tenseurs - Mécanique des Milieux Continus
Transformation de Fourier dans L^1, dans L^2 et sur l'espace de Schwartz. ....
processus stationnaires, processus gaussiens scalaires et vectoriels. .... l'algèbre
commutative : conditions de finitude, extensions entières d'anneaux, norme, trace
et ... Un polycopié de ce cours ainsi qu'une liste d'exercices corrigés seront mis à
...
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TENSEURS
Dans le calcul tensoriel, on veut exprimer la façon dont se transforment dans un changement de base les composantes des éléments d'un espace vectoriel et d'un produit d'espace vectoriel.
En fait, on recherche systématiquement les valeurs intrinsèques. On exprimera des relations qui seront indépendantes du système de coordonnées utilisé pour les expliciter. En effet, seules ces relations pourront exprimer une réalité physique. La puissance galiléenne d'une force ne peut en aucun cas être dépendante du repère de calcul choisit.
Convention d'écriture
Déjà dans un seul espace vectoriel à dimension peu élevée, le formulaire de changement de base est lourd. On conçoit donc des difficultés d'écriture pour des cas un peu complexes. Il est important de condenser les écritures afin les rendre plus maniables.
Convention d'Einstein
Souvent nous devrons exprimer des sommes de monômes. L'habitude veut qu'alors on utilise des indices de valeurs variables. La variation de ces indices est essentiellement fonction de la dimension de l'espace vectoriel concerné.
La convention d'Einstein permet une simplification supplémentaire.
Tout monôme où certains indices littéraux figurent chacun deux fois, en position supérieure dans un facteur et en position inférieure dans un autre, représente la somme de tous les monômes analogues, avec chacun de ces indices répétés prenant n valeurs.
Un indice répété est appelé indice muet.
EMBED Equation
EMBED Equation
Un indice non muet est dit libre.
Toute égalité où figurent certains indices libres, à la même hauteur aux deux membres, s'entendra comme valables pour toutes les valeurs de 1 à n de ces indices.
Une telle équation représentera en réalité un système de EMBED Equation.3 égalités si elle comporte p indices libres.
EMBED Equation
Remarques
* L'emploi d'indices supérieurs peut créer un risque de confusion avec l'écriture des puissances. Aussi en écriture indicielle, on convient d'une notation particulière pour les puissances. On désignera par EMBED Equation.3 la EMBED Equation.3 puissance de a.
* Un monôme reste inchangé lorsqu'on change la lettre qui désigne un indice muet: EMBED Equation
* Pour désigner un monôme par une lettre unique, on devra la munir des mêmes indices libres que le monôme :
EMBED Equation
* Il est impératif de ne pas tripler les indices muets. En effet, l'écriture EMBED Equation n'a aucun sens, les écritures EMBED Equation et EMBED Equation ayant chacune un sens différent.
* Si on veut dire EMBED Equation est égal à 1 si i est égal à j, il faut écrire :
EMBED Equation
En effet, la formule condensée EMBED Equation représente tout autre chose.
Règles de calcul
Dans la convention d'Einstein, on peut traiter les opérations suivant les règles de calcul des opérateurs utilisés. On obtient ainsi :
Les additions sont associatives et commutatives.
Les multiplications sont associatives et distributives, à droite comme à gauche, par rapport aux additions.
.
EMBED Equation
Remarques
* Le calcul formel ne permet pas toutes les opérations classiques. En particulier, les opérations de simplifications par division doivent être menées avec précautions.
EMBED Equation
* Les règles de calcul nécessitent d'être très rigoureux sur l'emploi des indices. En effet, il ne faut pas confondre le produit EMBED Equation par EMBED Equation qui est représenté par EMBED Equation avec le produit de EMBED Equation par EMBED Equation qui est représenté par EMBED Equation .
Applications aux matrices
Pour une matrice carrée A à n lignes et n colonnes, nous désignerons souvent par EMBED Equation au lieu de EMBED Equation le terme représentant l'élément de la ligne i et de la colonne j. On utilisera ainsi la convention de notation o-li-ba-co (haut=ligne, bas=colonne). Nous écrirons donc :
EMBED Equation
Pour l'expression du déterminant, on aura :
EMBED Equation
Avec ces notations, le produit de deux matrices s'exprime très facilement :
EMBED Equation
En particulier, si les deux matrices sont inverses l'une de l'autre, le produit doit nous donner la matrice identité :
EMBED Equation
On voit ainsi apparaître le symbole de KRONECKER :
EMBED Equation
On peut pressentir la résolution d'un système :
EMBED Equation
Le calcul du déterminant permet de faire apparaître le pseudo-tenseur de LEVI-CIVITA appelé parfois le deuxième symbole de KRONECKER :
EMBED Equation
avec : EMBED Equation
En fait on peut obtenir aussi des écritures intéressantes en faisant intervenir les cofacteurs des éléments de la matrice A. En notant EMBED Equation (EMBED Equation ) le cofacteur de EMBED Equation , on a :
EMBED Equation
Si le déterminant de la matrice A est non nul, on peut retrouver les éléments de la matrice B inverse de A :
EMBED Equation
La valeur du déterminant devient :
EMBED Equation
Application aux formes quadratiques
Considérons la forme quadratique, à coefficients symétriques (EMBED Equation ), définie par :
EMBED Equation
Les termes EMBED Equation sont des constantes scalaires, et les EMBED Equation sont des variables scalaires à produits commutatifs. Cette commutativité permet d'écrire tout terme du type EMBED Equation comme la somme EMBED Equation .
Le calcul de la différentielle de la forme quadratique nous donne :
EMBED Equation
En jouant sur la permutation des indices muets et la symétrie de la forme quadratique, on peut écrire :
EMBED Equation
Ce qui nous donne :
EMBED Equation
On peut ainsi obtenir la dérivée partielle de la forme quadratique par rapport à la variable EMBED Equation :
EMBED Equation
La notation de cette dérivée partielle peut être aussi abrégée :
EMBED Equation
Le calcul précédent permet de retrouver l'identité d'Euler pour les fonctions homogènes de degré 2 :
EMBED Equation
Espaces vectoriels affines. Espaces vectoriels métriques
Les propriétés des tenseurs seront très différentes suivant la nature des espaces dans lesquels ils seront définis. L'usage impose de distinguer deux cas : l'espace vectoriel affine et l'espace métrique qui contient les espaces vectoriels euclidien. La distinction est importante car si certaines formules tensorielles prennent des formes simples dans un espace euclidien, il est parfois nécessaire d'employer des espaces vectoriels affines.
Espaces vectoriels affines
Dans ce type d'espace, on admet les postulats qui permettent de définir des vecteurs. L'espace à n dimensions comportera n axes de coordonnées ayant à priori chacun une unité particulière. Un vecteur arbitraire EMBED Equation sera représenté par ses composantes EMBED Equation suivant les différents axes sur lesquels nous aurons au préalable défini des unités EMBED Equation .
EMBED Equation
La longueur absolue du vecteur EMBED Equation ne peut pas être définie puisqu'il n'y a aucune commune mesure entre les différentes composantes EMBED Equation . La distance de deux points ne peut pas être mesurée.
De prime abord, ces notions surprennent et on comprend mal l'utilité de ce type d'espace. Toutefois en physique on fait souvent usage de figures ou de diagrammes tracés en géométrie affine.
En thermodynamique par exemple, on trace des diagrammes d'états faisant intervenir les variables pression, volume et température. Pour le mécanicien, la loi de comportement d'un matériau peut parfois être représenté dans un espace affine des variables contraintes et déformations.
Dans un espace affine, c'est une pure convention que de tracer des axes orthogonaux. En effet, si on ne peut pas définir une longueur, il est impossible de parler d'angle.
Dans ce type d'espace, une fonction EMBED Equation se représentera par une courbe. Mais, suivant les conventions d'unités et d'axes, cette courbe se déformera. Par contre certaines relations conserveront un sens invariant. Ainsi en thermodynamique, une loi d'évolution d'un gaz peut être représentée dans le diagramme de Clapeyron (pression, volume). Ce diagramme représente évidemment un espace affine, mais pour une évolution quelconque, le produit des variables pression-volume représente une énergie qui doit être indépendante du mode de représentation utilisé.
C'est en jouant sur cette notion importante d'invariant que le mécanicien trouve certaines formules de loi de comportement d'un matériau.
