est le barycentre du système de points  EMBED Equation.DSMT4  et en déduire que  EMBED Equation.DSMT4 .
On admet de même que  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
b. Soit  EMBED Equation.DSMT4  la similitude directe de centre G, de rapport  EMBED Equation.DSMT4  et d’angle  EMBED Equation.DSMT4 . Montrer qu’elle transforme les points A, B et C respectivement en M, N et P.
c. Conclure sur l’existence et l’unicité de  EMBED Equation.DSMT4 .
Similitude, Am. du Sud, sept 2007
5 points
Le plan P est rapporté à un repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4 .
On fera une figure que l’on complétera avec les différents éléments intervenant dans l’exercice.
1. On considère les points A d’affixe 1 et B d’affixe i. On appelle S la réflexion (symétrie axiale) d’axe (AB).
Montrer que l’image M’ par S d’un point M d’affixe z a pour affixe  EMBED Equation.DSMT4 .
2. On note H l’homothétie de centre A et de rapport "2. Donner l écriture complexe de H.
3. On note f la composée  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Montrer que f est une similitude.
b. Déterminer l écriture complexe de f.
4. On appelle M  l image d un point M par f.
a. Démontrer que l ensemble des points M du plan tels que  EMBED Equation.DSMT4  est la droite (AB).
b. Démontrer que l’ensemble des points M du plan tels que  EMBED Equation.DSMT4  est la perpendiculaire en A à la droite (AB).
Similitude directe et indirecte, France, juin 2007
5 points
La figure sera complétée tout au long de l’exercice.
Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4 , on considère les points A, B et C, d affixes respectives "5 + 6i, "7 " 2i et 3 " 2i. On admet que le point F, d affixe "2 + i est le centre du cercle  EMBED Equation.DSMT4  circonscrit au triangle ABC.
1. Soit H le point d affixe "5. Déterminer les éléments caractéristiques de la similitude directe de centre A qui transforme le point C en le point H.
2. a. Étant donné des nombres complexes z et z’, on note M le point d’affixe z et M’ le point d’affixe z’. Soient a et b des nombres complexes.
Soit s la transformation d’écriture complexe  EMBED Equation.DSMT4  qui, au point M, associe le point M’. Déterminer a et b pour que les points A et C soient invariants par s. Quelle est alors la nature de s ?
b. En déduire l’affixe du point E, symétrique du point H par rapport à la droite (AC).
c. Vérifier que le point E est un point du cercle  EMBED Equation.DSMT4 .
3. Soit I le milieu du segment [AC]. Déterminer l’affixe du point G, image du point I par l’homothétie de centre B et de rapport  EMBED Equation.DSMT4 .
Démontrer que les points H, G et F sont alignés.
 EMBED Excel.Chart.8 \s 
Similitudes directe et indirecte, La Réunion, juin 2007
5 points
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé direct  EMBED Equation.DSMT4 . A, B, C désignent les points d’affixes respectives  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
1. a. Écrire b sous forme exponentielle.
b. Les points A et C sont représentés sur la figure ci-dessous. Construire à la règle et au compas le point B sur ce dessin (laisser les tracés de construction apparents).
c. Déterminer une mesure en radians de l’angle  EMBED Equation.DSMT4  et de l’angle  EMBED Equation.DSMT4 .
2. Les points E et F ont pour affixes respectives  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Démontrer que les points A, E et C, d’une part, et les points A, F et B, d’autre part, sont alignés.
b. Démontrer que le quotient  EMBED Equation.DSMT4  peut s’écrire ki où k est un nombre réel à déterminer.
Interpréter géométriquement ce résultat. On admet que, de façon analogue,  EMBED Equation.DSMT4  peut s’écrire k’i où k’ est un nombre réel non nul que l’on ne demande pas de déterminer.
c. Placer les points E et F sur la figure.
3. On désigne par S la similitude indirecte dont l’écriture complexe est  EMBED Equation.DSMT4 .
Déterminer les images par S des trois points A, B et C.
4. Soit H le point d’intersection des droites (BE) et (CF). Placer le point S(H) sur la figure.
 EMBED Chamois.Document 
Similitudes directe et indirecte, C. étrangers, juin 2007
5 points
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4 . L’unité graphique est 2 cm.
Le but de cet exercice est d’étudier la similitude plane indirecte f d’écriture complexe :
 EMBED Equation.DSMT4 ,
et d’en donner deux décompositions.
I. Restitution organisée de connaissances
On rappelle que l’écriture complexe d’une similitude plane directe autre qu’une translation est de la forme z’ = az + b, où a et b sont des nombres complexes avec  EMBED Equation.DSMT4 .
Déterminer en fonction de a et de b l’affixe du centre d’une telle similitude plane directe.
II. Première décomposition de f
Soit g la similitude plane directe d’écriture complexe :  EMBED Equation.DSMT4 .
1. Préciser les éléments caractéristiques de g . (centre, rapport, angle).
2. Déterminer une réflexion s telle que  EMBED Equation.DSMT4 .
III.Deuxième décomposition de f
1. Montrer que f admet un unique point invariant noté  EMBED Equation.DSMT4 . Déterminer l’affixe  EMBED Equation.DSMT4  de  EMBED Equation.DSMT4 .
2. Soit D la droite d’équation : y = x + 2.
Montrer que pour tout point N appartenant à D, le point f(N) appartient aussi à D.
3. Soit  EMBED Equation.DSMT4  la réflexion d’axe D et k la transformation définie par :  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Donner l’écriture complexe de  EMBED Equation.DSMT4 .
Indication : on pourra poser  EMBED Equation.DSMT4  et utiliser deux points invariants par  EMBED Equation.DSMT4  pour déterminer les nombres complexes a et b.
b. En déduire que l’écriture complexe de k est :  EMBED Equation.DSMT4 .
c. Donner la nature de la transformation k et préciser ses éléments caractéristiques.
4. Déduire de ce qui précède une écriture de la similitude indirecte f comme composée d’une réflexion et d’une homothétie.
Similitudes, Asie, juin 2007
5 points
Le but de cet exercice est d’étudier une même configuration géométrique à l’aide de deux méthodes différentes.
I À l’aide des nombres complexes, sur un cas particulier
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4 . L’unité graphique est 1 cm.
1. On considère les points A et B d’affixes respectives 10 et 5i.
a. Déterminer l’écriture complexe de la similitude directe s qui transforme O en A et B en O.
b. Déterminer les éléments caractéristiques de s. On note  EMBED Equation.DSMT4  son centre.
c. Déterminer le point  EMBED Equation.DSMT4  ; en déduire la position du point  EMBED Equation.DSMT4  par rapport aux sommets du triangle ABO.
2. On note D la droite d’équation  EMBED Equation.DSMT4 , puis A’ et B’ les points d’affixes respectives 8 + 4i et 2 + i.
a. Démontrer que les points A’ et B’ sont les projetés orthogonaux respectifs des points A et de B sur la droite D.
b. Vérifier que s(B’) = A’.
c. En déduire que le point  EMBED Equation.DSMT4  appartient au cercle de diamètre [A’B’].
II À l’aide des propriétés géométriques des similitudes
OAB est un triangle rectangle en O tel que  EMBED Equation.DSMT4 .
1. On note encore s la similitude directe telle que s(O) = A et s(B) = O. Soit  EMBED Equation.DSMT4  son centre.
a. Justifier le fait que l’angle de s est égal à  EMBED Equation.DSMT4 .
b. Démontrer que  EMBED Equation.DSMT4  appartient au cercle de diamètre [OA]. (On admet de même que  EMBED Equation.DSMT4  appartient au cercle de diamètre [OB].)
En déduire que  EMBED Equation.DSMT4  est le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OAB.
2. On désigne par D une droite passant par O, distincte des droites (OA) et (OB).
On note A’ et B’ les projetés othogonaux respectifs des points A et B sur la droite D.
a. Déterminer les images des droites (BB’) et D par la similitude s.
b. Déterminer le point s(B’).
c. En déduire que le point  EMBED Equation.DSMT4  appartient au cercle de diamètre [A’B’].
Similitudes, Antilles, juin 2007
5 points
 EMBED Equation.DSMT4  est un repère orthonormal direct du plan complexe (unité graphique 1 cm). On considère le point A d’affixe  EMBED Equation.DSMT4 . On note S1 la symétrie orthogonale par rapport à l’axe  EMBED Equation.DSMT4  et h l’homothétie de centre O et de rapport 3. On pose  EMBED Equation.DSMT4 .
