Modèle mathématique. - Math93
Chapitre 7 : Stat., Probabilités., Investissements en avenir probabilisable. ...
Définition : Pour simplifier disons que la probabilité qu'un évènement noté (X=xi)
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Chapitre 7 : Statistiques, Probabilités :
- Evaluation des investissements en avenir probabilisable
Tableau synoptique : Rappels de statistiques et probabilités
StatistiquesProbabilitéDéfinition : Pour simplifier disons que la probabilité quun évènement noté (X=xi) se réalise est le nombre
P(X=xi) avec P(X=xi) ( [0 ;1].
Pour une définition mathématiquement rigoureuse voir la remarque en fin de paragraphe
Définition
Deux variables aléatoires X et Y sont dites indépendantes ssi P eq \b((X=x)((Y=y) )= P(X=x)(P(Y=y)Moyenne arithmétique
Définition :
eq \x(EQ \x\to(x) = EQ \s\do1(\f(1;nombre de valeurs)) ( £ ni( xi)
Propriétés
EQ \x\to(ax) = aEQ \x\to(x)
EQ \x\to(ax + b) = a EQ \x\to(x) + b
EQ \x\to(x + y) = EQ \x\to(x) + EQ \x\to(y)
Espérance mathématique
Définition
eq \x(E(X) = £ xi( P(X=xi))
Propriétés
E(aX) = a E(X)
E(aX+b) = a E(X) + b
E(X + Y) = E(X) + E(Y)Covariance
Définition :
eq \x(Cov(x,y) = eq \s\do1(\f(1;N)) £ (xi - EQ \x\to(x))(yi - EQ \x\to(y)) )
eq \x(Cov(x,y) = eq \s\do1(\f(1;N)) £ xiyi - EQ \x\to(x)EQ \x\to(y))
Covariance
Définition :
eq \x(Cov(X,Y) = E eq \b\bc\[( eq \b(X E(X) ) eq \b(Y E(Y))))
eq \x(Cov(X,Y) = E(XY) E(X)E(Y))
Variance
Définition
eq \x(V(x) = eq \s\do1(\f(1;N)) £ nixi² - EQ \x\to(x)²) Variance
Définition
V(X) = E eq \b\bc\[((X E(X))² )= E(X²) E(X)²
eq \x(V(X) = £ xi² P(X=xi) E(X)²)
Propriétés
V(aX) = a²V(X)
V(aX+b) = a²V(X)
Si X et Y indépendants alors : V(X + Y) = V(X) + V(Y) = V(X-Y)
Cas général :
V(X+Y) = V(X) + V(Y) + 2 cov(X,Y)
V(X-Y) = V(X) + V(Y) - 2 cov(X,Y)
Ecart-Type
Définition : eq \x(( (X) = eq \r(V(X) ))
Propriétés
((aX) = |a| ((X)
((aX+b) = |a| ((X)
Remarque : (Pour les matheux)
Définitions : Soit ( un ensemble fini et P (() lensemble des parties de (.
Le couple eq \b(( , P (() ) est appelé espace probabilisable.
Les éléments de P (() sont appelés évènements.
Les singletons {( } sont les évènements élémentaires.
Définition :
On appelle probabilité définie sur lespace probabilisable eq \b(( , P (() ) toute application P de P (() dans [0,1] vérifiant les 2 axiomes :
P (() = 1
Pour toutes parties A et B de P (() telles que A(B = ( , P(A(B) = P(A) + P(B).
Le triplet et eq \b(( , P (() , P) est appelé espace probabilisé fini.
eq \x(A: Evaluation des investissements en avenir incertain)
Caractérisation
En investissement, lavenir probabiliste est une situation dans laquelle il est possible de déterminer toutes les valeurs que peut prendre le cash-flow relatif à un exercice donné et daffecter une probabilité à chacune de ces valeurs. Ce cash-flow devient une variable aléatoire (X) dont on connaît la loi.
I - Le critère « espérance variance »
On peut alors calculer lespérance de la VAN, sa variance et son écart-type.
E(VAN) : évalue la rentabilité.