Espaces vectoriels métriques
En géométrie métrique, on ajoute une condition supplémentaire, qui permet de définir la distance entre deux points ou la longueur d'un vecteur. Dans le cas le plus simple, celui de l'espace euclidien, on se défini un repère orthogonal, dont les vecteurs ont tous un même module égal à une unité choisie arbitrairement. On peut ensuite construire une infinité d'autres repères rectilignes ou curvilignes, au moyen d'un changement de coordonnées. Dans ce changement, toute longueur doit rester invariante. Bien entendu, la notion de longueur permettra ensuite de définir la notion d'angle.
Le problème associé à l'algèbre tensorielle, c'est que nous ne commençons pas par ce type de géométrie, contrairement à ce qui est fait en géométrie élémentaire. Cette algèbre tensorielle, bien plus générale que la petite géométrie d'arpentage a la prétention de devenir la géométrie générale de la physique, en généralisant les phénomènes physiques.
Espaces vectoriels mixtes
Entre les deux cas purs (affine et métrique), il convient de noter qu'il existe des espaces mixtes, qui seraient affines vis-à-vis de certaines coordonnées et métriques pour d'autres. Ainsi la représentation d'une répartition de pression sur une surface peut être représentée dans un espace EMBED Equation . Cet espace est métrique dans le plan EMBED Equation mais pas dans les autres plans.
Algèbre tensorielle en espace affine
Contravariance
Soit EMBED Equation.3 un espace vectoriel de dimension n sur un corps K de scalaires. Dans la suite du cours, nous considérerons que la dimension de En est finie et que le corps K est commutatif.
Dans ce chapitre, nous supposerons que EMBED Equation.3 est doté simplement d'une structure affine. C'est-à-dire que , outre l'égalité, les seules relations envisagées entre les éléments de EMBED Equation.3 seront l'addition et la multiplication par un scalaire.
Soit EMBED Equation une base de EMBED Equation.3 . Un vecteur EMBED Equation quelconque de EMBED Equation.3 est alors une combinaison linéaire des vecteurs de la base :
EMBED Equation
Soit EMBED Equation une nouvelle base de EMBED Equation.3 . On aura alors de nouvelles composantes pour EMBED Equation :
EMBED Equation
D'autre part, la nouvelle base est reliée à l'ancienne par les formules de changement de base et la matrice A associée :
EMBED Equation
Ce qui nous donne :
EMBED Equation
Mais de plus la matrice de changement de base est inversible et on peut lui associer son inverse B :
EMBED Equation
On aura donc :
EMBED Equation et EMBED Equation
Les formules précédentes amènent la remarque suivante :
Alors que la nouvelle base a été définie en fonction de l'ancienne à l'aide des éléments de la matrice A, les nouvelles composantes du vecteur s'expriment en fonction des anciennes à l'aide de la matrice inverse B.
On exprime ce fait en disant que les composantes d'un vecteur de EMBED Equation.3 sont contravariantes dans un changement de base sur cet espace. On dit qu'un vecteur de EMBED Equation.3 est un tenseur contravariant du premier ordre sur EMBED Equation.3 .
Remarque : Pour plus de clarté dans les formules, nous avons employé des lettres majuscules pour tout ce qui se rapporte au second système de coordonnée, même pour les indices. Il est évident que ce genre de notation ne pourra être maintenu dans la suite où nous pourrons être amené à considérer plusieurs changements de base consécutif.
Forme linéaire et covariance
Dans le chapitre portant les espaces vectoriels nous avons défini les applications linéaires.
Nous appellerons forme linéaire toute application linéaire de EMBED Equation.3 sur le corps des scalaires K.
Une telle forme linéaire est donc un opérateur du type :
EMBED Equation
La notion de linéarité imposant :
EMBED Equation
On obtient donc dans une base EMBED Equation :
EMBED Equation
On constate que EMBED Equation apparaît comme une combinaison linéaire des EMBED Equation . Toutefois, d'après sa définition, l'expression EMBED Equation représente un scalaire intrinsèque, c'est à dire indépendant de la base EMBED Equation utilisée dans EMBED Equation.3 .
De fait, un changement de base EMBED Equation nous conduit aux relations :
EMBED Equation avec EMBED Equation
On obtient aussi :
EMBED Equation
Ces formules nous montrent que les coefficients EMBED Equation de notre forme linéaire varient dans le même sens que les vecteurs de base dans un changement de base. Nous dirons qu'ils sont covariants dans un changement de base.
On peut remarquer la notation employée. Arbitrairement, les vecteurs de base sont notés avec des indices inférieurs. Les vecteurs contravariants ont donc des indices supérieurs, alors que les coefficients covariants sont notés aces des indices inférieurs. Ce type de notation est celui que nous allons employer dans la suite.
Espace dual
Considérons l'ensemble des formes linéaires sur EMBED Equation.3 . Nous admettons que muni des lois de composition suivantes, cet ensemble est un espace vectoriel :
Addition de deux formes linéaires EMBED Equation
Produit d'une forme linéaire par un scalaire EMBED Equation
On admet la notion d'égalité entre deux formes linéaires :
EMBED Equation
On aura en particulier la forme nulle :
EMBED Equation
L'ensemble des formes linéaires sur K est un espace vectoriel appelé espace dual de EMBED Equation.3 noté EMBED Equation.3 .
Recherche d'une base de EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 étant un espace vectoriel, on peut toujours définir une base de cet espace vectoriel. Toutefois nous allons rechercher une base particulière de EMBED Equation.3 présentant des propriétés simples et rendant les calculs plus commodes.
Considérons comme éléments particuliers de EMBED Equation.3 les n formes linéaires définies par :
EMBED Equation
On démontre sans difficulté que pour toute forme linéaire f on a :
EMBED Equation
De plus la suite EMBED Equation est libre. De fait elle constitue une base de EMBED Equation.3 . Ce qui nous amène aux conclusions suivantes :
L'espace EMBED Equation.3 dual de EMBED Equation.3 a la même dimension que EMBED Equation.3 .
Il admet la base EMBED Equation appelée base duale de la base EMBED Equation de EMBED Equation.3 .
Les coefficients d'une forme linéaire f, relativement à la base EMBED Equation de EMBED Equation.3 ne sont que les composantes de f suivant la base EMBED Equation de EMBED Equation.3 .
Dual de l'espace dual
En recherchant l'espace vectoriel dual de l'espace vectoriel EMBED Equation.3 , on obtient un espace vectoriel de dimension n qui par correspondance peut être assimilé à l'espace vectoriel EMBED Equation.3 lui-même. La dualité est une relation réciproque. Dans la dualité, la covariance devient la contravariance si nous adoptons EMBED Equation.3 au lieu de EMBED Equation.3 comme espace initial. Il est alors évident que les notions de variance seront étroitement dépendantes de l'espace vectoriel initial.
Multiplication tensorielle
Soient EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 deux espaces vectoriels, distincts ou non, de dimensions finies n et m sur le même corps commutatif K de scalaires.
On rappelle que l'ensemble des couples EMBED Equation tels que EMBED Equation et EMBED Equation est noté En SYMBOL 180 \f "Symbol" E'm.
On appelle produit tensoriel de EMBED Equation.3 par EMBED Equation.3 et on le note EMBED Equation.3 , un troisième espace vectoriel de dimension nm sur le corps K muni d'une application de EMBED Equation.3 dans EMBED Equation.3 satisfaisant aux propriétés ci-après :
* La multiplication tensorielle est distributive, à droite comme à gauche, par rapport à l'addition .
* La multiplication tensorielle est associative avec la multiplication par un scalaire.
* Si p vecteurs EMBED Equation sont linéairement indépendants et si q vecteurs EMBED Equation le sont aussi, alors les produits EMBED Equation.3 sont linéairement indépendants.
A partir d'une telle loi de composition, il est possible d'établir une table d'opération. Considérons EMBED Equation [resp. EMBED Equation ] une base de EMBED Equation.3 [resp. de EMBED Equation.3 ]. D'après la troisième propriété, on obtient une base de EMBED Equation.3 en formant les nm produits : EMBED Equation avec i = 1,2, ... , n et j = 1,2, ... , m
Cette base EMBED Equation est appelée base associée dans EMBED Equation.3 aux basesEMBED Equation de EMBED Equation.3 et EMBED Equation de EMBED Equation.3 .
L'élément générique de EMBED Equation.3 est défini par :
EMBED Equation
Propriétés
1- Avec les propriétés de définition, on peut dire que la multiplication tensorielle des éléments de EMBED Equation.3 par les éléments de EMBED Equation.3 est une application bilinéaire de EMBED Equation.3 dans EMBED Equation.3 .
