Td corrigé 4 Réseau électrique linéaire en régime alternatif sinusoïdal pdf

4 Réseau électrique linéaire en régime alternatif sinusoïdal

Un corrigé avec barème de correction est remis aux étudiants en sortie du devoir (C'est souvent le seul ... 8 Régime alternatif sinusoïdal ? court-circuit (2 pts).




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Exercices sur les théorèmes des réseaux électriques linéaires en alternatif sinusoïdal
Ce document est une compilation des exercices posés en devoirs surveillés d’électricité au département Génie Electrique et Informatique Industrielle de l’IUT de Nantes. Ces devoirs se sont déroulés généralement sans documents, sans calculette et sans téléphone portable…

Les devoirs d’une durée de 80 min sont notés sur 20 points. Donc chaque point proposé au barème correspond approximativement à une activité de 4 min.

Ces exercices correspondent aux chapitres 1 à 7 de la ressource  HYPERLINK "http://www.iutenligne.net/ressources/baselecpro-cours-et-exercices-d-electricite.html" Baselecpro sur le site IUTenligne.

Un corrigé avec barème de correction est remis aux étudiants en sortie du devoir (C’est souvent le seul moment où ils vont réfléchir à ce qu’ils ont su (ou pas su) faire dans ce devoir)

Personnellement, je me refuse à manipuler le barème d’un devoir lors de la correction dans le but d’obtenir une moyenne présentable. (ni trop ni trop peu…)
La moyenne d’un devoir doit refléter l’adéquation entre les objectifs de l’enseignant et les résultats des étudiants.

Les documents proposés ici sont délivrés dans un format qui permet tout assemblage/désassemblage ou modification à la convenance de l’utilisateur. Les dessins et les équations ont été réalisés avec Word97.

Nos étudiants disposent d’une masse considérable d’informations sur internet. Les enseignants sont maintenant soucieux de leur apprendre à utiliser intelligemment cet immense champ de connaissance. Ils leur apprennent notamment à citer les sources…


Michel PIOU - Agrégé de génie électrique – IUT de Nantes – France
Table des matières
 TOC \o "1-3" \h \z \u  HYPERLINK \l "_Toc406164041" 1 Questions de cours  PAGEREF _Toc406164041 \h 1
 HYPERLINK \l "_Toc406164042" 2 Théorème de Thévenin (3 pts)  PAGEREF _Toc406164042 \h 2
 HYPERLINK \l "_Toc406164043" 3 Réseau électrique linéaire en régime alternatif sinusoïdal - Superposition (4,5 pts)  PAGEREF _Toc406164043 \h 3
 HYPERLINK \l "_Toc406164044" 4 Réseau électrique linéaire en régime alternatif sinusoïdal - Superposition (4,5 pts) Variante  PAGEREF _Toc406164044 \h 4
 HYPERLINK \l "_Toc406164045" 5 Réseau électrique en régime alternatif sinusoïdal. Choix de méthode (4 pts)  PAGEREF _Toc406164045 \h 5
 HYPERLINK \l "_Toc406164046" 6 Réseau électrique linéaire en régime alternatif sinusoïdal - Superposition (4,5 pts)  PAGEREF _Toc406164046 \h 6
 HYPERLINK \l "_Toc406164047" 7 Réseau électrique linéaire en régime alternatif sinusoïdal - Superposition (5 pts)  PAGEREF _Toc406164047 \h 8
 HYPERLINK \l "_Toc406164048" 8 Régime alternatif sinusoïdal – court-circuit (2 pts)  PAGEREF _Toc406164048 \h 10
 HYPERLINK \l "_Toc406164049" 9 Régime alternatif sinusoïdal. Dipôle équivalent (3 pts)  PAGEREF _Toc406164049 \h 11
 HYPERLINK \l "_Toc406164050" 10 Théorème de superposition en continu+alternatif sinusoïdal. (5 pts)  PAGEREF _Toc406164050 \h 12
 HYPERLINK \l "_Toc406164051" 11 Théorème de superposition et alternatif sinusoïdal 2 sources (7 pts)  PAGEREF _Toc406164051 \h 14
 HYPERLINK \l "_Toc406164052" 12 Réseau en DC + alternatif sinusoïdal. Superposition 3 sources (12 pts)  PAGEREF _Toc406164052 \h 16
 HYPERLINK \l "_Toc406164053" 13 Dipôle linéaire en alternatif sinusoïdal. Mesure de l’impédance interne (6 pts)  PAGEREF _Toc406164053 \h 19
 HYPERLINK \l "_Toc406164054" 14 Filtrage d’une ligne de distribution d’énergie électrique  PAGEREF _Toc406164054 \h 21
 HYPERLINK \l "_Toc406164055" 15 Echange d’énergie électrique et filtrage des harmoniques (13pts)  PAGEREF _Toc406164055 \h 24
 HYPERLINK \l "_Toc406164056" 16 Filtre d’un onduleur MLI (10 pts)  PAGEREF _Toc406164056 \h 29


Questions de cours

Un réseau électrique linéaire en régime alternatif sinusoïdal est considéré entre deux points A et B. Enoncer le théorème Thévenin et le théorème de Norton relatifs à ce réseau. (Préciser les expressions de  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 ). Quelle relation existe entre la tension équivalente de Thévenin, l’impédance équivalente et le courant équivalent de Norton ?

