Titre1 - Examen corrige
Ecole Supérieure des Sciences Informatiques - Automatique et TS. Signaux et
Systèmes Discrets[1]. En temps discret, la fonction de transfert en Z tu manieras
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RER Equation.2 . Un signal discret peut être :
soit une suite de valeurs engendrée par un programme au rythme dune horloge de période T. Par exemple, le vecteur INCORPORER Equation.2 , soit INCORPORER Equation.2 , INCORPORER Equation.2 contient une rampe. Ou bien le résultat INCORPORER Equation.3 du programme calculant INCORPORER Equation.3 avec INCORPORER Equation.3 est encore une rampe discrète.Exercice 1 : quel est le signal discret engendré par léquation INCORPORER Equation.3 ?
soit une suite déchantillons (mesures, acquisitions) sur un signal continu INCORPORER Equation.2 . Par exemple, avec la fréquence déchantillonnage INCORPORER Equation.2 , INCORPORER Equation.2 donne :
INCORPORER Equation.2
Représentation graphique dun signal discret par MATLAB (fonction stem) :
b. Signal bloqué :
Pour reconstituer un signal continu (qui dure dans le temps) à partir dun signal discret, le bloqueur dordre zéro (ou BOZ) maintient la valeur INCORPORER Equation.2 entre les instants INCORPORER Equation.3 et INCORPORER Equation.2 . Ainsi, sauriez vous compléter le diagramme précédent en conséquence ?
Exercice 2 : Représenter le signal discret INCORPORER Equation.2 après blocage
c. Signal échantillonné
Associé au signal discret INCORPORER Equation.2 tiré du signal continu INCORPORER Equation.2 , ce signal noté traditionnellement INCORPORER Equation.2 permet de définir mathématiquement léchantillonnage:
INCORPORER Equation.2 si INCORPORER Equation.2 est causal.
Exercice 3 : Donner en conséquence lexpression mathématique de léchelon échantillonné u*(t)
Définition :
On nommera échantillonneur idéal le filtre qui donne INCORPORER Equation.2 à partir de INCORPORER Equation.2
Si INCORPORER Equation.2 , compte tenu des propriétés de la distribution de Dirac, le signal échantillonné sexprime par INCORPORER Equation.2 où INCORPORER Equation.2 est la fonction « peigne » ou « peigne de Dirac », donc une suite périodique dimpulsions de Dirac.
On symbolise ci-dessous léchantillonneur idéal pour le signal INCORPORER Equation.3 avec la période T :
Transformée en z (transformée de Laplace des signaux discrets) :
a. Définition
On sait calculer la transformée de Laplace du signal échantillonné INCORPORER Equation.2 avec le théorème du décalage temporel INCORPORER Equation.2 . On obtient INCORPORER Equation.2 (1)
Pour étudier la convergence de la somme INCORPORER Equation.3 , on pose INCORPORER Equation.2 pour simplifier.
La nouvelle variable z est complexe comme la variable de Laplace, et T est la période déchantillonnage constante.
En cas de convergence de (1), cest donc INCORPORER Equation.2
INCORPORER Equation.2 est la transformée en z du signal discret INCORPORER Equation.2 (signal INCORPORER Equation.2 échantillonné avec la cadence T).
INCORPORER Equation.2
par échantillonnage
INCORPORER Equation.2
Conclusion
La transformée en Z est une forme de la transformée de Laplace. La relation INCORPORER Equation.3 est fondamentale, car elle permet détendre les résultats établis pour les systèmes en temps continu aux systèmes en temps discret.
b. Transformée en z des signaux élémentaires :
En appliquant la définition (1) de la transformée en z, on établit aisément que :
Léchelon unité INCORPORER Equation.2 donne par échantillonnage INCORPORER Equation.2 pour INCORPORER Equation.2 . INCORPORER Equation.2 si INCORPORER Equation.3 soit INCORPORER Equation.2 (cest le domaine de convergence)
Impulsion : en temps continu, cest limpulsion de Dirac INCORPORER Equation.2 , en temps discret, on utilise la fonction de Kronecker, soit INCORPORER Equation.2 si INCORPORER Equation.2 , et INCORPORER Equation.2 . On trouve donc facilement que INCORPORER Equation.2 sans condition de convergence sur z.
