Questions - Association pour la difusion de l'économie politique ...
6) Donner un vecteur prix d'équilibre de concurrence parfaite associé à cet état
.... de la maximisation de l'utilité du consommateur sous contrainte de revenu. .....
de signe opposé (sauf dans le cas particulier où elles sont toutes deux nulles).
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JUIN 2005
Questions
Expliquez ce que sont les rendements d'échelle croissants et dites quellessont les conséquences de cette hypothèse sur la fonction d'offre du producteur.
Qu'est-ce que la courbe des contrats?
Dans une économie déchange pur, quel lien existe-t-il entre les contraintes budgétaires des agents et la loi de Walras ?
NB Les 3 exercices qui suivent sont indépendants
Exercice I
Soit deux individus A et B ayant la même relation de préférence, qui peut être représentée par la fonction dutilité U(() définie par :
U(q1,q2) = q11/2 q21/2.
La dotation (ressources) de A sont :
Q°A = (20,10) pour A et Q°B = (10,5) pour B.
Donner une autre fonction dutilité qui représente la relation de préférence de A et de B.
De quelle forme sont leurs courbes dindifférence ?
Calculer le taux marginal de substitution de A en Q°A et de B en Q°B.
Avec ces dotations initiales, A et B ont-ils intérêt à faire des échanges ?
Que peut-on dire de létat réalisable { Q°A, Q°B}.
Donner un vecteur prix déquilibre de concurrence parfaite associé à cet état réalisable.
Exercice II
On considère lindividu A de lexercice précédent, avec la même dotation initiale.
On suppose que p1 = 1 et que p2 est quelconque.
Que peut-on dire du bien 1 ?
Donner le revenu de A, aux prix donnés.
Donner sa demande du bien 1, à ces prix.
4) Pour quelle valeur de p2 , A décide-t-il de ne pas faire déchange aux prix donnés ?
Exercice III
Soit une entreprise qui produit une quantité q dun bien à partir des quantités q1 et q2 dinputs selon la relation :
q = 6q11/3 q21/2.
Quels sont les rendements déchelle de cette entreprise ?
Donner les productivités marginales de chacun de ses inputs, au panier (q1, q2), à éléments strictement positifs.
En déduire le taux marginal de substitution en ce panier.
On suppose que p1= 2 et que p2 = 3. Donner léquation du sentier dexpansion.
Le prix du bien produit étant égal à 1, déterminer la demande dinputs et loffre du bien aux prix donnés.
Correction
Questions
Les rendements déchelle sont constants lorsque, si lon augmente tous les inputs selon une certaine proportion (quelconque loutput augmente dans la même proportion) ; en concurrence parfaite, selon que le prix du produit est supérieur, inférieur ou égal au coût unitaire, loffre est soit nulle, soit infinie, soit indéterminée.
La courbe des contrats est, dans le diagramme dEdgeworth, la courbe qui représente lensemble des optimums de Pareto, cest-à-dire lensemble des états réalisables tels quon ne peut améliorer la situation daucun agent sans détériorer celle dun autre.
La loi de Walras (la somme des demandes nettes en valeur est nulle) résulte de la saturation des contraintes de budget, i.e. du fait que le consommateur choisit un panier optimal dont la valeur est égale à la valeur de ses dotations initiales.
Exercice I
Toute fonction dutilité du type V(q1,q2) = (q1q2)± avec ± > 0 convient car les fonctions d utilité sont définies à une fonction croissante près : si U(.) représente correctement la relation de préférence d un consommateur et si f(.) est une fonction croissante sur R+, alors V(.) = fæ%U(.) représente correctement la relation de préférence. Ici f(x) = x2± ; f (x) = 2±x2±-1 > 0 si ± > 0 et x > 0.
Les courbes d indifférence sont de type hyperbolique : continues, décroissantes, convexes et asymptotes aux axes. La réponse est justifiée soit par le fait que la fonction d utilité est Cobb-Douglas, soit par l équation d une courbe d indifférence : q2 = g(q1) = U°/q1 ; g (q1)=- U°/q12 0 (la courbe est convexe) ; lim g(q1)=0+ si q1!" et lim g(q1)=" si q1!0+ (la courbe est asymptote).
TMS(q1,q2) =q2/q1. TMSA(20,10)=½=TMSB(10,5).
Leurs TMS étant égaux, les agents nont pas intérêt à faire des échanges. Pour un taux déchange p1/p2 < ½, ils sont tous deux offreurs de bien 2 et demandeurs de bien 1, et réciproquement pour p1/p2 > ½. Il ny a donc pas de zone déchange.
Létat réalisable {Q°A, Q°B} étant tel que les agents nont pas intérêt à faire des échanges, cest un optimum de Pareto.
Un vecteur prix déquilibre de concurrence parfaite est tel que le rapport des prix est égal au TMS des agents (égaux entre eux). Ici, il faut donc p1/p2 = ½. Le vecteur prix est donc P = (p2/2, p2), p2 > 0.
Exercice II
le prix du bien 1 étant égal à 1, le bien 1 est appelé le numéraire.
Le revenu de A est RA = 20 + 10p2.
On cherche la quantité de bien 1 q1* telle que (q1*,q2*) soit la solution de la maximisation de lutilité du consommateur sous contrainte de revenu.
Du fait de la non-saturation des besoins, la contrainte de budget sécrit sous forme dégalité : p1q1* + p2q2* = 20 p1 + 10p2.
Parce que les CI sont de type hyperbolique, TMS(q1*,q2*) = p1/p2.
Avec p1 = 1 on obtient q1* = 10 + 5 p2.
Si A décide de ne pas faire déchange, alors q1* = 20 ; ce qui équivaut à : p2 = 2. On remarque quon obtient logiquement le même résultat quà lexercice 1.
Exercice III
Le degré dhomogénéité de la fonction est 5/6 < 1, donc les rendements déchelle sont décroissants.
fq1(q1,q2) = 2q1-2/3 q21/2 et fq2(q1,q2) = 3q11/3 q2-1/2 .
TMS(q1,q2) = 2q2/3q1.
Léquation du sentier dexpansion est : q2* = q1*.
Avec l équation précédente et la fonction de production, on peut exprimer le profit en fonction de q1 et on obtient : (q1) = 6q15/6 5q1. La dérivée s annule pour q1* = 1, et comme q2* = q1*, l offre est donc q* = 6.
JUIN 2004
Questions
Quelle est la signification économique de lhypothèse de convexité des courbes dindifférence ?
Dans une économie de concurrence parfaite à deux biens, quelle est la raison pour laquelle les demandes nettes de ces deux biens sont soit toutes deux nulles, soit de signe opposé ?
Soit une économie à deux biens et deux consommateurs ayant la même fonction dutilité U(() définie par U(x,y)= x1/2y. Soit létat réalisable S = {(0,10), (20,0)} de cette économie. Donner, éventuellement dans un diagramme dEdgeworth, lensemble des états réalisables préférés à S selon le critère de Pareto.
Exercices
I. Soit deux individus A et B ayant la même relation de préférence, qui peut être représentée par la fonction dutilité U(() définie par :
U(q1,q2) = q11/4 q21/2.
On suppose que la dotation initiale de A est : (10,0), celle de B étant : (5,15).
Donner une autre fonction dutilité, plus simple, représentant la même relation de préférence. Justifier la réponse.
Quels sont les taux déchange acceptables par A ?
A quels taux déchange léchange est-il possible entre A et B ? Préciser quel bien offre alors chacun des agents.+
Les hypothèses de cette économie garantissent-elles lexistence dun équilibre général de concurrence parfaite ?
On suppose que le bien 2 est le numéraire. Quelle est en la conséquence sur son prix ?
Déterminer la demande nette globale du bien 1, en fonction de p1.
Donner les prix déquilibre de concurrence parfaite.
II. Soit une entreprise qui produit du bien 2 à partir du bien 1 selon la relation (fonction de production) :
q2 = 4 EQ \o (q1/ 4;\s \down6 (1)) .
Déterminer la nature des rendements déchelle de cette entreprise.
Les prix des biens sont donnés ; on suppose p2 = 1 ; donner la demande concurrentielle du bien 1 de lentreprise.
En déduire son offre concurrentielle du bien 2.
Déterminer, pour cette offre, le profit de lentreprise.
III. On considère léconomie formée par le ménage A de lexercice I et lentreprise de lexercice II. Lentreprise verse son profit à son propriétaire, le ménage.
Le ménage et lentreprise ont-ils intérêt à échanger ?
Donner la demande globale du bien 1, pour un prix p1 donné (on pourra continuer à prendre le bien 2 comme numéraire).
Si p1 = p2 = 1, y a-t-il équilibre ?
Correction
Questions de cours
La convexité des courbes dindifférence du consommateur sinterprète économiquement comme le « goût des mélanges ». A deux paniers de biens différents, Q et Q jugés équivalents par le consommateur (donc situés sur la même courbe dindifférence), il préfèrera toujours un panier composé dune partie de chacun de ces paniers. Graphiquement, un panier mélange est situé sur le segment qui joint Q et Q, et ce segment est situé au dessus de la courbe dindifférence passant par Q et Q si cette courbe est convexe.