Réponse : voir  HYPERLINK "http://www.iutenligne.net/ressources/baselecpro-cours-et-exercices-d-electricite.html" Baselecpro :
http://www.iutenligne.net/ressources/baselecpro-cours-et-exercices-d-electricite.html

Théorème de Thévenin (3 pts)
On a calculé le modèle équivalent de Thévenin du dipôle A-B ci contre.
En choisissant la convention  EMBED Equation.3 , on a trouvé  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 

a) Reconstituer le calcul (expression littérale puis expression numérique) qui a permis d’obtenir  EMBED Equation.3 . Le devoir se déroulant sans calculette, il est simplement demandé de poser le calcul numérique sans l’effectuer.

b) Reconstituer le calcul (expression littérale puis expression numérique) qui a permis d’obtenir  EMBED Equation.3 . Le devoir se déroulant sans calculette, il est simplement demandé de poser le calcul numérique sans l’effectuer.

Corrigé :
a) La tension équivalente de Thévenin est la tension aux bornes du dipôle AB « à vide ». On peut donc l’obtenir avec la formule du pont diviseur de tension :  EMBED Equation.3 

b)  EMBED Equation.3  est l’impédance vue entre les bornes du dipôle AB lorsque la source de tension indépendante  EMBED Equation.3  est remplacée par son impédance interne (un court-circuit) :
 EMBED Equation.3 

Formule littérale de  EMBED Equation.3 
Formule littérale de  EMBED Equation.3 
Identification de  EMBED Equation.3 , de  EMBED Equation.3  et de  EMBED Equation.3 

Réseau électrique linéaire en régime alternatif sinusoïdal - Superposition (4,5 pts)

L’objectif est de calculer  EMBED Equation.3 . Les valeurs ont été choisies de façon que les calculs numériques puissent être faits sans calculette.

a) Illustrer par des schémas la démarche du théorème de superposition appliquée au réseau électrique ci-contre.

b) Soient : EMBED Equation.3 et  EMBED Equation.3 
Pour associer un complexe à une fonction alternative sinusoïdale, on prendra comme convention : EMBED Equation.3.

Sachant qu’à la pulsation considérée, EMBED Equation.3, calculer V, et en déduire EMBED Equation.3.

Corrigé :


 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

Réseau électrique linéaire en régime alternatif sinusoïdal - Superposition (4,5 pts) Variante

L’objectif est de calculer  EMBED Equation.3 . Les valeurs ont été choisies de façon que les calculs numériques puissent être faits sans calculette.

a) Illustrer par des schémas la démarche du théorème de superposition appliquée au réseau électrique ci-contre.
b) Soient : EMBED Equation.3 et  EMBED Equation.3 
Pour associer un complexe à une fonction alternative sinusoïdale, on prendra comme convention : EMBED Equation.3.

Sachant qu’à la pulsation considérée, EMBED Equation.3, calculer V, et en déduire EMBED Equation.3.

Corrigé :


 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 


Réseau électrique en régime alternatif sinusoïdal. Choix de méthode (4 pts)

EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
On prendra comme convention EMBED Equation.3

Sachant qu’à la pulsation considérée, EMBED Equation.3,
calculer V, et en déduire EMBED Equation.3.
La méthode n'est pas imposée: on pourra utiliser le théorème de superposition, les transformations Thévenin-Norton …Les valeurs numériques sont choisies pour que les calculs soient simples (sans calculette)

Corrigé :
 EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3 

Méthode du théorème de superposition :

 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3    donc  EMBED Equation.3 

Méthode de Norton / Thévenin :
 EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3  donc  EMBED Equation.3 


On peut utiliser d’autres méthodes…


Réseau électrique linéaire en régime alternatif sinusoïdal - Superposition (4,5 pts)

3.1 A l’aide de deux schémas et d’un court commentaire, décrire la méthode du théorème de superposition appliquée au montage ci-contre pour calculer  EMBED Equation.2 .

3.2 Sachant que  EMBED Equation.2  et  EMBED Equation.2 , calculer V, et en déduire  EMBED Equation.2 . On prendra comme convention  EMBED Equation.2 .
On considèrera par hypothèse que  EMBED Equation.2 .




