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Petit florilège d'exercices autour de la loi normale

Examen : CAP. Spécialité : Secteur 2 CORRIGE ... Le diagramme suivant donne la répartition des consommations d'eau dans un foyer français. (Source : Centre ...




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Petit florilège d'exercices autour de la loi normale

Exercice 1 (d'après document ressources / Calculs de probabilités sur une loi normale)
La production laitière annuelle en litres des vaches laitières de la race FFPN peut être modélisée par une variable aléatoire à densité X, de loi normale de moyenne EMBED Equation.DSMT4 et d'écart type EMBED Equation.DSMT4. La fonction EMBED Equation.DSMT4 désigne la fonction de densité de cette loi normale.


Afin de gérer au plus près son quota laitier (production maximale autorisée), en déterminant la taille optimale de son troupeau, un éleveur faisant naître des vaches de cette race souhaite disposer de certaines probabilités. a. Calculer la probabilité qu'une vache quelconque de cette race produise moins de EMBED Equation.DSMT4 litres par an. b. Calculer la probabilité qu'une vache quelconque de cette race produise entre EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 litres de lait par an. c. Calculer la probabilité qu'une vache quelconque de cette race produise plus de EMBED Equation.DSMT4 litres par an.
Dans son futur troupeau, l'éleveur souhaite connaître certaine productions prévisibles. a. Déterminer la production maximale prévisible des 30 % de vaches les moins productives du troupeau. b. Déterminer la production minimale prévisible des 20 % de vaches les plus productives du troupeau.
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Enoncé : Correctif : dire plutôt modélisation "de toute vache laitière" (1ère phrase)
Travail classique sur le calcul de probabilités pour une loi à densité, manipulation de doubles inégalités, retour à la moyenne, recherche d'antécédents par la fonction de répartition.
Question 1. Savoir utiliser sa machine : les calculatrices fournissent uniquement EMBED Equation.DSMT4 mais pas EMBED Equation.DSMT4. Donc pour le calcul de EMBED Equation.DSMT4, on sui la méthode suivante :
( Si EMBED Equation.DSMT4, alors EMBED Equation.DSMT4
( Si EMBED Equation.DSMT4, alors EMBED Equation.DSMT4
Commandes TI pour calculer EMBED Equation.DSMT4 pour une variable aléatoire EMBED Equation.DSMT4suivant la loi EMBED Equation.DSMT4 :EMBED Equation.DSMT4 OU utiliser l'intégration numérique de la machine… Réponses : 0,3085 / 0,1974 / 0,2660
Question 2. On cherche la valeur EMBED Equation.DSMT4 prise par la variable aléatoire EMBED Equation.DSMT4 de sorte d'avoir EMBED Equation.DSMT4 puis EMBED Equation.DSMT4. Il s'agit donc de la recherche d'une image par la "répartition réciproque de la loi normale". En fait on travaille sans le dire sur la fonction de répartition EMBED Equation.DSMT4 définie par EMBED Equation.DSMT4 associée à la loi normale EMBED Equation.DSMT4. Commandes TI pour calculer EMBED Equation.DSMT4 pour une variable aléatoire EMBED Equation.DSMT4suivant la loi EMBED Equation.DSMT4 avec la probabilité p connue EMBED Equation.DSMT4. Pour la seconde recherche, on utilise l'évènement contraire de EMBED Equation.DSMT4. Réponses : 5790 / 6336
On peut facilement transformer cet exercice en TP (fichier à monter).
Construire la courbe de la fonction de densité de cette loi normale sur Géogébra puis employer deux curseurs pour fixer les droites d'équations EMBED Equation.DSMT4et EMBED Equation.DSMT4 puis mesurer l'aire sous la courbe.
Question 1 : lire une aire adéquate. Question 2 : positionner convenablement l'un des curseurs.