Cest du fait de la loi de Walras que, dans une économie de concurrence parfaite à deux biens, les demandes nettes des deux biens sont soit nulles soit de signe opposé. Cette loi sénonce de la manière suivante : la somme des demandes nettes en valeur est nulle. Ce qui peut sécrire, dans une économie à deux biens : p1E1 + p2E2 = 0. Comme les prix sont strictement positifs, on a EQ E2 = \f(-p1E1;p2) . Si E1 = 0, alors E2 = 0 ; si E1 > 0, alors E2 0 et q2 > 0 (état réalisable préféré strictement par A à S, B étant indifférent) ou q1 < 20 et q2 < 10 (état réalisable préféré strictement par B à S, A étant indifférent), ou les deux (état réalisable préféré strictement à S par les deux agents).
Dans un diagramme dEdgeworth, ces état réalisables sont tous les points intérieurs au diagramme, tous les points « frontière », sauf celui des dotations initiales (forcément), à lextrémité Nord-Ouest, et le point opposé, à lextrémité Sud-Est.
Exercice I
La plus simple est bien sûr V(q1,q2) = q1q22. Mais vous pouvez accepter toutes les fonctions qui peuvent sexprimer sous la forme foU, f croissante sur R+.
Même astuce que dans la troisième question de cours : la fonction dutilité étant de type Cobb-Douglas, les biens sont supposés désirables : pour avoir une utilité strictement positive, le consommateur doit consommer une quantité strictement positive de chacun des biens. Cest pourquoi lutilité de A au point de sa dotation est nulle. A est donc désireux déchanger dès que cet échange lui permet dobtenir une utilité positive, cest-à-dire dès que léchange peut lui permettre dobtenir un panier composé dune quantité strictement positive de chaque bien. Partant dune situation où il ne consomme aucune unité de bien 2, A est donc prêt, quel que soit le taux déchange (strictement positif quand même) à offrir du bien 1 pour obtenir en contrepartie du bien 2.
Il était inutile de calculer le TMS.
On calcule le TMS de B au point de sa dotation initiale : TMS(q1,q2) = \f(q2;2q1) TMS (5,15) = 3/2. On en déduit ses dispositions à léchange :
si p1/p2 < 3/2, alors B est demandeur de bien 1 et offreur de bien 2.
si p1/p2 = 3/2, alors B ne désire pas échanger (est indifférent à léchange).
si p1/p2 > 3/2, alors B est demandeur de bien 2 et offreur de bien 1.
Sachant que A est toujours offreur de bien 1 et demandeur de bien 2, léchange est possible si p1/p2 est strictement compris entre 0 et 3/2.
Les hypothèses qui garantissent lexistence dun équilibre général concurrentiel ont été énoncées par Arrow et Debreu (1954) ; elles garantissent la continuité des fonctions de demande nette. Dans une économie déchange, ces hypothèses sont la divisibilité des biens (CI continues), la non-saturation des besoins (CI décroissantes), le goût des mélanges (CI convexes) et lhypothèse de survie du consommateur. Les fonctions dutilité étant de type Cobb-Douglas, les CI sont continues, décroissantes, convexes et même asymptotes aux axes ; si on ajoute lhypothèse de survie, lexistence dun équilibre est donc garantie.
Lorsquun bien est numéraire, son prix, par définition, est égal à 1.
Les CI étant de type hyperbolique, le panier optimal de chaque consommateur, (q1*, q2*) vérifie le système déquations : EQ TMS(q1*, q2*) = \f(p1;p2)
p1q1* + p2q2* = p1q1° + p2q2°
On obtient : EQ q1* = \f(q1°;3) + \f(p2q2°;3p1) . On en déduit : EQ q*1A = \f(10;3) et EQ q*1B = \f(5;3) + \f(5;p1) .
Donc EQ e1A = \f(-20;3) et EQ e1B = \f(5;p1) - \f(10;3) .
La demande nette globale est donc égale à : EQ E1 = \f(5;p1) - 10 .
Le prix déquilibre de concurrence parfaite est donné en annulant la demande nette globale de bien 1. On obtient p1* = ½.
Exercice II
f((q1) = 4 ((q1)1/4 = 4 (1/4 q11/4 = (1/4 4 q11/4 = (1/4 f(q1). La fonction de production est homogène de degré ¼ < 1. Les rendements déchelle sont donc décroissants.
Pour déterminer la demande concurrentielle de bien 1 de lentreprise, q1, il faut exprimer son profit en fonction des prix p1 et p2 et de q1. Le profit étant égal à la différence entre les recettes provenant de la vente de loutput au produit et les dépenses en inputs (ici, p2q2 p1q1), il faut exprimer la quantité doutput offerte, q2, en fonction de la quantité dinput demandée, q1. On obtient : ( (q1) = 4p2 q11/4 p1q1.
Pour que le profit soit maximum en q1*, il faut ( (q1*) = 0 ; ce qui implique, avec p2 = 1, q1* = p1-4/3.
On en déduit q2* = 4 (q1*)1/4 = 4 p1-1/3.
Le profit de la firme est alors égal à p2q2* - p1q1*, ce qui donne, avec p2 = 1 :
( (q1*) = EQ \f(4;p11/3) - \f(1; p11/3) = \f(3; p11/3) . Il est strictement positif, ce qui résulte de lhypothèse de rendements déchelle décroissants.
Exercice III
Daprès la réponse à la question 2 de lexercice 1, le ménage est offreur de bien 1 et demandeur de bien 2 ; lentreprise utilise du bien 1 pour produire du bien 2 ; elle est dont demandeur de bien 1 et offreur de bien 2. Les offres et les demandes des agents peuvent donc être compatibles : ils ont donc intérêt à échanger.
La demande globale de bien 1 est donnée par la somme de la demande dinput de lentreprise, q1*, et de la demande nette en bien 1 du ménage. La difficulté est que la demande nette du ménage doit être recalculée en intégrant le profit du ménage dans ses ressources. On obtient : EQ q1* = \f(10;3) + \f(1;p14/3) , doù EQ e1 = \f(-20;3) + \f(1;p14/3) . Doù : EQ E1 = \f(-20;3) + \f(2;p14/3) .
Il suffit de calculer la demande nette agrégée E1 pour p1 = 1. On obtient E1 = -14/3 < 0. Les prix proposés ne sont donc pas déquilibre.
JUIN 2002
Questions
Que signifie lhypothèse selon laquelle les agents sont « preneurs de prix »
Quelle est la conséquence de lexistence de coûts fixes sur la fonction doffre de concurrence parfaite dune entreprise ?
Lécriture de la contrainte de budget sous forme dégalité exclut-elle lépargne ?
Exercices
I. Soit un ménage dont la relation de préférence est représentée par la fonction dutilité U(() définie par légalité :
U(q1, q2) = q11/2 q21/4.
La fonction V(() définie par V(q1, q2) = q12 q2 représente-t-elle aussi la relation de préférence du ménage ?
De quelle forme sont ses courbes dindifférence ?
Calculer son taux marginal de substitution entre les biens 1 et 2 en un panier (q1, q2) quelconque, avec q1 > 0, q2 > 0.
Les prix des deux biens étant donnés, que peut-on dire à propos du signe des demandes nettes du ménage, à ces prix ?
On note p1 et p2 , respectivement, les prix de ces biens (p1 >0, p2 >0). Soit (12,4) la dotation initiale en biens du ménage. Donner son revenu, à ces prix.
On suppose que le bien 1 est le numéraire. Quimplique cette hypothèse sur le prix de ce bien ?
Déterminer les demandes nettes de concurrence parfaite du ménage, aux prix donnés.
II. On considère l « économie » formée par deux ménages identiques à ceux de lexercice I. Quels sont les prix déquilibre de concurrence parfaite de cette économie ?
III. Soit une entreprise qui produit le bien 2 à partir du bien 1 selon la relation :
q2 = f(q1)
où la fonction de production f(() est définie par : f(q1) = 4q1 (on a donc q2 = 4q1).
Déterminer la nature des rendements déchelle de cette entreprise.
Donner son profit de concurrence parfaite, ((q1), lorsque les prix des biens sont p1 et p2, respectivement (on pourra prendre le bien 1 pour numéraire).
Pour lesquels de ces prix ce profit est-il négatif ? nul ? positif ?
Déduire de la question précédente la fonction doffre de lentreprise.
IV. On considère l « économie » formée par le ménage de lexercice I et lentreprise de lexercice II.
Déterminer, en vous servant de la question III 4), les prix déquilibre de cette économie.
En déduire, en vous servant du résultat obtenu en I.7), les quantités consommées par le ménage à cet équilibre ainsi que la production de lentreprise.
Correction
Questions
les agents ne décident pas des prix qui sont affichés par le commissaire-priseur ; ils prennent leurs décisions sur la base de conjectures concurrentielles, i.e. en supposant que ces choix sont sans effet sur les prix et quils ne subissent pas de contrainte en quantité, autrement dit, en supposant que les prix affichés sont déquilibre.
Les coûts fixes, lorsque le coût marginal est supposé croissant, entraînent une discontinuité de la fonction doffre : en deça dun seuil minimal de production, la vente de loutput à un prix égal au coût marginal (égalité imposée par la concurrence parfaite) ne permet pas damortir ces coûts fixes ; plutôt que de réaliser des pertes, lentreprise préfère ne pas produire. Au delà de ce seuil, la production est strictement positive et est croissante du prix. Des courbes doffre (ou de demande) discontinues peuvent entraîner labsence déquilibre.