Partie A
1. Placer le point A et compléter la figure au fur et àmesure.
2. Quelle est la nature de la transformation s ? Justifier.
3. Déterminer l’écriture complexe de la transformation s.
4. a. Déterminer l’affixe zB du point B image de A par s.
b. Montrer que  EMBED Equation.DSMT4 . Déterminer une mesure de l’angle  EMBED Equation.DSMT4 .
5. Soient M le milieu de [AB] et P l’image de M par s. Montrer que la droite (OP) est perpendiculaire à la droite (AB).
Partie B
1. On pose C = s(B).Montrer que P est le milieu de [BC].
2. a. Déterminer l’écriture complexe de  EMBED Equation.DSMT4  et en déduire sa nature.
b. Montrer que l’image de la droite (OP) par s est la droite (OM).
c. Que représente le point M pour le triangle OBP ? Justifier.
Similitude+Bézout, Am. du Nord, juin 2007 (c)
5 points
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4  (unité graphique 1 cm).
On fera une figure que l’on complétera tout au long de l’exercice.
Soient A, B et C les points d’affixes respectives  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 .
Soit f la transformation du plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M’ d’affixe z’ définie par  EMBED Equation.DSMT4 .
1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de f.
2. a. Déterminer l’affixe du point B’, image du point B par f.
b. Montrer que les droites (CB’) et (CA) sont orthogonales.
3. Soit M le point d’affixe  EMBED Equation.DSMT4  où on suppose que x et y sont des entiers relatifs. Soit M’ l’image de M par f.
Montrer que les vecteurs  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  sont orthogonaux si et seulement si  EMBED Equation.DSMT4 .
4. On considère l’équation (E) :  EMBED Equation.DSMT4  où x et y sont des entiers relatifs.
a. Vérifier que le couple  EMBED Equation.DSMT4  est une solution de (E).
b. Résoudre l’équation (E).
c. En déduire l’ensemble des points M dont les coordonnées sont des entiers appartenant à l’intervalle  EMBED Equation.DSMT4  et tels que les vecteurs  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  soient orthogonaux. Placer ces points sur la figure.
Correction
1.  EMBED Equation.DSMT4  : similitude directe  EMBED Equation.DSMT4  donc rapport  EMBED Equation.DSMT4 , angle  EMBED Equation.DSMT4 . Le centre est tel que  EMBED Equation.DSMT4 .
2. a.  EMBED Equation.DSMT4 .
b.  EMBED Equation.DSMT4  donc  EMBED Equation.DSMT4 .
3.  EMBED Equation.DSMT4 .
Par ailleurs  EMBED Equation.DSMT4 .
On remplace et on annule :  EMBED Equation.DSMT4 .
4. a.  EMBED Equation.DSMT4  est une solution de (E) :  EMBED Equation.DSMT4 .
b.  EMBED Equation.DSMT4 .
c.  EMBED Equation.DSMT4  d’où les quatre points :
 EMBED Equation.DSMT4 .
Similitude indirecte, Pondicherry, avril 2007
5 points
1. Dans cette question il est demandé au candidat d’exposer des connaissances.
On suppose connus les résultats suivants :
- la composée de deux similitudes planes est une similitude plane ;
- la transformation réciproque d’une similitude plane est une similitude plane ;
- une similitude plane qui laisse invariants trois points non alignés du plan est l’identité du plan.
Soient A, B, C trois points non alignés du plan et s et s’ deux similitudes du plan telles que :
 EMBED Equation.DSMT4 .
Montrer que  EMBED Equation.DSMT4 .
2. Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal  EMBED Equation.DSMT4 . La figure sera complétée au fur et à mesure. On donne les points A d’affixe 2, E d’affixe  EMBED Equation.DSMT4 , F d’affixe  EMBED Equation.DSMT4  et G d’affixe  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Calculer les longueurs des côtés des triangles OAG et OEF. En déduire que ces triangles sont semblables.
b. Montrer que OEF est l’image de OAG par une similitude indirecte S, en déterminant l’écriture complexe de S.
c. Soit h l’homothétie de centre O et de rapport  EMBED Equation.DSMT4 . On pose  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 , et on appelle I le milieu de [EA’]. On note  EMBED Equation.DSMT4  la symétrie orthogonale d’axe  EMBED Equation.DSMT4 . Montrer que  EMBED Equation.DSMT4 .
Nouvelle Calédonie, nov 2006
5 points
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct  EMBED Equation.DSMT4  (unité 1 cm).
On construira une figure que l’on complétera au fur et mesure.
1. Soit A le point d’affixe 3, et r la rotation de centre O et d’angle  EMBED Equation.DSMT4 . On note B, C, D, E et F les images respectives des points A, B, C, D et E par la rotation r. Montrer que B a pour affixe  EMBED Equation.DSMT4 .
2. Associer à chacun des points C, D, E et F l’une des affixes de l’ensemble suivant :
 EMBED Equation.DSMT4 .
3. a. Déterminer r(F).
b. Quelle est la nature du polygone ABCDEF ?
4. Soit s la similitude directe de centre A, de rapport  EMBED Equation.DSMT4  et d’angle  EMBED Equation.DSMT4 . Soit s’ la similitude directe de centre E transformant F en C.
a. Déterminer l’angle et le rapport de s’. En déduire l’angle et le rapport de  EMBED Equation.DSMT4 .
b. Quelle est l’image du point D par  EMBED Equation.DSMT4  ?
c. Déterminer l’écriture complexe de s’.
5. Soit A’ le symétrique de A par rapport à C.
a. Sans utiliser les nombres complexes, déterminer s(A’) puis l’image de A’ par  EMBED Equation.DSMT4 .
b. Calculer l’affixe du point A’. Retrouver alors le résultat du a. en utilisant l’écriture complexe de  EMBED Equation.DSMT4 .
Amérique du Nord, juin 2006 (c)
5 points
Le plan muni d’un repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4 . On prendra pour unité graphique 4 cm. Soit  EMBED Equation.DSMT4  le point d’affixe 2.
On appelle r la rotation de centre  EMBED Equation.DSMT4  et d’angle  EMBED Equation.DSMT4 , et h l’homothétie de centre  EMBED Equation.DSMT4  et de rapport  EMBED Equation.DSMT4 .
1. On pose  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Quelle est la nature de la transformation  EMBED Equation.DSMT4  ? Préciser ses éléments caractéristiques.
b. Montrer que l’écriture complexe de  EMBED Equation.DSMT4  est :  EMBED Equation.DSMT4 .
c. Soit M un point quelconque du plan, d’affixe z. On désigne par M’ son image par  EMBED Equation.DSMT4  et on note z’ l’affixe de M’. Montrer que  EMBED Equation.DSMT4 .
2. a. Question de cours :
Prérequis : définitions géométriques du module d’un nombre complexe et d’un argument d’un nombre complexe non nul.Propriétés algébriques des modules et des arguments.
Démonter que : si A est un point donné d’affixe a, alors l’image du point P d’affixe p par la rotation de centre A et d’angle  EMBED Equation.DSMT4  est le point Q d’affixe q telle que  EMBED Equation.DSMT4 .
b. Déduire des questions précédentes la nature du triangle  EMBED Equation.DSMT4 , pour M distinct de  EMBED Equation.DSMT4 .
3. Soit A0 le point d’affixe  EMBED Equation.DSMT4 . On considère la suite  EMBED Equation.DSMT4  de points du plan définis par : pour tout entier naturel n,  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Montrer que, pour tout entier naturel n, l’affixe  EMBED Equation.DSMT4  de  EMBED Equation.DSMT4  est donnée par :  EMBED Equation.DSMT4 .
b. Déterminer l’affixe de A3 .
4. Déterminer le plus petit entier n0 tel que l’on ait : pour  EMBED Equation.DSMT4 , le point An est dans le disque de centre  EMBED Equation.DSMT4  et de rayon 0,01.
Correction
1. a.  EMBED Equation.DSMT4  est évidemment une similitude directe de centre  EMBED Equation.DSMT4 , de rapport  EMBED Equation.DSMT4  et d’angle  EMBED Equation.DSMT4 .
b.  EMBED Equation.DSMT4  avec  EMBED Equation.DSMT4  d’où en développant :  EMBED Equation.DSMT4 .
c.  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 , c’est pareil.
2. a. Question de cours :
Si A est un point donné d’affixe a, alors l’image du point P d’affixe p par la rotation de centre A et d’angle  EMBED Equation.DSMT4  est le point Q d’affixe q telle que
 EMBED Equation.DSMT4 , et donc  EMBED Equation.DSMT4 .
b. Comme on a  EMBED Equation.DSMT4 , ceci se traduit par : M est l’image de  EMBED Equation.DSMT4  par la rotation de centre M’, d’angle  EMBED Equation.DSMT4 , soit  EMBED Equation.DSMT4  est rectangle isocèle en M’.
