Td corrigé 3 Valeur moyenne et efficace - IUT en Ligne pdf

3 Valeur moyenne et efficace - IUT en Ligne

Un corrigé avec barème de correction est remis aux étudiants en sortie du devoir ... 18 Valeur moyenne et valeur efficace dan un redresseur à thyristors (3 pts).




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La moyenne d’un devoir doit refléter l’adéquation entre les objectifs de l’enseignant et les résultats des étudiants.

Les documents proposés ici sont délivrés dans un format qui permet tout assemblage/désassemblage ou modification à la convenance de l’utilisateur. Les dessins et les équations ont été réalisés avec Word97.

Nos étudiants disposent d’une masse considérable d’informations sur internet. Les enseignants sont maintenant soucieux de leur apprendre à utiliser intelligemment cet immense champ de connaissance. Ils leur apprennent notamment à citer les sources…


Ressource HYPERLINK "http://www.iutenligne.net/ressources/exercicelecpro.html"ExercicElecPro proposée sur le site Internet  HYPERLINK "http://www.iutenligne.net/" IUTenligne

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Michel PIOU - Agrégé de génie électrique – IUT de Nantes – France

Table des matières
 TOC \o "1-3" \h \z \u  HYPERLINK \l "_Toc440314578" 1 Questions de cours  PAGEREF _Toc440314578 \h 1
 HYPERLINK \l "_Toc440314579" 2 Détermination d’une valeur moyenne (estimation + calcul par une intégrale)  PAGEREF _Toc440314579 \h 4
 HYPERLINK \l "_Toc440314580" 3 Valeur moyenne et efficace (Estimation, calcul d’aire, intégrale) (6 pts)  PAGEREF _Toc440314580 \h 6
 HYPERLINK \l "_Toc440314581" 4 Puissance dans différents types de dipôles  PAGEREF _Toc440314581 \h 8
 HYPERLINK \l "_Toc440314582" 5 Valeur moyenne d’un signal trapézoïdal (1 pt)  PAGEREF _Toc440314582 \h 9
 HYPERLINK \l "_Toc440314583" 6 Valeur moyenne graphiquement avec des carreaux (3 pts)  PAGEREF _Toc440314583 \h 10
 HYPERLINK \l "_Toc440314584" 7 Valeur moyenne et valeur efficace d’un signal rectangulaire 1 (4 pts)  PAGEREF _Toc440314584 \h 10
 HYPERLINK \l "_Toc440314585" 8 Valeur moyenne et valeur efficace d’un signal rectangulaire 2 (4 pts)  PAGEREF _Toc440314585 \h 11
 HYPERLINK \l "_Toc440314586" 9 Calcul de puissance en régime alternatif sinusoïdal 1 (4 pts)  PAGEREF _Toc440314586 \h 12
 HYPERLINK \l "_Toc440314587" 10 Calcul de puissance en régime alternatif sinusoïdal 2  PAGEREF _Toc440314587 \h 13
 HYPERLINK \l "_Toc440314588" 11 Calcul de puissance en régime alternatif sinusoïdal 3 (7 pts)  PAGEREF _Toc440314588 \h 14
 HYPERLINK \l "_Toc440314589" 12 Harmoniques et puissance active  PAGEREF _Toc440314589 \h 16
 HYPERLINK \l "_Toc440314590" 13 Puissance dans un onduleur monophasé. (3,5 pts)  PAGEREF _Toc440314590 \h 18
 HYPERLINK \l "_Toc440314591" 14 Puissance instantanée (graphe) et puissance active (calcul) (4,5 pts)  PAGEREF _Toc440314591 \h 19
 HYPERLINK \l "_Toc440314592" 15 Puissance et val. efficace dans une phase d’un redresseur triphasé (5 pts)  PAGEREF _Toc440314592 \h 21
 HYPERLINK \l "_Toc440314593" 16 Puissances et valeurs efficaces dans un filtre d’onduleur (4pts)  PAGEREF _Toc440314593 \h 22
 HYPERLINK \l "_Toc440314594" 17 Puissances et valeurs efficaces dans un filtre d’onduleur Variante (3 pts)  PAGEREF _Toc440314594 \h 23
 HYPERLINK \l "_Toc440314595" 18 Valeur moyenne et valeur efficace dan un redresseur à thyristors (3 pts)  PAGEREF _Toc440314595 \h 24
 HYPERLINK \l "_Toc440314596" 19 Valeur moyenne, valeur efficace et puissance dans un onduleur (5 pts)  PAGEREF _Toc440314596 \h 27
 HYPERLINK \l "_Toc440314597" 20 Hacheur alimentant une machine à courant continu en régime périodique. (Problème de synthèse)  PAGEREF _Toc440314597 \h 29
 HYPERLINK \l "_Toc440314598" 21 Signaux dans une alimentation à découpage (7 pts)  PAGEREF _Toc440314598 \h 33
 HYPERLINK \l "_Toc440314599" 22 Pertes joule dans un moteur en fonctionnement cyclique. (5 pts)  PAGEREF _Toc440314599 \h 35





Conventions d’écriture :
Pour la valeur moyenne d’une fonction périodique  EMBED Equation.2 , on adoptera les écritures  EMBED Equation.3  ou  EMBED Equation.3 
Pour la valeur efficace d’une fonction périodique  EMBED Equation.2 , on adoptera l’écriture  EMBED Equation.3 

Questions de cours
Définir la puissance apparente dans un dipôle.

Réponse :  EMBED Equation.2 
Définir le facteur de puissance d’une ligne monophasée ou d’un dipôle (cas général).

Réponse :  EMBED Equation.2 

Association de dipôles.
Soit le montage ci-contre associant en série deux dipôles quelconques, avec  EMBED Equation.2 ,  EMBED Equation.2  et  EMBED Equation.2  de même période.



