Td corrigé Inégalités - Free pdf

Inégalités - Free

Dans ce §, E désigne un espace affine réel, E l'espace vectoriel associé. ..... Exercice 9 : Soit E un espace normé de dimension finie, C un convexe non borné de E. ..... de droites, et en utilisant les séries de Fourier (cf. chap. sur ce sujet).




part of the document



vont souvent par deux : une version « discrète » (sommes finies ou séries) et une version intégrale. Mais on pourrait aussi bien les grouper par thèmes, selon leurs applications en algèbre, analyse ou géométrie.

0. Techniques élémentaires.

Rappelons quelques techniques simples de majoration et de minoration :
( Montrer que ((x) f(x) ( g(x), lorsque x est réel, revient à étudier le signe de g(x) ( f(x) ; pour cela, il suffit parfois de le factoriser, ou d’étudier ses variations.
( Pour majorer ou minorer une fonction de deux variables (ou plus), on peut utiliser le théorème d’associativité des bornes supérieures ou inférieures : sup f(x, y) = supx supy f(x, y). On peut aussi utiliser des techniques plus sophistiquées, combinant compacité et différentiabilité (cf chap. ad hoc).
( Si a1, a2, …, an sont n nombres réels, n.min(ak) ( a1 + a2 + … + an ( n.max(ak).
De même, si (x([a, b] m ( f(x) ( M, on a m.(b ( a) (  EMBED Equation.3  ( M.(b ( a).
(on suppose f réglée… ). C’est le « théorème de la moyenne ».
( Pour encadrer une somme finie ou infinie, on peut utiliser un encadrement intégral.

Exercice 1 : Soient (ai)i(I et (bi)i(I deux familles majorées de réels. Montrer que :
sup i(I (ai + bi) SYMBOL 163 \f "Symbol" sup i(I ai + sup i(I bi
| sup i(I ai SYMBOL 45 \f "Symbol" sup i(I bi | SYMBOL 163 \f "Symbol" sup i(I |ai SYMBOL 45 \f "Symbol" bi| .
Donner des exemples où les inégalités sont strictes.
Exercice 2 : Soient (ai)i(I et (bj)j(J deux familles majorées de réels. Montrer que :
sup(i, j)SYMBOL 206 \f "Symbol"ISYMBOL 180 \f "Symbol"J (ai + bj) SYMBOL 163 \f "Symbol" sup iSYMBOL 206 \f "Symbol"I ai + sup jSYMBOL 206 \f "Symbol"J bj .
Exercice 3 : Soient (ai)i(I et (bj)j(J deux familles non vides de réels telles que SYMBOL 34 \f "Symbol"(i, j)SYMBOL 206 \f "Symbol"ISYMBOL 180 \f "Symbol"J ai SYMBOL 163 \f "Symbol" bj .
Montrer que : supi(I ai SYMBOL 163 \f "Symbol" infj(J bj .
Exercice 4 : Soit (aij)(i, j)SYMBOL 206 \f "Symbol"ISYMBOL 180 \f "Symbol"J une famille bornée de réels.
Montrer que : supj(J infi(I aij SYMBOL 163 \f "Symbol" infi(I supj(J aij . Extension à  EMBED Equation.3  .
Donner un exemple où l’inégalité est stricte.
Exercice 5 : Soit Sn = 0 ! + 1 ! + … + n !. Encadrer Sn, et en déduire que (Sn/n!) tend vers 1.
Exercice 6 : Soit Sn = ln n! =  EMBED Equation.3 .
1) Montrer les encadrements :  EMBED Equation.3  SYMBOL 163 \f "Symbol" Sn SYMBOL 163 \f "Symbol"  EMBED Equation.3  (1)
 EMBED Equation.3  SYMBOL 163 \f "Symbol" Sn SYMBOL 163 \f "Symbol"  EMBED Equation.3  + ln n (2)
 EMBED Equation.3  SYMBOL 163 \f "Symbol" Sn SYMBOL 163 \f "Symbol"  EMBED Equation.3  + ln n (3)
En déduire : ( EMBED Equation.3 )n.n SYMBOL 163 \f "Symbol" n ! SYMBOL 163 \f "Symbol" ( EMBED Equation.3 )n.e n (4)
2) De la concavité du log, déduire les encadrements :
 EMBED Equation.3 .(ln k + ln(k + 1)) SYMBOL 163 \f "Symbol"  EMBED Equation.3  SYMBOL 163 \f "Symbol" ln(k +  EMBED Equation.3 ) (5)
 EMBED Equation.3 (ln k + ln(k + 1)) SYMBOL 163 \f "Symbol"  EMBED Equation.3  SYMBOL 163 \f "Symbol"  EMBED Equation.3 (ln k + ln(k + 1)) +  EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3  SYMBOL 45 \f "Symbol"  EMBED Equation.3 ) (6)
En déduire :
 EMBED Equation.3  + ln 2 + ... + ln n SYMBOL 163 \f "Symbol"  EMBED Equation.3  SYMBOL 163 \f "Symbol"  EMBED Equation.3  + ln 2 + ... + ln n +  EMBED Equation.3 (1 SYMBOL 45 \f "Symbol"  EMBED Equation.3 )
puis : n.ln n SYMBOL 45 \f "Symbol" n +  EMBED Equation.3 ln n +  EMBED Equation.3  +  EMBED Equation.3  SYMBOL 163 \f "Symbol" Sn SYMBOL 163 \f "Symbol" n.ln n SYMBOL 45 \f "Symbol" n +  EMBED Equation.3 ln n + 1 (7)
et : Sn = n.ln n SYMBOL 45 \f "Symbol" n +  EMBED Equation.3 ln n + O(1) (8)
> p:=plot(ln,0..7,0..2):f:=x->ln(floor(x)):g:=x->ln(ceil(x)):
> q:=plot(f(x),x=1..7,color=blue):r:=plot(g(x),x=1..7,color=green):
> display({p,q,r});

> p:=plot(ln,0..7,0..2):
> f:=x->ln(floor(x))+frac(x)*ln(1+1/floor(x)):g:=x->ln(round(x))+(x-round(x))/round(x):
> q:=plot(f(x),x=1..7,color=blue):r:=plot(g(x),x=1..7,color=green):
> display({p,q,r});

1. Inégalités de réordonnement.

Problème 1 : Soient a1, a2, …, an et b1, b2, …, bn des nombres réels. Lorsque ( décrit l’ensemble des permutations de {1, 2, …, n}, la somme S(() =  EMBED Equation.3  prend au plus n! valeurs. Pour quelles permutations est-elle maximum, resp. minimum ?
Théorème 1 : S(() est maximum lorsque les suites a1, a2, …, an et b((1), b((2), …, b((n) sont rangées dans le même ordre, au sens large. S(() est minimum lorsque les suites a1, a2, …, an et b((1), b((2), …, b((n) sont rangées dans l’ordre inverse.
Preuve : La deuxième assertion se déduit de la première en changeant les bi en leurs opposés.
Supposons qu’il existe des indices i et j tels que ai > aj et b((i) < b((j).
Considérons alors les deux sommes :
S = a1.b((1) + ... + ai.b((i) + ... + aj.b((j) + ... + an.b((n) ,
T = a1.b((1) + ... + ai.b((j) + … + aj.b((i) + ... + an.b((n) .
On alors T – S = (ai ( aj).(b((j) ( b((i)) > 0 .
Cet argument montre que si ( ne met pas les bi dans le même ordre que les ai, la somme S(() n’est pas maximum. Comme S(() ne prend qu’un nombre fini de valeurs, il possède un plus grand élément. Cet élément correspond au cas où les suites a1, a2, …, an et b((1), b((2), …, b((n) sont rangées dans le même ordre, au sens large.
Autre preuve, très peu différente :
Soit ( une permutation rendant maximum S((). On a ((i, j) S(() ( S(( o (ij) , c’est-à-dire :
a1.b((1)+...+ai.b((i)+...+ aj.b((j) +...+ an.b((n) ( a1.b((1) +...+ ai.b((j) +…+ aj.b((i) +...+ an.b((n)
Par soustraction, il vient (ai ( aj).(b((i) ( b((j)) ( 0.
ai ( aj et b((i) ( b((j) sont toujours de même signe, donc ( range les bi dans le même ordre que les ai.
Concluons ! Le maximum est à chercher parmi les permutations qui rangent les bi dans le même ordre que les ai. Il peut y avoir plusieurs permutations de c type. Par exemple si (ai) = (1, 1, 1, 2, 2) et (bi) = (2, 2, 3, 3, 4), il y en a 48. Mais elles donnent toutes la même somme S(()..
Proposition 2 : Soient a1 ( a2 ( … ( an et b1 ( b2 ( … ( bn.
Pour toute permutation ( de {1, 2, …, n}, on a :  EMBED Equation.3  (  EMBED Equation.3 (  EMBED Equation.3 .
Preuve : Cet énoncé est un corollaire du théorème précédent. Il en présente le résultat sous une forme moins parlante, mais équivalente.
Exemples :
1) ((((Sn)  EMBED Equation.3  =  EMBED Equation.3  ( S(() =  EMBED Equation.3  (  EMBED Equation.3  =  EMBED Equation.3 
2) ((((Sn)  EMBED Equation.3  =  EMBED Equation.3  ( S(() =  EMBED Equation.3  (  EMBED Equation.3  , où Hn =  EMBED Equation.3 .