Attention, il faut bien distinguer une application dans EMBED Equation.3 et non pas une application sur EMBED Equation.3 . En effet, dans le cas général on ne peut pas associer un couple EMBED Equation de EMBED Equation.3 à tout élément EMBED Equation de EMBED Equation.3 . Ceci nous conduirait à rechercher n+m inconnues EMBED Equation par partir de nm équations EMBED Equation .
Ainsi l'ensemble des produits EMBED Equation n'est en général qu'une partie de EMBED Equation.3 . On dit que les EMBED Equation sont les éléments décomposés de EMBED Equation.3 .
2- Le produit tensoriel de deux vecteurs n'est pas commutatif en général. Considérons en effet la multiplication tensorielle d'un élément de EMBED Equation.3 par un élément de EMBED Equation.3 . Il faut tout d'abord noter que le problème de la commutativité ne peut se poser que si les deux espaces sont identiques. Dans ce cas, le produit EMBED Equation est distinct du produit EMBED Equation puisque les deux éléments EMBED Equation et EMBED Equation appartiennent à une base de EMBED Equation.3 .
Définition générale des tenseurs
On remarque que la définition de la multiplication tensorielle permet un calcul en cascade. En effet la multiplication tensorielle de deux espaces vectoriels EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 nous donne un troisième espace vectoriel EMBED Equation.3 . Ce dernier peut à nouveau servir à la définition d'un espace vectoriel EMBED Equation.3 à partir d'un espace vectoriel EMBED Equation.3 . On imagine aisément la généralisation qui peut être faite.
Toutefois, afin d'éviter des difficultés complémentaires, nous imposerons une quatrième propriété à la multiplication tensorielle.
La multiplication tensorielle des éléments de plusieurs espaces vectoriels est associative.
Pour assurer cette associativité, il suffit de se l'imposer sur les vecteurs de base.
EMBED Equation
On peut donc maintenant donner une définition générale des tenseurs.
Nous appellerons tenseurs sur EMBED Equation.3 , tout élément de l'espace vectoriel EMBED Equation.3 .
L'expression générale de ces tenseurs est donc :
EMBED Equation
Les termes EMBED Equation représentent les composantes de EMBED Equation suivant la base EMBED Equation . Il est évident que ces composantes sont fonctions des bases.
Considérons les changements de base suivants :
EMBED Equation
Dans la nouvelle base, les composantes EMBED Equation du tenseur EMBED Equation sont définies par la notion d'invariance de ce tenseur dans tous changement de base :
EMBED Equation
On peut alors en déduire les relations fondamentales suivantes :
EMBED Equation
En fait, en général, les tenseurs employés sont plus restrictifs car ils ne sont définis qu'à partir d'un espace vectoriel EMBED Equation.3 et de son dual EMBED Equation.3 .
On appelle tenseur d'ordre p sur EMBED Equation.3 tout tenseur sur un produit de p espaces vectoriels dont chacun est identique à EMBED Equation.3 ou à son dual EMBED Equation.3 .
Ce tenseur est dit affine si l'espace vectoriel EMBED Equation.3 est dotée d'une structure affine.
Les conventions de notation pour un tenseur EMBED Equation de l'espace vectoriel EMBED Equation sont les suivantes :
- Tous les facteurs EMBED Equation.3 du produit EMBED Equation seront rapportés à une même base EMBED Equation .
- Tous les facteurs EMBED Equation.3 du produit EMBED Equation seront rapportés à une même base duale EMBED Equation .
Ainsi à toute base EMBED Equation de EMBED Equation.3 correspond une base EMBED Equation de EMBED Equation . Nous dirons que les composantes de EMBED Equation suivant cette base sont les composantes de EMBED Equation suivant la base EMBED Equation .
Ces composantes seront notées EMBED Equation . Un indice supérieur (resp. inférieur) correspondra donc à chaque facteur de base pris dans EMBED Equation.3 (resp. EMBED Equation.3 ) et les rangs latéraux des indices reproduiront l'ordre des facteurs de base correspondants.
Exemples
1- Considérons que EMBED Equation.3 soit en fait EMBED Equation.3 . L'ensemble des formes linéaires sur EMBED Equation.3 est l'espace vectoriel dual EMBED Equation.3 . Avec une seule multiplication tensorielle, nous pouvons faire apparaître quatre espaces vectoriels dont la dimension est 9 :
EMBED Equation.3
2- Un élément de EMBED Equation sera noté :
EMBED Equation
Changement de base
Un changement de base est défini par les relations suivantes :
EMBED Equation
Dans l'exemple ci-dessus, les nouvelles composantes du tenseur EMBED Equation sont :
EMBED Equation
Ce qui nous donne :
EMBED Equation
Les formules précédentes montrent bien l'intérêt d'une notation qui de prime abord semble un peu lourde.
Réciprocité
Inversement donnons-nous à priori une suite EMBED Equation de EMBED Equation.3 composantes de EMBED Equation.3 .
Nous dirons que cette suite est tensorielle sur EMBED Equation.3 si ce sont les composantes d'un tenseur, autrement dit si EMBED Equation est un élément intrinsèque de EMBED Equation .
En fait, on peut traduire la tensorialité par l'affirmation suivante :
Pour qu'une suite EMBED Equation de EMBED Equation.3 composantes de EMBED Equation.3 soit tensorielle sur cet espace, il faut et il suffit que le changement de base
EMBED Equation
la transforme en une suiteEMBED Equation telle que :
EMBED Equation
On peut donc remarquer qu'il existe une correspondance biunivoque entre les tenseurs sur EMBED Equation.3 et les suites tensorielles sur cet espace. Pratiquement nous ne distinguerons pas le tenseur EMBED Equation de la suite tensorielle EMBED Equation et on notera EMBED Equation en sous-entendant la référence à la base EMBED Equation .
Exemples fondamentaux
1- Tenseur de KRONECKER
Noté EMBED Equation ou encore EMBED Equation (et donc tout simplement EMBED Equation ), le symbole de KRONECKER est tensoriel sur tout espace vectoriel EMBED Equation.3 . Le tenseur associé dont les composantes suivant une base particulière EMBED Equation sont EMBED Equation , est très caractéristique car les composantes sont indépendantes de la base utilisée. En effet, dans une autre base EMBED Equation , les composantes de ce tenseur sont :
EMBED Equation
2- Attention, noté EMBED Equation ou encore EMBED Equation , le symbole de KRONECKER n'est pas tensoriel.
3- Dans le même ordre d'idée, il faut noter que les coefficients EMBED Equation d'un changement de base ne sont pas tensoriels. La première caractéristique d'une suite tensorielle est de n'être fonction que d'une seule base. La suite EMBED Equation est fonction du couple de base EMBED Equation .
4- Considérons la suite EMBED Equation des neuf produits scalaires des vecteurs de la base EMBED Equation de EMBED Equation.3 :
EMBED Equation
Cette suite est symétrique car on a :
EMBED Equation
Cette suite tensorielle constitue la suite des composantes d'un tenseur appartenant à EMBED Equation.3 appelé le tenseur fondamental sur EMBED Equation.3 .
En géométrie, son importance est capitale, car la connaissance des neuf produits scalaires EMBED Equation détermine les longueurs des vecteurs de base et les angles qu'ils font deux à deux.
Si on admet que le produit scalaire est une forme linéaire sur EMBED Equation.3 , on peut alors introduire les composantes covariantes des vecteurs de EMBED Equation.3 . Elles sont définies par :
EMBED Equation
On peut alors exprimer le produit scalaire de deux vecteurs quelconques :
EMBED Equation
Ainsi, pour obtenir le produit scalaire de deux vecteurs, il suffit de multiplier les composantes covariantes d'un vecteur par les composantes contravariantes de l'autre vecteur et de faire la somme de ces produits.
5- Un tenseur d'ordre p sur EMBED Equation.3 est apparu comme défini par une suite de EMBED Equation.3 composantes. En étendant cette notion à p=0, on obtient un être à une seule composante, sans variance, qu'on appelle un scalaire intrinsèque.
Pour la généralité de certains énoncés, il sera effectivement utile d'assimiler les scalaires intrinsèques aux tenseurs d'ordre 0.
Tenseurs symétriques ou antisymétriques
On remarque, sur un tenseur d'ordre deux, que l'égalité EMBED Equation avec EMBED Equation est invariante pour tout changement de base. C'est une propriété intrinsèque à la suite tensorielle.
Si EMBED Equation , on dit que le tenseur est symétrique et si EMBED Equation on dit que le tenseur est antisymétrique.