Lécriture de la contrainte de budget sous forme dégalité suppose que la somme des dépenses est égale à la somme des recettes. Lépargne consiste à consommer moins aujourdhui pour consommer davantage demain. Pour concilier lépargne avec légalité des dépenses et des recettes, il faut écrire la contrainte de budget comme une contrainte intertemporelle, où les dépenses et les recettes portent sur les biens présents et futurs. Une épargne en période 1 (dépenses inférieures aux recettes de cette période) est donc possible, si elle est suivie, en période 2, de dépenses supérieures aux recettes. Lécriture de cette contrainte de budget suppose que le consommateur décide en même temps de toutes les quantités de biens, présents et futurs, quil offre et demande ; cela suppose quil connaisse les prix des biens présents et futurs ; cest lhypothèse dexistence dun système complet de marchés.
Exercice I
Les fonctions dutilité sont définies à une fonction croissante près : deux fonctions U(.) et V(.) représentent la même relation de préférence si V(.) peut sécrire sous la forme : V(.) = foU(.), où f est une fonction croissante de R+ dans R+. Ici, V(.)=[U(.)]4 ; f(x)=x4 est croissante sur R+, donc le théorème sapplique.
Les courbes dindifférence sont de type hyperbolique : décroissantes, convexes et asymptotes aux axes. Deux justifications sont possibles : soit en remarquant que la fonction dutilité est une fonction Cobb-Douglas ; soit en calculant léquation dune courbe dindifférence : q2 = V°/q12 = g(q1) ; g(q1) 0 donc la courbe est convexe ; g(q1) tend vers 0+ quand q1 tend vers linfini et vers linfini quand q1 tend vers 0+, donc la courbe est asymptote aux axes.
On calcule le TMS comme le rapport des utilités marginales : EQ TMS(q1,q2) = \f(2q2;q1) .
La loi de Walras impose que la somme des demandes nettes en valeur est nulle ; dans une économie à deux biens, p1 e1+p2 e2 = 0. Pour des prix strictement positifs, cette égalité implique que les demandes nettes sont de signe opposé (sauf dans le cas particulier où elles sont toutes deux nulles).
R = 12p1 + 4p2.
Par définition du numéraire, p1 = 1.
Les quantités optimales sont EQ (q*1 , q*2) = \b(8 + \f(8p2;3p1) , \f(4p1;p2) + \f(4;3)). Les demandes nettes sont EQ (e1 , e2 ) = \b(\f(8p2;3p1) - 4 , \f(4p1;p2) - f(8;3))
Exercice II
Les deux agents ayant les mêmes préférences et les mêmes dotations, ils ont le même TMS au point de leurs dotations. Or, les possibilités déchanges mutuellement avantageux subsistent lorsque les TMS sont différents ; ils ny a donc plus de possibilités déchanges possibles (on peut dire aussi que, les TMS étant identiques, les courbes dindifférence des deux agents sont tangentes en leurs dotations initiales et donc que la lentille est vide). Léquilibre de concurrence parfaite de cette économie est donc un équilibre sans échange. On calcule un prix relatif p1/p2 qui ne donne lieu à aucun échange, mais qui, pour que les agents soient tous deux à léquilibre, doit être égal à leur TMS au point de leurs dotations : p1/p2 = TMS(12,4) = 2/3..
Exercice III
f((q1) = 4((q1) = (4q1 = (f(q1). La fonction de production étant homogène de degré 1, les rendements déchelle E sont constants.
Le profit peut sexprimer en fonction de la quantité dinput, q1 : EQ ((q1) = p2 q2 - p1 q1 = p2 4q1 - p1 q1= (4p2 -p1) q1 .
Si EQ p2 < \f(p1;4) , alors ((q1) 0 ;
Si EQ p2 = \f(p1;4) le profit est nul quel que soit q1 ;
Si EQ p2 > \f(p1;4) , le profit est positif et est une fonction croissante de q1.
La courbe de demande dinput est : q1 = 0 si EQ p2 < \f(p1;4) ;
q1 est indéterminé (de 0 à linfini) pour EQ p2 = \f(p1;4) ;
q1 est infini pour EQ p2 > \f(p1;4) .
La courbe doffre q2 se déduit de q1 : q2 = 4q1. Elle a la même forme (en L inversé).
Exercice IV
Quand les rendements sont constants, deux équilibres sont possibles :
léquilibre avec production, où la courbe de demande coupe la partie verticale de la courbe doffre ; alors le prix déquilibre de loutput est égal à son coût marginal (constant), ici, p2 = p1 /4 et la quantité produite est déterminée par la demande.
Le second équilibre est léquilibre autarcique, lorsque la courbe de demande coupe la partie horizontale de la courbe doffre ; la quantité produite est nulle ; le prix est inférieur à p1/4, déterminé en annulant la fonction de demande.
Sil existe un équilibre avec production, alors EQ \f(p1 ;p2) = 4 et les demandes nettes du ménage sont EQ (e1, e2) = \b(\f(10;3) , \f(40;3)) : le ménage offre 10/3 de bien 1 et demande 40/3 de bien 2. Pour que cet équilibre existe, il faut que lentreprise offre 40/3 de bien 2 et demande 10/3 de bien 1. Cela suppose que la fonction de production de lentreprise lui permette de produire du bien 2 avec du bien 1 (ce qui est le cas) et que les quantités respectent la fonction de production, i.e. que loutput soit égal à 4q1, ce qui est aussi le cas.
SEPTEMBRE 2002
Questions
Quelle est la signification économique de la décroissance des courbes dindifférence ?
Dans le modèle de concurrence parfaite, les prix sont-ils des données, des variables ou des paramètres ?
Quelle propriété concernant les TMS des agents doivent respecter les optimums de Pareto dune économie ?
Exercices
I. Soit un consommateur dont la relation de préférence peut être représentée par la fonction U(() définie par :
U(q1, q2) = q1 2/3 q2 1/3
Donner une autre fonction dutilité représentant la relation de préférence du consommateur (justifiez votre réponse).
De quelle forme sont ses courbes dindifférences ? (justifiez votre réponse).
Calculer son taux marginal de substitution en un panier (q1, q2) quelconque, à éléments strictement positifs.
Déterminer sa fonction de demande pour p1 = 2, p2 = 1, et pour un revenu R quelconque.
II. Soit une entreprise caractérisée par la fonction de production f(() définie par : f(q1, q2) = q1 1/2 q2 1/4.
Quelle est la nature des rendements déchelle de cette entreprise ?
Calculer son taux marginal de substitution en un panier (q1, q2) quelconque à éléments strictement positifs.
Par la suite, on suppose p1 = 2 et p2 = 1.
Calculer léquation du sentier dexpansion.
Soit p le prix du produit de lentreprise. Donner la demande de concurrence parfaite de linput 1 de lentreprise en fonction de p.
III. Soit une économie formée de deux ménages, A et B, définis chacun par la même fonction dutilité que le consommateur de lexercice I :
UA(q1, q2) = UB(q1, q2) = q1 2/3 q2 1/3
et par les dotations initiales :
Q°A = (2,8) et Q°B =(8,2).
Quels sont les taux déchange acceptables pour les deux agents ?
Quel agent, pour ces taux, est offreur de bien 1 ?
Le prix relatif p1/p2 = 2 est-il un prix déquilibre de concurrence parfaite de cette économie ?
Correction
Questions
La décroissance des courbes dindifférence est la conséquence de lhypothèse de non-saturation des besoins (ou non-satiété) : le consommateur préfère toujours consommer davantage de chacun des biens. Ainsi, si deux paniers Q = (q1,q2) et Q= (q1 , q2), avec q1 > q1, se trouvent sur la même courbe dindifférence, alors on a nécessairement q2 ½ , B est offreur de bien 1 et demandeur de bien 2.
Des échanges sont possibles lorsque EQ \f(p1;p2) est compris entre ½ et 8.
Cest donc B qui est offreur de bien 1.
On calcule les paniers désirés par les agents si EQ \f(p1;p2) = 2 : en prenant le bien 1 pour numéraire, on obtient les revenus RA = 12 et RB = 18 ; on en déduit Q*A = (4,4) et Q*B =(6,6) ; les TMS des deux agents à ces paniers sont égaux à 2 ; ils sont donc égaux entre eux (ce qui indique que cette allocation des ressources est un optimum de Pareto) et égaux au rapports des prix, ce qui indique que cette allocation des ressources est un équillibre de concurrence parfaite ; EQ \f(p1;p2) = 2 est donc bien un prix déquilibre de concurrence parfaite.
JUIN 2001
Questions
Expliquez ce quest le taux marginal de substitution entre deux biens
Enoncez la loi de Walras
Rappelez ce quest le critère de Pareto
Exercice 1
Soit deux individus A et B ayant la même relation de préférence, qui peut être représentée par la fonction dutilité U(() définie par :
U(q1,q2) = q11/2 q21/2.
On suppose que la dotation initiale de A est : (6,2), celle de B étant : (1,4).
Donner une autre fonction dutilité représentant la même relation de préférence.
De quelle forme sont les courbes dindifférence qui lui sont associées.
