Agrégation Interne 2002
L'article a été écrit précisément le jeudi 27 : les correcteurs ont donc préféré « ce
jeudi », tout simplement, à la date complète qui alourdissait la phrase. De toute ...
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même équation.
Equation de propagation de INCORPORER Equation.3 :
INCORPORER Equation.3 . En utilisant INCORPORER Equation.3 , on obtient : INCORPORER Equation.3 . On retrouve la même équation de propagation avec la première jauge de Lorentz INCORPORER Equation.3 , cas particulier de la seconde INCORPORER Equation.3 avec V = cste. Il en résulte que ( est homogène à une longueur.
3. Equation locale de Poynting : on calcule INCORPORER Equation.3 , soit :
INCORPORER Equation.3 , ce qui sécrit aussi, avec INCORPORER Equation.3 :
INCORPORER Equation.3 , avec INCORPORER Equation.3 . Le terme supplémentaire dans la densité dénergie, lié au potentiel - vecteur, peut compenser le terme de pertes Joule, traduisant ainsi la propriété bien connue des supraconducteurs, pour se ramener à une équation de continuité de la forme (comme dans le vide, donc sans pertes) : INCORPORER Equation.3 .
4. On part de léquation de propagation de INCORPORER Equation.3 : INCORPORER Equation.3 , & on la réduit. Invariances par translation : INCORPORER Equation.3 . Régime permanent : INCORPORER Equation.3 . Il reste :
INCORPORER Equation.3 . Le milieu est infini, pas donde réfléchie, le champ ne peut devenir infini, donc INCORPORER Equation.3 doù INCORPORER Equation.3 . Il y a amortissement du champ même en régime permanent, à la différence de leffet de peau dans un conducteur ordinaire : cest leffet Meissner.
5. On a : INCORPORER Equation.3 , INCORPORER Equation.3 , INCORPORER Equation.3 , doù :
INCORPORER Equation.3 homogène.
Exo n°2 : Effet de peau.
1. Equations de Maxwell dans le conducteur : INCORPORER Equation.3 , INCORPORER Equation.3 car, dans un conducteur INCORPORER Equation.3 (loi locale dOhm), & INCORPORER Equation.3 (équation de continuité de la charge électrique). Par élimination, en supposant que la conductivité ( est uniforme (donc ne dépend que du temps) :
INCORPORER Equation.3 . La conductivité du cuivre valant : INCORPORER Equation.3 , on a : INCORPORER Equation.3 , & donc en régime permanent ( INCORPORER Equation.3 ) on a INCORPORER Equation.3 . Enfin :
INCORPORER Equation.3 . On calcule : INCORPORER Equation.3 , soit :
INCORPORER Equation.3 .
Le métal étant un milieu isotrope, ne peut modifier la polarisation de londe, donc le champ électrique dans le métal est, comme dans le vide, dirigé suivant laxe Oz (passage dun équation vectorielle à une équation scalaire). Le métal est globalement invariant par translation suivant les directions Ox & Oz, ce qui se traduit mathématiquement par : INCORPORER Equation.3 . Il reste donc : INCORPORER Equation.3 .
Londe étant la propagation dune vibration est un phénomène périodique dans le temps, donc le champ est représentable par une série de Fourier. Léquation donde étant linéaire, chaque terme de la série (purement sinusoïdal) la vérifie séparément, ce qui permet de travailler avec une dépendance sinusoïdale en temps en INCORPORER Equation.3 , & donc pour tout problème on aura INCORPORER Equation.3 , la différence se faisant sur la dépendance spatiale. En posant alors INCORPORER Equation.3 , & en substituant dans léquation donde, on obtient une équation différentielle déterminant la fonction INCORPORER Equation.3 : INCORPORER Equation.3 .
2. On a donc INCORPORER Equation.3 , ce qui est largement vérifié dans le domaine électromagnétique (on ne va pas chercher à propager de la lumière dans du métal !), donc on a :
INCORPORER Equation.3 & léquation en f devient : INCORPORER Equation.3 , en posant :
INCORPORER Equation.3 , avec INCORPORER Equation.3 , doù : INCORPORER Equation.3 , puis : INCORPORER Equation.3 , soit aussi :
INCORPORER Equation.3 . Le second terme étant une onde sinusoïdale amortie représente londe incidente (confirmé par le signe dans la phase), le premier terme donne une onde amortie si on lit la courbe de droite à gauche, & donc correspond à londe réfléchie (confirmé par le signe dans la phase). Comme le métal est un milieu infini, il ny a pas donde réfléchie, donc A = 0.