Exercice 1 : Démontrer directement la proposition 2, par récurrence forte sur n, en distinguant deux cas : ((n) = n, et ((n) = j < n.
Solution : Si n = 2, il s’agit de vérifier que a1.b2 + a2.b1 ( a1.b1 + a2.b2 . Il suffit de factoriser la différence. Supposons le résultat vrai jusqu’au rang n(1.
( Si ((n) = n, ( induit une permutation (’ de {1, 2, …, n(1}.
Par hypothèse de récurrence  EMBED Equation.3  =  EMBED Equation.3 (  EMBED Equation.3 . Il reste à ajouter an.bn .
( Si ((n) = j < n, ( induit une bijection de {1, 2, …, n(1} sur {1, …, j(1, j+1, …, n}.
Appliquant l’hypothèse de récurrence au rang n(1, il vient :
a1.b((1) + ... + an-1.b((n-1) ( a1.b1 + ... + aj-1.bj-1 + aj.bj+1 + ... + an-1.bn ,
et a1.b((1) + ... + an.b((n) ( a1.b1 + ... + aj-1.bj-1 + aj.bj+1 + ... + an-1.bn + an.bj .
De plus, par HR(n ( j), aj.bj+1 + ... + an-1.bn + an.bj ( aj.bj + ... + an.bn . cqfd.
Exercice 2 : Soient x1 ( x2 ( … ( xn et y1 ( y2 ( … ( yn . Montrer que pour toute permutation ( de {1, 2, …, n},  EMBED Equation.3  (  EMBED Equation.3  (  EMBED Equation.3 .
Solution : Il suffit de développer, simplifier et utiliser la prop. 2.
Exercice 3 : Soit (ak)k(1 une suite d’entiers > 0, deux à deux distincts.
Démontrer, pour chaque entier n ( 1, l’inégalité  EMBED Equation.3  (  EMBED Equation.3 . (Olympiades 1978).
Exercice 4 : Montrer que, pour toute permutation ( de N*, la série  EMBED Equation.3  diverge.
Solution : Il découle de l’inégalité de réordonnement que, pour toute permutation ( de {1, 2, …, n},
 EMBED Equation.3  (  EMBED Equation.3  =  EMBED Equation.3  = Hn , suite qui, on le sait, tend vers l’infini.
Soit maintenant ( une permutation de N*. ( n’a aucune raison de laisser stable {1, 2, …, n}, mais, pour tout n, il existe une permutation ( de {1, 2, …, n} qui range les éléments dans le même ordre que (. Visiblement  EMBED Equation.3  (  EMBED Equation.3 , donc  EMBED Equation.3  ( Hn . Cqfd.
Autre preuve, directe : minorons les tranches de Cauchy Tn =  EMBED Equation.3 .
Tn (  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  (  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  =  EMBED Equation.3 , qui ne tend pas vers 0…
On montrera de même que pour toute permutation ( de N({0, 1}, la série  EMBED Equation.3  diverge.
Exercice 5 : Montrer que, pour tous x, y, z ( 0, x3 + y3 + z3 ( 3xyz.
Solution : On peut supposer x ( y ( z ; alors x2 ( y2 ( z2, donc :
x3 + y3 + z3  = x.x2 + y.y2 + z.z2 ( x.y2 + y.z2 + z.x2 = xy.y + yz.z + zx.x .
Or x.y ( x.z ( y.z, donc xy.y + yz.z + zx.x ( xy.z + yz.x + zx.y = 3xyz.
N.B. : Cette inégalité découle aussi de celle de la moyenne géométrique

Problème 2 : Soient a1, a2, …, an et b1, b2, …, bn des nombres réels tels que ((i, j) ai + bj > 0. Lorsque ( décrit l’ensemble des permutations de {1, 2, …, n}, le produit P(() =  EMBED Equation.3  prend au plus n! valeurs. Pour quelles permutations est-il maximum, resp. minimum ?
Théorème 3 : P(() est maximum lorsque les suites a1, a2, …, an et b((1), b((2), …, b((n) sont rangées dans l’ordre inverse, au sens large, minimum lorsque les suites a1, a2, …, an et b((1), b((2), …, b((n) sont rangées dans le même ordre.
Proposition 4 : Soient a1 ( a2 (… ( an et b1 ( b2 ( … ( bn des réels tels que ((i, j) ai + bj > 0.
Pour toute permutation ( de {1, …, n}, on a :  EMBED Equation.3  (  EMBED Equation.3  (  EMBED Equation.3 .
Démonstration : Il suffit d’imiter celles des théorèmes précédents.
Exemple : ((((Sn)  EMBED Equation.3  = 2n.n! ( P(() =  EMBED Equation.3  (  EMBED Equation.3  = (n + 1)n.
La formule de Stirling montre de plus que 2n.n! = o((n + 1)n).

Application à des inégalités spectrales :
Théorème : Soient A et B deux matrices symétriques réelles d’ordre n. Soient a1 ( a2 (… ( an et b1 ( b2 ( … ( bn leurs spectres respectifs rangés dans l’ordre croissant.
min(  EMBED Equation.3 =  EMBED Equation.3  ( tr(A.B) ( max(  EMBED Equation.3 =  EMBED Equation.3 .
Si ((i, j) ai + bj > 0, alors
min(  EMBED Equation.3  =  EMBED Equation.3 ( det(A + B) ( max(  EMBED Equation.3  =  EMBED Equation.3 .
Preuve : Lorsque A et B commutent, elles sont simultanément diagonalisables, donc
tr(A.B) =  EMBED Equation.3  et det(A + B) =  EMBED Equation.3  pour une permutation (. On conclut aussitôt.
Lorsqu’elles ne commutent pas, c’est une autre paire de manches. La deuxième assertion fait l’objet du pb. Mines-Ponts 2005. La première est montrée en annexe de mon corrigé de ce problème.

2. Inégalités de Tchebychev.

Théorème 1 : Si les suites réelles a1, a2, …, an et b1, b2, …, bn sont toutes deux croissantes, ou toutes deux décroissantes, ou rangées dans le même ordre d’inégalités au sens large, alors :
 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  ( ( EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 ).( EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 ).
L’inégalité change de sens si les suites sont rangées dans l’ordre inverse.
Première preuve : Supposons a1 ( a2 ( … ( an et b1 ( b2 ( … ( bn .
En utilisant l’inégalité du réordonnement, il vient, par permutations circulaires :
a1.b1 + a2.b2 + ... + an.bn = a1.b1 + a2.b2 + ... + an(1.bn(1 + an.bn
a1.b1 + a2.b2 + ... + an.bn ( a1.b2 + a2.b3 + ... + an(1.bn + an.b1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a1.b1 + a2.b2 + ... + an.bn ( a1.bn + a2.b1 + ... + an(1.bn + an.bn(1
Il suffit d’ajouter membre à membre pour conclure.
Deuxième preuve : ((i, j) (ai ( aj).(bi ( bj) ( 0, d’où  EMBED Equation.3  ( 0.
Si l’on développe, on obtient l’inégalité de Tchebychev.
Corollaire : Si x1, x2, …, xn sont des réels > 0, n2 ( ( EMBED Equation.3 ).( EMBED Equation.3 ).
Preuve : Les suites x1, x2, …, xn et 1/x1, 1/x2, …, 1/xn sont rangées dans l’ordre inverse.
Remarque : cette inégalité découle aussi de l’inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée aux vecteurs  EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 ,… , EMBED Equation.3 ) et  EMBED Equation.3 (1/ EMBED Equation.3 ,… ,1/ EMBED Equation.3 ).
Voici la version intégrale de l’inégalité de Tchebychev.
Théorème 2 : Soient f et g deux fonctions [a, b] ( R toutes deux croissantes, ou toutes deux décroissantes. Alors ( EMBED Equation.3 ).( EMBED Equation.3 ) (  EMBED Equation.3  .
Preuve : Rappelons que les fonctions monotones sont réglées, donc intégrables.
On peut passer par les sommes de Riemann, et se ramener au cas discret. On peut aussi considérer l’intégrale double de h(x, y) = (f(x) – f(y)).(g(x) ( g(y)) sur [a, b]2. Si f et g sont continues, on peut préciser le cas d’égalité.