3. a. Par récurrence : EMBED Equation.DSMT4  ; avec la relation donnée :  EMBED Equation.DSMT4  ; ça marche au rang 0. On suppose que ça roule au rang n ; au rang n+1 on a alors avec la formule :
 EMBED Equation.DSMT4 
et d’un autre côté par le calcul :
 EMBED Equation.DSMT4 
Ok !
b.  EMBED Equation.DSMT4 .
4. Il faut trouver  EMBED Equation.DSMT4  tel que
 EMBED Equation.DSMT4 
donc  EMBED Equation.DSMT4 .
Antilles, juin 2006
5 points
Sur la figure donnée en annexe, on considère les carrés OABC et OCDE tels que :
 EMBED Equation.DSMT4 .
On désigne par I le milieu du segment [CD], par J le milieu du segment [OC] et par H le point d’intersection des segments [AD] et [IE].
1. Justifier l’existence d’une similitude directe s transformant A en I et D en E.
2. Déterminer le rapport de cette similitude s.
On admet que l’angle de la similitude s est égal à  EMBED Equation.DSMT4 .
3. Donner, sans justifier, l’image de B par s.
4. Déterminer et placer l’image de C par s.
5. Soit  EMBED Equation.DSMT4  le centre de la similitude s.
a. Montrer que  EMBED Equation.DSMT4  appartient au cercle de diamètre [AI] et à celui de diamètre [DE].
b. Montrer que  EMBED Equation.DSMT4  ne peut être le point H.
c. Construire  EMBED Equation.DSMT4 .
6. On considère le repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Déterminer l’écriture complexe de la similitude s.
b. En déduire l’affixe du centre  EMBED Equation.DSMT4  de s.
 EMBED Chamois.Document 

La Réunion, juin 2006
5 points
On complètera la figure donnée en annexe 2 au fur et à mesure des questions, et on la rendra avec la copie.
ABCD est un carré tel que  EMBED Equation.DSMT4 . Soit I le centre du carré ABCD. Soit J le milieu du segment [CD].
On désigne par s la similitude directe qui transforme A en I et B en J.
Le but de l’exercice est d’étudier certaines propriétés de la similitude s. Dans la partie A on utilisera des raisonnements géométriques ; dans la partie B on utilisera les nombres complexes.
Partie A
1. Déterminer le rapport et l’angle de la similitude s.
2. On désigne par  EMBED Equation.DSMT4  le centre de cette similitude.  EMBED Equation.DSMT4  est le cercle de diamètre [AI],  EMBED Equation.DSMT4  est le cercle de diamètre [BJ]. Démontrer que  EMBED Equation.DSMT4  est l’un des points d’intersection de  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 . Placer  EMBED Equation.DSMT4  sur la figure.
3. Donner l’image par s de la droite (BC). En déduire le point image par s du point C, puis le point K image par s du point I.
4. On pose  EMBED Equation.DSMT4  (composée de s avec elle même).
a. Donner la nature de la transformation h (préciser ses éléments caractéristiques).
b. Trouver l’image du point A par h. En déduire que les points A,  EMBED Equation.DSMT4  et K sont alignés.
Partie B
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4 , choisi de manière à ce que les points A, B, C et D aient comme affixes respectives 0, 2, 2 + 2i et 2i.
1. Démontrer que l’écriture complexe de la similitudes est  EMBED Equation.DSMT4 .
2. Calculer l’affixe du point  EMBED Equation.DSMT4 .
3. Calculer l’affixe du point E tel que s(E) = A. Placer le point E sur la figure.
Sim. indirecte+lieu, Liban, juin 2006 (c)
5 points
Dans le plan complexe muni du repère orthonormé direct  EMBED Equation.DSMT4 , on considère les points A d’affixe 3i et B d’affixe 6 ; unité graphique : 1 cm.
Partie A
1. Montrer qu’il existe une similitude directe et une seule qui transforme A en O et O en B. Préciser ses éléments caractéristiques.
2. Montrer qu’il existe une similitude indirecte et une seule qui transforme A en O et O en B.
Partie B
1. Soit f la transformation du plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M’ d’affixe  EMBED Equation.DSMT4  où  EMBED Equation.DSMT4  désigne le conjugué de z.
Montrer que f possède un point invariant et un seul. On note K ce point.
2. Soit h l’homothétie de centre K et de rapport  EMBED Equation.DSMT4 . On pose  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Montrer que g est une isométrie laissant invariant le point K.
b. On désigne par M’’ l’image du point M d’affixe z par la transformation g. Montrer que l’écriture complexe de g est  EMBED Equation.DSMT4  où z’’ est l’affixe de M’’.
c. Montrer qu’il existe sur l’axe  EMBED Equation.DSMT4  un unique point invariant par g ; on le note L. Reconnaître alors la transformation g.
d. En déduire que la transformation f est la composée d’une homothétie h’ suivie de la réflexion d’axe (KL). Préciser les éléments caractéristiques de h’.
3. Déterminer les droites  EMBED Equation.DSMT4  telles que f ( EMBED Equation.DSMT4 ) et  EMBED Equation.DSMT4  soient parallèles.
Correction
A d’affixe 3i et B d’affixe 6.
Partie A
1.  EMBED Equation.DSMT4 .
Angle :  EMBED Equation.DSMT4 , rapport : 2, point invariant :  EMBED Equation.DSMT4 .
2.  EMBED Equation.DSMT4 .
Partie B
1.  EMBED Equation.DSMT4 . 
On cherche le point invariant :  EMBED Equation.DSMT4  ; K a pour affixe "2 + 4i.
2. a. et b.  EMBED Equation.DSMT4 .
 EMBED Equation.DSMT4 . Il s’agit bien d’une isométrie car le module du coefficient de  EMBED Equation.DSMT4  est 1 ; l’image de K est  EMBED Equation.DSMT4 , on retrouve bien K.
c.  EMBED Equation.DSMT4  ; si L est invariant il est tel que  EMBED Equation.DSMT4  ; s’il est sur  EMBED Equation.DSMT4 , son abscisse est nulle, soit x = 0, ce qui donne le point 2i.
g. est donc la réflexion d’axe (KL), d’équation  EMBED Equation.DSMT4 .
d. On a  EMBED Equation.DSMT4  donc h’ est l’homothétie de centre K, de rapport 2.
3. Comme  EMBED Equation.DSMT4  transforme une droite en une droite parallèle, il suffit que  EMBED Equation.DSMT4  soit parallèle à (KL) pour que son image le soit également.
Spirale, Pondicherry, avril 2006
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal  EMBED Equation.DSMT4 . On prendar pour unité graphique 5 cm.
Soit f la transformation qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M’ d’affixe z’ définie par :
 EMBED Equation.DSMT4 .
1. Justifier que f est une similitude directe dont on précisera le centre  EMBED Equation.DSMT4  (d’affixe  EMBED Equation.DSMT4 ), le rapport k et l’angle  EMBED Equation.DSMT4 .
2. On note A0 le point O et, pour tout entier naturel n, on pose  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Déterminer les affixes des points A1, A2 et A3. Placer ces points.
b. Pour tout entier naturel n, on pose  EMBED Equation.DSMT4 . Justifier que  EMBED Equation.DSMT4  est une suite géométrique puis établir que, pour tout entier naturel n,  EMBED Equation.DSMT4 .
c. A partir de quel rang  EMBED Equation.DSMT4  tous les points An appartiennent-ils au disque de centre O et de rayon 0,1 ?
3. a. Quelle est la nature du triangle  EMBED Equation.DSMT4  ? En déduire la nature du triangle  EMBED Equation.DSMT4 .
b. Pour tout entier naturel n, on note ln la longueur de la ligne brisée A0A1A2…An"1An .On a ainsi  EMBED Equation.DSMT4 . Exprimer ln en fonction de n. Quelle est la limite de la suite  EMBED Equation.DSMT4  ?
Sim. indirecte, Nouvelle Calédonie, nov 2005 (c)
Le plan est rapporté au repère orthonormal  EMBED Equation.DSMT4 . Unité graphique : 4 cm
Partie I
1. Placer les points I, J, H, A, B, C, D d affixes respectives : zI = 1, zJ = i, zH = 1+i, zA = 2,  EMBED Equation.DSMT4 , zC = 2i et zD = "1.
2. Soit E le symétrique de B par rapport à H. La perpendiculaire à la droite (AE) passant par C et la parallèle à la droite (OC) passant par D se coupent en F.
Placer E et F et vérifier que le point F a pour affixe  EMBED Equation.DSMT4 .