Ces notions de symétrie et d'antisymétrie peuvent être généralisées à des tenseurs d'ordre supérieur à deux. L'observation vaut alors pour des symétries ou des antisymétries partielles, c'est à dire portant sur la transposition de deux indices particuliers, pourvu que ces deux indices soient à la même hauteur.
Ainsi le tenseur suivant est symétrique
EMBED Equation
En particulier, si un tenseur est complètement contravariant (ou complètement covariant), il se peut que toute transposition de deux indices change la composante correspondante en elle-même (resp. en son opposée). On dira alors que le tenseur est complètement symétrique (resp. complètement antisymétrique).
Opérations sur les tenseurs
Egalité de deux tenseurs
En toute rigueur, un tenseur est égal à un autre s'il est le même élément d'un espace. Ainsi l'égalité ne peut être envisagée qu'entre tenseurs du même type, c'est à dire des tenseurs associés au même espace vectoriel EMBED Equation.3 et présentant le même nombre et la même disposition des indices.
Nous dirons que deux tenseurs sont égaux si toutes leurs composantes homologues dans une base tensorielle sont égales.
Nous pourrons donc désigner plusieurs tenseurs sous la même notation.
Ce qui nous donne pour les tenseurs suivants :
EMBED Equation
EMBED Equation
En particulier, le tenseur EMBED Equation.3 sera nul si et seulement si toutes ses composantes dans une base sont nulles.
On peut remarquer le caractère intrinsèque de cette notion d'égalité.
Opérations linéaires
Soient encore EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 deux tenseurs du même type, éléments de EMBED Equation , donnés par :
EMBED Equation
A priori, l'élément défini par EMBED Equation , avec EMBED Equation et EMBED Equation deux scalaires intrinsèques, est un élément de EMBED Equation :
EMBED Equation
Donc, si EMBED Equation et EMBED Equation sont les suites de composantes de deux tenseurs EMBED Equation et EMBED Equation du même type, et si EMBED Equation et EMBED Equation sont deux scalaires intrinsèques, alors la suite EMBED Equation telle que
EMBED Equation
Est une suite tensorielle. C'est la suite des composantes du tenseur EMBED Equation
Produit tensoriel de deux tenseurs
Considérons à présent deux tenseurs EMBED Equation et EMBED Equation non nécessairement du même type. Par exemple :
EMBED Equation et EMBED Equation
Dans la multiplication de EMBED Equation par EMBED Equation , il leur correspond ( du fait de l'associativité de la multiplication tensorielle) un élément de EMBED Equation qui est :
EMBED Equation
Donc, si EMBED Equation et EMBED Equation sont les suites de composantes de deux tenseurs EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 , la suite EMBED Equation telle que EMBED Equation
est tensorielle; c'est la suite des composantes du tenseur EMBED Equation .
L'ordre du nouveau tenseur ainsi défini est égal à la somme des ordres des deux tenseurs générateurs.
Contraction d'un tenseur mixte
Considérons un tenseur mixte, par exemple EMBED Equation .
On dit que l'on contracte le tenseur EMBED Equation en k et m quand, pour tout choix des autres indices, on fait la somme des composantes où k=m.
On obtient ainsi une nouvelle suite de composantes :
EMBED Equation
On peut, sans difficultés, démontrer la tensorialité de cette suite de composante.
On dit que le tenseur EMBED Equation est le tenseur contracté, en k et m, du tenseur EMBED Equation .
On constate que toute contraction d'un tenseur mixte ampute ce tenseur à la fois d'une covariance et d'une variance. Ainsi, à partir d'un tenseur mixte d'ordre p, la contraction nous donne un tenseur d'ordre p-2 qui d'ailleurs, n'est pas nécessairement mixte.
En particulier, si un tenseur d'ordre 2p est p fois covariant et p fois contravariant, p contractions successives nous permettrons d'atteindre un tenseur d'ordre zéro, c'est à dire un scalaire intrinsèque.
Remarque Si la suite tensorielle EMBED Equation peut être considérée comme celle des éléments de la matrice associée à un opérateur, la contraction EMBED Equation donne la somme des éléments diagonaux, qu'on appelle trace de la matrice. On retrouve ainsi que la trace est invariante par changement de base.
Multiplication contractée
En combinant la contraction à la multiplication tensorielle, on peut définir la multiplication contractée.
Par exemple, EMBED Equation et EMBED Equation étant des tenseurs, on peut former les tenseurs suivants :
EMBED Equation
Mais on peut écrire directement :
EMBED Equation
On pourra bien entendu effectuer plusieurs contractions simultanément, les indices associés étant ou non dans le même tenseur.
Critère de tensorialité
Pour savoir si une suite est tensorielle, on peut étudier sa transformation par changement de base. Il est cependant souvent plus rapide d'appliquer un critère de tensorialité que nous admettrons.
Pour qu'une suite de composantes EMBED Equation soit tensorielle il faut et il suffit que, pour tout choix du vecteur EMBED Equation , la suite EMBED Equation soit tensorielle.
Mais on peut aussi faire apparaître des contractions plus élevées.
Pour qu'une suite de composantes, à p indices supérieurs et q indices inférieurs, soit tensorielle, il faut et il suffit que son produit complètement contracté par p formes linéaires et q vecteurs soit un scalaire intrinsèque, quelque soit le choix des p formes linéaires et des q vecteurs.
En réalité, il n'est pas indispensable d'effectuer la contraction sur tous les indices, mais la première forme du critère de tensorialité est rarement employée car en général il est souhaitable que la nouvelle suite obtenue par contraction soit la plus simple possible. C'est pourquoi on a recours à la contraction maximum.
Exemple
On veut tester la suite EMBED Equation associée à un opérateur C qui transforme tout vecteur EMBED Equation de EMBED Equation.3 en un autre vecteur EMBED Equation de EMBED Equation.3 (EMBED Equation )
Nous avons donc la contraction complète d'une suite tensorielle EMBED Equation à un seul indice avec la suite EMBED Equation . Mais, pour toute suite EMBED Equation nous obtenons une suite EMBED Equation tensorielle car c'est la suite des composantes d'un vecteur de EMBED Equation.3 . On en déduit que EMBED Equation est une suite tensorielle.
Cette démonstration est plus rapide que l'étude des changements de base effectuée plus haut.
Remarque
Il arrive parfois qu'on utilise pour la démonstration des suites annexes obtenues par les composantes d'un déplacement infinitésimal dans l'espace. Bien entendu ces vecteurs infinitésimaux ne constituent pas tous les vecteurs de EMBED Equation.3 mais comme on peut établir une bijection entre les vecteurs infinitésimaux et les vecteurs finis à l'aide d'une constante EMBED Equation.3 infinitésimale, la démonstration reste valable.
Algèbre tensorielle en espace métrique
Les propriétés très générales de l'espace affine resteront évidemment valables lorsque nous choisirons une métrique, c'est à dire lorsque nous fixerons à tous les vecteurs de base une commune mesure. En partant d'un repère orthogonal, dont les vecteurs de base ont tous un même module, on peut construire une infinité d'autres repères rectilignes ou curvilignes, au moyen d'un changement de coordonnées, changement au cours duquel toute longueur doit rester invariable. La notion de longueur permettra ensuite de définir la notion d'angle.
Produit scalaire
Soit EMBED Equation.3 un espace vectoriel sur un corps K de scalaires. Nous allons enrichir sa structure et le rendre métrique en définissant une nouvelle loi de composition qui sera appelée la multiplication scalaire.
Toutes les multiplications scalaires ont un point commun : à tous couples de vecteurs EMBED Equation de EMBED Equation.3 elles associent un produit scalaire qui donne un scalaire intrinsèque noté EMBED Equation .
Le produit scalaire possède les 4 propriétés suivantes :
* commutativité de la multiplication scalaire EMBED Equation
*associativité de la multiplication scalaire par un scalaire EMBED Equation
*distributivité par rapport à l'addition EMBED Equation
*si EMBED Equation pour tout EMBED Equation , alors EMBED Equation
A partir de quatre axiomes, il est facile d'expliciter la multiplication scalaire. On associe une base EMBED Equation à l'espace vectoriel EMBED Equation.3 . On peut alors écrire:
EMBED Equation
Ce qui nous donne pour l'expression de la multiplication scalaire :
EMBED Equation
Soit :
EMBED Equation avec EMBED Equation
On remarque donc que tous les produits scalaires seront définis à partir des produits scalaires des vecteurs de base.