Répondre par oui ou par non: (réponse juste:+ 0,5pt, réponse fausse:- 0,5pt):

Est-ce que, dans tous les cas,  EMBED Equation.2  ?

Est-ce que, dans tous les cas,  EMBED Equation.2  ?

Est-ce que, dans tous les cas,  EMBED Equation.2  ?
Réponses :
Oui, la valeur moyenne d’une somme est la somme des valeurs moyennes
Non la valeur efficace d’une somme n’est pas la somme des valeurs efficaces (sauf cas particulier)
Oui la puissance active d’une somme est la somme des puissances actives (se démontre avec la loi de conservation de l’énergie)

Que dit le théorème de Boucherot lorsque les tensions et les courants sont alternatifs sinusoïdaux de même fréquence ?

Réponses :
La puissance active d’une somme de dipôles est la somme (algébrique) des puissances actives de chaque dipôle.
La puissance réactive d’une somme de dipôles est la somme (algébrique) des puissances réactives de chaque dipôle.


Soit un dipôle parcouru par un courant périodique i(t) de période T et soumis à une tension u(t) de même période T.

Les questions suivantes sont indépendantes. Aucune démonstration n’est demandée.
Pour les questions d) à k), donner l’expression particulière à chaque cas.

Exprimer la puissance instantanée dans ce dipôle.

Exprimer l’énergie consommée par ce dipôle sur un intervalle de temps [to,t1]

Exprimer la puissance active dans ce dipôle dans le cas général.

Exprimer la puissance active dans ce dipôle si u(t) = Uo = constante.

Exprimer la puissance active dans ce dipôle si i(t) = Io = constante.

Exprimer la puissance active dans ce dipôle si i(t) =  Imax.cos(wðt) et u(t) =  Umax.cos(wðt + jð).

Exprimer la puissance active dans ce dipôle si celui-ci est une résistance de valeur R.

Exprimer la puissance active dans ce dipôle si celui-ci est un condensateur de capacité C.

Exprimer la puissance active dans ce dipôle si celui-ci est une inductance de valeur L.

Exprimer la puissance active dans ce dipôle si celui-ci est un dipôle linéaire d’impédance  EMBED Equation.2  parcouru par un courant  EMBED Equation.2 .



Exprimer la puissance active dans ce dipôle si celui-ci est un dipôle linéaire d’impédance  EMBED Equation.2  soumis à une tension  EMBED Equation.2 .

répondre par oui ou par non
La puissance active dans ce dipôle est-elle, dans tous les cas, égale à  EMBED Equation.2  ?

La puissance active dans ce dipôle est-elle, dans tous les cas, égale à  EMBED Equation.2  ?

Réponses :
Exprimer la puissance instantanée dans ce dipôle.
 EMBED Equation.2 

Exprimer l’énergie consommée par ce dipôle sur un intervalle de temps [to,t1] aire sous la courbe p(t) sur l’intervalle
 EMBED Equation.3  aire sous la courbe p(t) sur l’intervalle  EMBED Equation.3  ou  EMBED Equation.3  ou  EMBED Equation.3 

Exprimer la puissance active dans ce dipôle dans le cas général.
 EMBED Equation.2  ou  EMBED Equation.2  ou  EMBED Equation.2 
Exprimer la puissance active dans ce dipôle si u(t) = Uo = constante.
 EMBED Equation.2 

Exprimer la puissance active dans ce dipôle si i(t) = Io = constante.
 EMBED Equation.2 

Exprimer la puissance active dans ce dipôle si i(t) =  Imax.cos(wðt) et u(t) =  Umax.cos(wðt + jð).
 EMBED Equation.2 
Exprimer la puissance active dans ce dipôle si celui-ci est une résistance de valeur R.
 EMBED Equation.2 
Exprimer la puissance active dans ce dipôle si celui-ci est un condensateur de capacité C.
 EMBED Equation.2 

Exprimer la puissance active dans ce dipôle si celui-ci est une inductance de valeur L.
 EMBED Equation.2 

Exprimer la puissance active dans ce dipôle si celui-ci est un dipôle linéaire d’impédance  EMBED Equation.2  parcouru par un courant  EMBED Equation.2 .
 EMBED Equation.2   EMBED Equation.2 

Exprimer la puissance active dans ce dipôle si celui-ci est un dipôle linéaire d’impédance  EMBED Equation.2  soumis à une tension  EMBED Equation.2 .
 EMBED Equation.2   EMBED Equation.2 

répondre par oui ou par non
La puissance active dans ce dipôle est-elle, dans tous les cas, égale à  EMBED Equation.2  ?
OUI, c’est la définition de la puissance active (ou puissance moyenne)
La puissance active dans ce dipôle est-elle, dans tous les cas, égale à  EMBED Equation.2  ?
NON car la valeur moyenne d’un produit n’est pas le produit des valeurs moyennes



Soit un signal i(t) périodique de période T. Définir sa valeur efficace en traduisant « R.M.S » par une phrase.

Puis définir sa valeur efficace au moyen d’une intégrale.

Comment se situe la valeur efficace d’un signal par rapport à sa valeur moyenne et sa valeur max ?
Association de dipôles.

Réponses :
RMS= Root Mean Square (Racine-Moyenne-Carré): Racine carrée de la valeur Moyenne du signal au carré.

Valeur efficace d’une fonction périodique  EMBED Equation.2  de période T :  EMBED Equation.2 
 EMBED Equation.2 

Détermination d’une valeur moyenne (estimation + calcul par une intégrale)

Version 1 (3pts):

 Soit le courant périodique  EMBED Equation.3  ci-contre (en trait gras). Estimer sa valeur moyenne  EMBED Equation.3  en hachurant les aires convenables. Exprimer cette estimation de  EMBED Equation.3  en fonction de  EMBED Equation.3 .