3. Montrer que les triangles OAB et OCF sont isométriques.
Partie II
On considère la transformation f du plan, d’écriture complexe :  EMBED Equation.DSMT4 .
1. Déterminer les images des points O, A, B par f.
2. a. Montrer que f est une similitude. Est-ce une isométrie ?
b. Déterminer l’ensemble des points invariants par f.
c. La transformation f est-elle une symétrie axiale ?
3. Soit t la translation de vecteur  EMBED Equation.DSMT4  . Donner l écriture complexe de t et celle de sa réciproque t"1.
4. On pose s = f o t"1.
a. Montrer que l écriture complexe de s est :  EMBED Equation.DSMT4 .
b. Montrer que I et J sont invariants par s. En déduire la nature de s.
c. En déduire que f est la composée d’une translation et d’une symétrie axiale à préciser.
Correction
Partie I
1. Voir figure.
2.  EMBED Equation.DSMT4 (zE +zB ) = zH d’où zE =  EMBED Equation.DSMT4  + i
 EMBED Equation.DSMT4  ; c’est un vecteur normal à (CF) donc, l’équation de (CF) est  EMBED Equation.DSMT4  et puisqu’elle passe par C, c = "2. De plus, F est le point de (CF) d abscisse  1, son ordonnée est  EMBED Equation.DSMT4  :  EMBED Equation.DSMT4 .3. OA = OC = 2,  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 , les triangles OAB et OCF ont des côtés deux à deux égaux : ils sont isométriques.
Partie II
1. L’image de O a pour affixe  EMBED Equation.DSMT4 , f(O) = C ; l’image de A a pour affixe  EMBED Equation.DSMT4 , f(A) = O ; l’image de B a pour affixe  EMBED Equation.DSMT4 , f(B) = F.
2. a. L’écriture complexe de f est celle d’une similitude indirecte. Le triangle OAB et son image COF sont isométriques : f est donc une isométrie.
b. z est invariant par f si et seulement si  EMBED Equation.DSMT4  ce qui est impossible.
c. Les points de l’axe d’une symétrie axiale sont invariants donc f n’est pas une symétrie axiale.

3.  EMBED Equation.DSMT4 a pour affixe –1 + i : l’écriture complexe de t est donc  EMBED Equation.DSMT4  et celle de  EMBED Equation.DSMT4  est  EMBED Equation.DSMT4 .
4.  EMBED Equation.DSMT4 .
a.  EMBED Equation.DSMT4  : l’écriture complexe de s est donc  EMBED Equation.DSMT4 .
b. s(I) a pour affixe –i + 1 + i = 1, s(I) = I. s(J) a pour affixe (–i)(–i) + 1 + i = i, s(J) = J.
I et J sont invariants par s : une similitude distincte de l’identité qui a deux point invariants distincts est une symétrie axiale : s est donc la symétrie axiale d’axe (IJ).
c. Pour tout point M,  EMBED Equation.DSMT4 , f est la composée de la translation de vecteur  EMBED Equation.DSMT4  et de la réflexion d’axe (IJ).
Similitude+suite, Am. Sud, nov 2005
Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4 . On prendra pour unité graphique 4 cm. On considère les points A, B, C et D d’affixes respectives a, b, c et d telles que :
a = i, b = 1 + 2i,  EMBED Equation.DSMT4  et d = 3 + 2i.
On considère la similitude directe s qui transforme A en B et C en D. Soit M un point d’affixe z et M’, d’affixe z’, son image par s.
1. Exprimer z’ en fonction de z. Déterminer les éléments caractéristiques de s.
Soit (Un) la suite numérique définie par :  EMBED Equation.DSMT4  pour tout n  EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4 .
2. Montrer que, pour tout entier naturel n, Un+1 etUn sont premiers entre eux.
3. Interpréter géométriquement, en utilisant la similitude s, les termes dela suite (Un).
4. Montrer que pour tout entier naturel n,  EMBED Equation.DSMT4 .
5. Montrer que, pour tous entiers naturels n et p non nuls tels que  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 .
La notation pgcd(a ; b) est utilisée, dans la suite, pour désigner le plus grand diviseur commun à deux entiers naturels a et b. Montrer pour  EMBED Equation.DSMT4  l’égalité
 EMBED Equation.DSMT4 .
6. Soit n et p deux entiers naturels non nuls, montrer que :  EMBED Equation.DSMT4 . Déterminer le nombre : pgcd(U2005 , U15).
QCM arith+géom, National, sept 2005
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidatindiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
Chaque réponse exacte rapporte 1 point. Chaque réponse fausse enlève 0,5 point. Une absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro. Aucune justification n’est demandée.
1. On considère dans l’ensemble des entiers relatifs l’équation :  EMBED Equation.DSMT4 .
A : toutes les solutions sont des entiers pairs.
B : il n’y a aucune solution.
C : les solutions vérifient  EMBED Equation.DSMT4 .
D : les solutions vérifient  EMBED Equation.DSMT4  ou  EMBED Equation.DSMT4 .
2. On se propose de résoudre l’équation (E) : 24x + 34y = 2, où x et y sont des entiers relatifs.
A : Les solutions de (E) sont toutes de la forme : (x ; y) = (34k"7 ; 5"24k),  EMBED Equation.DSMT4 .
B : L équation (E) n a aucune solution.
C : Les solutions de (E) sont toutes de la forme : (x ; y) = (17k"7 ; 5"12k),  EMBED Equation.DSMT4 .
D : Les solutions de (E) sont toutes de la forme : (x ; y) = ("7k ; 5k),  EMBED Equation.DSMT4 .
3. On considère les deux nombres n = 1 789 et p = 17 892 005. On a alors :
A :  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 . C :  EMBED Equation.DSMT4 .
B : p est un nombre premier. D :  EMBED Equation.DSMT4 .
4. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal, les points A et B d’affixes respectives a et b. Le triangle MAB est rectangle isocèle direct d’hypoténuse [AB] si et seulement si le point M d’affixe z est tel que :
A :  EMBED Equation.DSMT4 . C: a " z = i(b " z).
B :  EMBED Equation.DSMT4 . D :  EMBED Equation.DSMT4 .
5. On considère dans le plan orienté deux points distincts A et B ; on note I le milieu du segment [AB]. Soit f la similitude directe de centre A, de rapport 2 et d angle  EMBED Equation.DSMT4  ; soit g la similitude directe de centre A, de rapport  EMBED Equation.DSMT4  et d’angle  EMBED Equation.DSMT4  ; soit h la symétrie centrale de centre I.
A :  EMBED Equation.DSMT4  transforme A en B et c’est une rotation.
B :  EMBED Equation.DSMT4  est la réflexion ayant pour axe la médiatrice du segment [AB].
C :  EMBED Equation.DSMT4  n’est pas une similitude.
D :  EMBED Equation.DSMT4  est la translation de vecteur  EMBED Equation.DSMT4 .
Réflexion+Bézout, Pondicherry, avril 2005 (c)
Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal  EMBED Equation.DSMT4 . On considère l’application f qui au point M d’affixe z fait correspondre le point M’ d’affixe z’ tel que  EMBED Equation.DSMT4 .
1. On note x et x’, y et y’ les parties réelles et imaginaires de z et z’. Démontrer que  EMBED Equation.DSMT4 .
2. a. Déterminer l’ensemble des points invariants par f.
b. Quelle est la nature de l’application f ?
3. Déterminer l’ensemble D des points M d’affixe z tels que z’ soit réel.
4. On cherche à déterminer les points de D dont les coordonnées sont entières.
a. Donner une solution particulière  EMBED Equation.DSMT4  appartenant à  EMBED Equation.DSMT4  de l’équation  EMBED Equation.DSMT4 .
b. Déterminer l’ensemble des solutions appartenant à  EMBED Equation.DSMT4  de l’équation  EMBED Equation.DSMT4 .
5. On considère les points M d’affixe  EMBED Equation.DSMT4  tels que  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 . Le point  EMBED Equation.DSMT4  a pour affixe z’. Déterminer les entiers y tels que  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  soient entiers (on pourra utiliser les congruences modulo 5).
Correction
1.  EMBED Equation.DSMT4 
d’où par identification :  EMBED Equation.DSMT4 .
2. a. Avec  EMBED Equation.DSMT4 , on a les points invariants avec le système suivant :
 EMBED Equation.DSMT4 .
Les points invariants forment donc la droite  EMBED Equation.DSMT4  d’équation  EMBED Equation.DSMT4 .
b. f est donc une réflexion par rapport à l’axe  EMBED Equation.DSMT4 .
3. z’ est réel si  EMBED Equation.DSMT4  ; encore une droite.