A et B ont-ils intérêt à faire des échanges ?
Si on laisse linitiative à chacun dentre eux de proposer un taux déchange, lesquels proposeront-ils ?
Peut-on affirmer, avant tout calcul, quil existe un vecteur-prix qui égalise les offres et les demandes concurrentielles de léconomie formée par A et B.
Déterminer la demande nette globale du bien 1, en fonction du prix relatif p1/p2.
En déduire la demande nette globale du bien 2.
Donner les prix déquilibre de concurrence parfaite.
Exercice 2
Soit une entreprise dont la fonction de production f(() est telle quelle associe à une quantité q1 du bien 1 la quantité 3q2 du bien 2. Autrement dit, on a :
q2 = f(q1) = 2q1 .
Quels sont les rendements déchelle pour une telle entreprise ?
Soit p1 le prix du bien 1. Déterminer, en fonction de p1, le coût de production dune unité du bien 2.
De quelle forme est la fonction de coût de cette entreprise ? Donner cette fonction de coût.
Exercice 3
On considère l « économie » formée par le ménage A de lexercice 1 et par lentreprise de lexercice 2, entreprise dont le ménage est propriétaire.
On suppose quil existe un commissaire-priseur qui propose des prix, et que ménage et entreprise agissent en preneurs de prix. Déterminer les prix et la production déquilibre de concurrence parfaite du modèle ainsi conçu.
Si le ménage connaissait lui-même la fonction de production, aurait-il intérêt à lutiliser pour produire du bien 2 à partir de bien 1 ?
Quelle serait la quantité de bien 1 quil devrait affecter à la production de bien 2 de façon à maximiser son utilité ? Comparer avec le résultat obtenu en 1.
CORRECTION
Questions
Le TMS est la quantité maximale de bien 2 par unité de bien 1 que lindividu est prêt à céder pour obtenir du bien 1 ; cest aussi la quantité minimale de bien 2 par unité de bien 1 que lagent exige pour céder du bien 1. Cest un taux déchange limite en un sens double : dabord parce quil est calculé en supposant léchange de quantités de biens qui tendent vers 0 ; ensuite parce quun agent qui échange à un taux égal à son TMS reste sur la même courbe dindifférence : il ne gagne ni ne perd à léchange. Enfin, à la différence des prix, cest un taux déchange subjectif : il est déterminé, pour chaque agent, par ses préférences (géométriquement, le TMS en un point est égal, en valeur absolue, à la pente de la tangente à la courbe dindifférence en ce point).
La somme des demandes nettes en valeur est nulle, quels que soient les prix. En économie déchange, la loi de Walras provient de lagrégation des contraintes budgétaires. En économie de production, elle suppose en outre, sil y a des profits positifs, la redistribution de ces profits aux ménages propriétaires des firmes.
Le critère de Pareto permet de comparer des états réalisables dune économie : un état E est préféré à E selon ce critère sil est préféré au sens large par tous les agents (lutilité du panier quils obtiennent en E est au moins égale à celle du panier quils obtiennent en E) et au sens strict par au moins lun deux. Ce critère ne permet pas de comparer tous les états réalisables dune économie : si un agent préfère E à E alors quun autre préfère E à E, les états réalisables E et E ne sont pas comparables.
Exercice I
Toute fonction V(q1 ,q2) = foU(q1,q2) avec f croissante de R+ sur R+ représente la même relation de préférence que U(q1,q2) ; par exemple, avec f(x) = x2, V(q1,q2) = q1 q2.
La fonction dutilité étant une fonction Cobb-Douglas, les courbes dindifférence sont de type hyperbolique : décroisssantes, convexes et asymptotes aux axes. On peut aussi justifier en calculant de léquation dune courbe dindifférence, cest-à-dire en exprimant q2 en fonction de q1 : q2 = g(q1) ; on montre alors que g(q1) 0, g(q1) tend vers linfini quand q1 tend vers 0+ et vers 0+ quand q1 tend vers linfini. Ici, EQ q2 = \f(U0;q1) .
TMSA (q11,q2) = EQ \f(q2;q1) ; au panier des dotations initiales, TMSA (6,2) = 1/3 ;
si le taux déchange objectif, EQ \f(p1;p2) , est égal à EQ \f(1;3) , A est indifférent à léchange ;
si EQ \f(p1;p2) = \f(1;3) , A est offreur de bien 2 et demandeur de bien 1 ;
si EQ \f(p1;p2) > \f(1;3) , A est offreur de bien 1 et demandeur du bien 2.
On applique le même raisonnement à B dont le TMS en sa dotation initiale est égal à 4 :
si EQ \f(p1;p2) 4 , B est offreur de bien 1 et demandeur de bien 2.
Donc A et B ont intérêt à échanger à un taux EQ \f(p1;p2) compris entre 1/3 et 4 : A est offreur de bien 1 et demandeur de bien 2 et réciproquement pour B.
A, offreur de bien 1, a intérêt à ce que EQ \f(p1;p2) soit le plus élevé possible. Sil connaît la dotation et les préférences de B, il lui proposera le taux déchange le plus élevé où B est encore demandeur de bien 1 : EQ \f(p1;p2) = 4 ; B a intérêt à proposer le taux EQ \f(p1;p2) le plus faible possible mais tel que A est encore offreur de bien 1 : EQ \f(p1;p2) = 1/3.
Les courbes dindifférence ont les propriétés habituelles, en particulier la convexité. Si lon suppose que les agents peuvent survivre en consommant leurs dotations initiales, le théorème dArrow-Debreu garantit lexistence dau moins un vecteur de prix qui égalise les offres et demandes concurrentielles de A et B.
EQ q*1A = 3 + \f(p2;p1) ; EQ q*1B = \f(1;2) + \f(2p2 ;p1) ; EQ e*1A = \f(p2 ;p1) 3 ; EQ e*1B = \f(2p2 ;p1) \f(1;2) ; donc EQ E1 = \f(3p2;p1) \f(7;2) .
Du fait de la loi de Walras, on a p1 E1 + p2 E2 = 0, doù EQ E2 = \f(-p1 E1;p2) = - 3 + \f(7p1;2p2) .
On détermine le prix déquilibre de concurrence parfaite en posant soit E1 = 0, soit E2 = 0. On obtient : EQ \f(p1;p2) = \f(6;7)
Exercice II
f((q1) = 2(q1 = ( f(q1). La fonction de production étant homogène de degré 1, les rendements déchelle sont constants.
La fonction doffre a la forme dun L inversé : lorsque le prix de loutput est inférieur au coût marginal (constant), loffre est nulle ; lorsquil lui est égal, loffre est indéterminée ; lorsquil lui est supérieur, loffre est infinie.
Comme il ny a quun input, le coût de production dune unité doutput est p1 q1, sachant que la quantité doutput, q2, égale à 2q1 du fait de la fonction de production, doit être égale à 1. On en déduit que le coût dune unité doutput est EQ \f(p1;2) .
Le coût marginal étant constant, il est toujours égal à EQ \f(p1;2) quelle que soit la quantité doutput produite. La fonction de production est croissante linéaire : EQ C(q2) = cq2 = \f(p1 q2 ;2) .
Exercice III
Les rendements déchelle étant constants, le prix déquilibre de concurrence parfaite est donc tel :
soit que le prix de loutput égalise le coût marginal : EQ p2 = \f(p1;2) ; donc EQ \f(p1;p2) = 2 . Alors, Q*A = (7/2,7) et EA = (-5/2,5) : le ménage offre 5/2 de bien 1 et demande 5 de bien 2 ; ces résultats sont compatibles avec la fonction de production de lentreprise qui est demandeur de bien 1 et offreur de bien 2 et produit une quantité de bien 2 double de la quantité de bien 1 quelle utilise. Il existe donc un équilibre tel que EQ \f(p1;p2) = 2 avec q*2 = 5 et q*1 = 5/2.
soit quil lui est inférieur, avec une production nulle : il sagit alors dun équilibre autarcique (sans échange) ; or A ne désire pas échanger si EQ \f(p1;p2) = \f(1;3) ; cette condition contredit celle imposée par le producteur, qui ne désire pas produire si EQ p2 < \f(p1;2) ; il ny a donc pas déquilibre autarcique dans cette économie.
On calcule lutilité de lagent A avec la fonction V(.,.) : V(6,2)=12 ; si A renonce à consommer une unité de bien 1 afin dobtenir 2 unités de bien 2, il obtient le panier (5,4) dont lutilité est V(5,4)=20 ; il a donc intérêt à utiliser la fonction de production.
A maximise son utilité, donnée par V(q1,q2)=q1 q2, sachant que, si lon note t1 la quantité de bien 1 que lagent A renonce à consommer et t2 la quantité supplémantaire de bien 2 quil obtient en contrepartie, on a : q1 = 6 t1, q2 = 2 + t2, et t2 = 2t1. On peut écrire dutilité de A en fonction seulement de t1 : W(t1) = -2t12 + 10t1 + 12. On détermine la quantité t1 optimale en annulant la dérivée de cette fonction dutilité ; on obtient t1 = 5/2, doù lon déduit t2 = 5 ; cela signifie que le ménage muni de la fonction de production effectuerait les mêmes choix que les choix déquilibre de concurrence parfaite.