Exercice : Soient a, b, c des réels > 0. Montrer l’inégalité de Nesbitt :
 EMBED Equation.3  +  EMBED Equation.3  +  EMBED Equation.3  (  EMBED Equation.3 .
Solution : On peut supposer a ( b ( c, d’où  EMBED Equation.3  (  EMBED Equation.3  (  EMBED Equation.3 .
L’inégalité de Tchebychev donne  EMBED Equation.3  +  EMBED Equation.3  +  EMBED Equation.3  (  EMBED Equation.3 (a + b + c).[ EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 ].
En vertu du corollaire du th. 1, appliqué à x1 = b + c, x2 = c + a, x3 = a + b, il vient
 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3  (  EMBED Equation.3  , d’où le résultat. Autre méthode en § 5.2., ex. 4
Exercice : Soient f(C([a, b], R) telle que  EMBED Equation.3  = 0 , m = min f , M = max f.
Montrer que  EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 ( ( m.M.
Enoncer et démontrer une version discrète de cette inégalité.
Indication : noter que ((t) (M ( f(t)).(f(t) – m) ( 0 …

3. Inégalités tayloriennes.

Théorème des accroissements finis : Soit F : [a, b] ( E continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[.
Si ((x(]a, b[) ||F’(x)|| ( M , alors ||F(b) ( F(a)|| ( M(b ( a).
Théorème de la moyenne : Soit f : [a, b] ( E réglée (ou Riemann-intégrable).
Si ((x(]a, b[) ||f(x)|| ( M , alors ||  EMBED Equation.3  || ( M(b ( a).
Chacun de ces théorèmes implique un cas particulier de l’autre :
( Si F est C1 et f = F’ alors F(b) ( F(a) =  EMBED Equation.3 , et le TM appliqué à f donne le TAF appliqué à F.
( Si f est continue sur [a, b], en appliquant le TAF à F(x) =  EMBED Equation.3 , on obtient le TM.
Dans tous les cas usuels, les 2 théorèmes fournissent les mêmes majorations.
Par exemple, l’encadrement : ((x > 0)  EMBED Equation.3  ( ln(x + 1) ( ln(x) (  EMBED Equation.3 .
provient indifféremment du TAF appliqué à ln sur [x, x + 1] et du TM appliqué à  EMBED Equation.3  sur [x, x + 1].
Cependant, les deux théorèmes sont distincts, puisqu’une dérivée n’est pas toujours intégrable. Le TAF relève des théories de la dérivation et de la primitivation, le TM des propriétés de l’intégration.
Enfin, choisissons une formule de Taylor.
Formule de Taylor avec reste intégral : Soient I un intervalle de R, f(Cn+1(I, E) ; alors, pour tout couple (a, x)(I2 on a : f(x) =  EMBED Equation.3  +  EMBED Equation.3 
Un encadrement de la dérivée f(n+1)(t) fournit un encadrement de f(x). Attention toutefois à distinguer les cas x > a et x < a. Par ailleurs, lorsque le signe du reste n’est pas évident, on peut aussi étudier les variations de f(x) – P(x), où P(x) =  EMBED Equation.3 est le polynôme de Taylor de f en a.

 Encadrements tayloriens classiques
Exponentielle.
Sur R+, exp x est supérieur à tous ses polynômes de Taylor. Sur R(, exp x est compris entre deux polynômes de Taylor consécutifs.
(1) (x ( 0 1 +  EMBED Equation.3  +  EMBED Equation.3  + ... +  EMBED Equation.3  ( exp x
(2) (x ( 0 1 +  EMBED Equation.3  +  EMBED Equation.3  + ... +  EMBED Equation.3  ( exp x
( 1 +  EMBED Equation.3  +  EMBED Equation.3  + ... +  EMBED Equation.3 .

Logarithme.
(3) (x ( 0 x (  EMBED Equation.3  ( ln(1 + x) ( x
Plus généralement, sur R+, ln(1 + x) est compris entre deux polynômes de Taylor consécutifs.
(4) (x(](1, 0] ln(1 + x) ( x (  EMBED Equation.3 
Plus généralement, sur ](1, 0], ln(1 + x) est inférieur à tous ses polynômes de Taylor.
Enfin, voici d’autres encadrements du log, laissés en exercice :
(5) (x > (1  EMBED Equation.3  ( ln(1+ x) ( x
(6) (x([0, 1[ ( x (  EMBED Equation.3  ( ln(1 ( x) ( ( x.
Trigonométrie.
(7) (x ( 0 x (  EMBED Equation.3  ( sin x ( x .
Plus généralement, sin x est compris entre deux polynômes de Taylor consécutifs.
(8) (x(R 1 (  EMBED Equation.3  ( cos x ( x
Plus généralement, cos x est compris entre deux polynômes de Taylor consécutifs.

Encadrements tayloriens du sinus et du cosinus
Cela ne peut se déduire d’une formule de Taylor, et se montre par récurrence.
Inégalité de Bernoulli.
(9) (x > (1 (n(N* (1 + x)n ( 1+ n.x
Cette inégalité, de nature taylorienne, peut se montrer par récurrence sur n.
Enfin, à ces encadrements tayloriens il faut adjoindre les inégalités de Kolmogorov, traitées en problème dans mon chap. sur les fonctions d’une variable.
Théorème : inégalités de Kolmogoroff.
Pour tout n ( 1, soit En l’espace vectoriel des fonctions f de classe Cn de R dans R telles que f et f(n) soient bornées sur R. Si f(En , on note M0(f) = supx(R |f(x)| et Mn(f) = supx(R |f(n)(x)|.
a) On a les inclusions En ( Ek pour tout k({1, …, n}.
b) Si f ( E2, alors f ( E1 et M1 (  EMBED Equation.3 .
c) Si f ( En, n ( 2, alors (k([0, n] Mk (  EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 .

Exercice : Soient m et n deux entiers > 0. Montrer que  EMBED Equation.3  +  EMBED Equation.3  ( 1.
Exercice : Soient m et n deux entiers > 0, a =  EMBED Equation.3 . Montrer que am + an ( mm + nn .
Exercice : Montrer les inégalités : (9) (((]((, 0[(]1, +([ (x > 0 x( ( (x + ( ( 1 ( 0.
(10) (((]0, 1[ (x > 0 x( ( (x + ( ( 1 ( 0
dans les deux cas, l’égalité ayant lieu ssi x = 1.

4. Inégalités de convexité.

Définition : Soit I un intervalle de R. Une fonction f : I CARSPECIAUX 174 \f "Symbol" R est dite convexe si :
((x, y)CARSPECIAUX 206 \f "Symbol"I2 ((([0, 1] f(CARSPECIAUX 108 \f "Symbol".x + (1CARSPECIAUX 45 \f "Symbol"().y) ( (.f(x) + (1CARSPECIAUX 45 \f "Symbol" ().f(y).
f est dite strictement convexe si :
CARSPECIAUX 34 \f "Symbol"(x, y)CARSPECIAUX 206 \f "Symbol"I2 x CARSPECIAUX 185 \f "Symbol" y ( (((]0, 1[CARSPECIAUX 206 \f "Symbol"Erreur ! Signet non défini. f(CARSPECIAUX 108 \f "Symbol".x + (1CARSPECIAUX 45 \f "Symbol" ().y) < CARSPECIAUX 108 \f "Symbol".f(x) + (1 ( ().f(y) .
f est dite concave (resp. strictement concave) si CARSPECIAUX 45 \f "Symbol"f l’est, et affine si elle est convexe et concave.
Géométriquement, si x < y < z sont trois points de I, et si l’on note p(u, v) =  EMBED Equation.3  la pente de la corde qui joint (u, f(u)) à (v, f(v)), la convexité (resp. la stricte convexité) se traduit par :
(C) Si x < y < z sont trois points de I, p(x, y) ( p(x, z) ( p(y, z) , resp. p(x, y) < p(x, z) < p(y, z) .
Proposition : Si f est convexe, on a les inégalités de convexité :
((x1, ..., xp)CARSPECIAUX 206 \f "Symbol"Ip CARSPECIAUX 34 \f "Symbol"(CARSPECIAUX 108 \f "Symbol"1, ..., (p)CARSPECIAUX 206 \f "Symbol"R+p  EMBED Equation.3 = 1 ( f(  EMBED Equation.3 ) CARSPECIAUX 163 \f "Symbol"  EMBED Equation.3 .
De plus, si f est strictement convexe et si les CARSPECIAUX 108 \f "Symbol"i sont tous > 0, alors :
f(  EMBED Equation.3 ) =  EMBED Equation.3  ( x1 = ... = xp .
Nous renvoyons au chapitre sur la convexité pour les justifications et les critères.
Exemples :
((xCARSPECIAUX 206 \f "Symbol"R) exp x CARSPECIAUX 179 \f "Symbol" 1 + x (xCARSPECIAUX 206 \f "Symbol"]CARSPECIAUX 45 \f "Symbol"1, +CARSPECIAUX 165 \f "Symbol"[ ln(1 + x) CARSPECIAUX 163 \f "Symbol" x
CARSPECIAUX 34 \f "Symbol"xCARSPECIAUX 206 \f "Symbol"[0,  EMBED Equation.3 ]  EMBED Equation.3  CARSPECIAUX 163 \f "Symbol" sin x CARSPECIAUX 163 \f "Symbol" x 0 < x < y < ( (  EMBED Equation.3  >  EMBED Equation.3 
0 < x < y CARSPECIAUX 222 \f "Symbol"  EMBED Equation.3  <  EMBED Equation.3  0 < x et y CARSPECIAUX 222 \f "Symbol"  EMBED Equation.3  <  EMBED Equation.3 
(xCARSPECIAUX 206 \f "Symbol"[0, (] x.(1 (  EMBED Equation.3 ) ( sin x CARSPECIAUX 163 \f "Symbol" x 0 < x < y (  EMBED Equation.3  <  EMBED Equation.3 
CARSPECIAUX 34 \f "Symbol" x, y, a, b > 0 x.ln EMBED Equation.3  + y.ln EMBED Equation.3  CARSPECIAUX 179 \f "Symbol" (x + y).ln EMBED Equation.3  , avec égalité ssi  EMBED Equation.3  =  EMBED Equation.3 .
Ces inégalités découlent de la convexité d’une certaine fonction, à trouver.