4. a. Une solution particulière  EMBED Equation.DSMT4  dans  EMBED Equation.DSMT4  de  EMBED Equation.DSMT4  est (2 ; 2) de manière évidente.
b. On a donc  EMBED Equation.DSMT4 .
5. M :  EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4  :  EMBED Equation.DSMT4  ;
 EMBED Equation.DSMT4 .
Vérifions : si  EMBED Equation.DSMT4 , alors  EMBED Equation.DSMT4 , ok !
Divine proportion, Amérique du Nord, juin 2005 (c)
La figure jointe en annexe sera complétée au cours de l’exercice et remise avec la copie. On y laissera apparents les traits de construction.
Dans le plan orienté, on donne le triangle ABC tel que AB =2,  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
1. a. Démonstration de cours : démontrer qu’il existe une seule similitude directe S transformant B en A et A en C.
b. Déterminer le rapport et une mesure de l’angle de S.
2. On appelle  EMBED Equation.DSMT4  le centre de S. Montrer que  EMBED Equation.DSMT4  appartient au cercle de diamètre [AB] et à la droite (BC). Construire le point  EMBED Equation.DSMT4 .
3. On note D l’image du point C par la similitude S.
a. Démontrer l’alignement des points A,  EMBED Equation.DSMT4  et D ainsi que le parallélisme des droites (CD) et (AB). Construire le point D.
b. Montrer que  EMBED Equation.DSMT4 .
4. Soit E le projeté orthogonal du point B sur la droite (CD).
a. Expliquer la construction de l’image F du point E par S et placer F sur la figure.
b. Quelle est la nature du quadrilatère BFDE ?
 EMBED Chamois.Document 
Correction
1. a. Prendre un repère de centre A, B a alors pour affixe 2 et C  EMBED Equation.DSMT4 .
La similitude S qui envoie B en A et A en C s’écrit  EMBED Equation.DSMT4 .
b. Le rapport de S est  EMBED Equation.DSMT4  et son angle est  EMBED Equation.DSMT4 .
2. Comme on a  EMBED Equation.DSMT4  donc  EMBED Equation.DSMT4  appartient au cercle de diamètre [AB] ; par ailleurs en effectuant deux fois S, on a  EMBED Equation.DSMT4  d’où  EMBED Equation.DSMT4  appartient à la droite (BC).
3. a. Reprenons ce que l’on vient de faire :  EMBED Equation.DSMT4  donc A,  EMBED Equation.DSMT4  et D sont alignés ; de plus  EMBED Equation.DSMT4  donc les droites (CD) et (AB) sont parallèles.
 EMBED Chamois.Document 
b. Ona  EMBED Equation.DSMT4 .
4. Soit E le projeté orthogonal du point B sur la droite (CD).
a. La droite (BE) se transforme en une droite perpendiculaire à (BE) passant par l’image de B, soit A, c’est (AB). La droite (CE) se transforme en une droite perpendiculaire à (CE) passant par l’image de C, soit D, c’est (DF).
b. Le quadrilatère BFDE semble être un carré…
On a  EMBED Equation.DSMT4  donc  EMBED Equation.DSMT4  ; de plus on a des angles droits partout, c’est bon.
En fait le rectangle AFDC est un « rectangle d’or », soit tel que  EMBED Equation.DSMT4 , c’est la « divine proportion ».
Image d’une figure, Asie, juin 2005
Le but de cet exercice est d’étudier les similitudes directes qui transforment l’ensemble S1 des sommets d’un carré C1 donné en l’ensemble S2 des sommets d’un carré C2 donné.
Le plan complexe est rapporte à un repère orthonormal direct R= EMBED Equation.DSMT4 , unité graphique 2 cm.
On considère les points A, B, C, D, E, F, G, H d’affixes respectives  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 .
C1 est le carré de sommets A, B, C, D et de centre O1, C2 est le carré de sommet E, F, G, H de centre O2. S1 est donc l’ensemble {A, B, C, D} et S2 l’ensemble {E, F, G, H}.
1. Placer tous les points dans le repère R, construire les carrés C1 et C2.
2. Soit h l’homothétie de centre  EMBED Equation.DSMT4  d’affixe "1 et de rapport 2. Donner l écriture complexe de h et prouver que h transforme S1 en S2.
3. Soit s une similitude directe qui transforme S1 en S2 et soit g la transformation  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Quel est le rapport de la similitude s ?
b. Prouver que g est une isométrie qui laisse S1 globalement invariant.
c. Démontrer que g(O1) =O1.
d. En déduire que g est l’une des transformations suivantes : l’identité, la rotation r1 de centre O1 et d’angle  EMBED Equation.DSMT4 , la rotation r2 de centre O1 et d’angle  EMBED Equation.DSMT4 , la rotation r3 de centre O1 et d’angle  EMBED Equation.DSMT4 .
e. En déduire les quatre similitudes directes qui transforment S1 en S2.
4. Étude des centres de ces similitudes.
a. Déterminer les écritures complexes de  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 .
b. En déduire les centres  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4  de ces similitudes et les placer sur le dessin.
Tr. rectangles isocèles, National, juin 2005
Le but de l’exercice est d’étudier quelques propriétés de la figure ci-contre.
On munit le plan d’un repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4 . Le quadrilatère MNPQ est un quadrilatère non croisé et de sens direct. Les triangles MRN, NSP, PTQ et QUM sont des triangles rectangles isocèles, extérieurs au quadrilatère MNPQ et de sens direct (les sommets des angles droits étant respective-ment les points R, S, T et U).
Partie A
On désigne par m, n, p et q, les affixes respectives des points M, N, P et Q.
1. Soit f la similitude directe de centre M qui transforme N en R.
a. Déterminer le rapport et l’angle de la similitude f .
b. On désigne par r l’affixe du point R.  EMBED Chamois.Document Démontrer que  EMBED Equation.DSMT4  où i désigne le nombre complexe de module 1 et d’argument  EMBED Equation.DSMT4  (on pourra éventuellement utiliser l’écriture complexe de la similitude f ).
On admettra que l’on a également les résultats  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 , où s, t et u désignent les affixes respectives des points S, T et U.
2. Démontrer que les quadruplets (M, N, P, Q) et (R, S, T, U) ont le même isobarycentre.
3. a. Démontrer l’égalité u " s = i(t " r).
b. Que peut-on en déduire pour les longueurs des segments [RT] et [SU], d une part, et pour les droites (RT) et (SU), d autre part ?
Partie B
Cette partie sera traitée sans utilisation des nombres complexes.
1. Démontrer, en utilisant les résultats établis dans la partie A, qu’il existe une unique rotation g qui transforme R en S et T en U.
2. Décrire comment construire géométriquement le point  EMBED Equation.DSMT4 , centre de la rotation g. Réaliser cette construction sur la figure de l’annexe.
S. indirecte+bézout, Polynésie, nov 2004 (c)
Le plan est muni d’un repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4 . On prendra sur la figure 1 cm pour unité graphique.
On désigne par A, B et C les points d’affixes respectives EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
1. On considère la transformation f du plan dans lui-même qui à tout point M d’affixe z associe le point M’ = f(M) d’affixe z’ définie par :
 EMBED Equation.DSMT4 .
a. Calculer les affixes des points A’ = f(A) et C’= f(C).
b. En déduire la nature de f et caractériser cette transformation.
c. Placer les points A, B et C puis construire le point B’ = f(B).
2. a. Donner l’écriture complexe de l’homothétie h de centre A et de rapport  EMBED Equation.DSMT4 .
b. Montrer que la composée  EMBED Equation.DSMT4  a pour écriture complexe  EMBED Equation.DSMT4 .
3. a. Soit M0 le point d’affixe  EMBED Equation.DSMT4 . Déterminer l’affixe du point  EMBED Equation.DSMT4  puis vérifier que les vecteurs  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  sont orthogonaux.
b. On considère un point M d’affixe z. On suppose que la partie réelle x et la partie imaginaire y de z sont des entiers. Démontrer que les vecteurs  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  sont orthogonaux si, et seulement si,  EMBED Equation.DSMT4 .
c. Résoudre dans  EMBED Equation.DSMT4  l’équation  EMBED Equation.DSMT4 .
d. En déduire les points M, dont les coordonnées sont des entiers appartenant à l’intervalle  EMBED Equation.DSMT4 , tels que  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  sont orthogonaux. Placer les points obtenus sur la figure.
Correction
On désigne par A, B et C les points d’affixes respectives EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
1. a.  EMBED Equation.DSMT4  :  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 .
b. On a  EMBED Equation.DSMT4  donc f est une isométrie. Par ailleurs les deux points A et C sont invariants donc f est une réflexion d’axe (AC).
c. 