Corrigé :
Sachant que  EMBED Equation.2  et que  EMBED Equation.2  et  EMBED Equation.2 , on en déduit  EMBED Equation.2 

Sachant que EMBED Equation.3 et  EMBED Equation.2  :

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3  Donc  EMBED Equation.3 

Autre méthode :

Théorème de Millman :  EMBED Equation.3 

Sachant que  EMBED Equation.2  :  EMBED Equation.3  Donc  EMBED Equation.3 

Autre méthode :


Réseau électrique linéaire en régime alternatif sinusoïdal - Superposition (5 pts)
Sachant que  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 , calculer, pour le schéma ci-contre, l’expression de  EMBED Equation.2  sous la forme  EMBED Equation.3 .
(Sachant que le devoir se déroule sans calculette, on peut garder des résultats avec des expressions en  EMBED Equation.3 ).
 EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 
… Attention aux sinus et cosinus !

Corrigé :
On applique le théorème de superposition :


Sachant que  EMBED Equation.2 , on pose  EMBED Equation.2 
et sachant que  EMBED Equation.2 , on pose  EMBED Equation.2 

Impédances en parallèle :  EMBED Equation.2 
Pont diviseur de tension :  EMBED Equation.2 
 EMBED Equation.2 

Donc  EMBED Equation.3 

Autre méthode :


 EMBED Equation.2 

 EMBED Equation.2  Donc  EMBED Equation.3 

Régime alternatif sinusoïdal – court-circuit (2 pts)
 EMBED Equation.2 
 EMBED Equation.2 
 EMBED Equation.2 

Calculer le courant de court-circuit  EMBED Equation.3  du dipôle AB
(avec  EMBED Equation.3  orienté de A vers B dans le court-circuit).


Corrigé :
Sachant que  EMBED Equation.2 , on pose  EMBED Equation.2 
et sachant que  EMBED Equation.2 , on pose  EMBED Equation.2 
 EMBED Equation.2  donc  EMBED Equation.3 

Régime alternatif sinusoïdal. Dipôle équivalent (3 pts)
On pourra utiliser les vecteurs de Fresnel ou les complexes. Pour les complexes, on prendra la convention :  EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.2 
 EMBED Equation.2 
 EMBED Equation.2 

Calculer la tension équivalente de Thévenin  EMBED Equation.3  et le courant de court-circuit  EMBED Equation.3  du dipôle AB
(avec  EMBED Equation.3  orienté de A vers B dans le court-circuit).
Le devoir se déroulant sans calculette, on pourra conserver des expressions telles que  EMBED Equation.3  ou  EMBED Equation.3 

Corrigé :
La tension équivalente de Thévenin est la tension aux bornes du dipôle à vide, donc :
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 
(cf diagramme de Bode ci-contre)  EMBED Equation.3 
Le courant équivalent de Norton est le courant de court-circuit :
  EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 

Théorème de superposition en continu+alternatif sinusoïdal. (5 pts) 

Dans le but de déterminer la tension u(t) du schéma ci-contre, réaliser les opérations suivantes :

a) Représenter les deux schémas relatifs au théorème de superposition.

b) Déterminer la composante U1 de u(t) créée par la tension continue de 15 V.

c) Déterminer la composante u2(t) de u(t) créée par la tension alternative sinusoïdale v(t) = 10.cos(10000.t). (Les valeurs ont été choisies de façon que le calcul puisse se faire à la main) (On admet dans le résultat des expressions telles que  EMBED Equation.3  ou  EMBED Equation.3 ).

d) En utilisant le théorème de superposition, déterminer et représenter u(t). (Ne pas oublier de graduer les axes).

Corrigé :


b) En courant continu, le condensateur se comporte comme un circuit ouvert.
On peut utiliser la formule du pont diviseur de tension :  EMBED Equation.3 continu

c) En courant alternatif sinusoïdal, on peut utiliser les nombres complexes :
 EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 

En utilisant la formule du pont diviseur de tension :
 EMBED Equation.3 
En utilisant à nouveau la formule du pont diviseur de tension :
 EMBED Equation.3 



d) Donc  EMBED Equation.3 
Instruction sous Scilab :
t=0:3e-5:1e-3;
v=7.5+(5/sqrt(2))*cos(10000*t+%pi/4) ;
plot(t,v)
Théorème de superposition et alternatif sinusoïdal 2 sources (7 pts)

 EMBED Equation.2 
a) Sachant que  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 , calculer, pour le schéma ci-contre, l’expression de EMBED Equation.2 .
On prendra pour convention :  EMBED Equation.2  , ()


 EMBED Equation.2 
b) Sachant que  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 , calculer, pour le schéma ci-contre, l’expression de EMBED Equation.2 .


 EMBED Equation.2 
 EMBED Equation.2 
c) Sachant que  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 , calculer, pour le schéma ci-contre, l’expression de  EMBED Equation.2 . (On s’aidera des résultats des deux questions précédentes).