SEPTEMBRE 2001
Questions
Quest-ce quun taux marginal de substitution ?
Quest ce quun optimum de Pareto ?
Exercice I
Soit un consommateur dont la relation de préférence peut être représentée par la fonction U(() définie par :
U(q1, q2) = q1 1/2 q2 1/4
Donner une autre fonction dutilité représentant la relation de préférence du consommateur.
De quelle forme sont ses courbes dindifférences ?
Calculer son taux marginal de substitution en un panier (q1, q2) quelconque, à éléments strictement positifs.
Déterminer sa fonction de demande pour p1 = 1, p2 = 1, et pour un revenu R quelconque.
Exercice II
Soit une entreprise caractérisée par la fonction de production f(() définie par : f(q1, q2) = q1 3/4 q2 1/4.
Quelle est la nature des rendements déchelle de cette entreprise ?
Calculer son taux marginal de substitution en un panier (q1, q2) quelconque à éléments strictement positifs.
En déduire léquation du sentier dexpansion, pour p1 = 3 et p2 = 1.
Donner la fonction de coût c(q) de cette entreprise, - q étant une quantité quelconque de son produit - toujours pour p1 = 3 et p2 = 1.
Quelle est la fonction doffre concurrentielle de cette entreprise si le prix du produit est p (p>0) ?
Exercice III
Soit une économie formée de deux ménages, A et B, ayant pour fonctions dutilité
UA(q1, q2) =q1² q2 et UB(q1, q2) = q1 q2²
et pour dotations initiales :
Q°A = (2,1) et Q°B =(1,2).
Calculer le taux marginal de substitution de A lorsquil détient sa dotation initiale ; de même pour B.
Peut-on déduire, au vu des taux calculés en 1), que p1= p2 = 1 sont des prix déquilibre de concurrence parfaite de cette économie ?
CORRECTION
Questions
Le TMS est la quantité maximale de bien 2 par unité de bien 1 que lindividu est prêt à céder pour obtenir du bien 1 ; cest aussi la quantité minimale de bien 2 par unité de bien 1 que lagent exige pour céder du bien 1. Cest un taux déchange limite en un sens double : dabord parce quil est calculé en supposant léchange de quantités de biens qui tendent vers 0 ; ensuite parce quun agent qui échange à un taux égal à son TMS reste sur la même courbe dindifférence : il ne gagne ni ne perd à léchange. Enfin, à la différence des prix, cest un taux déchange subjectif : il est déterminé, pour chaque agent, par ses préférences (géométriquement, le TMS en un point est égal, en valeur absolue, à la pente de la tangente à la courbe dindifférence en ce point).
Un optimum de Pareto est un état réalisable dune économie tel quaucun autre état réalisable ne peut lui être préféré selon le critère de Pareto ; autrement dit, cest une situation dans laquelle on ne peut améliorer la situation daucun agent sans détériorer celle dau moins un autre. Si lon étudie la possibilité déchanges, un optimum de Pareto est une situation dans laquelle il nexiste plus de posibilité déchanges mutuellement avantageux ; dans un diagramme dEdgeworth, lensemble des optimums de Pareto est représenté par la courbe des contrats, qui passe par tous les points où les courbes dindifférence des agents sont tangentes entre elles ; les optimums ne dépendent pas des dotations mais seulement des préférences des agents.
Exercice I
Toute fonction V(q1 ,q2) = foU(q1 ,q2) avec f croissante de R+ sur R+ représente la même relation de préférence que U(q1 ,q2) ; par exemple, avec f(x) = x4, V(q1 ,q2) = q12 q2.
La fonction dutilité étant une fonction Cobb-Douglas, les courbes dindifférence sont de type hyperbolique : décroisssantes, convexes et asymptotes aux axes. On peut aussi justifier en calculant de léquation dune courbe dindifférence, cest-à-dire en exprimant q2 en fonction de q1 : q2 = g(q1) ; on montre alors que g(q1) 0, g(q1) tend vers linfini quand q1 tend vers 0+ et vers 0+ quand q1 tend vers linfini. Ici, EQ q2 = \f(U0;q12) .
EQ TMS (q1,q2) = \f(2q2;q1) .
Les courbes dindifférence étant de type hyperbolique, le panier optimal du consommateur, Q*= (q*1 ,q*2) vérifie le système suivant : EQ TMS (q*1 ,q*2) = \f(p1;p2)
p1 q1 + p2 q2 = R.
On obtient Q* = (2R/3, R/3).
Exercice II
f((q1, (q2) = (3/4+1/4 q13/4 q21/4 = ( f(q1,q2). La fonction de production étant homogène de degré 1, les rendements déchelle sont constants.
EQ TMS (q1,q2) = \f(3q2;q1) .
Léquation de sentier dexpansion est donnée par légalité du TMS du producteur et du rapport des prix des inputs . On obtient q2 = q1.
Le coût est donné par p1 q1 + p2 q2 ; la fonction de coût exprime le coût en fonction de la quantité doutput, q ; on exprime donc q1 et q2 en fonction de q à partir des équations de la fonction de production et du sentier dexpansion. On obtient q1 = q2 = q. On en déduit C(q) = 3q + q = 4q. On peut vérifier que le coût marginal est constant : C(q) = 4 quel que soit q.
Le coût marginal étant constant, la fonction doffre de lentreprise a la forme dun L inversé : si le prix dune unité doutput, p, est inférieur à son coût marginal, 4, loffre est nulle ; sil lui est égal, loffre est indéterminée ; sil lui est supérieur, loffre est infinie.
Exercice III
Le TMS de lagent A en un panier quelconque est donné par : EQ TMSA (q1 ,q2) = \f(2q2;q1) ; au panier de sa dotation initiale, TMSA (2,1) = 1. Le TMS de lagent B en un panier quelconque est donné par : EQ TMSB (q1 ,q2) = \f(q2;2q1) ; au panier de sa dotation initiale, TMSB (1,2) = 1.
Au point de leurs dotations initiales, les TMS des deux agents de léconomie sont égaux entre eux. Ces dotations initiales sont donc optimales au sens de Pareto. De plus, si p1 = p2 = 1, alors p1/p2 = 1 : les TMS des agents sont égaux au rapport des prix : la dotation de chaque agent est, pour ces prix, son choix de concurrence parfaite. Donc p1 = p2 = 1 sont des prix déquilibre de concurrence parfaite.
JUIN 2000
Questions
Donner la définition du taux de marginal de substitution entre le bien 1 et le bien 2, en un panier quelconque.
Quelle est la conséquence sur la fonction doffre de lexistence de coûts fixes ?
Définition et limites du critère de Pareto.
Exercices
I. Soit un ménage dont la relation de préférence peut être représentée par la fonction dutilité U(() définie par la relation :
U(q1, q2) = (q1 q2)1/4.
Quelle est la forme des courbes dindifférence de ce ménage ?
Donner son taux marginal de substitution en un panier (q1, q2) quelconque (mais à éléments strictement positifs).
Les prix des biens 1 et 2 sont notés p1 et p2, respectivement. On les suppose strictement positifs. Par la suite, on considérera que le bien 2 sert de numéraire. Quelle en est la conséquence pour p2 ?
Le ménage a pour dotation initiale le panier (12, 0). A-t-il intérêt à faire des échanges, quels que soient les prix (strictement positifs) ?
Ecrire la contrainte budgétaire de ce ménage.
Déterminer ses fonctions de demande.
II. Soit une entreprise qui produit du bien 2 à partir du bien 1 selon la relation (fonction de production) :
q2 = 2 EQ \o (q1/2;\s \down6 (1)) .
Déterminer la nature des rendements déchelle de cette entreprise.
Calculer la productivité marginale du bien 1, pour q1 ( > 0) quelconque.
Les prix des biens étant donnés (comme dans lexercice I, on peut prendre le bien 2 comme numéraire), donner la demande concurrentielle de lentreprise, pour le bien 1.
En déduire son offre concurrentielle.
En déduire son profit concurrentiel.
Déterminer sa fonction de coût, pour p1 donné.
III. On considère léconomie formée par le ménage de I, et lentreprise de II - celle-ci reverse son profit au ménage, qui en est le propriétaire.
Le ménage et lentreprise ont-ils intérêt à faire des échanges ?
Déterminer le prix déquilibre du bien 1 de cette économie (le bien 2 servant de numéraire).
CORRECTION
Questions
Le TMS est la quantité maximale de bien 2 par unité de bien 1 que lindividu est prêt à céder pour obtenir du bien 1 ; cest aussi la quantité minimale de bien 2 par unité de bien 1 que lagent exige pour céder du bien 1. Cest un taux déchange limite en un sens double : dabord parce quil est calculé en supposant léchange de quantités de biens qui tendent vers 0 ; ensuite parce quun agent qui échange à un taux égal à son TMS reste sur la même courbe dindifférence : il ne gagne ni ne perd à léchange. Enfin, à la différence des prix, cest un taux déchange subjectif : il est déterminé, pour chaque agent, par ses préférences (géométriquement, le TMS en un point est égal, en valeur absolue, à la pente de la tangente à la courbe dindifférence en ce point).