Premier ordre, constante de temps : INCORPORER Equation.2 qui converge vers INCORPORER Equation.2 si : INCORPORER Equation.2
etc ... (voir une table de transformées en z)
Exercice 4 : quelle est la transformée en z de la rampe unité ? (Solution : INCORPORER Equation.3 )
c. Quelques propriétés de la transformée en Z :
Les transformées en Z et de Laplace L ont des propriétés liées par la relation INCORPORER Equation.2 .
Z est donc linéaire, doù la possibilité de décomposition en éléments simples
Le théorème du retard de Z remplace celui de la dérivée et permet le calcul de la fonction de transfert :
INCORPORER Equation.2
A condition initiale INCORPORER Equation.3 nulle, on a donc : INCORPORER Equation.2 et plus généralement INCORPORER Equation.2 .
Exercice 5 : vérifier pour léchelon et limpulsion discrets
Théorèmes des valeurs initiale et finale : soit INCORPORER Equation.2 : Théorème de la Valeur Initiale : INCORPORER Equation.2 Théorème de la Valeur Finale : INCORPORER Equation.2
Transformée du Produit de Convolution * :Le produit de convolution de deux signaux discrets a et b est défini comme suit : INCORPORER Equation.2 , avec INCORPORER Equation.3 si INCORPORER Equation.3 et INCORPORER Equation.3 sont causaux.Comme pour la transformée de Laplace, on a : INCORPORER Equation.2 et INCORPORER Equation.2 .
Formule des résidus : pour inverser la transformée en z, à comparer à la formule déjà vue pour le cas continu (
INCORPORER Equation.2
avec, pour le résidu de INCORPORER Equation.3 en INCORPORER Equation.3 pôle dordre INCORPORER Equation.3
INCORPORER Equation.2
Exercice 6 : Inverser ainsi INCORPORER Equation.3
d. Application à la fonction de transfert en z
Soit un programme calculant toutes les T secondes une nouvelle valeur INCORPORER Equation.3 dun signal discret à partir de mesures INCORPORER Equation.3 opérées sur un signal x(t) et selon la relation (EaD) suivante, ou équation aux différences :
INCORPORER Equation.2 (EaD)
où INCORPORER Equation.3 est la valeur calculée à linstant INCORPORER Equation.3 , INCORPORER Equation.3 est le résultat du calcul précédent et INCORPORER Equation.3 lentrée mesurée en INCORPORER Equation.3 . Léquation (EaD) est récursive (i.e. le calcul de y dépend de y lui-même).
Supposons INCORPORER Equation.2 et INCORPORER Equation.2 , on a alors à conditions initiales nulles, soit INCORPORER Equation.3 .
INCORPORER Equation.2
On en tire ici INCORPORER Equation.2 .
INCORPORER Equation.3 est la fonction de transfert associée, cest une fraction rationnelle en z. La relation (EaD) sécrit encore sous la forme dun produit de convolution discret puisque :
INCORPORER Equation.2
INCORPORER Equation.2 est alors la réponse impulsionnelle du processus discret déquation (EaD) et de fonction de transfert INCORPORER Equation.3 , on a comme en temps continu INCORPORER Equation.3
Calcul des réponses temporelle et fréquencielle dun processus discret
On procède comme en temps continu, à ceci près que INCORPORER Equation.3 :
Réponse impulsionnelle : INCORPORER Equation.2 INCORPORER Equation.2 , INCORPORER Equation.2
Réponse indicielle : INCORPORER Equation.2 donc INCORPORER Equation.2
Réponse harmonique : INCORPORER Equation.2 se traduit par INCORPORER Equation.2 , doù la réponse harmonique ou fréquencielle, Gain = INCORPORER Equation.2 et Phase = INCORPORER Equation.2 .