Sachant que  EMBED Equation.3  est constitué de morceaux de sinusoïde (voir la courbe en pointillé) Exprimer  EMBED Equation.3  sous forme d’une intégrale, puis résoudre celle-ci pour obtenir la valeur moyenne en fonction de  EMBED Equation.3 .



Version 2 (3,5 pts):


Soit le courant périodique  EMBED Equation.3  ci-contre (en trait gras).
a) Estimer sa valeur moyenne  EMBED Equation.3  en hachurant les aires convenables. Exprimer cette estimation de  EMBED Equation.3  en fonction de  EMBED Equation.3 .



b) Calcul de  EMBED Equation.3 .
Si on choisit une échelle « t » en seconde, la courbe en pointillé est le graphe d’une fonction  EMBED Equation.3 .
Si on choisit une échelle «  EMBED Equation.3  » en radian, la courbe en pointillé est le graphe d’une fonction  EMBED Equation.3 .
Si vous choisissez «  EMBED Equation.3  », compléter l’échelle  EMBED Equation.3  graduée en radian ci-contre de façon que  EMBED Equation.3 .

Après avoir repéré la période et les bornes d’intégration, exprimer  EMBED Equation.3  sous forme d’une intégrale, puis résoudre celle-ci pour obtenir la valeur moyenne en fonction de  EMBED Equation.3 .()


Corrigé :

On peut faire une estimation :
Le résultat est compris dans la fourchette :  EMBED Equation.3 






 Avec une graduation en temps :
 EMBED Equation.2 

ou:
Avec une graduation en radian :
 EMBED Equation.2 

 EMBED Equation.2 





Valeur moyenne et efficace (Estimation, calcul d’aire, intégrale) (6 pts)

 EMBED Word.Picture.6 Représenter sur le graphe ci-contre la valeur moyenne de  EMBED Equation.2  et hachurer les surfaces appropriées en guise de justification. Exprimer cette valeur moyenne (sans calcul). EMBED Word.Picture.6 Calculer la valeur moyenne de  EMBED Equation.2  (sans utiliser d’intégrale).Soit une fonction i3(t) périodique de période T, telle que  EMBED Equation.2  sur l’intervalle  EMBED Equation.2  et  EMBED Equation.3  nulle sur l’intervalle  EMBED Equation.2 .

 EMBED Word.Picture.6 Représenter ci-contre, le graphe de i3(t). Calculer la valeur moyenne de i3(t).Calculer la valeur efficace de la fonction i3(t) précédente. ()

Corrigé :

 EMBED Word.Picture.6 
Par la première méthode (« aire au-dessus » = « aire au-dessous ») :
 EMBED Equation.2 

Pour que les deux triangles soient égaux, la valeur moyenne doit être à égale distance de imin et imax. Il n’est donc pas nécessaire de faire le moindre calcul ! EMBED Word.Picture.6 Par la seconde méthode (« aire sous la courbe sur un intervalle d’une période ») :

 EMBED Equation.2 
Un raisonnement sur l’aire d’un trapèze ou sur l’aire du rectangle hachuré suffit.
 EMBED Word.Picture.6 Par la troisième méthode (calcul de l’aire sous la courbe sur un intervalle d’une période au moyen d’une intégral) :

Avec une graduation en temps :
 EMBED Equation.2 

ou:
Avec une graduation en radian :
 EMBED Equation.2 

 EMBED Equation.2 


Puissance dans différents types de dipôles
Version 2004
Les trois dipôles suivants sont traversés par un même courant  EMBED Equation.3 . Calculer la puissance active dissipée dans chacun.


Version 2014
Les trois dipôles suivants sont traversés par même courant périodique  EMBED Equation.3 .
En utilisant les propriétés vues en cours, déterminer l’expression littérale de la puissance active dissipée dans chaque dipôle en fonction de sa nature et de  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3  ou  EMBED Equation.3 .
Sachant que  EMBED Equation.3 , calculer la valeur numérique de la puissance active consommée par chaque dipôle.
Dipôle RDipôle EDipôle E – R - LExpression littérale de la puissance activeExpression numérique de la puissance active

Corrigé :
 EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3 


Valeur moyenne d’un signal trapézoïdal (1 pt)
Calculer la valeur moyenne du signal périodique « i » ci-contre.








Corrigé :
 EMBED Equation.3 










Variante (1 pt)
Calculer la valeur moyenne du signal périodique « i » ci-contre. Seulement le calcul ; pas de commentaire.









Corrigé :
 EMBED Equation.3 







Valeur moyenne graphiquement avec des carreaux (3 pts)
Déterminer la valeur moyenne du courant périodique  EMBED Equation.3  ci-contre (sachant que celui-ci est constitué de segments de droite).






Réponse :
On peut faire une estimation :
Le résultat est compris dans la fourchette :  EMBED Equation.3 




Il y a exactement de 30 carreaux sous la courbe sur un intervalle d’une période. Chaque carreau vaut 10 A.ms. Donc :  EMBED Equation.3 

Valeur moyenne et valeur efficace d’un signal rectangulaire 1 (4 pts)

a) Rappeler la définition de la valeur efficace d’un signal périodique (pas nécessairement alternatif sinusoïdal).

b) Exprimer la valeur moyenne et la valeur efficace du courant périodique i(t) ci-contre en fonction de Io. Justifier en quelques mots.

c) Ce courant est appliqué à une source de tension continue de valeur « E ». Exprimer la puissance active  EMBED Equation.3  échangée dans cette source en fonction de Io et E.