Le tenseur fondamental
D'après la commutativité, on a nécessairement : EMBED Equation
D'autre part, la quatrième propriété du produit scalaire nous permet d'écrire :
EMBED Equation
Autrement dit, le système des n équations EMBED Equation aux n inconnues EMBED Equation n'admet que la solution EMBED Equation . Pour cela, il faut et il suffit que la matrice des EMBED Equation soit régulière et que son déterminant soit non nul.
Réciproquement, si nous nous donnons arbitrairement EMBED Equation.3 scalaires EMBED Equation tels que :
EMBED Equation et EMBED Equation
il est immédiat de vérifier que la loi de multiplication définie par
EMBED Equation pour EMBED Equation et EMBED Equation satisfait aux quatre axiomes.
En conclusion, il existe effectivement une loi de multiplication scalaire satisfaisant aux quatre propriétés. On peut se la définir en se donnant arbitrairement, pour une base EMBED Equation , les EMBED Equation.3 produits scalaires :
EMBED Equation tels que EMBED Equation et EMBED Equation
Les EMBED Equation sont les composantes deux fois covariantes d'un tenseur sur EMBED Equation.3 que nous noterons EMBED Equation.3 et que nous appelerons le tenseur fondamental sur EMBED Equation.3 .
On appelle forme bilinéaire fondamentale de EMBED Equation.3 l'expression explicite EMBED Equation du produit scalaire du couple de vecteur générique.
On appelle forme quadratique fondamentale l'expression correspondante du carré scalaire de son vecteur générique : EMBED Equation
Il est à noter qu'il suffit de se donner cette dernière forme pour définir complètement les EMBED Equation et par conséquent la loi de composition scalaire sur EMBED Equation.3 .
Enfin, la matrice des EMBED Equation étant régulière, elle est inversible et nous noterons EMBED Equation les éléments symétriques de sa matrice inverse. Nous pourrons donc écrire :
EMBED Equation
Changement de bases
Considérons une nouvelle base EMBED Equation . On peut bien entendu définir les produits scalaires des vecteurs de cette base :
EMBED Equation
Mais on peut aussi calculer ces produits scalaires en fonction des produits scalaires des vecteurs de la base EMBED Equation et de la matrice de changement de base. Le résultat est :
EMBED Equation
De même pour le tenseur fondamental inverse, on a :
EMBED Equation
On peut aussi calculer le déterminant de la matrice des EMBED Equation que l'on appellera le déterminant de tenseur fondamental :
EMBED Equation
Dans le changement de base caractérisé par une matrice EMBED Equation de déterminant EMBED Equation nous obtiendrons la formule suivante :
EMBED Equation
Ce déterminant n'est pas conservé dans le changement de base, mais son signe reste indépendant de la base.
Composantes covaraintes et contravariantes d'un tenseur
Composantes covariantes d'un vecteur
Soit EMBED Equation un vecteur générique de EMBED Equation.3 . Quand on forme ses produits scalaires avec les vecteurs de base, on obtient :
EMBED Equation
Cette dernière entité, que l'on notera EMBED Equation , est appelée la EMBED Equation.3 composante covarainte du vecteur EMBED Equation dans la base EMBED Equation .
Tout vecteur EMBED Equation de l'espace EMBED Equation.3 muni du produit scalaire peut être défini par ses composantes contravariantes EMBED Equation (avec EMBED Equation ) ou par ses composantes covariantes EMBED Equation (avec EMBED Equation ). Les liens existants sont :
EMBED Equation et EMBED Equation
L'introduction des composantes covariantes permet de varier les expressions du produit scalaire de deux vecteurs :
EMBED Equation
Cette relation nous permet d'affirmer que la suite EMBED Equation est tensorielle.
Composantes contravariantes d'une forme linéaire
De même que pour le vecteur, on peut considérer un élément générique de EMBED Equation , c'est-à-dire une forme linéaire définie par :
EMBED Equation
Du fait de la tensorialité de la suite EMBED Equation , le terme EMBED Equation est un tenseur contravariant qui caractérise la forme linéaire.
Toute forme linéaire EMBED Equation de l'espace EMBED Equation.3 muni du produit scalaire peut être définie par ses composantes covariantes EMBED Equation (avec EMBED Equation ) ou par ses composantes contravariantes EMBED Equation . Les liens existants sont :
EMBED Equation et EMBED Equation
On remarque donc la forte analogie existante entre les vecteurs, éléments de l'espace vectoriel EMBED Equation.3 , et les formes linéaires, éléments de l'espace vectoriel dual EMBED Equation . Cette analogie permet aussi de réaliser les changements d'espace vectoriel. Ainsi les relations précédents permettent d'identifier la forme linéaire EMBED Equation à un vecteur EMBED Equation de composantes covariantes EMBED Equation . On pourra ainsi écrire pour tout vecteur EMBED Equation de EMBED Equation.3 :
EMBED Equation
Cette relation montre bien que l'on peut confondre le vecteur EMBED Equation et l'application linéaire EMBED Equation .Ainsi un élément d'une base EMBED Equation doit pouvoir s'identifier à un élément d'une base EMBED Equation et vice-versa. On a :
EMBED Equation
Ce qui nous donne les relations fondamentales suivantes :
EMBED Equation et EMBED Equation
Composantes d'un tenseur
On peut dons constater la confusion entre l'espace vectoriel EMBED Equation.3 et son dual EMBED Equation . On en déduit que tous le tenseurs du même ordre p sur EMBED Equation.3 ne forment plus qu'un espace vectoriel unique, dont tout élément peut être défini par des composantes de variances arbitraires. Ces tenseurs seront appelés tenseurs pré-euclidiens.
Ainsi nous avons pour un tenseur pré-euclidien d'ordre 3 :
EMBED Equation
Ce qui nous permet d'écrire :
EMBED Equation
De la même nous allons pouvoir écrire :
EMBED Equation
Mais ces relations sont encore valables pour le tenseur fondamental. On peut donc ainsi définir ses composantes mixtes :
EMBED Equation
Et ses composantes complètement contravariantes :
EMBED Equation
Ainsi, les EMBED Equation ne sont autre que les composantesEMBED Equation complètement contravariantes du tenseur fondamental lui-même.
On obtient donc une règle dite d'abaissement ou d'élévation d'indice.
Pour élever (resp. abaisser) un indice k, on le remplace par un indice muet h et on effectue le produit contracté par EMBED Equation (resp. par EMBED Equation ).
On peut ainsi remarquer qu'un tenseur pré-euclidien admet différents modes de représentation. Il est possible de regrouper tous les indices en position supérieure ce qui nous donnera alors l'expression contravariante du tenseur. L'expression covariante sera obtenue avec un tenseur ayant ses indices en position inférieur.
Opérations sur les tenseurs pré-euclidiens
La possibilité de déplacer les indices accroît le nombre des opérations possibles.
Ainsi l'égalité de deux tenseurs pourra se définir simplement à partir de l'instant où ils sont du même ordre. De même l'addition sera obtenue aussi sur des tenseurs de même ordre. Pour ce genre d'opération, il faut définir les deux tenseurs dans la même base. Les propriétés obtenues étant intrinsèques, elles seront vraies dans toutes autres bases, en particulier celle obtenue par déplacement vertical d'indice.
De la même, la multiplication tensorielle est compatible avec les déplacements verticaux d'indices.
Orthogonalisation des espaces vectoriels
Dans l'espace vectoriel pré-euclidien EMBED Equation.3 , deux vecteurs sont dits orthogonaux si leur produit scalaire est nul.
Cette relation, symétrique vis-à-vis des deux vecteurs, est encore vérifiée si l'un ou l'autre des deux vecteurs est nul. Autrement, elle subsiste si on remplace un vecteur par un vecteur parallèle. On dit donc que l'orthogonalité de deux vecteurs non nuls dépend seulement de leur "direction".
Une base est dite orthogonale si chacun de ses vecteurs est orthogonal à tous les autres.
Il est toujours possible de déterminer une telle base. Le processus de recherche d'une base orthogonale est appeler orthogonalisation de l'espace vectoriel.
Dans une base orthogonale, le carré scalaire d'un vecteur quelconque ne présente que des termes carrés. En effet si EMBED Equation est une base orthogonale, le tenseur fondamental associé défini par EMBED Equation doit être tel que EMBED Equation est nul si I est différent de J.
Ainsi dans la base orthogonale, la matrice EMBED Equation du tenseur fondamental est réduite à une forme diagonale. Toutefois, à priori, les termes EMBED Equation ne sont pas nécessairement tous positifs. En conséquence, il n'est pas toujours possible de donner une base orthonormée dans un espace vectoriel pré-euclidien.
