Td corrigé 1. Signal discret, signal bloqué, signal échantillonné pdf

1. Signal discret, signal bloqué, signal échantillonné

Correction de TD7: Transformée en z en temps discret ... Etablir l'expression du signal discretsi on échantillonneaux instants avec . .... Ajoutons la loi de commande , le système bouclé obtenu ainsi aura la fonction de transfert , quelle en est la ...




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viside). Quelle est la fonction de transfert INCORPORER Equation.3 de BOZ ?
Quelle est la transformée de Laplace du signal échantillonné  INCORPORER Equation.3  ? Déduire la transformée de Laplace de  INCORPORER Equation.3 .  Comparer la transformée en z  INCORPORER Equation.3  du signal discret INCORPORER Equation.3 avec INCORPORER Equation.3 .

















% en Matlab
>> t= 0 :.5 :3 ;
>> s= 2*exp(-2*t) ;
>> plot(t,s)
>> stem(t,s)
>> stairs(t,s)
>> grid






 INCORPORER Equation.3 
 INCORPORER Equation.3 
 INCORPORER Equation.3  fonction de transfert du BOZ
 INCORPORER Equation.3 , d’où la transformée de Laplace  INCORPORER Equation.3 si  INCORPORER Equation.3 convergence vers  INCORPORER Equation.3 
 INCORPORER Equation.3 en transformant cette chaîne étape par étape, il vient
 INCORPORER Equation.3 , on retrouve une suite d’impulsions de hauteur  INCORPORER Equation.3 pour la nième et de largeur  INCORPORER Equation.3 , dont le terme général de la somme exprimé avec la variable de Laplace est  INCORPORER Equation.3 , échelon d’amplitude  INCORPORER Equation.3 débutant en  INCORPORER Equation.3 moins échelon de même amplitude débutant en  INCORPORER Equation.3  …
 INCORPORER Equation.3 et  INCORPORER Equation.3 sont d’ordre 1, la constante de temps vaut  INCORPORER Equation.3  et le pôle discret vaut  INCORPORER Equation.3  c’est en fait  INCORPORER Equation.3 

Transformée en z :
A. Calculer  INCORPORER Equation.3  dont on représentera l’allure temporelle. Appliquer les théorèmes des valeurs initiale et finale. Montrer que les valeurs INCORPORER Equation.3 ,  INCORPORER Equation.3 , décrivent un régime transitoire exponentiel. Relier le temps de réponse à 5% de ce transitoire au pôle  INCORPORER Equation.3  et à  INCORPORER Equation.3 .
Donner deux manières de générer le signal  INCORPORER Equation.3 .
Appliquons la formule des résidus à la quantité  INCORPORER Equation.3  il y a deux résidus, soient :
 INCORPORER Equation.3 
Pour  INCORPORER Equation.3 ,  INCORPORER Equation.3 , pour  INCORPORER Equation.3 ,  INCORPORER Equation.3 , entre ces deux limiltes, un régime exponentiel en  INCORPORER Equation.3 , soit  INCORPORER Equation.3 ou encore  INCORPORER Equation.3 avec  INCORPORER Equation.3 
Le théorème de la valeur finale donne :  INCORPORER Equation.3 ,  INCORPORER Equation.3  donne  INCORPORER Equation.3 
Processus générateurs de  INCORPORER Equation.3 , supposons qu’on a inversé une réponse impulsionnelle, la quantité inversée était en fait une fonction de transfert en z, quelle en était alors l’équation aux différences associée ? Il suffira de présenter une impulsion discrète à l’entrée de ce processus ? on rappelle que l’impulsion discrète est un signal nul partout sauf en  INCORPORER Equation.3  où il vaut 1. On retrouve facilement la transformée en z de l’impulsion discrète (fonction de Kronecker) qui vaut 1 (appliquer définition de Tz). Seconde possibilité,  INCORPORER Equation.3 étant la transformée de l’échelon discret, on peut également programmer un échelon à l’entrée du processus d’équation  INCORPORER Equation.3 

Etudier le processus discret d’équation paramétrée INCORPORER Equation.3 , d’entrée  INCORPORER Equation.3 et de sortie INCORPORER Equation.3 . Calculer la réponse indicielle associée, et étudier l’effet des deux paramètres  INCORPORER Equation.3 et INCORPORER Equation.3 sur la stabilité, le gain statique et la constante de temps. Comment choisir  INCORPORER Equation.3 et INCORPORER Equation.3 pour obtenir un temps de réponse de  INCORPORER Equation.3 environ et un gain statique de  INCORPORER Equation.3 si la fréquence d’échantillonnage vaut  INCORPORER Equation.3  ?
La fonction de transfert vaut  INCORPORER Equation.3 , la réponse indicielle est  INCORPORER Equation.3 
soit par la formule des résidus  INCORPORER Equation.3 , on en déduit l’allure et le gain statique qui est  INCORPORER Equation.3 , la constante de temps se déduit de  INCORPORER Equation.3 comme dans l’exercice précédent,  INCORPORER Equation.3 , il y a stabilité dés que  INCORPORER Equation.3 , Pour les valeurs demandées, il suffit de fixer  INCORPORER Equation.3 et  INCORPORER Equation.3 soit  INCORPORER Equation.3 
Notons le cas particulier où  INCORPORER Equation.3 , le processus se comporte alors comme un retard d’une période d’échantillonnage , si  INCORPORER Equation.3 , le processus répond alors à une entrée présentée en la recopiant « pile » après une période d’ échantillonnage.