Exercices

Exercice 1 : Soient x, y et p trois réels.
Si p > 2, montrer que |x + y|p + |x ( y|p ( 2.[|x|p + |y|p] .
Si 1 ( p < 2, montrer que |x + y|p + |x ( y|p ( 2.[|x|p + |y|p] .
Dans les deux cas, il y a égalité ssi x ou y est nul. Cas p = 2 ?
Exercice 2 : Montrer que ((x(R) |sin((x)| ( 2.d(x, Z).
Exercice 3 : 1) Montrer que f(x) =  EMBED Equation.3  est décroissante et concave sur [0,  EMBED Equation.3 ] .
2) Soit E = {( > 0 ; (x([0, EMBED Equation.3 ]  EMBED Equation.3  (  EMBED Equation.3  + (((2 ( 4x2)}. Montrer que E est non vide, majoré ; trouver sa borne supérieure.
Exercice 4 : 1) Soit I un intervalle ouvert de R, f une fonction convexe dérivable dans I.
Montrer que : (CARSPECIAUX 34 \f "Symbol"xCARSPECIAUX 206 \f "Symbol"I) f(x) = sup {f(y) + (x CARSPECIAUX 45 \f "Symbol" y).f'(y) ; yCARSPECIAUX 206 \f "Symbol"I}.
2) Soient x1,..., xn, y1,... , yn 2n nombres réels tels que :
x1 CARSPECIAUX 179 \f "Symbol" x2 CARSPECIAUX 179 \f "Symbol" ... CARSPECIAUX 179 \f "Symbol" xn , y1 CARSPECIAUX 179 \f "Symbol" y2 CARSPECIAUX 179 \f "Symbol" ... CARSPECIAUX 179 \f "Symbol" yn , x1 + x2 + ... + xn = y1 + y2 + ... + yn
x1 CARSPECIAUX 179 \f "Symbol" y1 ; x1 + x2 CARSPECIAUX 179 \f "Symbol" x1 + x2 ; x1 + x2 + x3 CARSPECIAUX 179 \f "Symbol" y1 + y2 + y3 ; ... ; x1 + x2 +...+ xn(1 CARSPECIAUX 179 \f "Symbol" y1 + y2 +...+ yn(1
Montrer que pour toute fonction dérivable convexe f, on a :  EMBED Equation.3  CARSPECIAUX 179 \f "Symbol"  EMBED Equation.3 .
[Indication : utiliser 1) pour se ramener à prouver que, si z1 CARSPECIAUX 179 \f "Symbol" z2 CARSPECIAUX 179 \f "Symbol" ... CARSPECIAUX 179 \f "Symbol" zn , on a :
 EMBED Equation.3  CARSPECIAUX 179 \f "Symbol"  EMBED Equation.3  ; on utilisera la croissance de f'.]
Exercice 5 : inégalité de Jensen.
1) Soit g continue RCARSPECIAUX 174 \f "Symbol" R ; g est convexe ssi pour toute f Riemann-intégrable [a, b] CARSPECIAUX 174 \f "Symbol" R on a : g[ EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 ] CARSPECIAUX 163 \f "Symbol"  EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 ,
i.e. l’image par g de la valeur moyenne de f est inférieure ou égale à la valeur moyenne de gof.
2) Plus généralement, soit g convexe sur R. Montrer que, pour toute fonction f continue [a, b] CARSPECIAUX 174 \f "Symbol" R et toute fonction h continue positive sur [a, b] telle que  EMBED Equation.3  = 1,
g[ EMBED Equation.3 ] CARSPECIAUX 163 \f "Symbol"  EMBED Equation.3 .

4. Inégalités de la moyenne.

« Mec moche cherche femme superbe pour faire bonne moyenne. »

Définitions : Si x1, ..., xn sont des réels > 0, on appelle moyennes arithmétique, géométrique, quadratique, harmonique des xi , les nombres An, Gn, Qn et Hn définis resp. par :
An =  EMBED Equation.3  Gn =  EMBED Equation.3  Qn =  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3  =  EMBED Equation.3  + ... +  EMBED Equation.3 .
On notera que An et Qn sont définis quels que soit le signe des xi .
Proposition 1 : On a Gn CARSPECIAUX 163 \f "Symbol" An . Il y a égalité ssi tous les xi sont égaux.
Preuve : 1) Preuve de Cauchy.
Elle consiste à montrer l’inégalité pour n = 2 puis n = 2m par récurrence sur m, cas d’égalité compris.
On suppose 2m(1 < n < 2m. Montrer l’inégalité en complétant le n-uplet (x1, ..., xn) en un 2m–uplet en posant xk = An pour n < k ( 2m. Cas d’égalité.
2) Preuve via l’inégalité de réordonnement.
On va appliquer l’inégalité de réordonnement à deux suites judicieuses. Notons g = Gn et
a1 =  EMBED Equation.3  , a2 =  EMBED Equation.3  , a3 =  EMBED Equation.3  , … , an =  EMBED Equation.3  = 1
b1 = 1/a1 , b2 = 1/a2 , b3 = 1/a3 , . . . , bn = 1/an = 1
D’après l’inégalité du réordonnement,
a1.b1 + a2.b2 + ... + an.bn ( a1.bn + a2.b1 + ... + an.bn-1
soit encore n = 1 + 1 + … + 1 (  EMBED Equation.3  +  EMBED Equation.3 + … +  EMBED Equation.3 
Cette méthode ne permet pas d’étudier le cas d’égalité.
3) Preuve par convexité.
Gn CARSPECIAUX 163 \f "Symbol" An ( ln Gn CARSPECIAUX 163 \f "Symbol" ln An (  EMBED Equation.3 (ln x1 + ... + ln xn) ( ln  EMBED Equation.3 .
Or cela découle de la concavité du logarithme. Le cas d’égalité découle de la stricte concavité du log.
Variante : Gn CARSPECIAUX 163 \f "Symbol" An ( x1.x2 ...xn ( ( EMBED Equation.3 )n , i.e.  EMBED Equation.3  ( 1.
Passant au log, il s’agit de montrer que  EMBED Equation.3  ( 0. Or (x > 0 ln x ( x ( 1, avec égalité ssi x = 0.
D’où :  EMBED Equation.3  (  EMBED Equation.3  =  EMBED Equation.3  ( n = 0. Il y a égalité ssi ((i)  EMBED Equation.3 = 1 ; cqfd.
4) Preuve de Mac Laurin.
Le cas n = 2, montre que si l’on remplace x1 et x2 par  EMBED Equation.3 , G2 augmente, mais A2 ne change pas.
Plus généralement, soit Kn = {x = (x1, …, xn)(R+n ; x1 + … + xn = nA}. Kn est compact et f : x = (x1, …, xn) ( x1.…xn est continue sur ce compact, donc majorée et atteint sa borne supérieure M > 0 en un point x tel que ((i) xi > 0. De plus f(x1, x2, …, xn) < f( EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , …, xn) si x1 ( x2.
Le maximum est donc atteint pour x1 = … = xn = A. cqfd.
Proposition 2  : On a Hn CARSPECIAUX 163 \f "Symbol" Gn CARSPECIAUX 163 \f "Symbol" An CARSPECIAUX 163 \f "Symbol" Qn. Il y a une égalité ssi tous les xi sont égaux, et alors les 4 moyennes sont égales.
Exercice 1 : Montrer l’inégalité Gn CARSPECIAUX 163 \f "Symbol" An par récurrence sur n.
Exercice 2 : Soit (xk)k(1 une suite de réels > 0. Montrer qu’avec les notations précédentes :
n(An ( Gn) ( (n + 1)(An+1 ( Gn+1) . [Indication : poser xn+1 = xn+1 et Gn = yn+1.]
Exercice 3 : 1) Montrer que si les ai et bi sont > 0 :
 EMBED Equation.3  (  EMBED Equation.3  +  EMBED Equation.3 . Cas d’égalité ?
2) Soient A et B deux matrices symétriques définies positives.
Montrer que :  EMBED Equation.3  CARSPECIAUX 179 \f "Symbol"  EMBED Equation.3  +  EMBED Equation.3 .
Solution : 1) En vertu de l’inégalité de la moyenne géométrique
( EMBED Equation.3 )1/n + ( EMBED Equation.3 )1/n (  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  +  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  = 1.
Mais on peut aussi se ramener à montrer que 1 +  EMBED Equation.3  (  EMBED Equation.3 ,
ce qui, si l’on pose xi = exp ti , découle de la convexité de la fonction t ( ln(1 + exp t)
2) Si A et B commutent, elles sont simultanément diagonalisables dans une base orthonormée, et l’on se ramène à 1). Sinon, appliquer ce qui précède à I et A(1/2.B.A(1/2, qui commutent.
Exercice 4 : notion de f-moyenne.
1) Soit f une fonction continue strictement monotone sur l’intervalle I, montrer que, quels que soient les points x1, ..., xn de I, il existe un unique réel m = mf(x1, ..., xn) tel que f(m) =  EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 .
On l’appelle f-moyenne de x1, ..., xn. Expliciter mf(x1, ..., xn) lorsque f(x) = x , lnx ,  EMBED Equation.3  , x2.
2) Si f et g sont continues et strictement monotones sur I, si g est croissante et gofCARSPECIAUX 45 \f "Symbol"1 est convexe, montrer que : mf(x1, ..., xn) CARSPECIAUX 163 \f "Symbol" mg(x1, ..., xn) . Retrouver les inégalités de la prop. précédente.
Proposition (inégalité de la moyenne géométrique). Si x1, ..., xn sont des réels > 0, et CARSPECIAUX 108 \f "Symbol"1, ..., CARSPECIAUX 108 \f "Symbol"n sont des réels > 0 de somme 1, on a :  EMBED Equation.3 CARSPECIAUX 163 \f "Symbol"  EMBED Equation.3 , avec égalité ssi tous les xi sont égaux.
Cette inégalité généralise Gn CARSPECIAUX 163 \f "Symbol" An , et, comme elle, découle de la concavité du log.
Exercice 5 : Maximiser la fonction f(x, y, z) =  EMBED Equation.3  sur R*+3.
Exercice 6 : Inégalité isopérimétrique pour les triangles.
Soit T un triangle ABC de côtés a = BC, b = CA, c = AB, de demi-périmètre p =  EMBED Equation.3  et d’aire S.
Montrer que S =  EMBED Equation.3  (  EMBED Equation.3  , avec égalité ssi T est équilatéral.
Exercice 7 : Soit T un triangle ABC. Un point M intérieur au triangle se projette en P, Q, R resp. sur les côtés BC, CA, AB. On note S l’aire du triangle, a = BC, b = CA, c = AB.
i) Montrer que 2S = a.MP + b.MQ + c.MR.
ii) En déduire un majorant de f(M) = MP.MQ.MR.
iii) Montrer que f(M) est maximale ssi M est le centre de gravité du triangle.