Espaces vectoriels euclidiens.
Pour pouvoir toujours définir une base orthonormée, il suffit de modifier la quatrième propriété du produit scalaire:
si EMBED Equation pour tout EMBED Equation , alors EMBED Equation
La nouvelle propriété à prendre en compte est la suivante :
si EMBED Equation alors EMBED Equation
Avec cette nouvelle propriété, on dit que la forme quadratique fondamentale EMBED Equation est définie positive, c'est-à-dire strictement positive pour tout vecteur EMBED Equation non nul.
Norme d'un vecteur
A tout vecteur EMBED Equation de EMBED Equation.3 on peut associer un scalaire positif appelé norme du vecteur et défini par la racine carrée de son carré scalaire :
EMBED Equation
Les propriétés essentielles de la norme sont les suivantes :
* Inégalité de Schwarz
EMBED Equation
L'égalité n'est obtenue que si les vecteurs sont parallèles.
* Inégalité triangulaire
EMBED Equation
L'égalité n'est obtenue que si les vecteurs sont parallèles et de même sens.
Bases orthonormées d'un espace vectoriel euclidien
Dans un espace vectoriel euclidien EMBED Equation.3 , on appelle vecteur unitaire out vecteur de norme égale à l'unité. Les bases formées de vecteurs unitaires et deux à deux orthogonaux prennent le nom de bases orthonormées.
Les bases orthonormées sont celles qui réduisent la matrice du tenseur fondamental à la matrice unité.
Dans un changement de bases orthonormées, la matrice de changement de base est telle que son inverse est égal à sa transposée. On dit alors que c'est une matrice unitaire. Le déterminant d'une telle matrice est égal à plus ou moins un.
Dérivation en notation tensorielle
Volontairement, nous allons nous restreindre au formalisme de dérivation dans des bases fixes dans un premier temps.
Ainsi l'espace géométrique sera repéré à l'aide d'un système d'axes rectilignes valables en tout point de l'espace. La base EMBED Equation définie en un point appelé origine du système d'axes est indépendante des coordonnées d'un point M de l'espace. Les matrices de changement de base ne contiendront que des termes constants par rapport aux variables d'espaces.
Dérivées par rapport aux variables d'espaces
Position d'un point
L'espace est supposé être rapporté à un repère constitué des trois vecteurs formant une base EMBED Equation . Ces vecteurs sont définis en un point O appelé origine du système d'axes rectilignes. Un point M est alors repéré par les composantes du vecteur position EMBED Equation .
En tout point de l'espace on pourra définir des grandeurs physiques que nous appellerons champ et qui doit représenter des grandeurs intrinsèques.
On parlera ainsi de champ scalaire (pression, température, ...), de champ vectoriel (champ électrique, accélération de la pesanteur,...) ou de champ tensoriel (contraintes, déformations, ...).
Dérivée d'un scalaire
Un champ scalaire EMBED Equation est dérivable en un point M s'il admet en ce point trois dérivées partielles EMBED Equation par rapport aux variables d'espace EMBED Equation . On pourra alors définir la différentielle de EMBED Equation en M qui représente l'accroissement au premier ordre de EMBED Equation pour un déplacement infinitésimal intrinsèque :
EMBED Equation
Cette différentielle est un scalaire intrinsèque (tenseur d'ordre 0). D'autre part, EMBED Equation représente la composante contravariante d'un tenseur d'ordre 1 EMBED Equation .
On peut donc dire que EMBED Equation représente la composante covariante d'un tenseur 1.
Le tenseur de composante covariante EMBED Equation est le tenseur gradient du champ scalaire.
Dérivée d'un vecteur
On considère un vecteur déterminé par ses composantes contravariantes :
EMBED Equation
On peut alors définir la dérivée de ce vecteur :
EMBED Equation
Mais EMBED Equation est nul du fait que l'on utilise des coordonnées rectilignes indépendantes du point. On obtient ainsi :
EMBED Equation
De plus dans un changement de base de EMBED Equation vers EMBED Equation caractérisé par la matrice EMBED Equation et la matrice inverse EMBED Equation on aura :
EMBED Equation
EMBED Equation
Ce qui nous donne :
EMBED Equation
La formule précédente nous montre bien que EMBED Equation représente les composantes mixtes d'un tenseur du second ordre.
Dérivée d'un tenseur
Le calcul précédent peut très bien se généraliser à un tenseur d'ordre quelconque. Ainsi, à un tenseur d'ordre n, par dérivation nous pourrons lui associer un tenseur d'ordre n+1. Nous aurons par exemple pour un tenseur du quatrième ordre :
EMBED Equation
EMBED Equation
Attention Les formules précédentes ne sont valables que dans une base "fixe" c'est à dire indépendante des coordonnées de dérivation. Nous verrons par la suite des formules plus complètes permettant de prendre en compte la variation des vecteurs de bases avec les coordonnées.
Gradient, divergence, rotationnel
L'introduction des opérateurs classiques peut très bien se faire à partir d'un vecteur appelé Nabla. Ce vecteur est défini par :
EMBED Equation
On peut alors généraliser les notions de gradient, divergence et rotationnel pour des tenseurs d'ordre quelconque :
Gradient EMBED Equation produit tensoriel
Divergence EMBED Equation produit scalaire ou produit contracté
Rotationnel EMBED Equation produit vectoriel ou produit extérieur
Laplacien EMBED Equation divergence du gradient
Avec ces notations, on retrouve facilement les expressions indicielles des opérateurs dans un système de coordonnées rectilignes :
Divergence d'un vecteur
EMBED Equation
Rotationnel d'un vecteur
EMBED Equation
On peut aussi étendre les notions à des tenseurs d'ordre quelconque :
Gradient d'un vecteur EMBED Equation
On a donc un tenseur du second ordre que l'on peut représenter par ses composantes covariantes, mixtes ou contravariantes.
Divergences d'un tenseur
EMBED Equation
Ainsi, à partir d'un tenseur du second ordre, on obtient un tenseur du premier ordre, c'est à dire un vecteur.
Remarque
On a utilisé l'opérateur à gauche, ce qui nous a permis de définir une divergence à gauche :
EMBED Equation
Mais on pourrait de même définir une divergence à droite :
EMBED Equation
On constate que si le tenseur EMBED Equation.3 n'est pas symétrique par rapport à ses indices extrêmes, les deux divergences ne sont pas égales.
Coordonnées curvilignes
L'étude de certains phénomènes physiques peut être parfois délicate lorsque l'on veut constamment définir le vecteur position par rapport à un seul repère généralement rectiligne. On conçoit facilement que les problèmes de mise en forme en grandes déformations vont apporter des difficultés de positionnement.
De plus dans les espaces non euclidiens, il n'est pas possible de définir des coordonnées rectilignes. On doit alors impérativement utiliser des coordonnées curvilignes. Ainsi, pour définir la loi de variation de la pression à la surface de la terre, on ne peut pas définir deux axes rectilignes qui détermineraient un espace plan et non pas une sphère. On utilise alors comme coordonnées possibles la latitude et la longitude. Ce sont des coordonnées curvilignes.
Bases locales
Supposons l'espace déjà rapporté à un système de coordonnées rectilignes. A chaque point est associé une valeur et une seule du triplet EMBED Equation et réciproquement à chaque valeur de la suite EMBED Equation est associé un point et un seul.
Nous pouvons utiliser d'autres repérages des points M en remplaçant les EMBED Equation par d'autres suites EMBED Equation de trois paramètres. Pour qu'une telle suite permette de réaliser un repérage sans ambiguïté, il est nécessaire d'assurer une bijection entre les points M et les valeurs de cette suite. En fait cela revient à dire que chaque EMBED Equation devra être une fonction uniforme des EMBED Equation et vice versa. De plus pour des questions pratiques de calcul, nous imposerons aux EMBED Equation d'être des fonctions continues de M sauf en quelques points. Ainsi les EMBED Equation seront dérivables par rapport aux EMBED Equation . Nous pourrons écrire :
EMBED Equation
Les coordonnées EMBED Equation de M sont les coordonnées rectilignes (cartésiennes).
Les coordonnées EMBED Equation de M sont les coordonnées curvilignes.