Fonction de transfert en z :
A. le filtre suivant est donné par une équation aux différences comportant 3 paramètres  INCORPORER Equation.3  :
 INCORPORER Equation.3 . Calculer la fonction de transfert INCORPORER Equation.3 et la réponse impulsionnelle  INCORPORER Equation.3 . Décrire la relation d’entrée sortie du filtre par un produit de convolution.

La transformée en z de  INCORPORER Equation.3  à conditions initiales nulles et en prenant  INCORPORER Equation.3 et  INCORPORER Equation.3 pour transformées de la sortie  INCORPORER Equation.3 et de l’entrée  INCORPORER Equation.3 donne  INCORPORER Equation.3 soit  INCORPORER Equation.3  Le terme  INCORPORER Equation.3 au dénominateur est un retard d’une période d’échantillonnage, essayons d’inverser  INCORPORER Equation.3 dans  INCORPORER Equation.3 , il suffira ensuite de remplacer  INCORPORER Equation.3 par  INCORPORER Equation.3 dans le résultat obtenu. Or,  INCORPORER Equation.3  donne par transformation inverse (cf. table de transformée en z)  INCORPORER Equation.3 , pour le premier terme et  INCORPORER Equation.3  pour le second à partir de  INCORPORER Equation.3 ( retard appliqué à un terme de la table). En résumé, pour D(z), c’est  INCORPORER Equation.3 ,  INCORPORER Equation.3 , et  INCORPORER Equation.3 pour  INCORPORER Equation.3  Si on donne un signal  INCORPORER Equation.3 causal à l’entrée, connaissant la réponse impulsionnelle causale également  INCORPORER Equation.3 , la relation d’entrée sortie permettant de calculer  INCORPORER Equation.3 est  INCORPORER Equation.3 


B. le filtre correcteur proportionnel intégral dérivé (ou pid) ci-dessous est donné par une fonction de transfert, avec trois paramètres  INCORPORER Equation.3 . Les paramètres étant par exemple ici  INCORPORER Equation.3  quelle est l’équation aux différences à programmer pour réaliser ce filtre discret ?
 INCORPORER Equation.3 
Mettons  INCORPORER Equation.3  sous la forme d’une fraction rationnelle en  INCORPORER Equation.3 , et nommons  INCORPORER Equation.3  et  INCORPORER Equation.3 les transformées de la sortie et de l’entrée , c’est  INCORPORER Equation.3  d’où l’équation aux différences
 INCORPORER Equation.3 
Deuxième partie : problème
Etudier l’asservissement de la sortie  INCORPORER Equation.3 du processus discret d’entrée  INCORPORER Equation.3 d’équation  INCORPORER Equation.3  au moyen d’une loi proportionnelle de gain  INCORPORER Equation.3  :  INCORPORER Equation.3 , la période d’échantillonnage vaut  INCORPORER Equation.3 . Que dire de la valeur INCORPORER Equation.3  (réponse pile) ?
La commande en boucle ouverte du processus est-elle envisageable ?
Comment se traduit l’apparition d’un retard pur  INCORPORER Equation.3 dû au calcul :  INCORPORER Equation.3  ?

La fonction de transfert est  INCORPORER Equation.3 pour le processus seul, une petite étude rapide montre que c’est un équivalent discret de l’intégrateur en temps continu, donc instable au sens ebsb et difficile à commander.

Ajoutons la loi de commande  INCORPORER Equation.3 , le système bouclé obtenu ainsi aura la fonction de transfert  INCORPORER Equation.3 , quelle en est la réponse indicielle si  INCORPORER Equation.3 , on trouve  INCORPORER Equation.3 pour  INCORPORER Equation.3 . On voit apparaître un gain statique unité ainsi qu’un régime exponentiel ou un régime sinusoïdal amorti selon les cas, petite étude intéressante à faire selon la valeur du pôle  INCORPORER Equation.3  :
Voir les cas  INCORPORER Equation.3  = –2, -1, -0.5, 0, 0.5, 1, 2, il existe à chaque fois une valeur de  INCORPORER Equation.3  possible et le comportement est assez facile à évaluer parce qu’il s’agit de puissances de 2.
On peut également associer les comportements au lieu du pôle  INCORPORER Equation.3 
En particulier  INCORPORER Equation.3 est très intéressant, et typique des systèmes discrets, l’asservissement répond pile en une période d’échantillonnage à l’échelon présenté, ou à n’importe quelle entrée d’ailleurs.
Dans le cas d’un retard de  INCORPORER Equation.3 dans le calcul de  INCORPORER Equation.3 la fonction de transfert de l’asservissement devient  INCORPORER Equation.3 , c’est maintenant un second ordre discret, qui suivant les valeurs de  INCORPORER Equation.3 va présenter des réponses apériodiques ou sinusoïdales amorties, par exemple, le cas  INCORPORER Equation.3 précédent est alors la limite d’instabilité au lieu de la réponse pile. Le gain statique vaut 1, soit une erreur statique nulle. Essayer le cas  INCORPORER Equation.3 qui donne le régime critique, un pôle double en  INCORPORER Equation.3 
Le lieu des pôles est également facile à tracer
Et à discuter
 INCORPORER Equation.3 limite d’instabilité
 INCORPORER Equation.3 racine double
 INCORPORER Equation.3 racines réelles stables



Ecole Supérieure des Sciences Informatiques - Automatique et TS


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©Jean-Paul Stromboni, ESSI, Avril 2000 -  PAGE 4 -

ESSI, Automatique et Traitement du Signal : Introduction aux Signaux et Systèmes de l’Automatique, JPS, 2000 -  PAGE 1 -