Mentionnons pour finir (cf. mes Problèmes sur les séries) :
Théorème (inégalité de Carleman). Soit EMBED Equation.3 une série convergente à termes > 0. Alors la série  EMBED Equation.3  converge et satisfait l’inégalité :  EMBED Equation.3  < e EMBED Equation.3 .

5. Inégalités de Cauchy-Schwarz et Minkowski.

5.1. Cauchy-Schwarz, Minkowski.
Proposition : inégalité de Cauchy-Schwarz. Soient x = (x1, ..., xn) et y = (y1, ..., yn) deux n-uplets de nombres réels. Alors ( EMBED Equation.3 )2 SYMBOL 163 \f "Symbol" ( EMBED Equation.3 ).( EMBED Equation.3 ). Il y a égalité ssi les vecteurs x et y sont liés.
N. B. : Si Rn est équipé de son produit scalaire usuel (x | y) =  EMBED Equation.3 et de la norme associée ||x|| =  EMBED Equation.3 , l’inégalité s’écrit (x | y)2 ( ||x||2.||y||2.
Preuve. Si le vecteur x est nul, il n’y a rien à montrer. Sinon, posons, pour tout SYMBOL 108 \f "Symbol"SYMBOL 206 \f "Symbol"R :
T(SYMBOL 108 \f "Symbol") =  EMBED Equation.3  = (2. EMBED Equation.3  + 2(. EMBED Equation.3 +  EMBED Equation.3 .
Ce trinôme prend des valeurs ( 0 pour tout réel (, donc son discriminant est ( 0.
Il y a égalité dans CS lorsque x = 0 ; dans les autres cas, il y a égalité ssi le discriminant est nul, donc ssi T(SYMBOL 108 \f "Symbol") a une racine (double), donc, dans tous les cas, ssi les vecteurs y et x sont liés.
Autre preuve : Elle consiste à observer que ||x||2.||y||2 ( (x | y)2 =  EMBED Equation.3 .
Cette identité de Lagrange est un cas particulier d’une formule de Cauchy-Binet. On conclut aussitôt.

Exercice : autre preuve de Cauchy-Schwarz
1) Montrer que x SYMBOL 174 \f "Symbol" (x | x) est strictement convexe.
2) En déduire (x | y) SYMBOL 163 \f "Symbol"  EMBED Equation.3 .(||x||2 + ||y||2) , puis (x | y) SYMBOL 163 \f "Symbol"  EMBED Equation.3 (SYMBOL 97 \f "Symbol"2.||x||2 +  EMBED Equation.3 ) pour tout SYMBOL 97 \f "Symbol" SYMBOL 185 \f "Symbol" 0.
3) Conclure par un choix convenable de SYMBOL 97 \f "Symbol".
Proposition : inégalité de Minkowski. Soient x = (x1, ..., xn) et y = (y1, ..., yn) deux n-uplets de réels. Alors  EMBED Equation.3  SYMBOL 163 \f "Symbol"  EMBED Equation.3  +  EMBED Equation.3  (M).
Il y a égalité ssi les vecteurs y et x sont positivement liés.
Preuve : Elevons au carré les deux membres de cette inégalité.
Elle s’écrit :  EMBED Equation.3 SYMBOL 163 \f "Symbol"  EMBED Equation.3  +  EMBED Equation.3  + 2 EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3  ,
ou encore, après simplifications :  EMBED Equation.3 SYMBOL 163 \f "Symbol"  EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 .
Or cela découle de Cauchy-Schwarz :  EMBED Equation.3 SYMBOL 163 \f "Symbol" | EMBED Equation.3 | SYMBOL 163 \f "Symbol"  EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 .
Il y a égalité en (M) ssi  EMBED Equation.3 = | EMBED Equation.3 | =  EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 , donc ss’il y a égalité dans CS et si  EMBED Equation.3 ( 0. Cela équivaut à dire que les vecteurs y et x sont positivement liés.

5.2. Inégalité de Hadamard.
L’inégalité de Cauchy-Schwarz s’écrit aussi  EMBED Equation.3  ( 0.
A ce titre, elle est un cas particulier d’une propriété des déterminants de Gram.
Exercice : déterminant de Gram.
Soit E un R-espace vectoriel muni d’un produit scalaire (x | y) et de la norme associée ||x||.
On appelle déterminant de Gram des vecteurs (x1, x2, ... , xp) le déterminant :
Gp(x1, x2, ... , xp) = det((xi | xj)1(i,j(n) .
1) Soient (a1, a2, ... , ap) des vecteurs de E, F le sous-espace qu’ils engendrent.
a) Montrer que (SYMBOL 34 \f "Symbol"ySYMBOL 206 \f "Symbol"F) Gp+1(a1, a2, ... , ap, y) = 0 ;
b) Montrer que (SYMBOL 34 \f "Symbol"zSYMBOL 206 \f "Symbol"FSYMBOL 94 \f "Symbol") Gp+1(a1, a2, ... , ap, z) = ||z||2.Gp(a1, a2, ... , ap) ;
c) En déduire (SYMBOL 34 \f "Symbol"xSYMBOL 206 \f "Symbol"E) Gp+1(a1, a2, ... , ap, x) = d(x, F)2.Gp(a1, a2, ... , ap) (Gram, 1879).
2) Montrer que (f(L(E) Gp(f(x1), f(x2), ... , f(xp)) = | det f |2.Gp(x1, x2, ... , xp) .
3) Montrer que pour tout p et tout p-uplet (a1, a2, ... , ap) de vecteurs de E, l’on a :
0 SYMBOL 163 \f "Symbol" Gp(a1, a2, ... , ap) SYMBOL 163 \f "Symbol"  EMBED Equation.3  , et que Gp(a1, a2, ... , ap) = 0 SYMBOL 219 \f "Symbol" (a1, a2, ... , ap) est liée.
Caractériser le cas où Gp(a1, a2, ... , ap) =  EMBED Equation.3  .
4) Inégalité d’Hadamard.
On suppose E de dimension n, rapporté à une base orthonormée B = (e1, e2, ... , en).
Exprimer Gn(a1, a2, ... , an) à l’aide de detB(a1, a2, ... , an).
En déduire que : |detB(a1, a2, ... , an)| SYMBOL 163 \f "Symbol"  EMBED Equation.3  . Cas d’égalité ?