Prenons un point M, de coordonnées rectilignes EMBED Equation obtenues en donnant aux coordonnées curvilignes des valeurs particulières. Par ce point passera une courbe caractérisée par EMBED Equation et EMBED Equation , c'est à dire une courbe pour laquelle EMBED Equation est la seule variable. Nous prendrons cette courbe comme ligne curviligne EMBED Equation . Nous pourrons bien entendu définir de la même façon deux autres lignes curvilignes. Les vecteurs de base des axes des coordonnées curvilignes sont définis par :
EMBED Equation
On définit ainsi une base locale en M EMBED Equation . Les vecteurs déterminent en fait une base tangente aux lignes de coordonnées curvilignes.
Il est à noter que cette base n'est pas nécessairement orthonormée.
Remarques
1- On a :
EMBED Equation
Il est évident que la base ainsi définie est dépendante du point M.
2- La relation vectorielle précédente est en fait une relation de changement de base du type :
EMBED Equation
Toutefois dans cette relation, les coefficients EMBED Equation ne sont plus constants, contrairement aux changements de bases rectilignes.
3- On peut inverser les relations précédentes. On obtient alors :
EMBED Equation
Symboles de CHRISTOFFEL
En coordonnées rectilignes, la tensorialité d'une suite a été introduite à partir de la notion de changement de base. On avait ainsi donnée la formule :
EMBED Equation
Supposons maintenant que la grandeur tensorielle EMBED Equation.3 soit intrinsèquement définie en tout point M de l'espace, ou d'un domaine de l'espace. On parlera alors d'un champ de tenseur. Par exemple la température et le champ magnétique, qu'on peut mesurer ou repérer aux différents points de l'espace, constituent respectivement un champ scalaire (tenseur d'ordre 0) et un champ vectoriel (tenseur d'ordre 1).
Pour pouvoir comparer les "valeurs" EMBED Equation et EMBED Equation du champ entre deux points différents, il est impératif de pouvoir comparer les deux bases définies en ces deux points. Nous allons ainsi introduire la variation des vecteurs la base curviligne en fonction du point.
On veut calculer :
EMBED Equation avec EMBED Equation
On obtient :
EMBED Equation
Mais de plus, les vecteurs de la base rectiligne sont reliés aux vecteurs de la base curviligne :
EMBED Equation
Ce qui nous donne :
EMBED Equation
On fait ainsi apparaître le symbole de Christoffel :
EMBED Equation
Propriétés :
1- Ce symbole est symétrique par rapport aux indices i et k.
EMBED Equation
2- On peut utiliser la méthode de montée et descente des indices :
EMBED Equation
3- On a : EMBED Equation
Mais on démontre que dans la base duale on obtient :
EMBED Equation
4- Pour le calcul des symboles de Christoffel, on peut soit reprendre la définition, soit utiliser la formule ci-après : EMBED Equation
5- Les symboles de Christoffel ne constituent pas une suite tensorielle.
La formule de changement de base est la suivante :
EMBED Equation
Dérivée covariante
Dérivée covariante d'un vecteur
Soit un vecteur A donné par ses composantes contravariantes dans une base curviligne :
EMBED Equation
On veut calculer la variation du vecteur par rapport à une des variables du système de coordonnée :
EMBED Equation
On obtient ainsi :
EMBED Equation
On fait donc apparaître un nouvel opérateur différentiel que l'on appelle la dérivée covariante du vecteur. Cette dérivée prend en compte la variation propre des composantes du vecteur EMBED Equation et les variations des vecteurs de base EMBED Equation .
A partir des formules précédentes, on peut écrire :
EMBED Equation
Dérivée covariante d'un tenseur du second ordre
On se donne un tenseur du second ordre par ses composantes contravariantes dans une base curviligne :
EMBED Equation
Calculons la variation de ce tenseur par rapport à l'une des variables :
EMBED Equation
Ce qui nous donne :
EMBED Equation
On peut ainsi exprimer la différentielle du tenseur :
EMBED Equation
Les relations précédentes font apparaître la suite indicielle suivante :
EMBED Equation
Dans le cas d'un tenseur donné par ses composantes mixtes, on a :
EMBED Equation
La différentielle EMBED Equation.3 d'un tenseur est la différence, à l'ordre 1, de deux tenseurs du même type. C'est donc un tenseur de ce type et la suite indicielle obtenue est par conséquent tensorielle.
Mais de plus on a :
EMBED Equation
Les termes EMBED Equation sont les composantes d'un tenseur d'ordre 1 (le vecteur EMBED Equation ). En conséquence la suite EMBED Equation est tensorielle. Elle définit un nouveau tenseur.
La suite EMBED Equation définit un nouveau tenseur contenant une variance de plus que le tenseur EMBED Equation.3 . Ce nouveau tenseur est appelé la dérivée covariante du tenseur EMBED Equation.3 . On le note souvent EMBED Equation .
La dérivée covariante d'un tenseur d'ordre n est un tenseur d'ordre n+1.
Il ne faut pas confondre la dérivée covariante d'un tenseur avec la différentielle du tenseur. Par exemple, pour un tenseur d'ordre 3, on a :
EMBED Equation
Théorème de RICCI: Les dérivées covariantes du tenseur fondamental sont toutes nulles, quel que soit le système de référence.
L'intérêt essentiel de ce théorème réside dans le fait qu'il rend permutable la dérivation covariante et le relèvement ou l'abaissement des indices. Ainsi on peut écrire :
EMBED Equation
Application à la dynamique.
Vitesse d'un mobile
Quand un mobile ponctuel M décrit une trajectoire dans l'espace, on peut repérer la position de ce mobile en paramétrant ses coordonnées en fonction du temps :
EMBED Equation
La vitesse du mobile par rapport à un repère est définie par le vecteur EMBED Equation où EMBED Equation est le déplacement de M dans la repère considéré pendant le temps EMBED Equation . Déterminons la vitesse de M par rapport à un repère fixe au cours du temps, c'est à dire un repère associé à un système de coordonnées (rectilignes ou curvilignes) mais qui reste immobile par rapport à l'observateur. Il ne faut pas confondre ce repère avec la base fixe (constante dans l'espace) d'un repère cartésien.
Ecrivons la vitesse en utilisant tout d'abord les coordonnées rectilignes :
EMBED Equation avec EMBED Equation
Les composantes de la vitesse sont les dérivées partielles par rapport au temps des coordonnées de M.
Calculons maintenant cette même vitesse par rapport au repère fixe, mais en utilisant les coordonnées curvilignes :
EMBED Equation avec EMBED Equation
On obtient donc :
EMBED Equation
Les composantes de cette vitesse sont encore les dérivées par rapport au temps des coordonnées de M. Cette propriété est due uniquement à la définition des vecteurs des coordonnées curvilignes.
Accélération du mobile
L'accélération dans le même repère est définie par EMBED Equation .
Dans les coordonnées rectilignes, on obtient :
EMBED Equation
Avec les coordonnées curvilignes :
EMBED Equation
Au cours du temps dt la base naturelle du point où se trouve le mobile varie :
EMBED Equation
Ce qui nous donne :
EMBED Equation
Les composantes de l'accélération sont donc :
EMBED Equation
Opérateurs gradient et divergence
Pour définir ces opérateurs dans un système de coordonnées curvilignes, on reprend, en le transformant, l'opérateur Nabla :
EMBED Equation
On obtient alors pour le gradient d'un vecteur :
EMBED Equation
Soit :
EMBED Equation
On retrouve ainsi la dérivée covariante :
EMBED Equation
En fait on montre qu'il est possible de transposer les formules démontrées en coordonnées rectilignes en remplaçant la dérivation EMBED Equation par une dérivation covariante EMBED Equation .
On a ainsi pour l'opérateur divergence :
EMBED Equation et EMBED Equation
EXERCICES sur les Tenseurs
Convention d'écriture
47- En adoptant la convention d'Einstein, a-t-on le droit d'écrire les formules suivantes ?
47-1 EMBED Equation
47-2 EMBED Equation
47-3 EMBED Equation
47-4 EMBED Equation
47-5 EMBED Equation
48- Les produits EMBED Equation étant commutatifs, démontrer l'égalité :
EMBED Equation
49- Résoudre l'équation :
EMBED Equation
50- Calculer les dérivées suivantes :
50-1 EMBED Equation 50-2 EMBED Equation
50-3 EMBED Equation 50-4 EMBED Equation
51- Calculer les dérivées partielles suivantes :
51-1 EMBED Equation 51-2 EMBED Equation
51-3 EMBED Equation 51-4 EMBED Equation
52- Soit EMBED Equation . Exprimer EMBED Equation
53- Soit EMBED Equation .. Calculer EMBED Equation
54- Ecrire la trace d'une matrice A en utilisant la convention d'Einstein.