Comme on néglige londe réfléchie par la surface du métal, il en résulte, par application de la relation de continuité sur le champ tangentiel, que INCORPORER Equation.3 , doù :
INCORPORER Equation.3 , doù, en notation réelle : INCORPORER Equation.3 .
La courbe représente donc une sinusoïde amortie, de période INCORPORER Equation.3 , ce qui revient à dire que : INCORPORER Equation.3 & on retrouve toujours la même condition. La période de la sinusoïde amortie dans le métal est donc beaucoup plus courte que celle de la sinusoïde pure dans le vide.
3. Puissance Joule volumique : INCORPORER Equation.3 (second membre de léquation locale de Poynting), soit :
INCORPORER Equation.3 . Si on utilise les notations complexes (cf puissance complexe) : INCORPORER Equation.3 , ce qui donne : INCORPORER Equation.3 . Sur le tuyau : INCORPORER Equation.3 donc : INCORPORER Equation.3 , soit aussi :
INCORPORER Equation.3 . Pour en déduire la résistance INCORPORER Equation.3 en haute fréquence, il faut écrire que INCORPORER Equation.3 . On calcule : INCORPORER Equation.3 . Les vecteurs INCORPORER Equation.3 étant dirigés suivant Oz, le courant élémentaire traverse la bande a.dy vaut : INCORPORER Equation.3 doù on déduit le courant total :
INCORPORER Equation.3 . On en déduit : INCORPORER Equation.3 , puis INCORPORER Equation.3 , donc de la forme classique :
INCORPORER Equation.3 avec INCORPORER Equation.3 (dimension le long du courant) & INCORPORER Equation.3 (surface orthogonale au courant), & donc la résistance en haute fréquence du courant est la même que celle en courant continu dun conducteur qui aurait la longueur (. Il en résulte que leffet dun courant haute fréquence ne se fait sentir que sur une épaisseur de lordre de (, doù la technologie des circuits imprimés.
La conductivité du cuivre valant : INCORPORER Equation.3 . On calcule :
Pour le secteur (fréquence 50 Hz, donc INCORPORER Equation.3 ) : INCORPORER Equation.3
En électronique rapide (fréquence 1 MHz) : INCORPORER Equation.3 .
Exo n°3 : Corde vibrante.
1. Daprès lénoncé, laction du champ de pesanteur est négligée, ainsi que toute cause damortissement ; les seules forces extérieures appliquées à lélément de corde sont donc les tensions :
INCORPORER Equation.3. INCORPORER Equation.3 au premier ordre en CARSPECIAUX 113 \f "Symbol" \s 12q. Comme on se limite aux mouvements transversaux, il ny a pas daccélération longitudinale (suivant Ox) & laccélération transversale (suivant Oy) vaut : INCORPORER Equation.3. On écrit la relation fondamentale de la dynamique en projection :
Sur Ox : INCORPORER Equation.3
Sur Oy : INCORPORER Equation.3
A lordre 1, cos CARSPECIAUX 113 \f "Symbol" \s 12q CARSPECIAUX 187 \f "Symbol" \s 12» 1 & la norme de la tension est constante, & donc égale à T à lextrémité. Théorème des accroissements finis sur la deuxième équation, avec INCORPORER Equation.3 :
INCORPORER Equation.3. Or INCORPORER Equation.3 doù INCORPORER Equation.3, doù léquation de dAlembert : INCORPORER Equation.3, avec INCORPORER Equation.3.
2. La solution générale est donc de la forme :
INCORPORER Equation.3 , avec INCORPORER Equation.3 . Conditions aux limites : on a des nuds de vibration aux extrémités (corde fixée ou guidée), ce qui implique :
INCORPORER Equation.3 . Les ondes incidente & réfléchie sont en opposition de phase. Alors : INCORPORER Equation.3 . Puis :
INCORPORER Equation.3.
Les conditions aux limites amènent naturellement la quantification des paramètres de londe : la longueur donde est quantifiée suivant : INCORPORER Equation.3, & la pulsation suivant : INCORPORER Equation.3 . La solution générale sécrit donc : INCORPORER Equation.3 .
