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Titre1 - Examen corrige

Ecole Supérieure des Sciences Informatiques - Automatique et TS. Signaux et Systèmes Discrets[1]. En temps discret, la fonction de transfert en Z tu manieras




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RER Equation.2 . Un signal discret peut être :
soit une suite de valeurs engendrée par un programme au rythme d’une horloge de période T. Par exemple, le vecteur  INCORPORER Equation.2 , soit INCORPORER Equation.2 ,  INCORPORER Equation.2  contient une rampe. Ou bien le résultat  INCORPORER Equation.3  du programme calculant  INCORPORER Equation.3  avec  INCORPORER Equation.3  est encore une rampe discrète. Exercice 1 : quel est le signal discret engendré par l’équation  INCORPORER Equation.3  ?


soit une suite d’échantillons (mesures, acquisitions) sur un signal continu  INCORPORER Equation.2 . Par exemple, avec la fréquence d’échantillonnage  INCORPORER Equation.2 ,  INCORPORER Equation.2  donne :
 INCORPORER Equation.2 

Représentation graphique d’un signal discret par MATLAB (fonction stem) :














b. Signal bloqué :
Pour reconstituer un signal continu (qui dure dans le temps) à partir d’un signal discret, le bloqueur d’ordre zéro (ou BOZ) maintient la valeur  INCORPORER Equation.2  entre les instants  INCORPORER Equation.3 et  INCORPORER Equation.2 . Ainsi, sauriez vous compléter le diagramme précédent en conséquence ?
Exercice 2 : Représenter le signal discret  INCORPORER Equation.2  après blocage






c. Signal échantillonné 
Associé au signal discret  INCORPORER Equation.2 tiré du signal continu  INCORPORER Equation.2 , ce signal noté traditionnellement  INCORPORER Equation.2  permet de définir mathématiquement l’échantillonnage:
 INCORPORER Equation.2  si  INCORPORER Equation.2 est causal.








Exercice 3 : Donner en conséquence l’expression mathématique de l’échelon échantillonné u*(t)






Définition :
On nommera échantillonneur idéal le filtre qui donne  INCORPORER Equation.2 à partir de  INCORPORER Equation.2 


Si  INCORPORER Equation.2 , compte tenu des propriétés de la distribution de Dirac, le signal échantillonné s’exprime par  INCORPORER Equation.2 où INCORPORER Equation.2 est la fonction « peigne » ou « peigne de Dirac », donc une suite périodique d’impulsions de Dirac.
On symbolise ci-dessous l’échantillonneur idéal pour le signal  INCORPORER Equation.3  avec la période T :






Transformée en z (transformée de Laplace des signaux discrets) :
a. Définition
On sait calculer la transformée de Laplace du signal échantillonné  INCORPORER Equation.2 avec le théorème du décalage temporel  INCORPORER Equation.2 . On obtient  INCORPORER Equation.2  (1)
Pour étudier la convergence de la somme  INCORPORER Equation.3 , on pose   INCORPORER Equation.2   pour simplifier.
La nouvelle variable z est complexe comme la variable de Laplace, et T est la période d’échantillonnage constante.
En cas de convergence de (1), c’est donc   INCORPORER Equation.2 
 INCORPORER Equation.2 est la transformée en z du signal discret  INCORPORER Equation.2 (signal  INCORPORER Equation.2 échantillonné avec la cadence T).
 INCORPORER Equation.2 
par échantillonnage
 INCORPORER Equation.2 
Conclusion
La transformée en Z est une forme de la transformée de Laplace. La relation  INCORPORER Equation.3  est fondamentale, car elle permet d’étendre les résultats établis pour les systèmes en temps continu aux systèmes en temps discret.

b. Transformée en z des signaux élémentaires :
En appliquant la définition (1) de la transformée en z, on établit aisément que :
L’échelon unité  INCORPORER Equation.2 donne par échantillonnage  INCORPORER Equation.2  pour  INCORPORER Equation.2 .  INCORPORER Equation.2  si  INCORPORER Equation.3  soit  INCORPORER Equation.2 (c’est le domaine de convergence)
Impulsion : en temps continu, c’est l’impulsion de Dirac  INCORPORER Equation.2 , en temps discret, on utilise la fonction de Kronecker, soit  INCORPORER Equation.2  si  INCORPORER Equation.2 , et  INCORPORER Equation.2 . On trouve donc facilement que  INCORPORER Equation.2 sans condition de convergence sur z.
Premier ordre, constante de temps :  INCORPORER Equation.2  qui converge vers  INCORPORER Equation.2  si :  INCORPORER Equation.2 
etc ... (voir une table de transformées en z)