Corrigé
a) Valeur efficace = Racine carré de la valeur moyenne de la fonction au carré (RMS):  EMBED Equation.3  (1pt)

b)  EMBED Equation.3   EMBED Equation.3  (1pt)
 EMBED Equation.3  (1pt)

c)  EMBED Equation.3  (1pt)

Valeur moyenne et valeur efficace d’un signal rectangulaire 2 (4 pts)

a) Rappeler la définition de la valeur efficace d’un signal périodique (pas nécessairement alternatif sinusoïdal).

b) Calculer la valeur moyenne et la valeur efficace du courant périodique i(t) ci-contre. ()

c) Ce courant est le courant dans une source de tension continue « E » de valeur 10 V. Exprimer la puissance active  EMBED Equation.3  échangée dans cette source.



Corrigé :

a) Valeur efficace = Racine carré de la valeur moyenne de la fonction au carré (RMS):  EMBED Equation.3  (1pt)

b)  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  (1pt)
(on peut l’obtenir graphiquement)
valeur moyenne de la fonction  EMBED Equation.3  :
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3  (1pt)

c)  EMBED Equation.3  (1pt)
Calcul de puissance en régime alternatif sinusoïdal 1 (4 pts)
Un dipôle est parcouru par le courant périodique  EMBED Equation.3  d’amplitude 3 A et soumis à la tension périodique  EMBED Equation.3  d’amplitude 4 V, représentés ci-contre.

a) Préciser la valeur numérique de  EMBED Equation.3  ,  EMBED Equation.3  et du déphasage de  EMBED Equation.3  par rapport à  EMBED Equation.3  ()
b) En vous référant aux relations du cours sur les puissances en régime alternatif sinusoïdal, déterminer la valeur numérique de la puissance active, la puissance réactive et la puissance apparente consommée par ce dipôle.


Corrigé :
 EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 


 EMBED Equation.3  (attention au signe -)

 EMBED Equation.3  ou  EMBED Equation.3 

Calcul de puissance en régime alternatif sinusoïdal 2
a) Un dipôle est parcouru par le courant périodique  EMBED Equation.3  d’amplitude 20 A et soumis à la tension périodique  EMBED Equation.3  d’amplitude 30 V, représentés ci-contre.

Sur le même graphe, avec l’échelle de droite, représenter l’allure de la fonction puissance instantanée
 EMBED Equation.3  dans ce dipôle et estimer graphiquement la puissance active (ou moyenne).


Conseil : Repérer les points où  EMBED Equation.3  et ceux où  EMBED Equation.3 .
(On rappelle que  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3  )


b) En vous référant aux relations du cours sur les puissances en régime alternatif sinusoïdal, déterminer la puissance active, la puissance réactive et la puissance apparente consommée par ce dipôle. Préciser son facteur de puissance.

Corrigé :

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3  ou  EMBED Equation.3 
Facteur de puissance =  EMBED Equation.3 
Calcul de puissance en régime alternatif sinusoïdal 3 (7 pts)

a) Un dipôle est parcouru par le courant périodique  EMBED Equation.3  et soumis à la tension périodique  EMBED Equation.3  représentés ci-contre.

Sur le même graphe et avec la même échelle, représenter l’allure de la fonction puissance instantanée  EMBED Equation.3  dans ce dipôle et estimer graphiquement la puissance active (ou moyenne).

Conseil : Repérer les points où  EMBED Equation.3  et ceux où  EMBED Equation.3 .
(On rappelle que  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3  )


Généralisation :

b) Soient  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3  avec  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3  constants
Exprimer la puissance active dans le dipôle sous forme d’une intégrale comportant le terme  EMBED Equation.3 .

c) Sachant que :
 EMBED Equation.3 
l’intégrale d’une somme est la somme des intégrales
l’intégrale d’une fonction alternative sinusoïdale sur un nombre entier de périodes est nulle,

Résoudre l’intégrale précédente afin d’exprimer la puissance active en fonction de  EMBED Equation.3  ,  EMBED Equation.3  et de  EMBED Equation.3 

d) En vous référant aux relations du cours sur les puissances en régime alternatif sinusoïdal, déterminer la puissance active, la puissance réactive et la puissance apparente consommée par ce dipôle. Préciser son facteur de puissance.

Corrigé :





a)

b) EMBED Equation.3 
Il existe plusieurs façons d’exprimer cette valeur moyenne. Par exemple :
 EMBED Equation.3 



c)  EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

On retrouve :  EMBED Equation.3 

d)  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3  ou  EMBED Equation.3 

Facteur de puissance  EMBED Equation.3 
Harmoniques et puissance active

b) Un dipôle est parcouru par le courant périodique  EMBED Equation.3  et soumis à la tension périodique  EMBED Equation.3  représentés ci-contre.
Sur le même graphe et avec la même échelle, représenter l’allure de la fonction puissance instantanée dans ce dipôle et estimer graphiquement la puissance active (ou moyenne).

Repérer les points où  EMBED Equation.3  et les points où  EMBED Equation.3 .
(On rappelle que  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3  )

Généralisation :

Soient  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3  avec  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3  constants
Exprimer la puissance active dans le dipôle sous forme d’une intégrale comportant le terme  EMBED Equation.3 .

Sachant que :
 EMBED Equation.3 
l’intégrale d’une somme est la somme des intégrales
l’intégrale d’une fonction alternative sinusoïdale sur un nombre entier de périodes est nulle,

Résoudre l’intégrale précédente afin d’exprimer la puissance active dans ce dipôle
(le résultat peut surprendre)

Corrigé :



 b)
Graphiquement : EMBED Equation.3 















 EMBED Equation.3 
Il existe plusieurs façons d’exprimer cette valeur moyenne. Par exemple  EMBED Equation.3 :
 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 


Puissance dans un onduleur monophasé. (3,5 pts)
Le dipôle ci-contre est alimenté par la tension  EMBED Equation.3 . Il est traversé par un courant  EMBED Equation.2 .

a) Représenter le graphe de la puissance instantanée  EMBED Equation.2  reçue par ce dipôle. En déduire la puissance active  EMBED Equation.2  qu’il reçoit en fonction de E et  EMBED Equation.3 .

b) Calculer le facteur de puissance de ce dipôle.