3. Un élément dx de corde possède lénergie cinétique élémentaire INCORPORER Equation.3 , soit :
INCORPORER Equation.3 , doù :
INCORPORER Equation.3 . Dans le calcul de la valeur moyenne, les produits dharmoniques différents donnent une valeur moyenne nulle ; il ne reste que les contributions des carrés, avec INCORPORER Equation.3 doù : INCORPORER Equation.3 . Il reste à intégrer sur la corde : INCORPORER Equation.3 soit finalement :
INCORPORER Equation.3 en tenant compte de INCORPORER Equation.3.
Exo n°4 : Réflexion métallique.
1. Etude de londe incidente : londe étant transversale, kx = 0. Les autres composantes valent :
INCORPORER Equation.3 . Onde plane : INCORPORER Equation.3 . En développant :
INCORPORER Equation.3 . Pour une onde plane : INCORPORER Equation.3 , soit :
INCORPORER Equation.3 . Avec INCORPORER Equation.3 , on obtient :
INCORPORER Equation.3 .
2. Etude des champs dans le métal : loi dOhm locale : INCORPORER Equation.3 . Physiquement, la densité de courant INCORPORER Equation.3 ne peut pas devenir infinie, donc INCORPORER Equation.3 . Alors INCORPORER Equation.3 , cest la distance caractéristique de pénétration : les champs ne rentrent pas dans le conducteur parfait.
3. Etude de londe réfléchie : on rappelle les relations de continuité : appelons (1) le vide & (2) le métal. La surface de séparation étant le plan Oxy, le champ électrique est tangentiel, donc continu : INCORPORER Equation.3 , doù on déduit que INCORPORER Equation.3 . La relation de dispersion sécrit INCORPORER Equation.3 . Les ondes incidente & réfléchie se propagent dans le même milieu, donc même vitesse, & lélectromagnétisme étant linéaire, ont la même pulsation doù le même module de vecteur donde. Avec la loi de Descartes de la réflexion, on obtient les composantes du vecteur donde INCORPORER Equation.3 , soit :
INCORPORER Equation.3 . Le champ réfléchi est alors de la forme : INCORPORER Equation.3 , & on écrit la relation de continuité à lorigine, pour t = 0. Il reste : INCORPORER Equation.3 , doù on déduit les composantes du champ électrique réfléchi : INCORPORER Equation.3 . Londe réfléchie est plane, donc : INCORPORER Equation.3 . En développant :
INCORPORER Equation.3 .
4. Etude des densités de charge & de courant à la surface du conducteur :les composantes normales du champ électrique étant nulles dans les deux milieux, on a INCORPORER Equation.3 . Relation de continuité sur la composante tangentielle du champ magnétique orthogonale à la densité surfacique de courant : INCORPORER Equation.3 . La composante tangentielle de INCORPORER Equation.3 est By, orthogonale à laxe Ox, direction logique de la densité de courant puisque cest celle de INCORPORER Equation.3 (& lon a INCORPORER Equation.3 ). On écrit donc :
INCORPORER Equation.3 INCORPORER Equation.3 .
Exo n°5 : Propagation dans un plasma.
A. Equations générales de londe :
1.1. Equations de Maxwell :
INCORPORER Equation.3, INCORPORER Equation.3 car le plasma est électriquement neutre. Comme INCORPORER Equation.3 :
INCORPORER Equation.3. On calcule : INCORPORER Equation.3, soit :
INCORPORER Equation.3.
1.2. INCORPORER Equation.3 . On reporte dans léquation de propagation, en tenant compte de la relation de Maxwell INCORPORER Equation.3 : INCORPORER Equation.3 .
1.3. Léquation INCORPORER Equation.3 donne, avec INCORPORER Equation.3 : INCORPORER Equation.3 , soit : INCORPORER Equation.3 , soit enfin : INCORPORER Equation.3 .
B. Densité de polarisation du plasma :
2.1. Force de Lorentz : INCORPORER Equation.3 . Rapport des modules des eux forces dues aux deux champs :
INCORPORER Equation.3 , & la force magnétique est négligeable devant la force électrique.
