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CHAPITRE 3 : LA DECOMPOSITION DES CHRONIQUES

Dans le cas où l'aléa peut être identifié, il importe de corriger la série brute, pour éviter ... de chaque composante dans le comportement temporel de la série.




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pour éviter des perturbations qui peuvent être expliquées par une cause extérieure.
Exemples : gel, grève, séisme, jours fériés, longueur différente des mois, congés, etc, ...
Mais souvent l'aléa est causé par de multiples variables difficilement identifiables.
L'interaction des composantes
On suppose généralement que l'interaction entre les composantes peut être représentée par :
un modèle additif : yi = Ti + Ci + Si + Ai ou
un modèle multiplicatif : yi = Ti * Ci * Si * Ai, plus fréquent que le modèle additif.
N.B. : les deux premières composantes sont souvent jointes pour former la composante tendance – cycle (T, C) : yi = (T, C)i * Si * Ai
Objectifs de la décomposition
Décrire la contribution de chaque composante dans le comportement temporel de la série.
Eliminer une (ou plusieurs) composante(s) pour mieux discerner le reste.
Prévoir le comportement futur de la variable en fonction des composantes systématiques principales de la série.
SECTION 2 : LISSAGES
Principe :
Les méthodes de lissage visent à éliminer les composantes saisonnières et aléatoires, pour faire apparaître le mouvement conjoncturel et tendanciel.
De nombreuses méthodes ont été développées dont les deux principales sont présentées ci-dessous :
Lissage par moyenne échelonnée
On réalise des groupements de points consécutifs (si possible d'effectifs égaux et impairs) et on représente chaque groupe par la moyenne des points qui le composent.
On pratique ensuite une interpolation linéaire entre les moyennes ainsi définies pour chaque date comprise entre les moyennes extrêmes. (Voir exemple infra.)
N.B. : La droite de Mayer
Cas particulier quand le nuage de points est divisé en deux sous-groupes de points consécutifs.
On partage la série en 2 sous-groupes d'effectif égal (ou à une unité près si nombre impair). Parfois, on élimine un certain nombre d’observation centrales.
On détermine ensuite  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 , moyennes des observations  EMBED Equation.3  et des dates  EMBED Equation.3  pour chacun des sous-groupes (i = 1, 2).
Ces moyennes déterminent deux points A et B entre lesquels on ajuste une droite dont les paramètres (a et b) de l'équation yi = a + b ti sont égaux à :
 EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 
(Voir exemple infra.)
Lissage par moyenne(s) mobile(s)
La généralisation la plus courante de la précédente.
Principe :
On calcule des moyennes sur des groupes successifs de k (< n) valeurs de la série.
On commence par les k premières valeurs de la série. Puis, on omet la première et on ajoute la k+1ème, puis on omet la première de ce nouveau groupe et on ajoute la k+2ème... en glissant ainsi jusqu'à l'inclusion de la dernière observation.
Chaque moyenne est associée à une date :
Si k est impair : pas de problème : la moyenne mobile se situera à la date centrale ;
Si k est pair : la moyenne mobile se situera entre les deux dates centrales. La valeur de référence associée à une date sera la demi-somme des moyennes mobiles encadrant cette date.
On note la moyenne mobile d'ordre k : MMk.
(Voir exemple infra Tableau VI.3.)
Un exemple :
Tableau VI.1 : chiffre d'affaires (CA) trimestriel d'une entreprise (M¬ )
An.Tr.CAtAn.Tr.CAtt1511t+218392111221751031233317411459448812t+11785t+3195132162621851431467319715454847516 Méthode des moyennes échelonnées sur 4 termes :
Donc avec 2,5, date de la première moyenne échelonnée, 6,5, date de la deuxième moyenne échelonnée, etc., ... on établit les coordonnées des quatre points centraux de chacun des 4 groupes d’observation du CA.
A = (2,5 ; 86) C = (10,5 ; 130)
B = (6,5 ; 110) D = (14,5 ; 138)
Il est possible de réaliser une interpolation linéaire entre ces points. Ainsi les équations des trois segments possibles s'établissent comme suit :
AB : 6t + 71 6 =  EMBED Equation.3  71 = 86  (6 * 2,5)
BC : 5t + 77,5
CD : 2t + 109
Il est alors possible de générer une série lissée yAD :
Tableau VI.2 : Moyennes échelonnées sur 4 termes (M¬ )
tytyAD151/2111/3123894599557810161621077146112,5854117,5983122,510175127,511174131128813313951351418513715197/1675/
Méthode des moyennes mobiles
Choix de k : l'ordre de la moyenne
Cas simple : MM3 permet de ne pas perdre beaucoup d'observations mais garde une grande variabilité.
Cas plus complexe : k élevé, par exemple k = 12
( série plus adoucie mais perte de 6 observations de part et d'autre.
Le choix du type de lissage dépend de l'objectif poursuivi :
Si on cherche à éliminer :- l'aléa : ( MM3 :
- la saisonnalité et l'aléa : ( MM9 ;
- le cycle, la saisonnalité et l'aléa : ( droite de Mayer.
(Voir graphique VI.1, page suivante.)
1ère MM3 datée 2, valeur  EMBED Equation.3 , 2ème MM3 datée 3, valeur  EMBED Equation.3 , etc...
Calcul de la droite de Mayer :
La chronique est divisée en deux sous-ensembles de 8 observations chacun.
La moyenne de chaque sous-ensemble est calculée, on obtient les deux points extrêmes de la droite (4,5 ; 98) et (12,5 ; 134).
Les paramètres de la droite d interpolation entre ces points sont :
b, l intercept, = 77,75 et a, le coefficient angulaire, = 4,5.
On obtient ensuite les différentes valeurs suivantes :
Tableau VI.3 : calcul de la MM4 (M¬ )
t56789101112y78162146548317517488ym100,25104,75109,25113,75118,25122,75127,25131,75Avec ym : les points de la droite de Mayer aux dates spécifiées.
 EMBED Excel.Chart.8 \s  A titre d exemple, calcul de la MM4 :
Tableau VI.4 : calcul de la MM4 (M¬ )
tyMM4MM4 ajustée151//2111//2,586/312389,3753,592,7545999,1254,5105,5578108,3755,5111,256162110,6256,51107146110,6257,5111,25854112,8758,5114,59831189,5121,510175125,7510,513011174131,511,51331288134,2512,5135,51395138,37513,5141,2514185139,62514,5138/15197//1675//

