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Equations, inéquations - Maths-et-tiques

-Ex 1 (page 11). p140 n°6* et 8 ... 1) On commence par factoriser l'expression pour se ramener à une équation-produit : (3x + 1)(1 ... TP TICE 1 p133 : Recherche triangles rectangles ! TP TICE 3 ..... p77 n°35, 36, 41, 40. p77 n°42 .... Exercice 1.




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EQUATIONS, INEQUATIONS


Résolution d’équations

Activité conseillée Activité conseillée
p126 activité1 : Notion d’équation et d’inéquationp60 activité1 : Notion d’équation et d’inéquation ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014

Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir
-p140 n°2 à 4
-Ex 1 (page 11)
p140 n°6* et 8*
-PB: p144 n°60, 63, 64, 65
p145 n°69
p146 n°76*p140 n°1, 5
p144 n°66*
p145 n°74*-p76 n°20 à 22
-Ex 1 (page 11)
p76 n°24*
p81 n°78, 79*
-PB: p83 n°107, 108, 110
p84 n°113
p85 n°121p76 n°19, 23
p83 n°111*
p84 n°117* ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014

Equation-produit

Définition :
Toute équation du type P(x) x Q(x) = 0, où P(x) et Q(x) sont des expressions algébriques, est appelée équation-produit.

Remarque :
Nous rencontrerons plus particulièrement des équations produits de la forme :
(ax + b)(cx + d) = 0.

Propriétés :
Dire qu’un produit de facteurs est nul, équivaut à dire que l’un au moins des facteurs est nul.
Le cas particulier de l’équation-produit (ax + b)(cx + d) = 0 équivaut à
ax + b = 0 ou cx + d = 0.


Méthode : Résoudre une équation en se ramenant à une équation-produit

 Vidéo  HYPERLINK "https://youtu.be/EFgwA5f6-40" https://youtu.be/EFgwA5f6-40
 Vidéo  HYPERLINK "https://youtu.be/sMvrUMUES3s" https://youtu.be/sMvrUMUES3s

Résoudre dans ! les équations :
1) (3x + 1)(1  6x)  (3x + 7)(3x + 1) = 0 2)  EMBED Equation.DSMT4 
1) On commence par factoriser l expression pour se ramener à une équation-produit :

(3x + 1)(1  6x)  (3x + 7)(3x + 1) = 0
(3x + 1)[(1  6x) – (3x + 7)] = 0
(3x + 1)(1 – 6x – 3x – 7) = 0
(3x + 1)(– 9x – 6) = 0
Soit : 3x + 1 = 0 ou - 9x – 6 = 0
3x = -1 ou - 9x = 6
x =  EMBED Equation.DSMT4  ou x =  EMBED Equation.DSMT4 

Les solutions sont donc  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .

2)  EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 
Soit : x = 0 ou 5x – 4 = 0
5x = 4
x =  EMBED Equation.DSMT4 
Les solutions sont donc 0 et  EMBED Equation.DSMT4 .


Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir
-Ex 2 (page 11)
p140 n°9, 11 et 12*
p141 n°20
p141 n°23
-PB: p145 n°68
p138 n°3*p140 n°10-Ex 2 (page 11)
p76 n°25, 28
p81 n°85, 87
p82 n°99, 100
-PB: p83 n°112
p85 n°122*p76 n°26 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014


TP conseillé TP conseillé
TP TICE 1 p133 : Recherche triangles rectangles !
TP TICE 3 p134 : Résoudre une équation avec un logicielp71 TP3 : Recherche triangles rectangles !
p72 TP6 : Résoudre une équation avec un logiciel ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014

Equation de la forme x² = a

Propriété :
Les solutions dans ! de l équation x2 = a dépendent du signe de a.
Si a 0, alors l’équation possède deux solutions qui sont  EMBED Equation.DSMT4  et - EMBED Equation.DSMT4 .

Démonstration :

Si a < 0, l’équation n’a pas de solution car un carré est positif.
Si a = 0, alors l’équation s’écrit  EMBED Equation.3 donc  EMBED Equation.3 .
Si a > 0 :  EMBED Equation.3 équivaut à :  EMBED Equation.3 
Soit  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 

Exemples :
Résoudre dans ! les équations :  EMBED Equation.DSMT4 ,  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 

L équation  EMBED Equation.3 .
16 est positif donc l équation admet deux solutions  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 .
L équation  EMBED Equation.3 .
-8 est négatif donc l équation n a pas de solution dans !.
L équation  EMBED Equation.DSMT4 .
On a alors  EMBED Equation.DSMT4  ou  EMBED Equation.DSMT4 .
L équation admet deux solutions  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .


Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir
Ex 3 et 4 (page11)
p140 n°13
p141 n°21*, 22*p140 n°15Ex 3 et 4 (page11)
p76 n°29, 31, 30p76 n°32 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014







Equation-quotient

Définition :
Toute équation du type  EMBED Equation.DSMT4  = 0, où P(x) et Q(x) sont des expressions algébriques (avec Q(x) `" 0), est appelée équation-quotient.

Propriété :
Pour tout x qui n annule pas l expression Q(x), l équation-quotient  EMBED Equation.DSMT4  = 0 équivaut à P(x) = 0.

Exemple :
L équation  EMBED Equation.DSMT4  = 0 a pour solution x = -2.


Méthode : Résoudre une équation en se ramenant à une équation-quotient

 Vidéo  HYPERLINK "https://youtu.be/zhY1HD4oLHg" https://youtu.be/zhY1HD4oLHg
 Vidéo  HYPERLINK "https://youtu.be/OtGN4HHwEek" https://youtu.be/OtGN4HHwEek

Résoudre dans ! les équations :
a)  EMBED Equation.DSMT4  b)  EMBED Equation.DSMT4  c)  EMBED Equation.DSMT4 

d)  EMBED Equation.DSMT4 


a) L équation n est pas définie pour x = 1.
Pour x `" 1, l'équation  EMBED Equation.DSMT4  équivaut à :  EMBED Equation.DSMT4 .
D où  EMBED Equation.DSMT4 .

b) L équation n est pas définie pour x = 4.
Pour x `" 4, l'équation  EMBED Equation.DSMT4  équivaut à :  EMBED Equation.DSMT4 .
Soit :  EMBED Equation.DSMT4  ou  EMBED Equation.DSMT4 
Les solutions sont :  EMBED Equation.DSMT4  et  EMBED Equation.DSMT4 .

c) L équation n est pas définie pour x = -3.
Pour x `" -3, l'équation  EMBED Equation.DSMT4  équivaut à :  EMBED Equation.DSMT4 , soit  EMBED Equation.DSMT4 
Soit encore :  EMBED Equation.DSMT4  ou  EMBED Equation.DSMT4 .
Comme x `" -3, l'équation a pour unique solution : EMBED Equation.DSMT4 .


d) L équation n est pas définie pour x = 2 et x = 3.
Pour x `" 2 et x `" 3 , l'équation  EMBED Equation.DSMT4  équivaut à :
 EMBED Equation.DSMT4 

On réduit au même dénominateur dans le but de se ramener à une équation-quotient :
 EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 

On développe et on réduit le numérateur :
 EMBED Equation.DSMT4 
 EMBED Equation.DSMT4 

Ce qui équivaut à 4x – 6 = 0 et  EMBED Equation.DSMT4 
D’où  EMBED Equation.DSMT4 .

Exercices conseillés Exercices conseillés En devoir
Ex 5 et 6 (page11)
p140 n°16, 17 Ex 7 et 8 (page11)
p140 n°18
p141 n°19*Ex 5 et 6 (page11)
p76 n°33, 34
Ex 7 et 8 (page11)
p81 n°82, 83, 88p81 n°81 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014



Tableaux de signes

1) Exemple d’introduction

a) Compléter le tableau de valeurs suivant de l’expression 2x – 10 :
x-10-50167101002x – 10
b) Compléter alors la 2e ligne du tableau de signes de l’expression 2x – 10 :
x ? 2x – 10 … 0 …
c) Pour quelle valeur x de l’expression 2x – 10 s’annule-t-elle ?
Compléter alors la 1ère ligne du tableau de signes.

d) Vérifier à l’aide d’une calculatrice graphique.


a)
x-10-50167101002x – 10-30-20-10-82410190
b)
x ? 2x – 10 - 0 +
c) 2x – 10 = 0 soit 2x = 10 soit encore x = 5.
x 5 2x – 10 - 0 +
d) On trace la représentation graphique de  EMBED Equation.DSMT4 .



2) Généralisation

On considère a et b deux nombres fixés (a `" 0) et x est un nombre réel.
Soit la fonction affine f définie sur ! par f (x) = ax + b.

Déterminons l’abscisse x du point d’intersection de la droite représentative de f  dans un repère avec l’axe des abscisses :

Cela revient à résoudre l’équation f(x) = 0.
soit : ax + b = 0,
soit : ax = - b,
soit encore  EMBED Equation.3 .

Si a > 0 :

La fonction f est croissante sur !.
On obtient le tableau de signes suivant pour ax+b :
x- EMBED Equation.3   EMBED Equation.3  + EMBED Equation.3 ax+b - 0 +






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