Td corrigé Circuits linéaires en régime sinusoïdal - Physique-appliquee.net pdf

Circuits linéaires en régime sinusoïdal - Physique-appliquee.net

1 Importance du régime sinusoïdal. La plus grande partie de l'énergie électrique est produite sous forme de courant alternatif sinusoïdal ;; Les fonctions ...




part of the document



rme :
 EMBED Equation.2  t est le temps en secondes (s) ( est la pulsation en radians par seconde (rad.s-1) ;  EMBED Equation.2  est la phase instantanée en radians (rad) ;  EMBED Equation.2  est la phase à l’origine en radians (rad).
Valeur moyenne
 EMBED Equation.2  car il s’agit d’une fonction alternative Remarque : la valeur moyenne peut encore s’écrire sous la forme  EMBED Equation.2 
Valeur efficace
la valeur efficace d’une grandeur sinusoïdale est :  EMBED Equation.2  où UM est la valeur maximum du signal.
Période
Par définition T est telle que  EMBED Equation.2  ou k = 1, 2, 3, … ce qui conduit à :  EMBED Equation.2  ou avec la fréquence :  EMBED Equation.2 

Exemple

 EMBED Equation.2 

De cette équation ou de la courbe on peut en déduire :
 EMBED Equation.2 

 EMBED Equation.2 

 EMBED Equation.2 

 EMBED Equation.2 

 EMBED Equation.2 

 EMBED Equation.2 

Relevé graphique de (u :
Une période correspond à un tour du cercle trigonométrique.
T ( 2(
(t ( (u

 EMBED Equation.2 

Remarquer le sens de mesure (t.

Représentation de Fresnel
La représentation de Fresnel est une représentation vectorielle des grandeurs sinusoïdales.

Représentation d’un vecteur

En coordonnées cartésiennes il faut la position (x; y) de son extrémité par rapport à son origine.
 EMBED Equation.2 

En coordonnées polaires, il faut sa longueur et l’angle qu’il fait avec un axe d’origine.
 EMBED Equation.2 
Représentation de Fresnel

Toute grandeur sinusoïdale (tension ou courant) sera représentée par un vecteur de longueur sa valeur efficace et d’angle sa phase à l’origine.

Considérons un dipôle Z traversé par un courant i et ayant entre ses bornes une tension u.



Pour la tension :  EMBED Equation.2 

Pour le courant :  EMBED Equation.2 

Différence de phase :  EMBED Equation.2 
Si on prend le courant I comme origine des phases la représentation se simplifie.

 EMBED Equation.2 

 EMBED Equation.2 

jð (phi) représente le déphasage de i par rapport à u.

En représentation de Fresnel, jð est l angle allant de i vers u.

Remarque : il n est pas nécessaire de représenter la phase instantanée  EMBED Equation.2  puisque dans un circuit électrique, toutes les grandeurs électriques auront la même pulsation wð. La seule partie qui change pour les différentes tensions et courants, ce sont la valeur efficace et la phase à l origine qð.

Remarque : le déphasage jð dépend du dipôle et de la pulsation (

Loi des mailles en représentation de Fresnel

Exemple :

Loi des mailles instantanée :  EMBED Equation.2  avec  EMBED Equation.2 
et  EMBED Equation.2 



Remarque : u à la même période que u1 et u2.

Loi des mailles vectorielle :  EMBED Equation.2  avec  EMBED Equation.2 
et  EMBED Equation.2 



En aucun cas il ne faut faire la somme algébrique des valeurs efficaces U1 et U2.
 EMBED Equation.2  (voir la construction vectorielle ci-dessus).
Remarque : il en va de même pour la loi des noeuds.
Puissances en régime sinusoïdal
Puissance instantanée
La puissance électrique est le produit de la tension par le courant.

 EMBED Equation.2  et  EMBED Equation.2 

 EMBED Equation.2 

Pour réarranger les termes, on utilise la relation trigonométrique ci-dessous :  EMBED Equation.2 

d’où  EMBED Equation.2 

Finalement  EMBED Equation.2 

On constate que la puissance instantanée est la somme d’un terme constant  EMBED Equation.2  et d’un terme variant périodiquement  EMBED Equation.2 .

Puissance active
La puissance active est la moyenne de la puissance instantanée. La valeur moyenne du terme périodique est nulle (c’est une fonction périodique alternative). Il reste donc le terme constant.
 EMBED Equation.2 
U : valeur efficace de la tension (V) ;
I : valeur efficace du courant (A) ;
jð : déphasage entre u et i (rad).
Unité : le watt (W).

Puissance réactive
La puissance réactive est une invention mathématique pour faciliter les calculs.
 EMBED Equation.2 
Unité : le voltampère réactif (VAR)

Puissance apparente
La puissance apparente ne tient pas compte du déphasage entre u(t) et i(t).
 EMBED Equation.2 
Unité : le voltampère (VA).

Triangle de puissance
En observant les relations ci-dessus on constate que :
 EMBED Equation.2 

Ce qui peut être schématisé par le diagramme de Fresnel des puissances :


Remarque : seule la puissance active à une réalité physique.
La puissance réactive ne correspond à aucune puissance réelle.