Corrigé :
a) En appliquant le modèle équivalent de Thévenin puis la formule du pont diviseur de tension:
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 
b) Trois impédances en parallèles parcourues par le courant  EMBED Equation.2  (attention au sinus !):
 EMBED Equation.2 
 EMBED Equation.2   EMBED Equation.3 
c) En appliquant le théorème de superposition :  EMBED Equation.3   EMBED Equation.3  Donc  EMBED Equation.2 
Réseau en DC + alternatif sinusoïdal. Superposition 3 sources (12 pts)
Les questions a), b) et c) sont indépendantes.
a) Dans le montage ci-contre, V1o est une source de tension continue, et I2o est une source de courant continu.
Exprimer V2o et I1o en fonction de R, V1o et I2o.

b) Exprimer la relation générale entre la tension vL(t) aux bornes d’une inductance et le courant iL(t) qui la traverse lorsqu’ils sont orientés en convention récepteur.
Exprimer la relation générale entre la tension vC(t) aux bornes d’un condensateur et le courant iC(t) qui le traverse lorsqu’ils sont orientés en convention récepteur.

Dans le montage ci-contre, V1o est une source de tension continue, et I2o est une source de courant continu.
En régime permanent (suffisamment longtemps après la mise sous tension du montage), toutes les tensions et tous les courants sont continus. En déduire les valeurs de vLo et iCo en régime permanent.
En déduire V’2o et I’1o en fonction des éléments du montage, en régime permanent.

c) Dans le montage ci-contre, v11 est une tension alternative sinusoïdale :  EMBED Equation.3 

c1) Exprimer les complexes  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3  en fonction de  EMBED Equation.3 , R, L, C et  EMBED Equation.3 .

c2) On suppose que  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 . Simplifier les expressions de  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 en conséquence puis en déduire les expressions approchées de  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 .

d) Exprimer le théorème de superposition puis l’illustrer par des schémas dans le cas du montage ci-contre.

V1o est une tension continue, et I2o est un courant continu.
v11 est une tension alternative sinusoïdale :  EMBED Equation.3 
On suppose que  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 .

En utilisant les résultats des questions b) et c), exprimer  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3  en fonction de V1o, I2o., R, L, C,  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3  en régime permanent.
Corrigé :
 EMBED Equation.3  (loi des mailles) avec  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 
Si le courant dans l’inductance est « continu » (c'est-à-dire « constant ») :  EMBED Equation.3 .  L’inductance se comporte comme un court-circuit.

Si la tension aux bornes du condensateur est « continu » (c'est-à-dire « constante ») :  EMBED Equation.3 . Le condensateur se comporte comme un circuit ouvert.

Le montage se comporte alors comme le premier montage (voir a)) :
 EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 
c1) En utilisant la notion d’impédance :  EMBED Equation.3 
En utilisant la notion de pont diviseur de tension :  EMBED Equation.3 

c2)  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
Autre solution :  EMBED Equation.3 


Dans un réseau électrique linéaire, le courant (ou la tension) dans une branche quelconque est égal la somme algébrique des courants (ou des tensions) obtenus dans cette branche sous l’effet de chacune des sources indépendantes prise isolément, toutes les autres sources indépendantes ayant été remplacées par leur impédance interne.


Le montage du §d) est donc la somme des montages des paragraphes b) et c).
Donc
 EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 

Cet exercice fait référence à l’étude du filtre d’une alimentation à découpage par l’approximation au premier harmonique. Voir PowerElecPro chapitre 1exercice 1 et chapitre 7 exercice 2 sur le site IUTenligne
Dipôle linéaire en alternatif sinusoïdal. Mesure de l’impédance interne (6 pts)
On choisit la convention suivante :  EMBED Equation.3 

Soit un dipôle linéaire « A-B ».
A vide on a mesuré à ses bornes une tension  EMBED Equation.3 .
En charge avec une impédance « Z », on a mesuré à ses bornes une tension  EMBED Equation.3  avec un courant  EMBED Equation.3 .
(Toutes les mesures ont été effectuées en concordance des temps).

a) Déterminer (avec la convention ci-dessus) les expressions complexes  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3  associées respectivement à  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 . ()



b) Déterminer la valeur complexe de l’impédance « Z » mise aux bornes du dipôle A-B lors de l’essai en charge (Sans justification).



c)Déterminer l’expression complexe  EMBED Equation.3  de la tension équivalente de Thévenin du dipôle A-B.
d) Déterminer la valeur de l’impédance équivalente du dipôle linéaire A-B : «  EMBED Equation.3  »
(On pourra utiliser la formule du pont diviseur de tension ou la loi d’ohm généralisée).

Corrigé :

a) (2 pt)  EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3  ;  EMBED Equation.3 

b) (1 pt)  EMBED Equation.3 

c) (1 pt) La tension équivalente de Thévenin est la tension aux bornes du dipôle « à vide ». Donc  EMBED Equation.3 .

d) (2 pt)
  EMBED Equation.3 
ou :  EMBED Equation.3 


Filtrage d’une ligne de distribution d’énergie électrique
Une source de tension  EMBED Equation.3  alimente une charge qui consomme un courant  EMBED Equation.3 non sinusoïdal :  EMBED Equation.3 

La liaison entre la source de tension et la charge se fait au moyen d’une ligne bifilaire (l’inductance de cette ligne est modélisée par L1 sur le schéma ci-contre.)