Corrigé :

a) La puissance active (ou puissance moyenne) est la valeur moyenne de la puissance instantanée :
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
b) La définition du facteur de puissance est  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 

Puissance instantanée (graphe) et puissance active (calcul) (4,5 pts)

En régime périodique, un dipôle est le siège de la tension  EMBED Equation.3  et du courant  EMBED Equation.3  ci-contre :


*Représenter le graphe de la puissance instantanée  EMBED Equation.3 . En déduire une estimation graphique de la puissance active « P » dans ce dipôle.


*Exprimer  EMBED Equation.3 .



*Exprimer  EMBED Equation.3  sur l’intervalle  EMBED Equation.3 








*A partir d’une intégrale, exprimer la puissance active « P » en fonction de  EMBED Equation.3  et de  EMBED Equation.3 .

Corrigé :
Graphe de  EMBED Equation.3  (1pt).
En hachurant les aires, on peut estimer l’ordre de grandeur de la puissance moyenne à  EMBED Equation.3 . (1pt)
Mais pour avoir une valeur exacte, nous devons recourir à un calcul intégral.

La puissance instantanée étant constituée de morceaux de sinusoïdes, il est judicieux de graduer l’axe des abscisses en qð, en choisissant la valeur « 2pð » pour la période de la fonction alternative sinusoïdale de base (ici en pointillé).

 EMBED Equation.3  (0,5 pt)
Sur l intervalle  EMBED Equation.3  :  EMBED Equation.3 (0,5 pt)









 EMBED Equation.3  (1 pt)
 EMBED Equation.3  (1 pt)


Puissance et val. efficace dans une phase d’un redresseur triphasé (5 pts)
Soit le dipôle: EQ \S\do15( EMBED Word.Picture.8 ) . i(t) et v(t) sont périodiques et sont représentés ci-dessous.

Compléter ci-dessus le graphe de la puissance instantanée.
En fonction de Vmax et de Io, déterminer la puissance active P consommée par ce dipôle, la valeur efficace de v(t) et la valeur efficace de i(t)


Corrigé :

Avec la graduation en radian ci-dessus:
 EMBED Equation.2  EMBED Equation.2 
 EMBED Equation.2  est une fonction alternative sinusoïdale, donc  EMBED Equation.2 .  EMBED Equation.2 
Puissances et valeurs efficaces dans un filtre d’onduleur (4pts)
Le dipôle A-B ci-contre fonctionne en régime alternatif sinusoïdal de fréquence  EMBED Equation.3 .
On dispose des données suivantes :  EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 . ()
A partir du cours, d’un calcul ou d’une estimation graphique, déterminer les valeurs numériques de  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3  et les valeurs numériques des puissances actives  EMBED Equation.3  dans R,  EMBED Equation.3  dans C, et  EMBED Equation.3  dans le dipôle AB.

Corrigé :

 EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3 .  EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  (graphiquement avec le diagramme de Fresnel ci-contre).
ou avec le théorème de Pythagore :  EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3 


Puissances et valeurs efficaces dans un filtre d’onduleur Variante (3 pts)
 
Le dipôle A-B ci-contre fonctionne en régime alternatif sinusoïdal de fréquence  EMBED Equation.3 .
On dispose des données suivantes :
 EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3  ,  EMBED Equation.3 ,
A partir du cours, d’un calcul ou d’une estimation graphique, déterminer la valeur numérique de  EMBED Equation.3  et les valeurs numériques des puissances actives  EMBED Equation.3  dans « R »,  EMBED Equation.3  dans « C », et  EMBED Equation.3  dans le dipôle AB.

Corrigé :

 EMBED Equation.3  ou  EMBED Equation.3  (graphiquement avec le diagramme de Fresnel ci-contre).

 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 

Valeur moyenne et valeur efficace dan un redresseur à thyristors (3 pts)
Soit une fonction périodique  EMBED Equation.3  représentée en traits gras.

a) Représenter une estimation de  EMBED Equation.3  sur le graphe de  EMBED Equation.3  ci-contre. (Hachurer les aires concernées en guise de justification).

b) Calculer mathématiquement la valeur moyenne de  EMBED Equation.3  en fonction de  EMBED Equation.3 .

c) A partir d’un raisonnement simple, d’une construction graphique ou d’un calcul mathématique, déterminer la valeur efficace  EMBED Equation.3  de  EMBED Equation.3  en fonction de  EMBED Equation.3 .
(Expliquer la démarche)



Variante
c) Donner la définition de la valeur efficace d’un signal périodique (qui peut ne pas être sinusoïdal) en traduisant la signification des trois lettres R M S.

d) Représenter ci-contre l’allure de  EMBED Equation.3 . En déduire la valeur de  EMBED Equation.3  en fonction de  EMBED Equation.3 .

e) La tension v est appliquée à un dipôle qui est alors traversé par un courant constant Io. Exprimer la puissance active dissipée dans ce dipôle en fonction de  EMBED Equation.3  et Io.

f) La tension v est maintenant appliquée à une résistance ohmique de valeur « R ». Exprimer la puissance active dissipée dans ce dipôle en fonction de  EMBED Equation.3  et R.