Exercice 4 : quelle est la transformée en z de la rampe unité ? (Solution :  INCORPORER Equation.3 )

c. Quelques propriétés de la transformée en Z :
Les transformées en Z et de Laplace L ont des propriétés liées par la relation  INCORPORER Equation.2 .

Z est donc linéaire, d’où la possibilité de décomposition en éléments simples
Le théorème du retard de Z remplace celui de la dérivée et permet le calcul de la fonction de transfert :
 INCORPORER Equation.2 
A condition initiale  INCORPORER Equation.3  nulle, on a donc : INCORPORER Equation.2  et plus généralement  INCORPORER Equation.2 .
Exercice 5 : vérifier pour l’échelon et l’impulsion discrets



Théorèmes des valeurs initiale et finale : soit  INCORPORER Equation.2  : Théorème de la Valeur Initiale :  INCORPORER Equation.2  Théorème de la Valeur Finale :  INCORPORER Equation.2 
Transformée du Produit de Convolution * : Le produit de convolution de deux signaux discrets a et b est défini comme suit :  INCORPORER Equation.2 , avec  INCORPORER Equation.3 si  INCORPORER Equation.3 et INCORPORER Equation.3 sont causaux. Comme pour la transformée de Laplace, on a :  INCORPORER Equation.2 et  INCORPORER Equation.2 .
Formule des résidus : pour inverser la transformée en z, à comparer à la formule déjà vue pour le cas continu (
 INCORPORER Equation.2 
avec, pour le résidu de  INCORPORER Equation.3 en  INCORPORER Equation.3 pôle d’ordre  INCORPORER Equation.3 
 INCORPORER Equation.2 
Exercice 6 : Inverser ainsi  INCORPORER Equation.3 

d. Application à la fonction de transfert en z
Soit un programme calculant toutes les T secondes une nouvelle valeur  INCORPORER Equation.3 d’un signal discret à partir de mesures  INCORPORER Equation.3 opérées sur un signal x(t) et selon la relation (EaD) suivante, ou équation aux différences :

 INCORPORER Equation.2  (EaD)

où  INCORPORER Equation.3  est la valeur calculée à l’instant  INCORPORER Equation.3 ,  INCORPORER Equation.3  est le résultat du calcul précédent et  INCORPORER Equation.3  l’entrée mesurée en INCORPORER Equation.3 . L’équation (EaD) est récursive (i.e. le calcul de y dépend de y lui-même).
Supposons  INCORPORER Equation.2  et  INCORPORER Equation.2 , on a alors à conditions initiales nulles, soit  INCORPORER Equation.3 .
 INCORPORER Equation.2 

On en tire ici  INCORPORER Equation.2 .
 INCORPORER Equation.3 est la fonction de transfert associée, c’est une fraction rationnelle en z. La relation (EaD) s’écrit encore sous la forme d’un produit de convolution discret puisque :
 INCORPORER Equation.2 
 INCORPORER Equation.2  est alors la réponse impulsionnelle du processus discret d’équation (EaD) et de fonction de transfert  INCORPORER Equation.3 , on a comme en temps continu  INCORPORER Equation.3 
Calcul des réponses temporelle et fréquencielle d’un processus discret
On procède comme en temps continu, à ceci près que  INCORPORER Equation.3  :

Réponse impulsionnelle :  INCORPORER Equation.2  INCORPORER Equation.2 ,  INCORPORER Equation.2 
Réponse indicielle : INCORPORER Equation.2 donc  INCORPORER Equation.2 
Réponse harmonique :  INCORPORER Equation.2  se traduit par  INCORPORER Equation.2 , d’où la réponse harmonique ou fréquencielle, Gain =  INCORPORER Equation.2  et Phase =  INCORPORER Equation.2 .
Gain statique : c’est  INCORPORER Equation.3 
Exercice 7 : Appliquer à l’exemple  INCORPORER Equation.3 





Signaux et processus élémentaires en temps discret
Avec des équations aux différences, il est possible de générer des signaux discrets qui reproduisent les comportements des processus élémentaires déjà vus en temps contiu . On nomme processus générateur d’un signal discret  INCORPORER Equation.3  le processus discret dont la réponse à une impulsion discrète est justement  INCORPORER Equation.3 .