Exercices

Exercice 1 : Montrer SYMBOL 34 \f "Symbol"(a, b, c)SYMBOL 206 \f "Symbol"R3 ab + bc + ca SYMBOL 163 \f "Symbol" a2 + b2 + c2 ; cas d’égalité ?
Exercice 2 : Montrer SYMBOL 34 \f "Symbol"(x1, ..., xn)SYMBOL 206 \f "Symbol"Rn  EMBED Equation.3  SYMBOL 163 \f "Symbol"  EMBED Equation.3 ; cas d’égalité ?
Exercice 3 : Soient a1, a2, …, an, x1, x2, ..., xn des réels > 0. Montrer l’inégalité suivante :
( EMBED Equation.3 ).( EMBED Equation.3 ) ( (  EMBED Equation.3 )2. Cas d’égalité ?
Exercice 4 : Soient a1, a2, …, an des réels > 0, de somme s.
1) Prouver que :  EMBED Equation.3  +  EMBED Equation.3  + … +  EMBED Equation.3  (  EMBED Equation.3 .
2) Application : Soient a, b, c > 0. Montrer l’inégalité de Nesbitt :  EMBED Equation.3  +  EMBED Equation.3  +  EMBED Equation.3  (  EMBED Equation.3 .
Exercice 5 : Soient a, b, c, d des réels > 0. Montrer que  EMBED Equation.3  +  EMBED Equation.3  +  EMBED Equation.3  +  EMBED Equation.3  ( 2.
Exercice 6 : Trouver le maximum de f(x, y, z) = 3x + y + 2z sachant que x2 + y2 + z2 = 1.
Exercice 7 : Montrer SYMBOL 34 \f "Symbol"fSYMBOL 206 \f "Symbol"C([a, b], R)  EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3  SYMBOL 163 \f "Symbol" [ EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 ]1/2 ; cas d’égalité ?
Exercice 8 : Soient x1, ..., xn > 0 . Montrer (SYMBOL 229 \f "Symbol" xi).(SYMBOL 229 \f "Symbol" EMBED Equation.3 ) SYMBOL 179 \f "Symbol" n2 ; cas d’égalité ?
Exercice 9 : Étudier la fonction fSYMBOL 206 \f "Symbol"C([a, b], R*+) SYMBOL 174 \f "Symbol" SYMBOL 70 \f "Symbol"(f) = ( EMBED Equation.3 ).( EMBED Equation.3 ) .
Montrer qu’elle est minorée et atteint son min ; est-elle majorée ? Lien avec l’exercice précédent ?
Exercice 10 : Soit f(C1([0, 1], R). 1) Montrer que ((x, y)([0, 1]2 ( EMBED Equation.3 )2 ( (x ( y). EMBED Equation.3 .
2) Montrer que ((x, y)([0, 1]2 f(x) = f(y) + EMBED Equation.3  et que f(x)2 ( 2.f(y)2 + 2(x ( y). EMBED Equation.3 .
3) En déduire (x([0, 1] (y([ EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ] f(x)2 ( 2.f(y)2 +  EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 .
4) Conclure que  EMBED Equation.3  ( 6. EMBED Equation.3  +  EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3  . Cas d’égalité ?
Exercice 11 : Inégalité de Kantorovitch.
Soient x = (x1, ..., xn) et y = (y1, ..., yn) deux n-uplets de nombres > 0, M = sup EMBED Equation.3  et m = inf EMBED Equation.3 .
Montrer que ( EMBED Equation.3 ).( EMBED Equation.3 ) SYMBOL 163 \f "Symbol"  EMBED Equation.3 .( EMBED Equation.3 )2 [cf. Mines Ponts PC, 2006]
Exercice 12 : Soient n un entier > 0, x1, x2, …, xn des nombres réels tels que x1 ( x2 ( … ( xn.
1) Démontrer que ( EMBED Equation.3 )2 (  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 .
2) Démontrer qu’il y a égalité si et seulement si x1, x2, …, xn est une suite arithmétique.
[Indication : Se ramener au cas où les xi ont une moyenne arithmétique nulle].
(Olympiades 2003, problème 5)

5.3. Généralisation.
Inégalité de Hölder : Soient p et q deux réels > 1 tels que  EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3  = 1, ak et bk (1 CARSPECIAUX 163 \f "Symbol" k CARSPECIAUX 163 \f "Symbol" n) des réels ou des complexes, alors : |  EMBED Equation.3 | CARSPECIAUX 163 \f "Symbol" [ EMBED Equation.3 |ak|q ]1/q .[ EMBED Equation.3 |bk|p ]1/p
Inégalité de Minkowski : Soient p un réel CARSPECIAUX 179 \f "Symbol" 1, ak et bk (1CARSPECIAUX 163 \f "Symbol" k CARSPECIAUX 163 \f "Symbol" n) des réels ou des complexes, on a :
[ EMBED Equation.3 |ak + bk| p ]1/p CARSPECIAUX 163 \f "Symbol" [ EMBED Equation.3 |ak| p]1/p + [ EMBED Equation.3 |bk| p]1/p
Ces inégalités, laissées en exercice, découlent notamment de la convexité des fonctions xCARSPECIAUX 174 \f "Symbol" xs pour s CARSPECIAUX 179 \f "Symbol" 1 et x CARSPECIAUX 179 \f "Symbol" 0, et x CARSPECIAUX 174 \f "Symbol" (1 CARSPECIAUX 45 \f "Symbol" x1/p) p sur xCARSPECIAUX 206 \f "Symbol"[0, 1], pour p CARSPECIAUX 179 \f "Symbol" 1.
Il en résulte que, pour p CARSPECIAUX 179 \f "Symbol" 1, ||x||p = [ EMBED Equation.3 |xk| p] 1/p est une norme sur Rn ou Cn. Lorsque p = 1 ou 2, on retrouve les normes standard ; lorsque pCARSPECIAUX 174 \f "Symbol" +CARSPECIAUX 165 \f "Symbol" , il est facile d’établir que ||x||p CARSPECIAUX 174 \f "Symbol" ||x||( .

7. Inégalités de Hardy.

Ces inégalités existent en deux versions l’une discrète, l’autre intégrale. De plus, elles se généralisent aux fonctions de puissance p-ième intégrable.

Problème 1 : inégalité discrète.
Soit (an)n(1 une suite réelle de carré sommable. On se propose de montrer que sa transformée de Cesàro (bn)n(1 définie par bn =  EMBED Equation.3 (a1 + ... + an) est de carré sommable, et vérifie :
 EMBED Equation.3  SYMBOL 163 \f "Symbol" 4.  EMBED Equation.3  , cette majoration étant la meilleure possible.
1) Vérifier qu’avec la convention b0 = 0, on a : 2anbn SYMBOL 179 \f "Symbol" (n+1).bn2 SYMBOL 45 \f "Symbol" (nSYMBOL 45 \f "Symbol"1).bnSYMBOL 45 \f "Symbol"12 .
En déduire : 2. EMBED Equation.3  SYMBOL 179 \f "Symbol"  EMBED Equation.3 , et conclure.
2) Montrer qu’on ne peut avoir égalité que pour la suite nulle, mais qu’on ne peut améliorer la constante 4 (Considérer la suite an = 1/n( , avec 1/2 < SYMBOL 97 \f "Symbol" < 1.)
En d’autres termes, l’opérateur de Cesàro laisse stable l’espace l2(R) des suites de carré sommable, et y induit un opérateur continu de norme 2.

Problème 2 : inégalité intégrale.
Soit E = C(R+, R) l’espace vectoriel des fonctions continues de R+ dans R.
A toute fonction f(E on associe la fonction g : R+ ( R définie par
g(x) =  EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3  si x > 0 , g(0) = f(0) . On note g = ((f).
1) Montrer que ( est un endomorphisme de E. Est-il injectif ? Est-il surjectif ? Déterminer avec soin son image. Si f(E, g = ((f) est-elle toujours dérivable en 0 ?
2) Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de (.
3) On note F l’ensemble des fonctions f(E telles que l’intégrale  EMBED Equation.3  converge.
a) Montrer que F est un espace vectoriel et que (f1, f2) ( (f1 | f2) =  EMBED Equation.3  est un produit scalaire sur F. On note ||f||2 =  EMBED Equation.3  la norme associée.
b) Soit f(F, g = ((f). Montrer que (x > 0 |g(x)| (  EMBED Equation.3 ||f||2 . En déduire que g(x) ( 0 en +(.
c) Avec les mêmes notations, établir que si 0 < ( < x,  EMBED Equation.3 ( (.g(()2 + 2||f||2 EMBED Equation.3 
[Indication : intégrer par parties  EMBED Equation.3 .]
d) Montrer que g(F et que ||g||2 ( 2.||f||2 (inégalité de Hardy).
e) Ainsi, l’endomorphisme ( laisse stable F, et l’endomorphisme induit (F est continu et vérifie ||(F|| ( 2. Montrer que ||(F|| = 2, en considérant la famille de fonctions :
f((x) = 1 si 0 ( x ( 1 , f((x) =  EMBED Equation.3  si 1 ( x.
f) Montrer que ((f(F) f ( 0 ( ||((f)||2 < 2||f||2 .
4) On note G l’espace vectoriel des fonctions f(E telles que l’intégrale  EMBED Equation.3  converge.
Si f(G, que dire de limx(+( g(x) ? Montrer que G n’est pas (-stable.
[Considérer f(x) =  EMBED Equation.3  si 0 ( x ( e , f(x) =  EMBED Equation.3  si x ( e.]