Variante
e) La tension v(t) est appliquée à un dipôle qui est alors traversé par un courant constant Io. Exprimer la puissance active dissipée dans ce dipôle en fonction de Io et de (au choix)  EMBED Equation.3  ou  EMBED Equation.3  ou  EMBED Equation.3  ou t .
f) La tension v est maintenant appliquée à une résistance ohmique de valeur « R ». Exprimer la puissance active dissipée dans ce dipôle en fonction de R et de (au choix)  EMBED Equation.3  ou  EMBED Equation.3  ou  EMBED Equation.3  ou t .

Corrigé



 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 

La valeur efficace est la racine carrée de la valeur moyenne de la fonction au carré. ( EMBED Equation.3 )
Le carré de la fonction alternative sinusoïdale (en pointillé) et le carré de la fonction  EMBED Equation.3  en trait plein sont identiques. Leur valeur moyenne est donc identique et de même, la racine carrée de leur valeur moyenne.
Les valeurs efficaces sont donc identiques.
La valeur efficace d’une fonction alternative sinusoïdale est égale à  EMBED Equation.3  et c’est donc la même valeur pour la fonction  EMBED Equation.3  en trait plein.

d) La valeur moyenne de  EMBED Equation.3 vaut  EMBED Equation.3  (comme pour une fonction alternative sinusoïdale au carré).
Donc  EMBED Equation.3 
Voir la justification dans le paragraphe 3.5 f) du cours  HYPERLINK "http://public.iutenligne.net/electronique/piou_fruitet_fortun/baselecpro/acquisition/pdf/DL-001051-04-10.01.00.pdf" chapitre 10 de Baselecpro sur le site IUTenligne


 EMBED Word.Picture.8 
e) La tension v(t) est appliquée à un dipôle qui est alors traversé par un courant constant Io.
Lorsque le courant est constant,  EMBED Equation.3 .

f) Pour une résistance ohmique de valeur « R ».  EMBED Equation.3 , donc ici, on peut également écrire  EMBED Equation.3 
















Valeur moyenne, valeur efficace et puissance dans un onduleur (5 pts)

a) Calculer la valeur efficace de la tension périodique ci-contre.

b) Un dipôle soumis à la tension  EMBED Equation.3  ci-contre absorbe le courant  EMBED Equation.3  de même période.

Représenter ci-contre l’allure  EMBED Equation.3  et de la puissance instantanée p(t) échangée dans ce dipôle.
Avec une intégrale, calculer la puissance active échangée dans ce dipôle en fonction de  EMBED Equation.3 et  EMBED Equation.3 .
:












Corrigé :



Graphiquement :
 EMBED Equation.3 





Graphiquement :  EMBED Equation.3 
Par calcul:
 EMBED Equation.3 












Hacheur alimentant une machine à courant continu en régime périodique. (Problème de synthèse)

Aucune connaissance des hacheurs ou des machines à courant continu n’est nécessaire pour répondre aux questions.

Les parties A, B, C et D de cet exercice sont indépendantes.

Une source de tension continue Ve de 200 V alimente un convertisseur « hacheur » qui produit en sortie une tension carrée  EMBED Equation.3 .

La tension  EMBED Equation.3  est un signal carré de période  EMBED Equation.3  avec un rapport cyclique að variable (voir la courbe  EMBED Equation.3  ci-contre)

Cette tension  EMBED Equation.3  est appliquée un dipôle L.R.E. constitué d une inductance L de 10 mH en série avec une résistance de 2 Wð et une source de tension continue de 75 V. Il en résulte un courant  EMBED Equation.3 .

A) Valeurs moyennes (2,5pts)
Calculer  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3  en fonction du rapport cyclique  EMBED Equation.3 .

B) Régimes transitoires (3,5pts)
Quelle est la valeur de la tension  EMBED Equation.3  sur l’intervalle de temps  EMBED Equation.3  ?


Le courant  EMBED Equation.3  est un signal périodique qui prend la valeur Io à l’instant t = 0 et à l’instant T.
Sur l’intervalle  EMBED Equation.3 , le courant  EMBED Equation.3  est exponentiel croissant du type :
 EMBED Equation.2 

Sachant que  EMBED Equation.3 , en déduire l’expression de  EMBED Equation.3  sur l’intervalle  EMBED Equation.3 . (Remplacer  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3  par leurs valeurs respectives pour cet intervalle).

Compléter le graphe de  EMBED Equation.3  en indiquant par un pointillé les valeurs des asymptotes de  EMBED Equation.3  pour le morceau de courbe situé sur l’intervalle  EMBED Equation.3  et pour le morceau de courbe situé sur l’intervalle  EMBED Equation.3  (Indiquer les valeurs numériques de ces asymptotes).

C) Puissances et valeurs efficaces. (6pts)
On se place maintenant dans le cas particulier où le rapport cyclique að vaut ½.


On admettra que le courant  EMBED Equation.3  est peu différent de  EMBED Equation.3 . (Cette approximation permet de simplifier les calculs).
 EMBED Word.Picture.8 

Représenter le graphe de  EMBED Equation.3  dans le cadre de cette approximation. (Ne pas oublier de graduer les axes)

Déterminer les valeurs numériques de  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3  ().



Calculer la puissance active  EMBED Equation.3  absorbée par la source « E », la puissance active  EMBED Equation.3  absorbée par la résistance « R » et la puissance active  EMBED Equation.3  absorbée par l’ensemble du dipôle L,R,E.