Exercice 2 (d'après document ressources / Calculs de probabilités sur une loi normale) La durée de vie d'un certain type d'appareil est modélisée par une variable aléatoire suivant une loi normale de moyenne EMBED Equation.DSMT4 et d'écart type EMBED Equation.DSMT4 inconnus. Les spécifications impliquent que EMBED Equation.DSMT4 de la production des appareils ait une durée de vie entre 120 jours et 200 jours et que 5 % de la production ait une durée de vie inférieure à 120 jours. Quelle est la probabilité d'avoir un appareil dont la durée de vie est comprise entre 200 jours et 230 jours ?
Commentaires
On traduit facilement les données de l'énoncé par EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4.
On souhaiterait connaître les paramètres de cette loi normale pour calculer ensuite la probabilité demandée par l'énoncé.
Problème comment déterminer EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 ? L'idée est de se ramener à une loi connue : on centre et on réduit pour revenir à une loi EMBED Equation.DSMT4 suivie par EMBED Equation.DSMT4. EMBED Equation.DSMT4 :
à l'aide de la fonction de répartition de EMBED Equation.DSMT4, on trouve EMBED Equation.DSMT4.
EMBED Equation.DSMT4 : on trouve EMBED Equation.DSMT4.
On résout le système : EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4. Reste à calculer la probabilité demandée : EMBED Equation.DSMT4.
Exercice 3 (d'après document ressources / Intervalle de fluctuation et prise de décision)
On admet que dans la population d'enfants de 11 à 14 ans d'un département français le pourcentage d'enfants ayant eu au moins une crise d'asthme dans leur vie est de 13 %.
Un médecin d'une commune de ce département est surpris du nombre important d'enfants le consultant pour des soucis d'asthme. Dans cette commune, sur un échantillon de 100 enfants entre 11 et 14 ans choisis aléatoirement, 19 ont déjà eu au moins une crise d'asthme. Cette proportion est-elle inquiétante?EMBED PBrushCommentaires
On se retrouve avec le même type d'exercices que dans le stage de l'an dernier sur les nouveaux programmes de premières. Méthode employée l'an passé : utiliser la loi binomiale pour déterminer l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la proportion de jeunes de 11 à 14 ans ayant eu une crise d'asthme dans un échantillon de taille 100. Prendre une décision à l’aide de cet intervalle.
Même processus cette année sauf que l'on emploie l'intervalle asymptotique de fluctuation au seuil de 95 % qui constitue une bonne approximation de l'intervalle de fluctuation exact déterminé en 1ère. Les contraintes classiques données sont : EMBED Equation.DSMT4, EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4. L'intervalle trouvé est EMBED Equation.DSMT4. La règle de décision est donnée par l'énoncé en fait :
"Si la fréquence observée est en dehors de l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %, on mène une enquête plus poussée".Dans la situation de cet exercice, on ne mène donc pas d'enquêtes supplémentaires.
Nouvelle question : La proposition suivante est-elle vraie ? Argumenter votre réponse.
"Si le médecin augmente la taille de l'échantillon et observe une proportion de 19 %, il sera amené à lancer une enquête complémentaire" ;
On en vient à résoudre une inéquation avec la borne supérieure de l'intervalle de fluctuation asymptotique.
EMBED Equation.DSMT4 où EMBED Equation.DSMT4. On trouve 121 sujets avant que la proportion 0,19 ne soit plus dans l'intervalle de fluctuation asymptotique.
Remarque : Les programmes comme les docs ressources stipulent un intervalle de fluctuation au seuil de 95 %.
A noter que le seuil serait bien une valeur en dessous de laquelle il ne faudrait pas descendre. En réalité cet intervalle contient environ 95 % des fréquences…

Exercice 4 (d'après document ressources / Intervalle de fluctuation et prise de décision) Une compagnie aérienne possède des A340 d'une capacité de 300 places.
Cette compagnie vend EMBED Equation.DSMT4 billets sur l'un de ses vols.
Un acheteur se présente à l'embarquement avec une probabilité EMBED Equation.DSMT4 et les comportements des acheteurs sont indépendants les uns des autres.