 EMBED Chamois.Document 
2. a.  EMBED Equation.DSMT4 
b.  EMBED Equation.DSMT4 , soit
 EMBED Equation.DSMT4  ;
il reste à simplifier :
 EMBED Equation.DSMT4 ,
soit finalement  EMBED Equation.DSMT4 .
3. a.  EMBED Equation.DSMT4  ;  EMBED Equation.DSMT4  a pour affixe  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  a pour affixe  EMBED Equation.DSMT4  ; avec le produit scalaire on a :  EMBED Equation.DSMT4 , les vecteurs sont orthogonaux.
b.  EMBED Equation.DSMT4  ;
le produit scalaire donne  EMBED Equation.DSMT4  et est nul lorsque  EMBED Equation.DSMT4 .
c. On a une solution évidente : x = 2, y = "4 ; soustrayons :
 EMBED Equation.DSMT4 .
d.  EMBED Equation.DSMT4 .
Il y a trois points seulement : m (2 ; "4), A ("1 ; 1) et n ("4 ; 6).
 EMBED Chamois.Document 
Tr. équilatéral+lieu de points, National, sept 2004 (c)
A et C sont deux points distincts du plan ; on note  EMBED Equation.DSMT4  le cercle de diamètre [AC] et O le centre de  EMBED Equation.DSMT4 . B est un point du cercle  EMBED Equation.DSMT4  distinct des points A et C.
Le point D est construit tel que le triangle BCD soit équilatéral direct ; on a donc  EMBED Equation.DSMT4 .
Le point G est le centre de gravité du triangle BCD. Les droites (AB) et (CG) se coupent en un point M.
Partie A
1. Placer les points D, G et M sur la figure de la feuille annexe.
2. Montrer que les points O, D et G appartiennent à la médiatrice du segment [BC] et que le point G est le milieu du segment [CM].
3. Déterminer l’angle et le rapport de la similitude directe s de centre C transformant B en C. EMBED Chamois.Document Partie B
Dans cette question le plan est rapporté à un repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4  choisi de telle sorte que les points A et C aient pour affixes respectives "1 et +1.
Soit E le point construit pour que le triangle ACE soit équilatéral directe ; on a donc  EMBED Equation.DSMT4 .
1. Calculer l affixe du point E et construire le point E sur la feuille annexe.
2. Soit  EMBED Equation.DSMT4  la similitude directe d’expression complexe  EMBED Equation.DSMT4 . Déterminer les éléments carctéristiques de  EMBED Equation.DSMT4  et en déduire que  EMBED Equation.DSMT4  est la similitude réciproquie de s.
3. Montrer que l’image E’ de E par  EMBED Equation.DSMT4  a pour affixe  EMBED Equation.DSMT4  et montrer que le point E’ appartient au cercle  EMBED Equation.DSMT4 .
4. On note  EMBED Equation.DSMT4  le lieu des points M lorsque le point B décrit le cercle  EMBED Equation.DSMT4  privé des points A et C. Montrer que le point E appartient à  EMBED Equation.DSMT4 .
Soit O’ l’image du point O par la similitude s. Démontrer que le point O’ est le centre de gravité du triangle ACE. En déduire une construction de  EMBED Equation.DSMT4 .
Correction
2. [BC] est une corde du cercle  EMBED Equation.DSMT4  donc OB = OC ; par ailleurs dans un triangle équilatéral le centre de gravité et le troisième sommet sont sur la médiatrice, ici sur celle de [BC]. (GC) est la médiatrice de [BD] ; par ailleurs on a  EMBED Equation.DSMT4  d’où  EMBED Equation.DSMT4 , moralité M est le symétrique de G par rapport à [BD] et GM = CG.
 EMBED Chamois.Document 3. On regarde les images par  EMBED Equation.DSMT4 
Partie B
1. 
 EMBED Chamois.Document 
2.  EMBED Equation.DSMT4  :  EMBED Equation.DSMT4  donc rapport  EMBED Equation.DSMT4  et angle  EMBED Equation.DSMT4 . On cherche le centre :  EMBED Equation.DSMT4 , c’est donc C. La réciproque d’une similitude a même centre, un rapport inverse et un angle opposé : c’est bien le cas ici.
3. E est sur l’axe imaginaire, son affixe est  EMBED Equation.DSMT4  (hauteur d’un triangle équilatéral de côté 2). Son image a pour affixe  EMBED Equation.DSMT4  qui a évidemment pour module 1 et est donc sur  EMBED Equation.DSMT4 .
4. Comme  EMBED Equation.DSMT4 , on a  EMBED Equation.DSMT4  puisque s est la réciproque de  EMBED Equation.DSMT4  ; comme E’ est sur  EMBED Equation.DSMT4 , E est sur  EMBED Equation.DSMT4 .
Lorsque B parcourt  EMBED Equation.DSMT4 , M parcourt le cercle de centre s(O)=O’ et de rayon  EMBED Equation.DSMT4 .
On obtient l’affixe de O’ « facilement » en écrivant que
 EMBED Equation.DSMT4 .
Celle du centre de gravité de ACE est  EMBED Equation.DSMT4 .
E est un point de  EMBED Equation.DSMT4  et O’ son centre, la construction est faite.
 EMBED Chamois.Document 
QCM géo+arith, Antilles, sept 2004
Pour chacune des six affirmations, dire si elle est vraie ou si elle est fausse, en justifiant le choix effectué.
1. Le PGCD de 2 004 et 4 002 est 6.
2. Si p et q sont deux entiers naturels non nuls, 2pq "1 est divisible par 2p "1 et par 2q "1.
3. Pour tout n de  EMBED Equation.DSMT4 *, 2n "1 n est jamais divisible par 9.
4. L ensemble des couples d entiers solutions de l équation : 24x +35y = 9 est l ensemble des couples :
("144+70k ; 99"24k) où  EMBED Equation.DSMT4  .
5. Soient A et B deux points distincts du plan ; si on note f l’homothétie de centre A et de rapport 3 et g l’homothétie de centre B et de rapport  EMBED Equation.DSMT4  alors  EMBED Equation.DSMT4  est la translation de vecteur  EMBED Equation.DSMT4 .
6. Soit s la similitude d’écriture complexe  EMBED Equation.DSMT4 , l’ensemble des points invariants de s est une droite.
Spirale, Am. du Sud, nov 2004 (c)
Soit A0 et B0 deux points du plan orienté tels que A0B0 = 8. On prendra le centimètre pour unité.
Soit S la similitude de centre A0, de rapport  EMBED Equation.DSMT4  et d’angle  EMBED Equation.DSMT4 . On définit une suite de points (Bn) de la façon suivante : pour tout entier naturel n, Bn+1 = S(Bn).
1. Construire B1, B2, B3 et B4.
2. Montrer que, pour tout entier naturel n, les triangles A0BnBn+1 et A0Bn+1Bn+2 sont semblables.
3. On définit la suite (ln) par : pour tout entier naturel n, ln = BnBn+1.
a. Montrer que la suite (ln) est une suite géométrique et préciser sa raison.
b. Exprimer ln en fonction de n et de l0.
c. On pose Ln = l0 +l1+···+ln. Déterminer la limite de Ln lorsque n tend vers  EMBED Equation.DSMT4 .
4. a. Résoudre l équation 3x "4y = 2 où x et y sont deux entiers relatifs.
b. Soit  EMBED Equation.DSMT4  la droite perpendiculaire en A0 à la droite (A0B0). Pour quelles valeurs de l’entier naturel n, Bn appartient-il à  EMBED Equation.DSMT4  ?
Correction
1. Rien n’interdit de prendre A0 à l’origine et B0 en z = 8. On a alors  EMBED Equation.DSMT4 , d’où en notant  EMBED Equation.DSMT4  l’affixe de Bn :  EMBED Equation.DSMT4 , soit  EMBED Equation.DSMT4  .
 EMBED Chamois.Document 
Enfin, bref, à chaque fois on tourne de  EMBED Equation.DSMT4  et on divise la distance par 2.
2. Par S on a  EMBED Equation.DSMT4  donc les triangles  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  sont semblables.
3. a.  EMBED Equation.DSMT4  puisque les triangles sont semblables et que le rapport de similitude est 1/2.
b.  EMBED Equation.DSMT4 .
c.  EMBED Equation.DSMT4 .
4. a.  EMBED Equation.DSMT4  a comme solution évidente x = 2, y = 1 : 3.2 " 4.1 = 2. Soustrayons :
 EMBED Equation.DSMT4 
d où les solutions  EMBED Equation.DSMT4 , k entier relatif.
b. On voit sur la figure que B2 est sur  EMBED Equation.DSMT4  ; en faisant  EMBED Equation.DSMT4  à chaque fois il faudra 4 coups pour revenir sur  EMBED Equation.DSMT4 , les valeurs de n correspondantes sont donc  EMBED Equation.DSMT4 .