D) Conservation de la puissance active. (1pts)

Dans cette question, on admettra que la puissance active absorbée par le dipôle L.R.E est  EMBED Equation.3 . On considèrera que le hacheur est idéal et donc qu’il ne consomme aucune puissance. En utilisant la conservation de la puissance active, en déduire  EMBED Equation.3 


Corrigé hacheur
A) 
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 

La valeur moyenne d’une somme de fonctions de même période est la somme des valeurs moyennes de chaque fonction  EMBED Equation.3 

La valeur moyenne de la tension aux bornes d’une inductance est nulle. La valeur moyenne de la tension aux bornes de la résistance « R » est  EMBED Equation.3   EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 

B)
Pour l’étude des régimes transitoires du premier ordre, on peut se reporter au chapitre 13 de la ressource  HYPERLINK "http://public.iutenligne.net/electronique/piou_fruitet_fortun/baselecpro/acquisition/pdf/DL-001051-04-13.01.00.pdf" Baselecpro sur le site IUTenligne

 EMBED Equation.3  sur l’intervalle de temps  EMBED Equation.3  :  EMBED Equation.3 



Sur l’intervalle  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3 
C)




La courbe du courant  EMBED Equation.3  en pointillé (obtenue par simulation) est peu différente de l’approximation . 
Avec l’approximation :  EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  car la source « E » est une tension constante ;
 EMBED Equation.3  ;
 EMBED Equation.3 

D) La puissance active fournie par la source  EMBED Equation.3  est égale à la somme de la puissance active consommée par le hacheur et la puissance consommée par la charge « LRE »

 EMBED Equation.3 
Signaux dans une alimentation à découpage (7 pts)

d) Le condensateur C s’oppose aux variations de la tension  EMBED Equation.3  à ses bornes. On suppose sa valeur suffisamment grande pour qu’à la fréquence de fonctionnement du montage on puisse considérer  EMBED Equation.3  presque constant égal à  EMBED Equation.3 . On en déduit qu’on peut faire l’approximation  EMBED Equation.3 
Exprimer  EMBED Equation.3  en fonction de  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 . En déduire  EMBED Equation.3 en fonction de  EMBED Equation.3  puis en fonction de  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3  (expliquer la démarche)

e) La puissance active dans R est  EMBED Equation.3  (Puissance en courant continu).
En appliquant la loi de conservation de la puissance active, en déduire la relation entre la puissance active  EMBED Equation.3  et la puissance active EMBED Equation.3  (expliquer).
De la relation précédente, en déduire l’expression de  EMBED Equation.3  en fonction de E et  EMBED Equation.3 

f) Retrouver le résultat précédent à partir de la relation entre  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 

Corrigé :


e) D’après la loi de conservation de la puissance active :  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 

f)  EMBED Equation.3 
Pertes joule dans un moteur en fonctionnement cyclique. (5 pts)
a) Rappeler la relation qui existe entre la valeur moyenne d’une fonction et l’aire sous la courbe sur un intervalle d’une période  EMBED Equation.3 :

b) Rappeler la définition de la valeur efficace d’une fonction sous forme d’une phrase en français traduisant « RMS »

Remarque préalable

On a représenté ci-contre le courant périodique  EMBED Equation.3  dans un conducteur.








On a représenté ci-contre le graphe de  EMBED Equation.3 .
On remarque que l’aire hachurée sous la courbe  EMBED Equation.3  est égale à l’aire du rectangle en pointillé.


Le bobinage d’un moteur à courant alternatif peut être modélisé par une résistance interne « R » en série avec une f.e.m. alternative sinusoïdale :

Ce moteur fonctionne de manière périodique avec une phase de démarrage suivie d’une phase de régime établi (à vitesse constante) puis d’une phase d’arrêt. Son courant périodique EMBED Equation.3  est représenté ci-dessous.


c) Rappeler l’expression de la puissance active dans une résistance « R » parcourue par un courant périodique  EMBED Equation.3 . (Cette expression ne fera pas intervenir la tension). Définir clairement le ou les paramètres utilisés. (Par exemple :  EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3  …)

d) On a représenté ci-dessous la fonction  EMBED Equation.3  du moteur.
En utilisant la remarque préalable ci-dessus, déterminer la valeur numérique de la valeur moyenne de  EMBED Equation.3  . On la notera  EMBED Equation.3 

d) Déterminer la puissance active dissipée dans la résistance interne du bobinage sachant que  EMBED Equation.3 .

Corrigé :
a)  EMBED Equation.3 

b) RMS : Root Mean Square :
La valeur efficace d’une fonction est la racine carrée de la valeur moyenne de la fonction au carré

c)  EMBED Equation.3  avec  EMBED Equation.3 
d)











 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 


() Le DS se déroulant sans calculette, on pourra laisser dans la réponse des valeurs telles que  EMBED Equation.3  ou  EMBED Equation.3  ou  EMBED Equation.3 
() On rappelle que  EMBED Equation.3 
() On rappelle que  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 
() Le devoir se déroulant sans calculette, les résultats numériques pourront contenir des expressions telles que  EMBED Equation.3  ou  EMBED Equation.3 . Rappel : EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3 ;  EMBED Equation.3 
()  EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3 
() Attention, sauf cas particulier, la valeur efficace n’est pas  EMBED Equation.3 .
On rappelle que  EMBED Equation.3 












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-  PAGE \* MERGEFORMAT 1 -


u

i

 EMBED Equation.3 
200 V
(continu)

E (75 V)
(continu)

R (2 Wð)ð

L (10 mH)

 EMBED Equation.3 

Source à zéro

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

Condition initiale

Régime forcé

Régime libre

v



2





4

3

 EMBED Equation.3 



3

0

is

vRL


L (10 mH)