2.2. Relation fondamentale de la dynamique : INCORPORER Equation.3 , le poids de la particule étant négligeable. Le second membre est périodique de période INCORPORER Equation.3 , il en est de même du premier membre, donc on a une solution forcée sinusoïdale INCORPORER Equation.3 . Par substitution, on obtient INCORPORER Equation.3 . Comme INCORPORER Equation.3 , lamplitude de vibration des protons sera négligeable devant celle des électrons. Par la suite, on considérera donc les protons immobiles.
C. Pulsation limite du plasma :
3.1. En labsence de champ extérieur dû à londe, lélectron est très proche du proton & le moment dipolaire est nul. Sous leffet du champ de londe, en considérant que le proton reste fixe, lélectron se déplace de y, & il apparaît un moment dipolaire induit donné par : INCORPORER Equation.3 puisquen physique le moment dipolaire est orienté de la charge négative vers la charge positive. On en déduit le vecteur polarisation : INCORPORER Equation.3 .
3.2. En introduisant la pulsation plasma (p définie par : INCORPORER Equation.3 :
INCORPORER Equation.3 .
3.3. Relation de dispersion : INCORPORER Equation.3 . Donc :
Si INCORPORER Equation.3 réel, propagation (milieu transparent) ;
Si INCORPORER Equation.3 imaginaire pur INCORPORER Equation.3 , donc INCORPORER Equation.3 , on a une onde évanescente, il y a amortissement de londe qui ne pénètre que sur la distance INCORPORER Equation.3 .
Exo n°6 : Ondes sonores dans les fluides.
1. Dans létude générale du mouvement dun fluide, on a 6 inconnues INCORPORER Equation.3 qui dépendent des 4 variables INCORPORER Equation.3 . Elles sont déterminées par les 6 équations suivantes : équation vectorielle dEuler, & 3 équations scalaires : continuité de la masse, équation détat du fluide, invariant du processus thermodynamique. On sintéresse à laspect mécanique du problème, & donc on ignorera la variable thermodynamique T. Les équations déterminant lévolution dun fluide parcouru par des ondes sonores sont dans ces conditions :
INCORPORER Equation.3
Léquation (1) est une équation de continuité traduisant la conservation de la masse. Léquation (2) est une forme de léquation dEuler :
INCORPORER Equation.3 , avec lhypothèse suivante :
on néglige le poids du fluide, car sil nétait pas nul, il serait compensé par la poussée dArchimède, résultante des forces de pression non nulle seulement sil y a variation de pression (dautre part, en règle générale, le mouvement du fluide aura lieu suivant une direction orthogonale au champ de pesanteur).
Léquation (3) traduit linvariant du processus thermodynamique, donc isentropique.
A lordre 1, on obtient donc :
INCORPORER Equation.3
INCORPORER Equation.3
INCORPORER Equation.3
2. Pour obtenir léquation de propagation de la pression, on prend la divergence de léquation (5) :
INCORPORER Equation.3 . En utilisant les équations (4) & (5), & en remarquant quà lordre 1, léquation (6) montre que le coefficient (s est constant : INCORPORER Equation.3 , on obtient léquation cherchée : INCORPORER Equation.3 , avec INCORPORER Equation.3 . Pour un gaz parfait :
INCORPORER Equation.3 pour une isentropique. On prend la différentielle logarithmique : INCORPORER Equation.3 , doù on déduit : INCORPORER Equation.3 , INCORPORER Equation.3 & donc : INCORPORER Equation.3 , cest la formule de Laplace.
Avec le formalisme de londe plane : INCORPORER Equation.3 , léquation (5) devient :
INCORPORER Equation.3 .
3. On isole un élément de surface INCORPORER Equation.3 à lintérieur du fluide. Alors la puissance élémentaire dP associée à la force élémentaire INCORPORER Equation.3 est donnée par : INCORPORER Equation.3 , & donc la puissance sonore traversant une surface S vaut : INCORPORER Equation.3 , & apparaît comme le flux du vecteur INCORPORER Equation.3 .
Comme en électromagnétisme, on calcule la divergence du vecteur INCORPORER Equation.3 :
INCORPORER Equation.3 . En utilisant les équations précédentes, on obtient :
INCORPORER Equation.3 .
Avec INCORPORER Equation.3 , on obtient :
INCORPORER Equation.3 , densité dénergie.
On en déduit que lénergie cinétique volumique vaut INCORPORER Equation.3 , & lénergie potentielle volumique vaut : INCORPORER Equation.3 .
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Agrégation Interne 2002 Corrigé des exercices de propagation