Sinon on peut repartir sur  EMBED Equation.DSMT4  qui est imaginaire pur lorsque  EMBED Equation.DSMT4 , soit les solutions précédentes.
Similitude indirecte, Am. du Nord, mai 2004
Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormal  EMBED Equation.DSMT4 .
Soient les points A, A’, B et B’ d’affixes respectives :  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 .
1. a. Placer les points A, A’, B et B’ dans le plan complexe. Monter que ABB’A’ est un rectangle.
b. Soit s la réflexion telle que s(A) = A’ et s(B) = B’. On note ( EMBED Equation.DSMT4 ) son axe.
Donner une équation de la droite ( EMBED Equation.DSMT4 ) et la tracer dans le plan complexe.
c. On note z’ l’affixe du point M’ image par s du point M d’affixe z. Montrer que  EMBED Equation.DSMT4 .
2. Soit g l’application du plan dans luimême qui à tout point M d’affixe z associe le point P d’affixe z’ définie par :  EMBED Equation.DSMT4 .
a. On note C et D les images respectives de A et B par g ; déterminer les affixes de C et D et placer ces points dans le plan complexe.
b. Soit  EMBED Equation.DSMT4  le point d’affixe 1 + i etsoit h l’homothétie de centre  EMBED Equation.DSMT4  et de rapport "2. Montrer que C et D sont les images respectives de A et B par h.
c. Soit M1 d affixe z1 l image par h de M, d affixe z. Donner les éléments caractéristiques de h"1 et exprimer z en fonction de z1.
3. On pose  EMBED Equation.DSMT4  .
a. Déterminer l’expression complexe de f.
b. Reconnaître f. En déduire une construction du point P, imagepar g d’un point M quelconque donné du plan.
Rotation, Antilles 2004
Dans le plan orienté, on considère un carré direct ABCD de centre O. Soit P un point du segment [BC] distinct de B. On note Q l’intersection de (AP) avec (CD). La perpendiculaire  EMBED Equation.DSMT4  à (AP) passant par A coupe (BC) en R et (CD) en S.
1. Faire une figure.
2. Soit r la rotation de centre A et d’angle  EMBED Equation.DSMT4 .
a.  Précisez, en justifiant votre réponse, l’image de la droite (BC) par la rotation r.
b. Déterminez les images de R et de P par r.
c. Quelle est la nature de chacun des triangles ARQ et APS ?
3. On note N le milieu du segment [PS] et M celui du segment [QR]. Soit s la similitude de centre A, d’angle  EMBED Equation.DSMT4 et de rapport  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Déterminez les images respectives de R et de P par s.
b. Quel est le lieu géométrique du point N quand P décrit le segment [BC] privé de B ?
c. Démontrez que les points M, B, N et D sont alignés.
Rotation+carré, Liban, mai 2004 (c)
Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormal  EMBED Equation.DSMT4 . On prendra pour unité graphique 1 cm.
On considère les points A, B, C et D d’affixes respectives zA = 2 + i, zB = 1 + 2i, zC = 6 + 3i, zD ="1 + 6i.
1. Représenter les points A, B, C et D.
2. Montrer qu il existe une similitude directe f telle que f (A) = B et f (C) = D.
Montrer que cette similitude est une rotation, et préciser ses éléments caractéristiques.
3. Soit J le point d affixe 3 + 5i. Montrer que la rotation R de centre J et d’angle  EMBED Equation.DSMT4  transforme A en D et C en B.
4. On appelle I le point d’affixe 1 + i, M et N les milieux respectifs des segments [AC] et [BD].
Déterminer, en utilisant les résultats des questions précédentes, la nature du quadrilatère IMJN.
5. On considère les points P et Q tels que les quadrilatères IAPB et ICQD sont des carrés directs.
a. Calculer les affixes zP et zQ des points P et Q.
b. Déterminer  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  ainsi qu’une mesure des angles  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
En déduire les éléments caractéristiques de la similitude directe g telle que g(A) = P et g(C)= Q.
c. En déduire que J est l’image de M par g. Que peut-on en déduire pour J ?
Correction
 EMBED Chamois.Document 
2.  EMBED Equation.DSMT4 .
Comme  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 , on a bien une rotation d’angle  EMBED Equation.DSMT4 .
Le point invariant est :  EMBED Equation.DSMT4 .
3. R de centre J d’angle  EMBED Equation.DSMT4  :  EMBED Equation.DSMT4 .
L’image de A est  EMBED Equation.DSMT4 , celle de C :  EMBED Equation.DSMT4 . Ok.
4. Il semble que IMJN est un carré : comme A a pour image B et C pour image D dans la rotation de centre I d’angle  EMBED Equation.DSMT4 , le milieu M de [AC] a pour image le milieu N de [BD] donc MIN est un triangle rectangle isocèle. Même chose pour MJN.
5. a. Pour P on fait la rotation de centre B d’angle  EMBED Equation.DSMT4 , ce qui donne  EMBED Equation.DSMT4  ; pour Q on fait la rotation de centre D, ce qui donne  EMBED Equation.DSMT4 .
b.  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4  : rapport entre la diagonale et le côté du carré.
 EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  : angle entre le côté et la diagonale du carré.
Comme I est invariant, g est la similitude de centre I, d’angle  EMBED Equation.DSMT4  et de rapport  EMBED Equation.DSMT4 .
c. Comme IMJN est un carré, J est l’image de M par g. Je ne vois pas ce qu’on peut en déduire pour J.
Suite géométrique, Polynésie, juin 2004
Le plan P est rapporté a un repère orthonormal  EMBED Equation.DSMT4 . On prendra pour unité graphique 3 cm.
On considère les points A, B, C et D d’affixes respectives a, b, c et d telles que
a = 3,  EMBED Equation.DSMT4 , c= 3i et  EMBED Equation.DSMT4 .
1. Représenter les points A, B, C et D.
2. Déterminer l’angle  EMBED Equation.DSMT4  et le rapport k de la similitude directe s transformant A en B et C en D.
3. Donner l’écriture complexe de s. En déduire l’affixe du centre I de s.
4. Soit M le point de coordonnées (x ; y) et M’(x’ ; y’) son image par s.
Montrer que :  EMBED Equation.DSMT4 .
5. On construit une suite (Mn) de points du plan en posant  EMBED Equation.DSMT4  pour tout entier naturel n.
On note zn l’affixe du point Mn et on pose  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Montrer que (rn) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
b. Déterminer le plus petit entier naturel k tel que  EMBED Equation.DSMT4 .
Rotations, homothéties, Am. du Sud, nov 2003 (c)
Le plan complexe estmuni d’un repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4  (unité graphique : 1 cm).
On note r1 la rotation de centre O et d’angle  EMBED Equation.DSMT4  et r2 la rotation de centre O et d’angle  EMBED Equation.DSMT4 .
Partie A
1. Résoudre dans  EMBED Equation.DSMT4  l’équation (E) : 3y = 5(15 " x).
2. Soit I le point d affixe 1. On considère un point A mobile sur le cercle trigonométrique (C) de centre O. Sa position initiale est en I.
On appelle d la distance, exprimée en centimètres, qu a parcouru le point A sur le cercle (C) après avoir subi p rotations r1 et q rotations r2 (p et q étant des entiers naturels).
On convient que lorsque A subit la rotation r1 (respectivement r2), il parcourt une distance de  EMBED Equation.DSMT4  cm (respectivement  EMBED Equation.DSMT4  cm).
Déterminer toutes les valeurs possibles de p et q pour lesquelles le point A a parcouru exactement deux fois et demie la circonférence du cercle (C) à partir de I.
Partie B
On note h1 l’homothétie de centre O et de rapport 4 et h2 l’homothétie de centre O et de rapport "6. On pose  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .
1. Préciser la nature et les éléments caractéristiques de s1 et s2.
2. On pose  EMBED Equation.DSMT4  (composée de m fois s1, m étant un entier naturel non nul),  EMBED Equation.DSMT4  (composée de n fois s2, n étant un entier naturel non nul), et  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Justifier que f est la similitude directe de centre O, de rapport  EMBED Equation.DSMT4  et d’angle  EMBED Equation.DSMT4 .
b. f peut-elle être une homothétie de rapport 144 ?
c. On appelle M le point d’affixe 6 et M’ son image par f. Peut-on avoir OM’ = 240 ? Démontrer qu’il existe un couple d’entiers naturels unique (m, n) tel que OM’ = 576.