A. Signal rampe



















B. Signal exponentiel de type premier ordre type (constante de temps) :






















C. Signal sinusoïdal amorti























D. et que rappelle ce dernier signal discret ? comment le créer ?

























Exercices sur la transformée en z:
Définir le signal discret noté  INCORPORER Equation.3 et obtenu en échantillonnant la réponse impulsionnelle du processus Cobaye soit  INCORPORER Equation.3  avec la période d’échantillonnage  INCORPORER Equation.3 
Calculer la transformée inverse de  INCORPORER Equation.3 , puis celle de  INCORPORER Equation.3 
Déterminer la fonction de transfert associée au processus discret d’entrée  INCORPORER Equation.3 et de sortie  INCORPORER Equation.3  dont l’équation est :  INCORPORER Equation.3  A propos, cette équation est elle linéaire ? stationnaire ? causale ?
Calculer la transformée en z de  INCORPORER Equation.3 échantillonné au rythme  INCORPORER Equation.3 
Quelle est la transformée inverse de  INCORPORER Equation.3 
Quelle est la fonction de transfert du filtre moyenneur suivant d’entrée  INCORPORER Equation.3  et de sortie  INCORPORER Equation.3  avec l’équation  INCORPORER Equation.3  . Ce filtre est il causal ? linéaire ? stationnaire ?




 par « discret », ou « en temps discret », on entend défini seulement en une suite d’instants discrets (discrete = discontinu en anglais) ; on néglige le caractère non linéaire numérique dû à la quantification des amplitudes de  INCORPORER Equation.3 et  INCORPORER Equation.3 , discret égale linéaire.

 noter que  INCORPORER Equation.3  est « l’opérateur retard ».

Ecole Supérieure des Sciences Informatiques - Automatique et TS


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© Jean-Paul Stromboni, ESSI, Avril 2000 Page -  PAGE 1 -

ESSI, Automatique et Traitement du Signal : Introduction aux Signaux et Systèmes de l’Automatique, JPS, 2000 -  PAGE 1 -




s(-4) s(-3) s(-2) s(-1) s(0) s(1) s(2) s(3) s(4)…

t

-4T -3T -2T -T 0 T 2T 3T 4T

 INCORPORER Equation.2 

 INCORPORER Equation.2 

 INCORPORER Equation.2 

 INCORPORER Equation.3 

 INCORPORER Equation.3 

 INCORPORER Equation.3 

+
--

 INCORPORER Equation.3 

 INCORPORER Equation.3 

 INCORPORER Equation.3 

 INCORPORER Equation.3 

 INCORPORER Equation.3 

 INCORPORER Equation.3 

 INCORPORER Equation.3 

 INCORPORER Equation.3 

 INCORPORER Equation.3 

 INCORPORER Equation.3 

 INCORPORER Equation.3 

 INCORPORER Equation.3 

Loi de commande :
on fait
puis  INCORPORER Equation.3 
ou en général

Echantil-lonneur.

BOZ



Ordinateur

Processus Cobaye

% Ce script crée une rampe discrète de pente ____.

T=1
rampe=tf([2 0],[1 -2 1],T)
[y,t]=impulse(rampe,20);
stem(t,y)

% Equation du processus générateur de la rampe ?


% C’est la réponse indieielle de quel processus élémentaire ?


% mêmes questions pour le signal ci-contre créé par

T=1
ct1=tf([2*(1-0.9) 0],…
[1 -1.9 0.9],T)
[y1,t]=impulse(ct1,30);
stem(t,y1)
grid

% enfin, un signal qui reproduit une réponse indicielle sinusoïdale amortie :

T=1
s1=tf([1 0 0], …
[1 -1.5 1 -0.5],T)
[y,t]=impulse(s1,20);
stem(t,y)
grid

% comment créer cette suite de valeurs au moyen d’un programme de calcul ?