Espaces affines. Espaces métriques
55- On considère l'espace vectoriel euclidien. On associe à cet espace une base cartésienne orthonormée directe EMBED Equation .
Soient EMBED Equation et EMBED Equation deux vecteurs de cet espace.
55-1 Exprimer en formulation indicielle le produit scalaire et le produit vectoriel de ces deux vecteurs.
La position d'un point M quelconque est repéré par rapport à une origine O par le vecteur position :
EMBED Equation
Soit EMBED Equation une fonction scalaire des coordonnées de M et EMBED Equation une fonction vectorielle.
55-2 Exprimer en formulation indicielle les opérateurs gradient, divergence, laplacien et rotationnel.
55-3 Donner une nouvelle expression de EMBED Equation .
Algèbre tensorielle en espace affine
56- Soit une base EMBED Equation de R3 et f une forme linéaire définie par :
EMBED Equation
56-1 Calculer EMBED Equation avec EMBED Equation
56-2 Quelles sont les composantes de f dans la base duale associée? Utiliser ces composantes pour retrouver EMBED Equation .
56-3 En utilisant les matrices de changement de base adéquates, écrire les nouvelles composantes de EMBED Equation , de f et calculer EMBED Equation avec ces nouvelles composantes dans le changement de base :
EMBED Equation
57- Démontrer que la forme quadratique EMBED Equation est nulle si le tenseur EMBED Equation est antisymétrique.
58- Si les grandeurs ci-après représentent des tenseurs, montrer que les propriétés suivantes sont conservées au cours de tout changement de repère :
56-1 EMBED Equation 56-2 EMBED Equation
56-3 EMBED Equation 56-4 EMBED Equation
59- A quelle condition doivent satisfaire deux vecteurs EMBED Equation et EMBED Equation d'un même espace vectoriel En pour que l'on ait :
EMBED Equation
60- Démontrer que la suite EMBED Equation n'est pas une suite tensorielle.
61- 1- Soit EMBED Equation une suite tensorielle sur En. Comment se transforme le déterminant de cette suite dans un changement de base?
2- Même question pour une suite tensorielle EMBED Equation ou EMBED Equation ?
62- On se donne trois suites indicées , fonction de la base choisie dans R2 et on explicite leurs composantes dans deux bases EMBED Equation et EMBED Equation avec :
EMBED Equation
Ces composantes sont dans la base EMBED Equation
EMBED Equation
Et dans la base EMBED Equation
EMBED Equation
Quelles sont les suites qui peuvent être tensorielles? Peut-on affirmer qu'elles le sont?
63- Démontrer qu'un tenseur quelconque ayant au moins une paire d'indice de même hauteur peut être décomposé d'une manière unique en une somme de deux tenseurs, l'un symétrique, l'autre antisymétrique par rapport aux deux indices choisis.
64- On se donne un tenseur mixte d'ordre 2, EMBED Equation , en définissant ses composantes dans une base EMBED Equation de R2. On a :
EMBED Equation
D'autre part on se donne une seconde base EMBED Equation se déduisant de la première à l'aide de la matrice EMBED Equation :
EMBED Equation
64-1 Déterminer les nouvelles composantes EMBED Equation du tenseur.
64-2 Le tableau EMBED Equation représente maintenant les composantes du tenseur symétrique deux fois covariant EMBED Equation . Calculer les composantes de ce tenseur dans la nouvelle base.
65- On se donne un tenseur deux fois contravariant sur R2 par ses composantes dans une base :
EMBED Equation
65-1 Ecrire ce tenseur sous la forme EMBED Equation où EMBED Equation et EMBED Equation sont deux tenseurs deux fois contravariant l'un symétrique et l'autre antisymétrique.
65-2 Trouver les nouvelles composantes EMBED Equation , EMBED Equation et EMBED Equation dans la nouvelle base définie par le changement de base de l'exercice précédent.
66- Soit le tenseur EMBED Equation . Montrer que ce tenseur est symétrique si le tenseur EMBED Equation est symétrique.
Opérations sur les tenseurs
67- On se donne une base EMBED Equation de R2 dans laquelle le tenseur fondamental a pour composantes :
EMBED Equation
On détermine un tenseur EMBED Equation par la donnée de ses composantes dans EMBED Equation :
EMBED Equation
Déterminer EMBED Equation et EMBED Equation .
68- Dans l'espace R2 de la géométrie élémentaire, une première base est formée par les vecteurs unitaires d'un repère rectangulaire EMBED Equation . On considère une deuxième base formée par les vecteurs unitaires de EMBED Equation et de la première bissectrice.
Calculer explicitement les nouvelles composantes en fonction des anciennes :
68-1 pour un vecteur EMBED Equation .
68-2 pour un tenseur mixte d'ordre 2 EMBED Equation . On utilisera éventuellement le contracté EMBED Equation .
69- On considère une suite EMBED Equation dans une base EMBED Equation et deux vecteurs EMBED Equation et EMBED Equation arbitraires. Démontrer les critères de tensorialité suivants :
69-1 Pour que la suite EMBED Equation soit tensorielle, il faut et il suffit que la forme bilinéaire EMBED Equation soit invariante dans tout changement de base.
69-2 Pour que la suite EMBED Equation soit tensorielle, il faut et il suffit que les nombres EMBED Equation soient les composantes d'un vecteur.
Algèbre tensorielle en espace métrique
70- On se donne le tenseur fondamental sur R2 :
EMBED Equation
Soit deux vecteurs :
EMBED Equation
70-1 Déterminer leurs composantes covariantes, puis les quantités EMBED Equation .
70-2 On effectue un changement de base défini par
EMBED Equation
Calculer les nouvelles composantes du tenseur fondamental, puis les nouvelles composantes covariantes et contravariantes des deux vecteurs et les quantités EMBED Equation .
71- On se donne le tenseur fondamental sur R2 :
EMBED Equation
71-1 Déterminer les composantes contravariantes de ce tenseur.
71-2 Elever le premier indice de EMBED Equation et abaisser le deuxième indice de EMBED Equation .
71-3 Soit le changement de base EMBED Equation déterminé par la matrice :
EMBED Equation
Déterminer les nouvelles composantes covariantes et contravariantes du tenseur fondamental et effectuer les mêmes opérations que précédemment.
72- Dans l'espace E3 de la géométrie élémentaire on détermine un vecteur quelconque par ses composantes (x, y,z) suivant une certaine base.
Considérons la loi de multiplication scalaire définie par :
EMBED Equation
72-1 Déterminer la figure formée par les vecteurs de base.
72-2 Calculer les composantes covariantes d'un vecteur en fonction de ses composantes contravariantes.
72-3 Orthogonaliser l'espace E3.
73- Toujours dans l'espace E3 de la géométrie élémentaire, on considère la loi de multiplication scalaire définie par :
EMBED Equation
Orthogonaliser l'espace E3. Que peut-on dire?
Dérivation en notation tensorielle
74- On se donne le tenseur fondamental sur R3 :
EMBED Equation
Soit le changement de base EMBED Equation déterminé par la matrice :
EMBED Equation
74-1 On se donne dans le repère EMBED Equation le champ scalaire suivant :
EMBED Equation
Déterminer le vecteur gradient EMBED Equation de f par ses composantes dans EMBED Equation , puis dans EMBED Equation
74-2 Calculer dans les bases la divergence du champ vectoriel obtenu.
74-3 Calculer dans les deux bases le laplacien de EMBED Equation .
75- On introduit les coordonnées sphériques :
EMBED Equation avec EMBED Equation
75-1 Déterminer en chaque point M la base naturelle curviligne EMBED Equation .
75-2 Ecrire la matrice de passage entre la base rectiligne EMBED Equation et la base curviligne EMBED Equation . Déterminer la matrice inverse.
75-3 Déterminer les coefficients de Christoffel associés aux coordonnées sphériques.
75-4 On se donne un champ de vecteur défini en chaque point comme le vecteur unitaire du rayon vecteur :
EMBED Equation
Déterminer en M les composantes de EMBED Equation sur les deux bases.
En considérant un point M' infiniment proche du point M EMBED Equation , déterminer au premier ordre les composantes de EMBED Equation sur la base rectiligne.
En utilisant la matrice de changement de base, déterminer les composantes de EMBED Equation dans la base curviligne au point M. Que constate-t-on?
75-5 Exprimer dans la base curviligne les composantes du vecteur gradient d'un scalaire p.
75-6 Exprimer, en fonction de ses composantes contravariantes curviligne, la divergence d'un vecteur.
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