Calculer alors la mesure principale de l’angle orienté  EMBED Equation.DSMT4 .
Correction
Partie A
1. 3y = 5(15 " x) : comme 5 ne divise pas 3, il doit diviser y, donc  EMBED Equation.DSMT4  ; ceci donne alors
 EMBED Equation.DSMT4 .
2. Comme l unité est le centimètre, la distance parcourue sur le cercle lorsque A fait un angle  EMBED Equation.DSMT4  est  EMBED Equation.DSMT4  centimètres (définition du radian). Après p fois r1 il a donc parcouru  EMBED Equation.DSMT4  cm et après q fois r2, il a parcouru  EMBED Equation.DSMT4 , soit au total  EMBED Equation.DSMT4 .
On a alors  EMBED Equation.DSMT4 . On retombe donc sur l’équation précédente, ce qui donne  EMBED Equation.DSMT4 .
Comme p et q doivent être positifs, on a  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  ; ceci donne donc les 6 couples
 EMBED Equation.DSMT4 .
Partie B
1. s1 est la similitude de centre O, d’angle  EMBED Equation.DSMT4 , de rapport 4, s2 est la similitude de centre O, d’angle  EMBED Equation.DSMT4  et de rapport 6 (attention au signe du rapport…).
2. On pose  EMBED Equation.DSMT4  (composée de m fois s1, m étant un entier naturel non nul),  EMBED Equation.DSMT4  (composée de n fois s2, n étant un entier naturel non nul), et  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Pour Sm on a le rapport 4 répété m fois, donc  EMBED Equation.DSMT4  et pour angle  EMBED Equation.DSMT4  ; pour  EMBED Equation.DSMT4  on a le rapport 6 répété n fois, soit  EMBED Equation.DSMT4  et l’angle  EMBED Equation.DSMT4 , d’où un total de  EMBED Equation.DSMT4  pour le rapport et  EMBED Equation.DSMT4  pour l’angle.
b. On a  EMBED Equation.DSMT4 , il faudrait  EMBED Equation.DSMT4  et donc un angle de
 EMBED Equation.DSMT4 .
Ca colle pour le rapport mais pas pour l’angle.
c. Si OM’ = 240, OM = 6, alors le rapport de similitude doit être de 40, ce qui est impossible puisque 5 n’apparait pas comme diviseur dans le rapport.
Avec OM’ = 576, il faut  EMBED Equation.DSMT4  donc l’angle est  EMBED Equation.DSMT4 .
Similitudes, Pondichéry, mai 2003 (c)
Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
Première partie
ABC est un triangle direct du plan orienté. On désigne respectivement par I, J et K les milieux de [AB], [BC] et [CA]. Soit ( un réel qui conduit à la réalisation de la figure ci-contresur laquelle on raisonnera.

d1 est l'image de la droite (AB) par la rotation de centre I et d'angle  EMBED Equation.DSMT4 .ð
d2 est l'image de la droite (BC) par la rotation de centre J et d'angle  EMBED Equation.DSMT4 .
d3 est l'image de la droite (CA) par la rotation de centre K et d'angle  EMBED Equation.DSMT4 .
A1 est le point d'intersection de d1 et d3, B1 celui de d1 et d2, et C1 celui de d2 et d3.
1. On appelle H le point d'intersection de (BC) et d1. Montrer que les triangles HIB et HB1J sont semblables.
2. En déduire que les triangles ABC et A1B1C1 sont semblables.
Deuxième partie
Le plan complexe est muni du repère orthonormal direct  EMBED Equation.DSMT4 
A - Construction de la figure
1. Placer les points A( "4"6i), B(14), C("4+6i), A1 (3"7i), B1(9 + 5i) et C1("3"i).
2. Calculer les affixes des milieux I, J et K des segments [AB], [BC] et [CA]. Placer ces points sur la figure.
3. Montrer que A1, I, B1 sont alignés.
On admettra que B1, J, C1 d'une part, et C1, K, A1 d'autre part sont alignés.
4. Déterminer une mesure en radians de l'angle  EMBED Equation.DSMT4 .
On admettra que  EMBED Equation.DSMT4 
5. Quelle est l'image de la droite (AB) par la rotation de centre I et d'angle  EMBED Equation.DSMT4 /4 ?
B - Recherche d'une similitude directes transformant ABC en A1B1C1
On admet qu'il existe une similitude directe s transformant les points A, B et C respectivement en A1, B1 et C1.
1. Montrer que l'écriture complexe de s est  EMBED Equation.DSMT4 , où z et z' désignent respectivement les affixes d'un point et de son image par s.
2. a. Déterminer le rapport et l'angle de s.
b. Déterminer l'affixe du centre  EMBED Equation.DSMT4  de s.
3. Que représente le point  EMBED Equation.DSMT4  pour le triangle ABC ?
Correction
Première partie
1. HIB et  EMBED Equation.DSMT4  sont semblables : on a évidemment  EMBED Equation.DSMT4  ; par ailleurs  EMBED Equation.DSMT4  de même que  EMBED Equation.DSMT4  puisque c’est l’angle de rotation. Les triangles ont deux angles égaux, les triangles sont semblables.
2. Le troisième angle de chaque triangle est donc le même :  EMBED Equation.DSMT4 .
Le raisonnement tenu à partir de I est valable dans les rotations de centres J et K, soit  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  donc ABC et  EMBED Equation.DSMT4  sont semblables.
Deuxième partie
A. 1. A("4 " 6i), B(14), C("4 + 6i),  EMBED Equation.DSMT4 (3 " 7i),  EMBED Equation.DSMT4 (9 + 5i) et  EMBED Equation.DSMT4 ("3 " i).
2.  EMBED Equation.DSMT4  ;  EMBED Equation.DSMT4  ;  EMBED Equation.DSMT4 .
3. L alignement revient à montrer soit que  EMBED Equation.DSMT4  soit que  EMBED Equation.DSMT4  avec k réel : on calcule de toutes manières  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4  ; on voit alors que k = "2.
4. Pour calculer l angle des vecteurs, on calcule l’argument du quotient des affixes des deux vecteurs :
 EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 
5. Comme A, I et B sont alignés et que  EMBED Equation.DSMT4 , l’image de (AB) est  EMBED Equation.DSMT4 .
B. 1. On cherche a et b complexes tels que  EMBED Equation.DSMT4  ; en résolvant on trouve bien  EMBED Equation.DSMT4 .
2. Le rapport est  EMBED Equation.DSMT4 , l'angle est  EMBED Equation.DSMT4 . L'affixe du centre  EMBED Equation.DSMT4  est celle du point invariant :  EMBED Equation.DSMT4 .
3.  EMBED Equation.DSMT4  Est-il le centre du cercle circonscrit ?  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4 . Donc oui.
Longueur de spirale, Am. du Nord, mai 2003
Le plan P est rapporté a un repère orthonormal  EMBED Equation.DSMT4 . On prendra pour unité graphique 1 cm.
On considère les points A0, A1, A2 d’affixes respectives z0 = 5"4i, z1 = "1"4i, z2 ="4"i.
1. a. Justifier l existence d une unique similitude directe S telle que S(A0) = A1 et S(A1) = A2.
b. Établir que l écriture complexe de S est  EMBED Equation.DSMT4 .
c. En déduire le rapport, l angle et l affixe  EMBED Equation.DSMT4  du centre  EMBED Equation.DSMT4  de la similitude S.
d. On considère un point M, d’affixe z avec  EMBED Equation.DSMT4  , et son image M’, d’affixe z’. Vérifier la relation :
 EMBED Equation.DSMT4  ; en déduire la nature du triangle  EMBED Equation.DSMT4  MM’.
2. Pour tout entier naturel n, lepoint An+1, est défini par An+1 = S(An) et on pose un = AnAn+1.
a. Placer les points A0, A1, A2 et construire géométriquement les points A3, A4, A5, A6.
b. Démontrer que la suite (un) est géométrique.
3. La suite (vn) est définie sur  EMBED Equation.DSMT4  par vn = u0 +u1+···+un =  EMBED Equation.DSMT4 .
a. Exprimer vn en fonction de n.
b. La suite (vn) est-elle convergente ?
4. a. Calculer en fonction de n le rayon rn du cercle circonscrit au triangle ©AnAn+1.
b. Déterminer le plus petit entier naturel p tel que, pour tout entier naturel n : si n > p alors rn ¬’ ~òiÕ@­+®3›€ùaÌ+ŒméXÇ@¾-ýýýýýýýýýýýýýýýýýýýýýýýýýýýýý789:opq‹Œ‘’“”°±²³æçè 
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