On note EMBED Equation.DSMT4 la variable aléatoire désignant le nombre d'acheteurs d'un billet se présentant à l'embarquement.
La compagnie cherche à optimiser le remplissage de ces avions en vendant plus de billets que de places dans l'avion (phénomène de surréservation n >300). La compagnie veut par contre, maîtriser le risque que le nombre de passagers munis d'un billet se présentant à l'embarquement excède 300.
Rappeler la loi suivie par EMBED Equation.DSMT4.
a. Ecrire l'intervalle de fluctuation asymptotique de EMBED Equation.DSMT4 au seuil de 95 %. b. Ecrire l'intervalle auquel la compagnie souhaite qu’appartienneEMBED Equation.DSMT4. c. En déduire une condition sur EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4 de la forme EMBED Equation.DSMT4 impliquant que la probabilité que le nombre de passagers se présentant à l'embarquement excède 300 est environ 0,05.
Etude de la fonction EMBED Equation.DSMT4 (pour EMBED Equation.DSMT4). Démontrer qu'il existe un unique entier EMBED Equation.DSMT4 tel que EMBED Equation.DSMT4 et EMBED Equation.DSMT4. Déterminer cet entier EMBED Equation.DSMT4.Commentaires
La variable aléatoire EMBED Equation.DSMT4 suit une loi binomiale EMBED Equation.DSMT4. L'objectif de la compagnie aérienne est d’avoirEMBED Equation.DSMT4. EMBED Equation.DSMT4. Cette égalité est réalisée si l'intervalle de fluctuation est inclus dans l'intervalle [0 ;300/n]. Donc la condition cherchée est EMBED Equation.DSMT4.
La fonction à étudier ensuite est définie par EMBED Equation.DSMT4. On réinvestit les variations d'une fonction et le théorème des valeurs intermédiaires. La détermination de EMBED Equation.DSMT4 peut se mener à l'aide d'un tableau de valeurs ou d'un algorithme… On trouve dans ce cas EMBED Equation.DSMT4.
Remarque: exercice que l'on peut proposer en 1ère S en le gérant uniquement avec des lois binomiales mais une utilisation beaucoup moins souple du tableur.
Exercice 5 (d'après document ressources / Intervalle de confiance)
Dans le but d'évaluer la prise en charge de la bronchiolite du nourrisson dans un hôpital de la région Aquitaine, une étude rétrospective a été mise en place.
Il est recommandé de coucher l'enfant de manière très inclinée (proclive) dans le cadre de la prise en charge de cette maladie.
EMBED PBrush

Voici le tableau récapitulatif du décompte des pratiques dans deux services différents sur une courte période.
Couchage proclive
En service des urgences
En service hospitalier
Total

OUI
45
52
97

NON
29
8
37

Total
74
60
134

Peut-on conclure au seuil de 95 % que la pratique de couchage n'est pas identique dans les deux services ?Commentaires
Il s'agit d'estimer la probabilité (la proportion) de la pratique proclive dans chacun des deux services par un encadrement donné par intervalle de confiance. (conditions ?)
On utilise bien celui de la classe de seconde : En service des urgences, EMBED Equation.DSMT4 En service hospitalier, EMBED Equation.DSMT4
Les deux intervalles n'ont pas d'intersection commune donc les pratiques dans les deux services sont différentes et cette conclusion est valable avec un niveau de confiance de 95%.
Remarques : On parle bien d'intervalle de confiance pour un niveau de confiance de 0,95. La notion de seuil se rapproche des nomenclatures des statisticiens mais pas des notations des programmes. Attention l'intervalle de confiance asymptotique est hors programme… malgré plusieurs références dans les ouvrages.