V(VAN) et (VAN donnent la mesure du risque.
En pratique on ne retient que 3 hypothèses (optimiste, moyenne et pessimiste).
Exemple 1
On considère deux projets de capital investi 100 (en milliers) et dune durée de 3 ans.
Chaque cash-flow a fait lobjet de 3 évaluations.
On suppose que les cash-flows sont indépendants et que le coût du capital est de 10%.
EMBED Excel.Sheet.8
(en milliers)Année 1Année 2Année 3Projet 1C1P(C1)C2P(C2)C3P(C3)600.3500.4600.4700.4600.3600.3800.3700.3700.3Projet 2C1P(C1)C2P(C2)C3P(C3)300.3500.4400.4620.5800.4500.2900.21000.21200.4
eq \x(Projet 1)
Calcul de la VAN1 : VAN1 = C1(1.1 1 + C2(1.1 2 + C3(1.1 3 100 (en milliers)
Les cash-flows Ci sont des variables aléatoires, donc la VAN est une combinaison linéaire de variables aléatoires, cest donc elle-même une v.a.
Calcul de lespérance de la VAN1 et de la variance
E(VAN1) = E(C1)(1.1 1 + E(C2)(1.1 2 + E(C3)(1.1 3 100
V(VAN1) = V(C1)(1.1 2 + V(C2)(1.1 4 + V(C3)(1.1 6
A la main
C1P(C1)C1(P(C1)C1²C1²(P(C1)600.31836001080700.42849001960800.32464001920Somme704960Espérance
eq \b\lc\{( \s(E(C1) = £ C1(P(C1) = eq \x(70) ; V(C1) = £ C1²(P(C1) - eq \b\bc\[(E(C1) )² = 4 960 70² = eq \x(60) ))
C2P(C2)C2´ðP(C2)C2²C2²´ðP(C2)500.42025001000600.31836001080700.32149001470Somme59 3550EspéranceEspérance (C2) = 59Variance (C2) = 69
C3P(C3)C3´ðP(C3)C3²C3²´ðP(C3)600.42436001440600.31836001080700.32149001470Somme63 3990EspéranceEspérance (C3) = 63Variance (C3) = 21Donc
E(VAN1) = E(C1)(1.1 1 + E(C2)(1.1 2 + E(C3)(1.1 3 100
E(VAN1) = 70(1.1 1 + 59(1.1 2 + 63(1.1 3 100
eq \x(E(VAN1) = 59.73)
V(VAN1) = V(C1)(1.1 2 + V(C2)(1.1 4 + V(C3)(1.1 6
eq \x(V(VAN1) = 108.57) eq \x((VAN 1 H"10.42 )
Utilisation de la calculatrice
La plupart des calculatrices calculent cela. Pour cela sélectionnez le menu STAT 2 VAR puis entrez les données dans le tableau et tout se calcule automatiquement.
Avec la HP 10BII, par exemple pour le calcul de C1
CL £
60 INPUT 0.3 £+
70 INPUT 0.4 £+
80 INPUT 0.3 £+
EQ \x\to(x),EQ \x\to(y) º% donne la moyenne donc l espérance : 70
(x(y º% donne l écart type : 8.1650 et donc V(C1) = 8.1650² H" 66.7 ( problème !!)
Exercice 1: Evaluation des investissements en avenir incertain
Calculer E(VAN2) , V (VAN2) et (VAN2 et comparer les projets de l exemple 1 du Chapitre 7
Projet 2C'1P(C'1)C'1´ðP(C'1)C'1²C'1²´ðP(C'1)300.39900270620.53138441922900.21881001620 Somme58 3812EspéranceEspérance C1 = 58Variance C1= 448Ecart type C1= 21.1660105C'2P(C'2)C'2´ðP(C'2)C'2²C'2²´ðP(C'2)500.42025001000800.432640025601000.220100002000 Somme72 5560Espérance
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Chapitre 7 : Stat., Probabilités., Investissements en avenir probabilisable. - CORRECTION
DECF Gestion financière Epreuve 4
Compléments de mathématiques M. Duffaud Franck