Gain statique : cest INCORPORER Equation.3
Exercice 7 : Appliquer à lexemple INCORPORER Equation.3
Signaux et processus élémentaires en temps discret
Avec des équations aux différences, il est possible de générer des signaux discrets qui reproduisent les comportements des processus élémentaires déjà vus en temps contiu . On nomme processus générateur dun signal discret INCORPORER Equation.3 le processus discret dont la réponse à une impulsion discrète est justement INCORPORER Equation.3 .
A. Signal rampe
B. Signal exponentiel de type premier ordre type (constante de temps) :
C. Signal sinusoïdal amorti
D. et que rappelle ce dernier signal discret ? comment le créer ?
Exercices sur la transformée en z:
Définir le signal discret noté INCORPORER Equation.3 et obtenu en échantillonnant la réponse impulsionnelle du processus Cobaye soit INCORPORER Equation.3 avec la période déchantillonnage INCORPORER Equation.3
Calculer la transformée inverse de INCORPORER Equation.3 , puis celle de INCORPORER Equation.3
Déterminer la fonction de transfert associée au processus discret dentrée INCORPORER Equation.3 et de sortie INCORPORER Equation.3 dont léquation est : INCORPORER Equation.3 A propos, cette équation est elle linéaire ? stationnaire ? causale ?
Calculer la transformée en z de INCORPORER Equation.3 échantillonné au rythme INCORPORER Equation.3
Quelle est la transformée inverse de INCORPORER Equation.3
Quelle est la fonction de transfert du filtre moyenneur suivant dentrée INCORPORER Equation.3 et de sortie INCORPORER Equation.3 avec léquation INCORPORER Equation.3 . Ce filtre est il causal ? linéaire ? stationnaire ?
par « discret », ou « en temps discret », on entend défini seulement en une suite dinstants discrets (discrete = discontinu en anglais) ; on néglige le caractère non linéaire numérique dû à la quantification des amplitudes de INCORPORER Equation.3 et INCORPORER Equation.3 , discret égale linéaire.
noter que INCORPORER Equation.3 est « lopérateur retard ».
Ecole Supérieure des Sciences Informatiques - Automatique et TS
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© Jean-Paul Stromboni, ESSI, Avril 2000 Page - PAGE 1 -
ESSI, Automatique et Traitement du Signal : Introduction aux Signaux et Systèmes de lAutomatique, JPS, 2000 - PAGE 1 -
s(-4) s(-3) s(-2) s(-1) s(0) s(1) s(2) s(3) s(4)
t
-4T -3T -2T -T 0 T 2T 3T 4T
INCORPORER Equation.2
INCORPORER Equation.2
INCORPORER Equation.2
INCORPORER Equation.3
INCORPORER Equation.3
INCORPORER Equation.3
+
--
INCORPORER Equation.3
INCORPORER Equation.3
INCORPORER Equation.3
INCORPORER Equation.3
INCORPORER Equation.3
INCORPORER Equation.3
INCORPORER Equation.3
INCORPORER Equation.3
INCORPORER Equation.3
INCORPORER Equation.3
INCORPORER Equation.3
INCORPORER Equation.3
Loi de commande :
on fait
puis INCORPORER Equation.3
ou en général
Echantil-lonneur.
BOZ
Ordinateur
Processus Cobaye
% Ce script crée une rampe discrète de pente ____.
T=1
rampe=tf([2 0],[1 -2 1],T)
[y,t]=impulse(rampe,20);
stem(t,y)
% Equation du processus générateur de la rampe ?
% Cest la réponse indieielle de quel processus élémentaire ?
% mêmes questions pour le signal ci-contre créé par
T=1
ct1=tf([2*(1-0.9) 0],
[1 -1.9 0.9],T)
[y1,t]=impulse(ct1,30);
stem(t,y1)
grid
% enfin, un signal qui reproduit une réponse indicielle sinusoïdale amortie :
T=1
s1=tf([1 0 0],
[1 -1.5 1 -0.5],T)
[y,t]=impulse(s1,20);
stem(t,y)
grid
% comment créer cette suite de valeurs au moyen dun programme de calcul ?