Pour une généralisation, cf. RMS (FX Angeli), Ovaert, Meunier, etc.

Problème 3 : inégalités intégrales.
Soit E = C(R+, R), a un réel > 0 fixé. A toute f(E on associe la fonction Uf définie sur R+ par
(Uf)(x) = e(ax  EMBED Equation.3 .
1) a) Montrer que U est un endomorphisme de E.
b) Quelle équation différentielle simple U(f) vérifie-t-elle ?
c) Montrer que U est injectif. Quelle est son image ?
d) Montrer que f ( 0 ( U(f) ( 0 , et que |U(f)| ( U(|f |).
2) Soit B le sev de E formé des fonctions bornées, muni de la norme uniforme ||f||( = sup |f(x)|. Montrer que U laisse stable B, et que ((f(B) ||U(f)||( (  EMBED Equation.3 ||f||( , cette inégalité étant optimale.
3) Soit L1 le sev de E formé des fonctions intégrables, muni de la norme ||f||1 =  EMBED Equation.3 .
Montrer que U laisse stable L1, et que ((f(L1) ||U(f)||1 (  EMBED Equation.3 .||f||1 , cette inégalité étant optimale.
4) Soit L2 le sev de E des fonctions de carré intégrable, muni de la norme ||f||2 =  EMBED Equation.3 .
Montrer que U laisse stable L2, et que ((f(L2) ||U(f)||2 (  EMBED Equation.3 .||f||2 , cette inégalité étant optimale.

8. Inégalités de Hilbert.

Ces inégalités existent en deux versions, l’une discrète, l’autre intégrale, toutes deux laissées en exercices.
Exercice 1 : 1) Soit P(R[X]. Montrer que  EMBED Equation.3  + i. EMBED Equation.3  = 0.
En déduire  EMBED Equation.3  (  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 .
2) Montrer l’inégalité de Hilbert : ((a0, a1, …, an)(Rn+1 0 (  EMBED Equation.3  ( (. EMBED Equation.3 .

Exercice 2 : Soient f, g : R+ ( R+ deux fonctions continues de carré intégrable.
1) Montrer que  EMBED Equation.3  ( (. EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 
[Ind. : mettre le premier membre sous la forme  EMBED Equation.3  et utiliser Cauchy-Schwarz.]
2) Montrer que ( est la meilleure constante possible, en prenant pour f et g :
f(x) = g(x) =  EMBED Equation.3  si 1 ( x ( A , f(x) = g(x) = 0 sinon.

9. Inégalités de Muirhead.

Définition : Une matrice A = (aij)CARSPECIAUX 206 \f "Symbol"Mn(R) est dite bistochastique si elle est à coefficients CARSPECIAUX 179 \f "Symbol" 0 et si :
(i([1, n]  EMBED Equation.3  = 1 et CARSPECIAUX 34 \f "Symbol"jCARSPECIAUX 206 \f "Symbol"[1, n]  EMBED Equation.3  = 1 .
Proposition : L’ensemble CARSPECIAUX 87 \f "Symbol"n des matrices bistochastiques est une partie convexe, compacte, stable pour la multiplication, de Mn(R). De plus, CARSPECIAUX 87 \f "Symbol"n a pour dimension affine (nCARSPECIAUX 45 \f "Symbol"1)2 .
Exemples :
1) Les matrices de permutation sont bistochastiques.
2) Soit W = (wij)CARSPECIAUX 206 \f "Symbol"On(R) une matrice orthogonale. La matrice A = (wij2) est bistochastique ; une telle matrice A est dite orthostochastique. On n’obtient pas ainsi toutes les matrices bistochastiques.
Exercice : Montrer que A =  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  est bistochastique, mais non orthostochastique.
Théorème de Birkhoff : L’ensemble CARSPECIAUX 87 \f "Symbol"n est l’enveloppe convexe des matrices de permutation.
Théorème de Muirhead : Soit Sn = {x = (x1, …, xn)(Rn ; 0 ( x1 ( x2 ( … ( xn , x1 + x2 + … + xn = 1}, x et y deux éléments de Sn. Les propriétés suivantes sont équivalentes :
i) Il existe une matrice orthostochastique A telle que y = A.x ;
ii) Il existe une matrice bistochastique A(CARSPECIAUX 87 \f "Symbol"n telle que y = A.x ;
iii) y est combinaison convexe des n! vecteurs x( obtenus en permutant les coordonnées de x ;
iv) Pour toute fonction convexe f : R ( R, on a f(y1) + … + f(yn) ( f(x1) + … + f(xn) ;
v) Pour tout k([1, n] on a x1 + … + xk ( y1 + … + yk .
Preuve : i) ( ii) est immédiat.
ii) ( iii) découle du théorème de Birkhoff ; mais iii) ( ii) est élémentaire.
ii) ( iv) ((i) yi =  EMBED Equation.3 , donc f(yi) ( EMBED Equation.3  par convexité de f.
Il reste à additionner  EMBED Equation.3 (  EMBED Equation.3  = EMBED Equation.3  =  EMBED Equation.3  =  EMBED Equation.3 .
iv) ( v) Il suffit d’appliquer ii) à chacune des fonctions convexes
 EMBED Equation.3  = xk – t si t ( xk ,  EMBED Equation.3  = 0 si t ( xk .
v) ( i) est difficile : cf. pb. ENSAE 1982, Horn et Johnson, etc.
Si x = (x1, …, xn)(Rn , on note  EMBED Equation.3  = ( EMBED Equation.3 , …, EMBED Equation.3 ) le vecteur obtenu en réarrangeant les coordonnées dans l’ordre croissant :  EMBED Equation.3  = min xi ( … (  EMBED Equation.3 = max xi.
Théorème 2 : Soient x et y deux vecteurs de Rn . Les propriétés suivantes sont équivalentes :
i) Il existe une matrice bistochastique A(CARSPECIAUX 87 \f "Symbol"n telle que y = A.x ;
ii) Pour toute fonction convexe f : R ( R, on a f(y1) + … + f(yn) ( f(x1) + … + f(xn) ;
iii) Pour tout k([1, n] on a  EMBED Equation.3  + … +  EMBED Equation.3  (  EMBED Equation.3  + … +  EMBED Equation.3 , avec égalité pour k = n.
Ce théorème se déduit aisément du précédent.
Applications matricielles :
Théorème : Soient A = (aij)(Sn(R) une matrice symétrique réelle d’ordre n, de valeurs propres
SYMBOL 108 \f "Symbol"1 SYMBOL 179 \f "Symbol" SYMBOL 108 \f "Symbol"2 SYMBOL 179 \f "Symbol" ... SYMBOL 179 \f "Symbol" SYMBOL 108 \f "Symbol"n , et f : [SYMBOL 108 \f "Symbol"n, SYMBOL 108 \f "Symbol"1] ( R une fonction convexe.
Alors, pour tout i, aii ( [SYMBOL 108 \f "Symbol"n, SYMBOL 108 \f "Symbol"1] et  EMBED Equation.3  (  EMBED Equation.3 .
Si l’on note E(A) = {P(1.A.P = tP.A.P ; P(On(R)}, alors max { EMBED Equation.3 ; B(E(A)} =  EMBED Equation.3 .
Preuve : Soit P(On(R) telle que P(1.A.P = tP.A.P = diag(SYMBOL 108 \f "Symbol"1 , SYMBOL 108 \f "Symbol"2 , ... , SYMBOL 108 \f "Symbol"n).
On a aii =  EMBED Equation.3 , donc aii ( [SYMBOL 108 \f "Symbol"n, SYMBOL 108 \f "Symbol"1] (ce qui découle aussi de Rayleigh-Ritz), et
a = Q.( , où a = t(a11, …, ann) , ( = t((1, …, (n) et Q = t( EMBED Equation.3 ).
La matrice Q est orthostochastique, donc bistochastique. Il découle du th. de Muirhead (en fait, de la partie facile du théorème, donc d’un banal argument de convexité) que  EMBED Equation.3  (  EMBED Equation.3 .
La deuxième assertion contient la première et en découle, car toute B(E(A) est symétrique et a même valeurs propres que A. De plus, la matrice D = diag(SYMBOL 108 \f "Symbol"1 , SYMBOL 108 \f "Symbol"2 , ... , SYMBOL 108 \f "Symbol"n) est élément de E(A).
Corollaire 1 : Soit A = (aij)(Sn(R) symétrique définie positive de valeurs propres SYMBOL 108 \f "Symbol"1 SYMBOL 179 \f "Symbol" ... SYMBOL 179 \f "Symbol" SYMBOL 108 \f "Symbol"n .
 EMBED Equation.3  (  EMBED Equation.3  si p ( 1.
 EMBED Equation.3  (  EMBED Equation.3  si 0 < p ( 1.
Preuve : Il suffit d’appliquer le théorème à f(t) = tp si p ( 1, et f(t) = ( tp si 0 < p ( 1.
Corollaire 2 : Soit A = (aij)(Sn(R) symétrique définie positive de valeurs propres SYMBOL 108 \f "Symbol"1 SYMBOL 179 \f "Symbol" ... SYMBOL 179 \f "Symbol" SYMBOL 108 \f "Symbol"n .
det A (  EMBED Equation.3 .
Preuve : Il suffit d’appliquer le th. à la fonction f(t) = ( ln t, qui est convexe sur R*+.
NB : Il y a égalité ssi A est diagonale.
Corollaire 3 : inégalité d’Hadamard. Soit A = (aij)(Mn(R). Alors |det A| (  EMBED Equation.3 .
Preuve : On peut sans dommage supposer A(Gln(R). Alors tA.A est symétrique définie positive. On peut lui appliquer le corollaire 2…

10. Inégalités isopérimétriques.

Le problème des isopérimètres est l’un des plus vieux et des plus célèbres problèmes des mathématiques  : trouver parmi les polygones convexes, resp. les courbes convexes, de périmètre donné, ceux ou celles qui enserrent l’aire maximum. Ce problème et ses extensions à l’espace, sont toujours l’objet de recherches. Voici deux problèmes classiques traitant ces questions.