Pour éviter que le courant  EMBED Equation.3  n’engendre des perturbations dans la source  EMBED Equation.3 , on a ajouté un « filtre » constitué de L2 et C1.

L’objectif de cet exercice est de déterminer l’expression de la tension  EMBED Equation.3 appliquée à la charge en utilisant le calcul complexe. Beaucoup des questions suivantes sont indépendantes.

A l’aide d’un tableur, on a effectué les calculs suivants (tous ne sont pas utiles pour la suite)

f50 Hz150 Hz EMBED Equation.3 4,71214,137 EMBED Equation.3 14,45143,354 EMBED Equation.3 128,442,8 EMBED Equation.3 -113,9490,554 EMBED Equation.3 -109,23714,691 EMBED Equation.3 -536,9287,832 EMBED Equation.3 4,9150,500 EMBED Equation.3 1,04310,0377 EMBED Equation.3 4,91530,5000 EMBED Equation.3 0,20341,8758
a)
 EMBED Equation.3 . Soit  EMBED Equation.3  la tension complexe associée à  EMBED Equation.3 .

Déterminer la tension complexe  EMBED Equation.3  associée à  EMBED Equation.3  ci-dessus (indiquer les calculs litéraux puis les résultats numériques (obtenus à partir des valeurs calculées dans le tableau ci-contre).

En déduire l’expression numérique de la tension  EMBED Equation.3 .


b) Sachant que  EMBED Equation.3 , (schéma ci-contre), déterminer la valeur complexe  EMBED Equation.3 associée à  EMBED Equation.3  (indiquer les calculs litéraux puis les résultats numériques complexes).
En déduire l’expression numérique de  EMBED Equation.3 






c) Sachant que  EMBED Equation.3 , (schéma ci-contre), déterminer la valeur complexe  EMBED Equation.3 associée à  EMBED Equation.3  (indiquer les calculs litéraux puis les résultats numériques complexes).
En déduire l’expression numérique de  EMBED Equation.3 



d) Sachant que  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 , (schéma ci-contre), déterminer l’expression numérique de  EMBED Equation.3 .







Corrigé :

a)  EMBED Equation.3 .  EMBED Equation.3 .

Pont diviseur de tension :
 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

b) Sachant que  EMBED Equation.3 ,

 EMBED Equation.3  (à la fréquence 50 Hz) avec :
 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3  Donc  EMBED Equation.3 

c) Le calcul est identique pour  EMBED Equation.3  avec  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3  (à la fréquence 150 Hz).
On trouve donc  EMBED Equation.3 

d) Avec  EMBED Equation.3 ,  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 , on peut appliquer le théorème de superposition :  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 




 EMBED Equation.3  représente l’alimentation d’une ligne en énergie électrique.
 EMBED Equation.3  représente le courant consommé par l’étage d’entré d’un convertisseur de puissance.
Le même problème traité par les diagrammes de Bode se trouve dans  HYPERLINK "http://www.iutenligne.net/ressources/baselecpro-cours-et-exercices-d-electricite.html" IUT en ligne/Baselecpro/cours du chapitre 8/exercice 5.
Echange d’énergie électrique et filtrage des harmoniques (13pts)
A - Ligne inductive
Une source de tension  EMBED Equation.3  alimente une charge qui se comporte comme une source de courant :  EMBED Equation.3 .
La liaison entre la source de tension et la charge se fait au moyen d’une ligne inductive (modélisée par l’inductance Lo sur le schéma ci-contre.)
a1) Sachant que  EMBED Equation.3 , en déduire  EMBED Equation.3 
a2) En s’appuyant sur un diagramme de Fresnel (à main levée), proposer une estimation de  EMBED Equation.3 .

B - Charge non sinusoïdale
La charge est maintenant un convertisseur de puissance. Il consomme un courant périodique impulsionnel. On admettra que ce courant peut être reconstitué par une somme de fonctions alternatives sinusoïdales de fréquences multiples de 50 Hz (appelée « série de Fourier »)
 EMBED Equation.3  comme le montre les graphes ci-dessous:

Ce courant non sinusoïdal est source de perturbations dans la ligne d’alimentation en énergie électrique.
Pour réduire ces perturbations, on équipe le montage d’un « filtre » (L1.C1)

De façon à simplifier l’étude, on négligera le terme  EMBED Equation.3  par rapport aux autres termes de la somme.

La somme  EMBED Equation.3  est représentée sur le schéma ci-dessus par trois sources de courant en parallèle.