Exercices récapitulatifs : lissages

L’indice trimestriel de valeur des ventes de fleurs (base 1997:1 = 100) est représenté dans le tableau suivant pour la période 1996:1 – 2000:4 :

Tableau 1 : Indice trimestriel de la valeur des ventes de fleurs (1997:1 = 100)Trimestre199619971998199920001101,56100,00103,45111,78123,46294,2996,42102,74106,86121,78396,3899,64100,89109,75115,18498,22102,67108,13115,61128,89
On vous demande de calculer les moyennes mobiles et échelonnées sur 5 termes de cette chronique.

L’effet saisonnier a-t-il disparu ?

Calculez une « droite de Mayer » en éliminant les 10 observations centrales.

Représentez graphiquement les moyennes mobiles et échelonnées ainsi que la « droite de Mayer ». en les comparant à la chronique originale. Commentez.

Partie 2 : Les chroniques : chapitre 3 : décomposition et lissages VI. PAGE 3

Partie 2 : Les chroniques : chapitre 3 : exemple. VI. PAGE 5

Partie 2 : Les chroniques : chapitre 3 : exemple VI. PAGE 7

Partie 2 : Les chroniques : chapitre 3 : exemple. VI. PAGE 8

Partie 2 : Les chroniques : chapitre 3 : exercices récapitulatifs VI. PAGE 9