Problème 1 : inégalités isopérimétriques pour les polygones.

A. Première partie. Soit E l’espace vectoriel des applications de Z/nZ dans C.
1) Montrer que < f , g > = EMBED Equation.3  définit un produit scalaire hermitien sur E, et que les fonctions (hk)0(k(n(1 définies par hk(m) = EMBED Equation.3 .exp( EMBED Equation.3  (m(Z/nZ) forment une base orthonor-mée de E.
2) Comparer les décompositions dans cette base de deux fonctions f et g vérifiant :
(1)  EMBED Equation.3  = EMBED Equation.3 = 0 (2) (m(Z/nZ  EMBED Equation.3  = f(m+1) ( f(m).
3) On suppose de plus que |g(m)| est un nombre ( indépendant de m.
Montrer que 2.Im < f , g > ( n.(2.cotan  EMBED Equation.3  , avec égalité si et seulement si g est proportionnel à h1.
B. Deuxième partie. Soit E un plan affine euclidien orienté.
On appelle polygone à n côtés une application A : m(Z/nZ ( Am(E ,
périmètre de A : L(A) =  EMBED Equation.3  , et aire de A : S(A) =  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 
où ( désigne le déterminant des coordonnées dans une base orthonormée directe.
0) Montrer que S(A) est indépendant du point O.
1) Montrer qu’il existe un polygone à n côtés pour lequel la fonction  EMBED Equation.3  atteint sa borne supérieure. Montrer qu’il correspond à la borne supérieure de la valeur absolue.
2) Soient B et C deux points de E, p un réel > || EMBED Equation.3 ||. Montrer que la borne supérieure de l’aire  EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3  lorsque M varie en étant soumis à la contrainte || EMBED Equation.3 || + || EMBED Equation.3 || = p , est atteinte pour un triangle isocèle || EMBED Equation.3 || = || EMBED Equation.3 || .
3) Montrer qu’un polygone à n côtés pour lequel la borne supérieure de  EMBED Equation.3  est atteinte, a ses n cotés égaux.
4) Pour m(Z/nZ, on note x(m) et y(m) les coordonnées de Am dans une base orthonormée directe dont l’origine est le centre de gravité des Am.
On pose h(m) = x(m) + i.y(m) , g(m) = h(m+1) ( h(m) et f(m) =  EMBED Equation.3 .
Montrer que S(A) = ( EMBED Equation.3 < f , g > , et que S(A) ( (4n.tan EMBED Equation.3 )(1.L(A)2 . Quand a-t-on égalité ?
5) Quelle est la borne supérieure du rapport  EMBED Equation.3 lorsque A décrit l’ensemble des polygones ?
6) Soit K un compact convexe d’intérieur non vide du plan. Majorer le rapport  EMBED Equation.3 . Quand peut-on penser que la borne supérieure est atteinte ? Ce raisonnement est-il rigoureux ?
Remarque historique : L’inégalité isopérimétrique est mentionnée plus ou moins clairement dans plusieurs textes de la géométrie grecque. Archimède la connaissait, mais il semble que Zénodore (env. 200-140 av. J.-C.) ait été le premier à en ébaucher une démonstration, celle-là même que suggère le problème : Zénodore montre l’inégalité pour les polygones et passe à la limite…


Problème 2 : inégalité isopérimétrique pour les convexes plans.

Soit p une fonction de classe C2 2(-périodique R ( R, vérifiant : ((((R) p(() + p’’(() > 0.
Dans le plan euclidien orienté rapporté au repère orthonormé (O,  EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ), on note :
( EMBED Equation.3 ((),  EMBED Equation.3 (()) le repère radial :  EMBED Equation.3 (() = cos((). EMBED Equation.3 + sin((). EMBED Equation.3  ,  EMBED Equation.3 (() =  EMBED Equation.3 (( +  EMBED Equation.3 )
D(() la droite d’équation  x.cos ( + y.sin ( ( p(() = 0
D’(() la droite d’équation  ( x.sin ( + y.cos ( ( p’(() = 0 .
1) a) Montrer que D(()(D’(() est un singleton {M(()}. Soit ( l’arc paramétré décrit par M((). Montrer qu’il est de classe C1. Reconnaître la tangente et la normale en M(() à (.
b) Montrer que (({M(()} est contenu dans l’un des demi-plans ouverts délimités par D(().
c) On note (+(() le demi-plan {(x, y) ; x.cos ( + y.sin ( ( p(()}.
Montrer que  EMBED Equation.3 est un convexe compact K d’intérieur non vide, de frontière (.
2) Exprimer la longueur L de ( et l’aire A de K à l’aide des fonctions p et p’, puis des coefficients de Fourier cn(p), n(Z.
3) En déduire A (  EMBED Equation.3  , avec égalité ssi ( est un cercle.
C’est l’inégalité isopérimétrique, démontrée par la méthode d’Hurwitz (1901).

____________

Bibliographie

G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Polya : Inequalities (Cambridge)
N. Bourbaki : Intégration, chap. 1 : Inégalités de convexité (Hermann)
T. B. Soulami : Les Olympiades de mathématiques (Ellipses, 1999)
M. Aassila : Olympiades internationales de mathématiques 1998-2002 (Ellipses, 2003)
P. Bourgade : Olympiades internationales de mathématiques 1976-2005 (Cassini, 2005)
P. Meunier : Algèbre et analyse, Inégalités… (Puf, p. 321-406)
M. Marcus et H. Minc : A survey of matrix theory and matrix inequalities (Dover)
Inégalité de Muirhead : Hardy, Horn et Johnson, Marcus et Minc, pb ENSAE 1982
Inégalité de Shapiro : pb d’ENS vers 2001
Inégalité de Kantorovitch : pb. Mines Ponts PC, 2006
Inégalités de Kolmogorov : pb. Centrale 1981, et chap. sur fcts d’une variable réelle.
P.-J. Hormière : Géométrie du triangle, § 9
Propriétés extrémales des valeurs propres des endomorphismes autoadjoints.
Convexité.
Revue de math spé :
Inégalité de Hardy, RMS (vers 1984 ?)
Inégalité de Hilbert, RMS mai 1996 (p. 970)
Inégalité de Markov, RMS juin 1997 (p. 862)
Inégalité de Van der Corput, RMS juin 1997 (p. 869)
Inégalité de Tchebychev, RMS n° 4, mai 2005 (p. 130)
Majoration d’une somme de modules, RMS n° 4, mai 2005 (p. 137)
Inégalité isopérimétrique, RMS n° 4, mai 2005 (p. 168)
____________
 Cecil J. Nesbitt (1912-1991), mathématicien américain.
 La formule H2 ( G2 CARSPECIAUX 163 \f "Symbol" A2 était connue des pythagoriciens, comme le montrent certains extraits d’Archytas de Tarente. Mais il faut apparemment attendre 1729 pour trouver mentionnée explicitement par Maclaurin l’inégalité de la moyenne géométrique Gn CARSPECIAUX 163 \f "Symbol" An , et cela, bien que des problèmes d’extremum bien plus diffi-ciles aient été abordés longtemps avant.
 Inégalité énoncée par le français Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) en 1821 dans le cas du produit scalaire euclidien standard sur Rn. Le russe Viktor Iakovlevitch Buniakovski (1804-1889) en 1859, et l’allemand Hermann Amandus Schwarz (1843-1921) en 1885 l’ont généralisée aux intégrales.
 Hermann Minkowski (1864-1909), mathématicien allemand.
 « Je n’oublierai jamais d’avoir vu à Turin un jeune homme à qui dans son enfance on avoit appris les rapports des contours et des surfaces en lui donnant chaque jour à choisir dans toutes les figures géométriques des gauffres isopérimètres. Le petit gourmand avoit épuisé l’art d’Archimède pour trouver dans laquelle il y avoit le plus à manger. » raconte Jean-Jacques Rousseau dans Emile (Livre II, Pléïade, p. 401)
 cf. Marcel Berger, Le volume optimal ou l’inégalité isopérimétrique, Pour la science, déc 2003, p. 65

PAGE 


PAGE 8



 :