Exercice 6 (d'après Annales Bac ABC / fonction de densité et fonction de répartition) On considère la fonction EMBED Equation.DSMT4 définie sur EMBED Equation.DSMT4 par EMBED Equation.DSMT4.
Démontrer que EMBED Equation.DSMT4 est une fonction de densité de probabilité.
Soit X une variable aléatoire de densité EMBED Equation.DSMT4, déterminer la fonction de répartition F de X.
Déterminer la probabilité EMBED Equation.DSMT4.
Déterminer le réel EMBED Equation.DSMT4 tel que EMBED Equation.DSMT4.Commentaires
Définition d'une loi de densité délicate du point de vue universitaire. Au moins fonction positive et intégrable avec intégrale généralisée = 1… Le programme dit qu'il faut introduire par des exemples…
Fonction de répartition : hors programme a priori même si on la rencontre dans de nombreux énoncés sans que le vocable soit employé… Pré-requis nombreux : toute l'analyse doit être faite antérieurement !!!

Exercice 6 bis (d'après Annales Bac ABC / fonction de densité et loi normale) Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite EMBED Equation.DSMT4. Déterminer le réel EMBED Equation.DSMT4 maximal tel que la probabilité EMBED Equation.DSMT4 soit maximale.Commentaires
Réinvestissement complet sur de l'analyse…
Si l'on réfléchit graphiquement, il s'agit de choisir la plus grande aire sous la courbe de la fonction de densité sur un intervalle d'amplitude 2. On a vite fait de trouver EMBED Equation.DSMT4 compte tenu de la cloche.

Une démo est plus délicate à écrire : EMBED Equation.DSMT4.
Cette fonction a pour dérivée EMBED Equation.DSMT4.
Via une résolution d'inéquation, cette fonction est négative sur EMBED Equation.DSMT4 puis positive EMBED Equation.DSMT4.
D'où un maximum atteint pour EMBED Equation.DSMT4 pour la probabilité EMBED Equation.DSMT4.

On a tout de même employé l'écriture d'une loi normale, la relation de Chasles pour les intégrales, la dérivée d'une intégrale dépendant de sa borne, la dérivée des fonctions composées puis une étude classique de variations de fonction…


Exercice 7 (d'après Annales Bac ABC / intervalles…) Une société qui produit des jus de fruit propose au service commercial deux nouveaux mélanges : OPK (orange pamplemousse kiwi) et OMA (orange mangue ananas). Dans un sondage aléatoire réalisé sur 60 consommateurs, 56 % préfère le mélange OPK.
On fait l'hypothèse (H) que dans l'ensemble des consommateurs, 50 % préfère le mélange OPK.
Peut-on rejeter l'hypothèse (H) au risque de 5 % ?


Commentaires
J'ai volontairement caché les questions intermédiaires. On nomme X la variable aléatoire qui dénombre le nombre de personnes préférant OPK sur tout échantillon de 60 personnes. X suit une loi binomiale. Ensuite, on possède une proportion p supposée et on teste pour savoir si la fréquence de 56 % sur un échantillon de 60 personnes est compatible … Intervalle de fluctuation de X/60 au seuil de 95 % :
EMBED Equation.DSMT4
La règle de décision ne permet pas de rejeter l'hypothèse H puisque la fréquence 0,56 appartient à l'intervalle de fluctuation… Remarque : La règle de prise de décision est donnée dans l'énoncé. On n'attend pas nécessairement d'un élève qu'il connaisse cette démarche. Règle (cf docs ressources)
On utilise un intervalle de fluctuation lorsque la proportion p est connue ou si l'on fait une hypothèse sur sa valeur.
On utilise un intervalle de confiance lorsqu'on veut estimer une proportion p inconnue dans une population.
On peut même chercher toutes les proportions que l'on ne peut pas rejeter…
EMBED Equation.DSMT4
Cette recherche peut faire l'objet d'un TP…

Remarque amusante : Il semble difficile de trouver une fréquence de 56 % sur un sondage à deux choix réalisé sur 60 personnes !









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