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EXERCICE III Détection de Métaux (4 points)

Corrigé. Exo n°1 : milieu supraconducteur. 1. Equations de Maxwell : . Définition .... On écrit la relation fondamentale de la dynamique en projection : Sur Ox :.




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Bac S Métropole 09/2010 correction © http://labolycee.org
EXERCICE III. DÉTECTION DE MÉTAUX (4 points)
Variation de l’inductance d’une bobine à l’approche d’un métal
1.1. Étude qualitative des courbes obtenues
1.1.1. (0,25) Avec les conventions de la figure 1, la loi d’Ohm s’écrit : uR = R . i.. (convention récepteur).
La tension uR est proportionnelle à l’intensité du courant i. Ainsi, l’évolution de la tension uR aux bornes du conducteur ohmique est similaire à l’évolution de l’intensité du courant i dans le circuit. EMBED Visio.Drawing.5 1.1.2. (0,25) La courbe montre le retard à l’établissement de la tension uR aux bornes de la résistance donc le retard à l’établissement du courant i dans le circuit contenant la bobine. En régime transitoire, la valeur de la tension uR augmente. En régime permanent, la valeur de la tension est constante. Pour la courbe (a), le régime est transitoire pour 0 < t < 7 ms puis permanent pour t > 7 ms.
 EMBED Visio.Drawing.5 


1.1.3. (0,25) Les variations de l’intensité i étant proportionnelles à celles de la tension uR, l’intensité i augmente durant le régime transitoire pour 0 < t < 7 ms puis reste constante durant le régime permanent pour t > 7 ms.
1.1.4. (0,25) Tension uB aux bornes de la bobine (L, r) :  EMBED Equation.DSMT4 
En régime permanent, l’intensité étant constante,  EMBED Equation.DSMT4  alors uB = r.i…
1.2. Exploitation du régime transitoire
1.2.1. a. (0,25) Analyse dimensionnelle :  EMBED Equation.DSMT4 
Pour une bobine idéale (r = 0) :  EMBED Equation.DSMT4  donc  EMBED Equation.DSMT4  (  EMBED Equation.DSMT4 
Pour un conducteur ohmique : uR = R . i donc [u] = [R].[i] (  EMBED Equation.DSMT4 
Par conséquent :  EMBED Equation.DSMT4 
Ainsi  EMBED Equation.DSMT4 = T donc ( est bien homogène à un temps.
1.2.1.b. (0,25) Pour t = (, la tension uR est égale à 63% de sa valeur maximale.
Or uRmax = 3,15 V donc : 0,63 × 3,15 ( 0,63 × 3,2 = (0,63 ×3 + 0,63×0,2) = 1,89 + 0,126 = 2,016 V ( 2,0 V.
On trace la droite horizontale U = 2,0 V. Cette droite coupe les courbes (a) et (b) en des points dont les abscisses respectives sont les constantes de temps  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 . On lit graphiquement : (a = 1,2 ms et (b = 2,4 ms.

1.2.2. (0,25) Comme  EMBED Equation.DSMT4  alors L = ( . (R +r).
Ainsi : La =  EMBED Equation.DSMT4  . (R+r) (bobine seule)
Lb =  EMBED Equation.DSMT4  . (R+r) (bobine proche d’un morceau de fer)
Donc  EMBED Equation.DSMT4 < 1 car (a < (b d’où Lb > La. On vérifie bien l’information donnée dans le texte « l’inductance augmente si on approche de la bobine un objet en fer ».

2. L’oscillateur
2.1. (0,25) Avec les conventions de la figure 3,  EMBED Equation.DSMT4 .
2.2. (0,25) On a  EMBED Equation.DSMT4  et q = C.uC donc  EMBED Equation.DSMT4  car C est constante.
2.3. (0,25) La loi d’additivité des tensions donne : uC + uL = 0
Soit uC +  EMBED Equation.DSMT4 =0 ( uC +  EMBED Equation.DSMT4  = 0
(0,25) ( uC +  EMBED Equation.DSMT4  = 0 EMBED Visio.Drawing.5  Figure 3. L’oscillateur2.4. (0,25) En divisant chaque terme par LC, l’équation différentielle précédente peut se mettre sous la forme :   EMBED Equation.DSMT4 
En comparant les deux équations différentielles :
 EMBED Equation.DSMT4  avec  EMBED Equation.DSMT4  on peut écrire :  EMBED Equation.DSMT4  soit  EMBED Equation.DSMT4 
Soit finalement, en ne gardant que la solution positive :  EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Visio.Drawing.5 2.5. (0,25) Graphiquement,
T0 = 50 µs = 5,0 × 10(5 s

2.6. (0,25) Comme  EMBED Equation.DSMT4  alors  EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4  F
soit C = 3,1 nF.3. Recherche de métaux
3.1. (0,25) La fréquence propre de l’oscillateur est :  EMBED Equation.3 . Si on approche de la bobine un objet en or, la valeur de l’inductance L de la bobine diminue. Comme C est constante, alors la fréquence propre de l’oscillateur augmente.

3.2. (0,25) En l’absence d’objet métallique à proximité de la bobine, la fréquence propre de l’oscillateur est 20 kHz. Si Léo et Julie détectent un signal de fréquence 15 kHz, alors la fréquence propre a diminué donc l’inductance de la bobine a augmenté. Malheureusement, ils n’ont pas trouvé de l’or mais plus surement un objet d’un autre métal.



























T0

T0

(b=2,4 ms

(a= 1,2 ms

uRmax = 3,15 V

Régime permanent

Régime transitoire