Les coûts fixes, lorsque le coût marginal est supposé croissant, entraînent une discontinuité de la fonction doffre : en deça dun seuil minimal de production, la vente de loutput à un prix égal au coût marginal (égalité imposée par la concurrence parfaite) ne permet pas damortir ces coûts fixes ; plutôt que de réaliser des pertes, lentreprise préfère ne pas produire. Au delà de ce seuil, la production est strictement positive et est croissante du prix. On pouvait ajouter que des courbes doffre (ou de demande) discontinues peuvent entraîner labsence déquilibre.
Le critère de Pareto permet de comparer des états réalisables dune économie : un état E est préféré à E selon ce critère sil est préféré au sens large par tous les agents (lutilité du panier quils obtiennent en E est au moins égale à celle du panier quils obtiennent en E) et au sens strict par au moins lun deux. Ce critère ne permet pas de comparer tous les états réalisables dune économie : si un agent préfère E à E alors quun autre préfère E à E, les états réalisables E et E ne sont pas comparables.
Exercice I. Remarque préalable : on peut raisonner sur la fonction dutilité V(q1,q2) = q1 q2.
La fonction dutilité étant une fonction Cobb-Douglas, les courbes dindifférence sont de type hyperbolique : décroisssantes, convexes et asymptotes aux axes. On peut aussi justifier en calculant de léquation dune courbe dindifférence, cest-à-dire en exprimant q2 en fonction de q1 : q2 = g(q1) ; on montre alors que g(q1) 0, g(q1) tend vers linfini quand q1 tend vers 0+ et vers 0+ quand q1 tend vers linfini. Ici, EQ q2 = \f(U0;q1) .
EQ TMS (q1 ,q2) = \f(q2;q1) .
Par définition, lorsquun bien est numéraire, son prix est égal à 1.
Lutilité du ménage au panier (12,0) est nulle, car sa fonction dutilité est telle que les biens sont désirables (il désire toujours consommer de chacun deux, même en qauntité infinitésimale) alors quil ne dispose pas de bien 2 ; il ne pourra donc quaméliorer sa situation sil parvient à céder du bien 1 pour obtenir du bien 2. Il a donc toujours intérêt à faire des échanges, si les prix sont strictement positifs. On peut remarquer que, même si le prix du bien 1 était nul, le ménage serait indifférent à léchange, car, sil ne dispose pas de bien 2, son utilité est nulle quelle que soit la quantité de bien 1 quil peut consommer.
La contrainte budgétaire sécrit : p1 q1 + p2 q2 = 12 p1.
Les fonctions de demande q*1 et q*2 sont solutions du système : p1 q*1+ p2 q*2 = 12 p1
EQ \f(q2;q1) = \f(p1;p2)
On obtient : EQ (q*1, q*2) = \b(6 , \f(6 p1;p2)) ; si p2 = 0, EQ (q*1, q*2) = (6 , 6 p1) .
Exercice II
f((q1) = 2((q1)1/2 = (1/22q11/2 =(1/2 f(q1). La fonction de production est homogène de degré ½, inférieur à 1 : les rendements déchelle sont donc décroissants.
EQ f(q1) = \f(1;q11/2) . On peut remarquer que f(q1) > 0 et que EQ f(q1) = \f(-1;2q13/2) < 0 : la productivité marginale de linput est positive mais décroissante.
Le profit est maximum lorsque le produit marginal de chaque input (égal au produit de la productivité marginale de linput et du prix de loutput) est égal à son prix. Ici, lorsque EQ \f(p2; q11/2) = p1 ; si le bien 2 est numéraire, on pose p2 = 1 et on obtient la demande de bien 1 : q1 = EQ \f(1; p1²).
On déduit loffre de bien 2 à partir de la fonction de production : EQ q2 = f \b(\f(1;p1²)) = \f(2;p1) .
Le profit est donné par : ( = p2 q2 p1 q1 ; en remplaçant q1 et q2 par les valeurs obtenues dans les questions précédentes et p2 par 1, on obtient le profit en fonction du prix de linput : EQ ( =\f(1;p1) .
Le coût est égal à p1 q1. La fonction de coût exprime le cout en fonction de la quantité doutput ; il faut donc exprimer q1 en fonction de q2, à partir de la fonction de production : EQ q1 = \f(q22;4) . Doù lon tire EQ c(q2) = \f(p1 q2²;4) .
Exercice III
Le ménage, compte tenu de sa dotation et de sa relation de préférence, a toujours intérêt, quels que soient les prix (positifs) à offrir du bien 1 pour obtenir du bien 2 en contrepartie. Les rendements déchelle étant décroissants, les coûts fixes étant nuls, le profit de la firme est strictement positif si la production est positive, quels que soient les prix (positifs) ; la firme a donc toujours intérêt à produire, cest-à-dire à demander du bien 1 pour offrir du bien 2. Le ménage et la firme ont donc toujours intérêt à échanger.
Si le bien 2 est numéraire, le revenu du ménage est maintenant : 12 p1 +\f(1;p1) . On calcule ses demandes optimales pour sa nouvelle contrainte budgétaire. q*1 et q*2 sont solutions du système suivant : EQ p1 q*1+q*2 = 12 p1 + \f(1;p1)
EQ \f(q*2;q*1) = p1 . On obtient EQ (q*1 , q*2 ) = \b(6 + \f(1;2p1²) , 6p1+\f(1;2p1)).
Lentreprise demande une quantité de bien 1 égale à EQ \f(1;p1²) et offre une quantité de bien 2 égale à \f(2;p1) . Le prix déquilibre du bien 1 doit égaliser la somme des demandes en bien 1 (du ménage et de la firme) à la dotation en bien 1 disponible dans léconomie ; il est donc solution de léquation : EQ 6 + \f(3;2p1²) = 12 , dont la solution est : EQ p1 = \f(1;2) . On peut vérifier que ce prix équilibre aussi le marché du bien 2, cest-à-dire résout léquation : EQ 6p1+ \f(1;2p1) = \f(2;p1) .
SEPTEMBRE 2000
Questions de cours
Les courbes d'indifférence du consommateur relèvent-elles d'une approche ordinale ou cardinale ?
Quelle est la principale hypothèse sur le comportement des agents dans le modèle de concurrence parfaite ?
Exercice
I. Soit un consommateur dont la relation de préférence est représentée par la fonction d'utilité U(() définie par légalité :
U(q1,q2) = q11/2q21/4
Peut-on représenter la même relation de préférence par une autre fonction dutilité, avec des exposants entiers ?
Calculer le taux marginal de substitution du consommateur en un panier (q1,q2) quelconque (mais à éléments strictement positifs).
On suppose que le consommateur a pour dotation initiale le panier (6,12). Calculer sa demande de biens lorsque p1 = 2 et p2 = 1.
Déterminer ses fonctions de demande (sa dotation initiale étant la même quen c)).
II. Soit une entreprise dont la fonction de production est :
f(q1,q2) = q1q2.
Quels sont ses rendements déchelle ?
Donner léquation du sentier dexpansion, lorsque p1 = p2 = 1.
Donner sa fonction de coût (les prix étant les mêmes quen b)).
III. Soit une entreprise dont la fonction de coût c(() est définie par :
(1) c(q) = q² - 7q + 16.
Déterminer le coût marginal et le coût moyen de cette entreprise.
Soit p le prix affiché du bien produit par lentreprise ; à partir de quelle valeur de p celle-ci fait-elle un profit strictement positif ?
Déterminer la fonction doffre de concurrence parfaite de lentreprise.
IV. Soit une économie, à deux biens, formée dinvidus ayant tous la même relation de préférence qui peut être représentée par la fonction dutilité :
U(q1,q2) = q1 + q2.
Y aura-t-il des échanges dans une telle économie ?
Quels en sont les prix déquilibre de concurrence parfaite ?
CORRECTION
Questions
Les courbes dindifférence du consommateur relèvent dune approche ordinale : elles indiquent non un niveau dutilité mais un classement des différents paniers de biens les uns par rapport aux autres. Plusieurs fonctions dutilité peuvent être associées à une même carte dindifférence (ensemble des courbes dindifférence), ces fonctions étant reliées de la manièe suivante : si U(.) est une représentation de la carte dindifférence du consommateur, si V(.)=foU(.) où f est croissante de R+ dans R+ , alors V(.) représente également la carte dindifférence du consommateur.
Dans le modèle de concurrence parfaite, les agents (consommateurs et producteurs) se comportent en preneurs de prix. Cela signifie quils ne décident pas des prix qui sont affichés par le commissaire-priseur ; ils prennent leurs décisions sur la base de conjectures concurrentielles, i.e. en supposant que ces choix sont sans effet sur les prix (0,5) et quils ne subissent pas de contrainte en quantité, autrement dit, en supposant que les prix affichés sont déquilibre.
Exercice I
Voir question 1. Avec f(x) = x4, on obtient V(q1 ,q2) = q12q2.
EQ TMS (q1,q2) = \f(2q2;q1) .
Les quantités demandées par le consommateur, (q*1 ,q*2) sont solutions du système suivant : EQ \f(2q2;q1) = 2
2q*1+q*2 = 24. On obtient q*1 = q*2 = 8.
Pour des prix p1 et p2 quelconques, (q*1,q*2) sont solutions du système suivant :
EQ \f(2q2;q1) = \f(p1;p2)
EQ p1 q*1 + p2 q*2 = 6 p1 + 12 p2 . On obtient : EQ (q*1 , q*2 ) = \b( 4 + \f(8p2;p1) , 4 + \f(2p1;p2)) .