Autres relations

 EMBED Equation.2 et
Les dipôles passifs linéaires
La résistance (voir tableau)
La bobine parfaite (voir tableau)
Le condensateur parfait (voir tableau)


Résistance RInductance LCapacité CSchémaEquation fondamentale EMBED Equation.2  EMBED Equation.2  EMBED Equation.2 Impédance Z (&!) EMBED Equation.2  EMBED Equation.2  EMBED Equation.2 Admittance Y (S) EMBED Equation.2  EMBED Equation.2  EMBED Equation.2 Relation entre les valeurs efficaces EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 Déphasage jð ð(rad) EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 Représentation de FresnelPuissance active
P (W) EMBED Equation.2 

R absorbe P00Puissance réactive
Q (VAR)0 EMBED Equation.2 

L absorbe Q EMBED Equation.2 

C fournit Q
La bobine réelle
La résistance du fil de cuivre dont est composée la bobine n’est en réalité pas négligeable. D’où la modélisation d’une bobine réelle par une résistance en série avec une inductance parfaite :

Z est l’impédance de la bobine (en Ohms ; &!).
Il faut connaître l expression de Z en fonction de r et L.

 EMBED Equation.2  ( est la pulsation en rad.s-1 (démonstration en exercice)

Le condensateur réel
Le condensateur réel ne s éloigne du condensateur parfait que pour les très hautes fréquences (( > 1 MHz) .
Nous considérons ici que le condensateur est parfait.
Théorème de Boucherot
Théorème
Les puissances active et réactive absorbées par un groupement de dipôles sont respectivement égales à la somme des puissances actives et réactives absorbées par chaque élément du groupement.

Exemple


Puissance instantanée

 EMBED Equation.2 

Puissance active

 EMBED Equation.2 

Puissance réactive

 EMBED Equation.2 

 Le théorème de Boucherot n’est pas valable pour la puissance apparente.

Facteur de puissance
Définition
Définition générale

 EMBED Equation.2 
Sans dimension.

Cas particulier du régime sinusoïdal

 EMBED Equation.2  soit  EMBED Equation.2 

En régime sinusoïdale le facteur de puissance est  EMBED Equation.2 .

Importance du cos jð
La tension U étant imposée par le réseau EDF (220V, & ) et la puissance P nécessaire pour l installation électrique, le courant s adapte suivant la relation  EMBED Equation.2 .
Problème économique : plus I est faible plus les pertes sont faibles. Pour diminuer I sans modifier P ou U, il faut augmenter cos jð.

On dit qu il faut relever le facteur de puissance.

Problème électrique : comment modifier cos jð ðsans modifier la puissance active P ?
Réponse : le facteur de puissance peut s exprimer de la façon suivante ;  EMBED Equation.2 .
Plus Q se rapproche de 0, plus cos jð se rapproche de 1. En rajoutant à l installation électrique des condensateurs ou des inductances, on modifie Q sans modifier P.

Remarque : pour un particulier, EDF facture la puissance apparent S alors que le consommateur utilise la puissance active P. Pour les entreprises EDF autorise un facteur de puissance limite sous lequel il ne faut pas passer sous peine de surcoût.
Relèvement du facteur de puissance
Si l’installation électrique est inductive (Q > 0), il faut diminuer Q en adjoignant des condensateurs (QC 0, i est en retard sur u ; la charge est de nature inductive.
si ( = 0, i et u sont en phase ; la charge est de nature résistive.

on peut alors écrire les grandeurs u et i d’une des façons suivantes :

 EMBED Equation.2 
 EMBED Equation.2 

ou EMBED Equation.2 
 EMBED Equation.2 
Déphasage en représentation de Fresnel
Sur le diagramme de Fresnel, ( est l’angle allant de  EMBED Equation.2  vers  EMBED Equation.2 .


Mesure du déphasage à l’oscilloscope

• Montage expérimental


remarque : à l’oscilloscope ur est l’image de iOn va mesurer le déphasage entre u et i provoqué par les composants R, L et C de ce circuit
• Méthode
A l’oscilloscope on mesure l’intervalle de temps (t allant de u vers i et la période T (identique pour u et i).
Sachant qu’une période complète correspond à 2( radians ou 360 degrés, on effectue une règle de trois pour trouver le déphasage (.

 EMBED Equation.2  en radians ou  EMBED Equation.2  en degrés

• Exemple

Il faut choisir l’intervalle (t entre deux fronts montants ou deux fronts descendants.

 EMBED Equation.2 


• Remarque : il existe une autre méthode de mesure du déphasage à l’oscilloscope (courbes de Lissajous). Il existe également des instruments mesurant automatiquement le déphasage.

Importance de la mesure du déphasage
Le déphasage intervient dans :
- le calcul de puissance et le redressement du facteur de puissance ;
- la conception de filtres HiFi ;
- la conception de régulations de systèmes d’asservissement.

En mesure physique le déphasage indique l’intervalle de temps entre deux signaux (ex. : mesure de vitesses, de retards, de temps de réaction, & )

Résumé
Soit jð, le déphasage de i par rapport à u :

Grandeurs instantanéesReprésentation de FresnelMesure à l oscilloscope EMBED Equation.2 Angle allant de i vers uMesurer Dðt de u vers i
Mesure du déphasage en électrotechnique

Il faut mesure la puissance active P, la tension efficace U et le courant efficace I.

 EMBED Equation.3 

Diagramme de Fresnel d un circuit électrique
Diagramme des tensions
Exercice
Diagramme des courants
Exercice
Diagramme des impédances
Exercice

Terminale STI Régime sinusoïdal

14/10/98 © Claude Divoux, 1999  PAGE 3/ NUMPAGES 10