Les différentes sources ne sont pas de même fréquence (le courant  EMBED Equation.3  n’est pas alternatif sinusoïdal). Il n’est donc pas possible d’utiliser directement les complexes pour calculer l’état du montage. On peut cependant utiliser le théorème de superposition.

b1) Dans le but de déterminer  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 , représenter les 4 schémas illustrant la mise en œuvre du théorème de superposition.

Chacun des 4 schémas décrit un fonctionnement en régime alternatif sinusoïdal. On peut donc l’étudier à l’aide des complexes.

 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 b2) Connaissant les valeurs ci-contre, reconstituer les calculs qui ont permis d’obtenir les résultats suivants :

 EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
Le devoir se déroulant sans calculette, il n’est pas demandé d’effectuer de calculs numériques au delà d’une addition ou d’une soustraction. Mais on se servira des résultats donnés ci-dessus pour proposer les résultats des calculs en complexe.

Résultats de simulation du comportement du montage étudié.
Corrigé :
a1 - EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 
a2 -  EMBED Equation.3 

On voit graphiquement que  EMBED Equation.3  et que le déphasage de  EMBED Equation.3  par rapport à  EMBED Equation.3  est d’environ -4°.
D’après ce diagramme de Fresnel :  EMBED Equation.3 

Par un calcul avec le logiciel Scilab :
VLo=325-25*%i => VLo = 325. - 25.i
module=abs(VLo) => module = 325.96012
argument=atan(-25,325) => argument = - 0.0767719 rad = - 0.0767719*180/%pi = - 4.3987054 ° donc  EMBED Equation.3 

b1 - On applique le théorème de superposition aux fonctions du temps (et non pas aux complexes car les régimes sinusoïdaux ne sont pas de même fréquence) :




Chaque sous schéma issu de l’application du théorème de superposition est en régime alternatif sinusoïdal. On peut donc déterminer son état électrique à l’aide des complexes. On retrouve ainsi les valeurs proposées dans les équations temporelles de l’exercice :

Pont diviseur de tension :
 EMBED Equation.3 




Loi d’ohm généralisée (Attention au sens des flèches !)
 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3  : tension aux bornes d’une impédance nulle






Loi d’ohm généralisée
 EMBED Equation.3 

Loi d’ohm généralisée :  EMBED Equation.3 

Pont diviseur de courant :  EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3  (en parallèle avec un court-circuit)

Pont diviseur de courant :  EMBED Equation.3 

Bien que le courant consommé par la charge soit très éloigné d’une sinusoïde, le courant prélevé dans la source « e » est assez proche d’une sinusoïde, ce qui permet de réduire les perturbations dans la ligne


Filtre d’un onduleur MLI (10 pts)
Le devoir se déroulant sans calculatrice, les valeurs numériques ont été choisies de façon que les calculs soient simples (). Beaucoup de questions sont indépendantes.
a) Exprimer sous forme exponentielle () le complexe  EMBED Equation.3 
On pourra s’aider du cercle trigonométrique ci-contre.


b) Soit  EMBED Equation.3  l’impédance du dipôle R//C ci-contre. Sachant que  EMBED Equation.3  et qu’à la fréquence  EMBED Equation.3  :  EMBED Equation.3 , exprimer, sous forme algébrique (), la valeur numérique du complexe  EMBED Equation.3  à la fréquence  EMBED Equation.3 . Sachant que  EMBED Equation.3 , en déduire les valeurs numériques de  EMBED Equation.3  puis de  EMBED Equation.3  sous forme exponentielle. (s’inspirer du a))

c) Le dipôle A-B ci-contre est alimenté en régime alternatif sinusoïdal de pulsation  EMBED Equation.3 . Donner l’expression littérale de l’impédance  EMBED Equation.3  de ce dipôle en fonction de R, L, C et  EMBED Equation.3 .

d) Le dipôle A-B précédent constitue la charge d’un onduleur MLI qui lui applique une tension  EMBED Equation.3 . Cette tension peut être approximée par une somme de deux sinusoïdes  EMBED Equation.3  de fréquence  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3  de fréquence  EMBED Equation.3 . On souhaite calculer  EMBED Equation.3 , mais le calcul à l’aide des complexes n’est pas directement utilisable car  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3  ne sont pas de même fréquence.
On peut néanmoins utiliser le théorème de superposition car le réseau électrique est linéaire.
Uniquement par des schémas électriques, illustrer le théorème de superposition appliqué au montage ci-contre dans le but de calculer  EMBED Equation.3 . (L’objectif est de préparer les questions e) et f) )



e) Pour chaque sous-schéma ci-dessus, le régime est alternatif sinusoïdal.
On peut donc calculer à l’aide des complexes.
On donne  EMBED Equation.3  et  EMBED Equation.3 

Lorsqu’on fait la somme de deux complexes dont l’un a un grand module et l’autre un petit module, cette somme est approximativement égale au complexe de grand module (peut importe les arguments).