Exercice II
f((q1 , (q2) = (2 q1 q2 = (2 f(q1 ,q2). La fonction de production étant homogène de degré 2, les rendements déchelle sont croissants.
Léquation du sentier dexpansion exprime q2 en fonction de q1 et est déterminée par légalité du TMS du producteur et du rapport des prix des inputs. EQ TMS(q1 ,q2) = \f(q2;q1) avec p1 = p2 = 1, on obtient q2 = q1.
C(q) = p1 q1 + p2 q2 ; pour exprimer le coût en fonction de la quantité doutput, on exprime q1 et q2 en fonction de q à partir de léquation du sentier dexpansion et de la fonction de production ; on obtient q2 = q1 = q1/2. Donc C(q) = 2q1/2. On peut vérifier que le coût marginal est décroissant : EQ C(q) = \f(1;q1/2) et EQ C(q) = \f(-1;2q3/2) 0 : le coût marginal est croissant. Le coût moyen est donné par EQ CM (q) = \f(C(q);q) = q -7 + \f(16;q) ; EQ CM(q) = 1 - \f(16;q2) ; CM(q) = 0 ( q = 4 (si q > 0) ; la courbe de coût moyen est décroissante jusquà q = 4 puis croissante.
En concurrence parfaite, la firme vend à un prix égal au coût marginal de production : p = C(q) ; ici, p = C(q) = 2q - 7. Le profit de la firme est donné par : EQ ((q) = pq - C(q) = (2q -7)q - q2 + 7q - 16 = q2 - 16 . ((q) > 0 ( q > 4 ; doù lon déduit, puisque p = 2q - 7, que le profit est positif si p > 1.
Comme on est en présence de coûts fixes, la fonction doffre est discontinue :
si p 1, EQ q = \f(p+7;2) .
Exercice IV.
A partir de la fonction dutilité U(q1 ,q2 )=q1 + q2, on calcule le TMS en un panier quelconque : TMS (q1 ,q2) = 1 : quel que soit le panier considéré, le TMS de tous les agents est égal à 1 ; or il nexiste de possibilité déchanges mutuellement avantageux que si les TMS des agents diffèrent ; en conséquence, il ne peut y avoir déchanges dans une telle économie. Les prix déquilibre de concurrence parfaite doivent être égaux aux TMS des agents : ils sont donc tels que EQ \f(p1;p2) = 1 .
juin 1999
Questions
Quest-ce que le taux marginal de substitution, dun point de vue économique ?
Quelle est la signification économique de lhomogénéité de degré 0 des fonctions de demande nette ?
Définition dun optimum de Pareto.
Exercice 1.
Soit un individu dont la relation de préférence est représentée par la fonction d'utilité U(.) définie par : U(l,q) = l 1/6 q1/3 , où q désigne la quantité d'un bien, l étant le temps consacré au loisir.
Peut-on représenter la relation de préférence de l'individu par une fonction d'utilité dont les exposants de q et de l sont des entiers ?
Donner le taux marginal de substitution entre bien et loisir de l'individu, pour un panier (l , q) quelconque (q > 0, l > 0).
Quelle est la forme de ses courbes d'indifférence ?
La dotation initiale de l'individu est de 3 unités du bien et d'un temps disponible (pour le travail et le loisir) égal à T = 12. Le prix du bien étant noté p et l'individu ayant la possibilité de vendre son temps disponible au salaire s, quel est son revenu lorsqu'il vend toute sa dotation initiale ?
Tracer sur un graphique la contrainte budgétaire de l'individu, pour p et s quelconques mais strictement positifs (on mettra en abscisses le temps de loisir et en ordonnées la quantité de bien).
Donner sa demande de bien et de loisir pour p = 1 et s = 2, puis pour p = 9 et s = 1 .
En déduire son offre de travail, dans l'un et l'autre cas.
A partir de quelle valeur du salaire réel s/p l'individu consacre-t-il tout son temps disponible au loisir ?
Exercice 2
Soit une entreprise dont la fonction de production f(.) est définie par : f(L) = L1/2, où L désigne une quantité de travail.
Déterminer les rendements d'échelle de cette entreprise.
Donner la productivité marginale du travail.
Donner la demande de travail de l'entreprise on notera p le prix du bien qu'elle produit et s le prix du travail (le salaire).
Quel est son offre de bien ?
Quel est son profit, pour cette demande et cette offre ?
Exercice 3
On considère l'économie formée par deux individus A et B qui ont la même relation de préférence que l'individu de l'exercice 1, et par l'entreprise de l'exercice 2. Celle-ci produit le bien que consomment A et B, qui lui offrent du travail. La dotation initiale de A se réduit à son temps disponible, T = 12, B ayant le même temps disponible, mais recevant en outre tout le profit de l'entreprise. Déterminer le salaire réel, s/p, d'équilibre de cette économie.
CORRECTION
Questions
Le TMS est la quantité maximale de bien 2 par unité de bien 1 que lindividu est prêt à céder pour obtenir du bien 1 ; cest aussi la quantité minimale de bien 2 par unité de bien 1 que lagent exige pour céder du bien 1. Cest un taux déchange limite en un sens double : dabord parce quil est calculé en supposant léchange de quantités de biens qui tendent vers 0 ; ensuite parce quun agent qui échange à un taux égal à son TMS reste sur la même courbe dindifférence : il ne gagne ni ne perd à léchange. Enfin, à la différence des prix, cest un taux déchange subjectif : il est déterminé, pour chaque agent, par ses préférences (géométriquement, le TMS en un point est égal, en valeur absolue, à la pente de la tangente à la courbe dindifférence en ce point).
Pour des préférences, des dotations initiales et des techniques de production données, les demandes nettes sont des fonctions des prix des biens ; elles sont homogènes de degré 0 par rapport à ces prix, ce qui sexprime mathématiquement de la manière suivante : e((p1,
, (pn) = (0 e(p1,
, pn) = e(p1,
, pn) ; économiquement, si tous les prix saccroissent dans la même proportion, les demandes nettes des agents ne sont pas modifiées. Cette propriété vient de ce que les choix des agents dépendent non du niveau absolu des prix mais des prix relatifs : si tous les prix augmentent dans la même proportion, les prix relatifs ne sont pas modifés. On interprète économiquement cela comme labsence dillusion monétaire.
Un optimum de Pareto est un état réalisable dune économie tel quaucun autre état réalisable ne peut lui être préféré selon le critère de Pareto ; autrement dit, cest une situation dans laquelle on ne peut améliorer la situation daucun agent sans détériorer celle dau moins un autre. Si lon étudie la possibilité déchanges, un optimum de Pareto est une situation dans laquelle il nexiste plus de posibilité déchanges mutuellement avantageux ; dans un diagramme dEdgeworth, lensemble des optimums de Pareto est représenté par la courbe des contrats, qui passe par tous les points où les courbes dindifférence des agents sont tangentes entre elles ; les optimums ne dépendent pas des dotations mais seulement des préférences des agents.
Exercice 1
Toute fonction V(.) telle que V(.)=foU(.) représente la même relation de préférence que U(.) si f est croissante de R+ dans R+. Si lon prend f(x)=x6, on obtient une fonction dutilité dont les exposants sont des entiers : V(l,q) = lq2.
EQ TMS(l,q) = \f(q;2l) .
La fonction dutilité étant une fonction Cobb-Douglas, les courbes dindifférence sont de type etc.
Lindividu dispose dune dotation initiale (l0,q0) = (12,3) ; les prix du temps et du bien étant respectivement égaux à s et p, son revenu lorsquil vend toute sa dotation initiale est donné par R = 12s + 3p.
La contrainte budgétaire sécrit : sl + pq < 12s + 3p, ce qui équivaut à : EQ q < 3 - \f(s(12-l);p)La droite de budget est une droite de pente égale à s/p, où q = 3 quand l = 12 et q = 3 12s/p quand l = 0.
On peut ici remarquer quil y a une condition supplémentaire : comme on a nécessairement 12 l > 0, i.e. l < 12 : lindividu ne peut pas avoir un temps de loisir supérieur à son temps disponible.
Les demandes de loisir et de bien du consommateur, (l*,q*) vérifient le système suivant :
EQ \f(q;2l) = \f(s;p)
sl + pq = 12s + 3p avec la contrainte l < 12.
On obtient EQ (l*,q*) = (4 + \f(p;s) , \f(8s;p) + 2) avec la condition l* 8, i.e. tels que s/p EQ 4\r(6)
et (l*,q*) = (12, 0) pour s/p < EQ 4\r(6) .
Deux équilibres sont possibles.
Soit EQ \f(8s;p) + \f(8s;p) + \f(p;6s) = \f(p;2s) avec EQ \f(p;s) 4\r(6) ; EQ \f(p;s) = 4\r(2) nest donc pas un prix déquilibre de concurrence parfaite.
Juin 98
Questions
quel est le problème posé par les rendements constants en concurrence parfaite ?
Définition du critère de Pareto
Quelles sont les deux hypothèses du théorème selon lequel un équilibre de concurrence parfaite est un optimum de Pareto ?