R (2 Wð)ð

L

R

75 V


200 V


 EMBED Equation.3 

125 V


L

R

75 V

200 V

Io

t

0


að.T


T = 1 ms


vs


t


0


is


200 V


Io


62,5 A


-37,5 A


Imax


i

Valeur moyenne
 EMBED Equation.3 

Valeur max :
 EMBED Equation.3 

Approximation de  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 

15

10

5

0

2ms

1.5ms

1ms

0.5ms

15

9

0

1

2

3

4

4

3

2

1

0

9

15

i

v2

t (ms)

i

60 A

0

0

3

6

9

12

15

18

- 3

t (ms)

i

60 A

0

0

3

6

9

12

15

18

- 3

0

t

Io

-Io

i

- T/6

+T/6

0

t

i

5T/6

Imax

T

i3

t

0

+T/6

- T/6

5T/6

Imax

T

i

t

0

+T/6

- T/6

5T/6

Imax



0

+pð/3

- pð/3

5pð/3

2pð

T

Graduation en rad

0

t

2A

- 1

i

i

E continu

+

-

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

u

i

 EMBED Equation.3 

Imax

0

- E

 EMBED Equation.3 

0

+ E

 EMBED Equation.3 

E.Imax

p

0

E.Imax

 EMBED Equation.3 

+ E

0

 EMBED Equation.3 

E

Imax

 EMBED Equation.3 

i

u

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

0

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

-

+

E continu

i

A

B

L

R

C

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

1 pt

0,5 pt

0,5 pt

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

C

R

L

B

A

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

0,5 pt

0,5 pt

1 pt

1 pt

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

1 pt

0,5 pt

1 pt

0,5 pt




L’alimentation à découpage ci-dessus reçoit son énergie électrique d’une source de tension constante « E. »
Cette tension E est découpée périodiquement (période T ) avec un rapport cyclique  EMBED Equation.3 pour réaliser la tension  EMBED Equation.3  (voir ci-contre)
La tension  EMBED Equation.3  engendre le courant  EMBED Equation.3 (voir ci-contre)

a) Exprimer  EMBED Equation.3  en fonction de  EMBED Equation.3  et E.

b) Exprimer  EMBED Equation.3  en fonction des paramètres de  EMBED Equation.3 .

c) Représenter ci-contre la puissance instantanée (au niveau de  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 ) : EMBED Equation.3 et calculer la puissance active  EMBED Equation.3  en fonction de  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3  et E.



vL

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

pe(t)

t

0

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

iL

t

0

E

v1

t

0

 EMBED Equation.3 

iR

iC

iL

R

 EMBED Equation.3 

E = constante
positive

L

C

k


0,5 pt

0,5 pt

0,5 pt

0,5 pt

1 pt

0

t

v1

E

0

t

iL

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

0

t

pe(t)

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

a)  EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 

b)  EMBED Equation.3 

c)  EMBED Equation.3 

d)  EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 



 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

1 pt

1 pt

1 pt

1 pt

0,5 pt

0,5 pt

0

 EMBED Equation.3 

Vmax

 EMBED Equation.3 



v

 EMBED Equation.3 

0

 EMBED Equation.3 

Vmax

 EMBED Equation.3 



v

1 pt

1 pt

1,5 pt

période

t

i

i2

2 A

4 A2

R

 EMBED Equation.3 

démarrage

régime établi

arrêt

période

im (A)

t

4 A2

0,5 pt

1 pt

2 pt

1 pt

0

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 



 EMBED Equation.3 

u

i

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

0

u

i

p

P

1,5 pt

1 pt

1 pt

1,5 pt

0,5 pt

1 pt

0,5 pt

1 pt

1 pt

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.2 

L = 30 mHð

-

+

i

-

+

i

i

R = 10 Wð

E continu = 20 V

E continu = 20 V

R = 10 Wð

T

- T/6

5T/6

+T/6

0

t

0

(

Imax

i

 EMBED Equation.3 



 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

0

u

i

 EMBED Equation.3 



 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

0

p

u

i

1,5 pt

1 pt

1 pt

1,5 pt

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

0

T

0

u

i

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

0

T

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

0

p

t

0

Uo

-Uo

1,5 pt

 EMBED Equation.3 

t

0

TT

 EMBED Equation.3 

i

u

t

0

Uo

-Uo

 EMBED Equation.3 

1 pt

1 pt

1 pt

p

0

0

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

0,5 pt

u

i






 EMBED Equation.3 

0,5pt

0,5pt

0,5pt

0,5pt

0,5pt

0,5pt

u

i

u

i

 EMBED Equation.3 

0



5

4

3

2

1

0

i

14

10

0

1

2

3

4

4

3

2

1

0

10

14

i


v

v2

v1

i

B

A

Lwð = 30 Wð

dipôle 3

dipôle 2

dipôle 1

-

+

i

-

+

i

i

R = 10 Wð

E continu = 20 V

E continu = 20 V

R = 10 Wð

0,5 pt

0,5 pt

0,5 pt

0,5 pt

T/2

T

0

t

p

Io

i

0

t

0

Vmax

t

v














Hacheur

(électronique de puissance)





 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

0

 EMBED Equation.3 

Puissance instantanée :  EMBED Equation.3 

vRL


Io


200 V


is


0


t


vs


vs


is

ie

Ve
200 V
(continu)

E (75 V)
(continu)

R (2 Wð)ð

L (10 mH)

T = 1 ms


að.T


0


t

200 V


vs


vs


is

E (75 V)
(continu)

R (2 Wð)ð

L (10 mH)

1 ms


0,5 ms


0


t


Hacheur

vRL


vs


is

ie

Ve
200 V
(continu)

E (75 V)
(continu)

R (2 Wð)ð

L (10 mH)

0ms

 EMBED Equation.3 

200V

100V

0V

 EMBED Equation.2 

 EMBED Equation.3 

-E

+E

0

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.2 

 EMBED Equation.2 

 EMBED Equation.3 

T/2

T

u

i

-E

+E

0

t

 EMBED Equation.2 

 EMBED Equation.2 

0

p

0,5 pt

0 W



0

u

i

0

10

 EMBED Equation.3 

100 W

500 W

i

u



0

u

i

0

10

i

u

 EMBED Equation.3 

p

0 W

100 W

500 W