On peut appliquer cette remarque aux impédances en série.

Pour les impédances en parallèle, il faut raisonner sur la somme des inverses des impédances



Module des impédancesf50 Hz10 kHz EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 En utilisant les simplifications ci-dessus concernant les impédances grandes et petites, en série ou en parallèle. Compléter la dernière case du tableau ci-contre.
Pas de justification demandée.
(On admettra qu’on peut simplifier lorsque le rapport des modules est supérieur à 100)





 EMBED Equation.3  engendre aux bornes de  EMBED Equation.3  une tension  EMBED Equation.3 
Calculer  EMBED Equation.3  en justifiant la démarche utilisée. (Comme ci-dessus, on pourra simplifier les sommes de complexes lorsque les modules sont très différents)

 EMBED Equation.3  engendre aux bornes de  EMBED Equation.3  une tension  EMBED Equation.3 
Calculer  EMBED Equation.3  en justifiant la démarche utilisée. (On pourra simplifier les sommes de complexes lorsque les modules sont très différents)

En déduire que  EMBED Equation.3  est quasiment alternatif sinusoïdal.
Préciser son expression.

Corrigé :
a)  EMBED Equation.3  
b) A la fréquence  EMBED Equation.3  :
 EMBED Equation.3 


 EMBED Equation.3 .

c) EMBED Equation.3  ou  EMBED Equation.3 



d) théorème de superposition :


Module des impédancesf50 Hz10 kHz EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 1e)

Pour un montage en parallèle, c’est la plus petite impédance qui l’emporte :
A  EMBED Equation.3  :  EMBED Equation.3 . Donc  EMBED Equation.3 




A  EMBED Equation.3  : EMBED Equation.3   EMBED Equation.3 



A  EMBED Equation.3  : EMBED Equation.3  

 EMBED Equation.3  EMBED Equation.3 


D’après le théorème de superposition :
 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

Le filtre L-C permet de transmettre la composant basse fréquence à la charge « R » et d’éliminer la composante haute fréquence engendrée par l’onduleur MLI.


() On rappelle que  EMBED Equation.3 
() On rappelle que  EMBED Equation.3 
() On rappelle les valeurs suivantes :  EMBED Equation.3   ;  EMBED Equation.3   ;  EMBED Equation.3 
() Nombre complexe sous forme exponentielle :  EMBED Equation.3 
() Nombre complexe sous forme algébrique :  EMBED Equation.3 











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-  PAGE \* MERGEFORMAT 33 -


Lo

15.9mH

I1

FREQ = 50 Hz

IAMPL = 5 A

e(t)

FREQ = 50 Hz

VAMPL = 325 V

0

Source de tension d alimentation en énergie électrique

Charge consommatrice d énergie électrique

vLo(t)

v(t)

Lo

15.9mH

L1

47.7mH

C1

23.58mðF

I1

FREQ = 50 Hz

IAMPL = 5 A

e(t)

FREQ = 50

VAMPL = 325 V

0

I2

FREQ = 150 Hz

IAMPL = 4 A

I3

FREQ = 250 Hz

IAMPL = 2.5 A

vLo(t)

v(t)

ie(t)

0

20ms

40ms

-400V

0V

400V

v(t)

-10A

0A

10A

ie(t)

0

20ms

40ms

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

V

R

R

R

R

R

R

 EMBED Equation.3 


R

R

i

e

C

v

Sachant que  EMBED Equation.2  ,
La tension aux bornes du dipôle EMBED Equation.3 est nulle (loi des mailles), donc le courant dans la maille est nul, donc EMBED Equation.3





R





R









R





R





Modèle équivalent
de Thévenin

   







Modèle équivalent
de Norton

R

   







R

   



R





 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

R

R

R



R

R

R

R

i

e

R

L

v

Ressource HYPERLINK "http://www.iutenligne.net/ressources/exercicelecpro.html"ExercicElecPro proposée sur le site Internet  HYPERLINK "http://www.iutenligne.net/"  EMBED CorelPhotoPaint.Image.8 
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A

Charge


L2

i

v

C1

e

L1

A

B

L2

v1

C1

e

L1

L1

C1

v2

i2

L2

L1

C1

v3

i3

L2

e

L1

C1

v

i2

L2

i3

B

L2

v1

C1

e

L1

L1

C1

v2

i2

L2

e

L1

C1

v

i2

L2

i3

Dipôle linéaire

A

B

Z

Dipôle linéaire

A

B

v1

v2

i

A vide :

En charge :

-24

-18

-12

-6

-3

0

3

6

12

18

24

-150

-100

-50

0

50

100

150

 EMBED Equation.3 V

100 V

t (ms)

-24

-18

-12

-6

-3

0

3

6

12

18

24

-10

0

10 A

t (ms)

i

v1

v2

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 



 EMBED Equation.3 



B

A



R

   