Exercice 1
I Soit un ménage dont la fonction d'utilité U(() est définie par :
U(q1 ,q2) = 4(q1)1/2 + q2
Calculer son taux marginal de substitution entre le bien 2 et le bien 1 en un panier (q1 ,q2) quelconque.
Comment varie ce taux le long d'une courbe d'indifférence, lorsque q1 augmente à partir de 0 ?
Tracer (approximativement) la courbe d'indifférence qui passe par le panier (4,0).
On suppose que les prix des deux biens sont, respectivement, p1 = 1 et p2 = ½, et que la dotation initiale est (4,0). Déterminer la demande des deux biens du ménage, à ces prix.
Même question qu'en 4), mais lorsque les prix sont : p1 = 1 et p2 = 2.
Exercice 2
Soit une entreprise dont la fonctionde production f(() est définie par :
f(q1 ,q2) = 8(q1 q2)1/2
Quels sont les rendements d'échelle pour une telle entreprise ?
Calculer son taux marginal de substitution en un panier quelconque.
On prend le bien 1 pour numéraire. Qu'est-ce que cela implique pour son prix ?
On note p2 le prix du bien 2. Donner l'équation du sentier d'expansion.
Donner le coût minimum en inputs pour produire une unité d'output.
Déduire de 1) et de 5) la fonction de coût de l'entreprise.
Exercice 3
On considère l'économie formée par le ménage de lexercice 1 et l'entreprise de lexercice 2, celle-ci étant suposée produire du bien 2.
Déduire de 2. 5) le prix d'équilibre du bien 2 (le bien 1 servant toujours de numéraire).
Donner les offres et demandes d'équilibre.
Déterminer l'équilibre de cette économie, en supposant maintenant que la fonction de production de l'entreprise est : g(q1 ,q2) = 2(q1 q2)1/2.
CORRECTION
Questions
Lorsque les rendements déchelle sont constants, la courbe doffre de la firme est en L inversé : loffre est nulle quand le prix de loutput, p, est inférieur au coût marginal constant, c ; elle est indéterminée quand p = c, et infinie quand p > c. Deux équilibres sont possibles : un équilibre avec production, où prix et quantités ne sont pas déterminés simultanément par loffre et la demande, le prix étant déterminé uniquement par les conditions de loffre, la quantité produite étant déterminée par la demande ; un équilibre autarcique.
Un optimum de Pareto est un état réalisable dune économie tel quaucun autre état réalisable ne peut lui être préféré selon le critère de Pareto ; autrement dit, cest une situation dans laquelle on ne peut améliorer la situation daucun agent sans détériorer celle dau moins un autre. Si lon étudie la possibilité déchanges, un optimum de Pareto est une situation dans laquelle il nexiste plus de posibilité déchanges mutuellement avantageux ; dans un diagramme dEdgeworth, lensemble des optimums de Pareto est représenté par la courbe des contrats, qui passe par tous les points où les courbes dindifférence des agents sont tangentes entre elles ; les optimums ne dépendent pas des dotations mais seulement des préférences des agents.
Un équilibre de concurrence parfaite est un optimum de Pareto sil y a monotonie des préférences (i.e. si lhypothèse de non-satiété est vérifiée), sil existe un système complet de marchés et sil nexiste pas dexternalités (i.e. de biens dont lutilisation par un agent, producteur ou consommateur, affecte la satisfaction dun autre agent).
Exercice 1
EQ TMS(q1,q2) = \f(2;\r(q1)) .
Pour étudier comment varie le TMS le long dune courbe dindifférence, cest-à-dire lorsque q1 augmente à partir de 0, il est nécessaire de déterminer préalablement léquation duen courbe dindifférence ; en effet, on serait tenté de caculer le TMS lorsque q1 tend vers 0+ puis lorsque q1 tend vers linfini, sans vérifier que q1 peut prendre toutes les valeurs possibles entre 0 et linfini. Or q1 ne peut pas prendre toute ces valeurs, ce que lon constate en écrivant léquation dune courbe dindifférence. EQ U(q1 ,q2) = U0 ( 4\r(q1)1 + q2 = U0 ( q2 = U0 - 4\r(q1) . Or les quantités q1 et q2 ne peuvent être négatives, ce qui impose non seulement q1 > 0 mais aussi EQ q2 = U0 - 4\r(q1) > 0 ; on déduit de cette dernière inéquation que EQ q1 < b\(\f(U02;16)) . On peut donc calculer le TMS de 0+ à EQ \f(U02;16) : il tend vers linfini quand q1 etnd vers 0+ et est égal à 8/U0 quand EQ q1 = b\(\f(U02;16)) . Il est donc décroissant le long dune courbe dindifférence.
Remarque : lorsque EQ q1 = b\(\f(U02;16)) , q2 = 0 ; les courbes dindiifférence ne sont donc pas asymptotes à laxe des ordonnées ; elles ne sont dailleurs pas non plus asymptotes à laxe des abscisses (quand q2 = U0, q1 = 0). Cela signifie économiquement que les biens ne sont pas désirables : lagent peut ne pas consommer dun bien sans que son utilité soit nulle. Le plus souvent, on raisonne en microéconomie en supposant que les biens sont désirables (les agents désirent toujours en consommer, même en quantité infinitésimale) ; mais ce nest pas le cas ici, la fonction dutilité nétant pas une fonction Cobb-Douglas.
On trace la courbe dindifférence passant par le panier (4,0) en déterminant son équation : les paniers (q1,q2) de cette courbe dindifférence sont tels que U(q1,q2) = U(4,0), ce qui équivaut à EQ q2 = 8 - 4\r(q1) = g(q1) avec EQ q1 < 4 . On peut calculer quelques points de cette courbe : pour q1 = 1, q2 = 4 ; pour q1 = 0, q2 = 8. On peut aussi déterminer sa forme en calculant les dérivées première et seconde de g(q1) : EQ g'(q1 = \f(-2;\r(q1)) ; avec q1 > 0, g(q1) 0, g(q1) > 0 : la courbe dindifférence est convexe. Mais elle nest pas asymptote aux axes, puisquelle coupe laxe des abscisses en (0,8) et laxe des ordonnées en (4,0).
Lorsque les courbes dindifférence sont de type hyperbolique (décroissantes, convexes et asymptotes aux axes), le choix du consommateur, (q*1,q*2) est solution du système suivant : EQ TMS(q1,q2) = \f(p1;p2) .
p1q*1 + p2q*2 = R
Lorsque les courbes ne sont pas asymptotes, il est possible que la solution ainsi calculée nait pas de sigification économique, parce quelle conduit à un panier qui comprend une quantité négative de lun des biens ; dans ce cas, le choix du consommateur sera de consommer une quantité nulle de ce bien, la quantité de lautre bien étant déduit de sa contrainte budgétaire ; dans ce cas particulier, le choix du consommateur ne respecte pas légalité du TMS au rapport des prix.
La méthode à suivre consiste à déterminer le choix du consommateur comme dans le cas usuel, en vérifiant que les quantités ainsi calculées sont bien positives (ou nulles). Avec p1 = 1 et p2 = ½, on obtient (q*1,q*2) = (1,6) : les quantités des deux biens sont positives.
Avec p1 = 1 et p2 = 2, on obtient (q*1,q*2) = (16 , -24) ; comme il nest pas possible de consommer une quantité négative de bien 2, q*2 sera égale à la quantité de bien 2 la plus faible que lon puisse consommer (q*2 = 0) et lon déduit q*1 de la contrainte de budget : q*1 = R/p1 = 4 : lindividu reste au panier de sa dotation initiale.
Exercice 2
EQ f((q1 , (q2) = 8 \r((q1) \r((q2) = 8( \r(q1) \r(q2) = (f(q1 ,q2) . La fonction de production étant homogène de degré 1, les rendements déchelle sont constants.
EQ TMS(q1,q2) = \f(q2;q1) .
Lorsquun bien est numéraire, son prix est égal à 1.
Léuqation du sentier dexpansion se déduit de légalité du TMS au rapport des prix des inputs. Ici, EQ \f(q2;q1) = \f(1;p2) ( EQ q2 = \f(q1;p2) .
Le coût en inputs est égal à p1 q1 + p2 q2, q1 et q2 étant les quantités optimales dinputs pour produire une unité doutput. On détermine ces quantités optimales à partir de trois équations : léquation du sentier dexpansion, la fonction de production, et q = 1. On obtient EQ q*1 = \f(\r(p2);8) et EQ q*2 = \f(1;8\r(p2)) . Si le bien 1 est numéraire, on obtient EQ C(1) = \f(\r(p2);4) .
Comme les rendements déchelle, le coût marginal est constant : EQ c = \f(\r(p2);4) ; la fonction de coût sécrit : EQ C(q) = cq = \f(\r(p2)q;4) .
Exercice 3
Lorsque les rendements déchelle sont constants, la courbe doffre a lallure dun L inversé : loffre est nulle lorsque le prix de loutput, p, est inférieur au coût marginal constant, c ; elle est indéterminée lorsque p = c ; elle est infinie lorsque p > c. Deux équilibres sont alors possibles : un équilibre avec production, où p = c ; un équilibre sans production, où p 16 (condition pour que lentreprise ne désire pas produire) et tel que EQ \f(p1
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