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

0

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

1

R

C

A

B

L

R

C

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

C

R

L

B

A

R

C

 EMBED Equation.3 

1 pt

0,5 pt

0,5 pt

0,5 pt

A

B

L

R

C

1 pt

1 pt

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

C

R

L

B

A

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

C

R

L

B

A

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

C

R

L

B

A

i

0,5 pt

0,5 pt

0,5 pt

0,5 pt

0,5 pt

1 pt

0,5 pt

0,5 pt

e(t)

100 nF

A

B

C

R

 EMBED Equation.3 

1 kWð

1 pt

1 pt

1 pt

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

0.5 pt

1,5 pt

1 pt

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

Ie1

50 Hz

V1

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

Ie2

50 Hz

V2

5

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

Ie3

150 Hz

0

4

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

Ie4

250 Hz

V4

2,5

ie(t)

v(t)

vLo(t)

IAMPL = 2.5 A

FREQ = 250 Hz

I3

IAMPL = 4 A

FREQ = 150 Hz

I2

0

VAMPL = 325 V

FREQ = 50 Hz

e(t)

IAMPL = 5 A

FREQ = 50 Hz

I1

23.58mðF

C1

47.7mH

L1

15.9mH

Lo

ie2(t)

v2(t)

vLo2(t)

0

IAMPL = 5 A

FREQ = 50 Hz

I1

23.58mðF

C1

47.7mH

L1

15.9mH

Lo

v1(t)

ie1(t)

vLo1(t)

0

VAMPL = 325 V

FREQ = 50 Hz

e(t)

23.58mðF

C1

47.7mH

L1

15.9mH

Lo

Ie3(t)

v4(t)

vLo4(t)

0

IAMPL = 2.5 A

FREQ = 250 Hz

I3

23.58mðF

C1

47.7mH

L1

15.9mH

Lo

ie3(t)

v3(t)

vLo3(t)

0

IAMPL = 4 A

FREQ = 150 Hz

I2

23.58mðF

C1

47.7mH

L1

15.9mH

Lo

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.2 

 EMBED Equation.2 

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.2 




R

R

I

 EMBED Equation.2 

 EMBED Equation.2 

R

R

I

E

 EMBED Equation.2 

V

B

A

e2

e1

Z

 EMBED Equation.3 

C

C

0

i(t)

1 kWð

1 kWð

u(t)

v(t)

15 V

500 Wð

100 nF

B

A

e2

e1

Z

v(t)

i(t)

1 kWð

1 kWð

u2(t)

500 Wð

100 nF

1 kWð

1 kWð

U1

15 V

500 Wð

100 nF

i(t)

1 kWð

1 kWð

u(t)

v(t)

15 V

 EMBED Equation.3 

 EMBED Equation.3 

500

500

-1000.j

500 Wð

100 nF

I2o

I1o

V1o

R

v2o

I2o

iCo

I’1o

V1o

R

V’2o

vLo

L

C

i11

v11

R

v21

L

C

i1

R

v2

L

C

v11(t)

V1o

I2o

V1o

C

L

vLo

V’2o

R

I’1o

iCo

I2o

V1o

R

L

C

I2o

v11(t)

R

L

C

R

L

C

I2o

R

L

C

v11(t)

V1o

R

L

C

i1

R

v2

L

C

v11(t)

V1o

I2o


























20 ms

t

 EMBED Equation.3 

10

0

t

 EMBED Equation.3 

10

0

t

 EMBED Equation.3 

10

0

t

 EMBED Equation.3 

10

0

Michel Piou

1 pt

Z2

petit
module

Z2

petit
module
W* M d f þ (
-
>
?
¢
£
¤
®
¯
¼
Æ
¥ ®
+
e
g
AB`cdefóçóãØËÆã¿ã¿±§–±Œ±¿ã}ãuãqãi[iãW[WhÆjhqdÔUmHnHu *hZ7Ihâ$'hÏ{¶h¡½hâ$'6h}rƒhxfhâ$'B*phÿh}rƒhâ$'0J5!jh}rƒ5B*Uphÿh}rƒ5B*phÿjh}rƒ5B*Uphÿ hxfhâ$' hâ$'6h
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hâjÀCJUVaJjh˜xUh˜xjm­h9WhÓ?ûEHàÿUjæÝV
hÓ?ûCJUVaJhÈQjhÈQUË+Þ+ß+à+á+ã+ä+å+ø+ù+ú+û+,,,,,,,.,/,0,1,|,…,†,’,“,¦,üéß×üÓ×üÄ·×Ó¯Ó “¯ü†xütpl^lVljhxv·UjhÛ UmHnHuhxv·hU|áhýðjh¾ôUmHnHuhƒYÙhk8…6B*phÿj=¾h˜xhÓ?ûEHöÿUjìšÜV
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hÓ?ûCJUVaJhÓ?ûjhk8…Uj˜¸hk8…EHöÿU$jÊ
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Zh~PEH ÿUjíxW
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